2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen

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1 Baustatik III SS Materialgesetze und Festigkeitshypothesen 2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen 2.2 Plastizität 2.3 Festigkeitshypothesen 2.4 Viskoelastizität 1

2 Baustatik III SS Materialgesetze und Festigkeitshypothesen 2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen 2

3 Klassifizierung Bausteine der Baustatik Gleichgewichtsgleichungen: Immer zu erfüllen! Kinematik: Kann linear (kleine Verformungen) oder nichtlinear (große Verformungen) sein. Materialgesetz: Kann linear oder nichtlinear sein. 3

4 Klassifizierung Materialgesetze: Sie werden auch als Stoffgesetze, Werkstoffgesetze oder konstitutive Gleichungen bezeichnet. Sie stellen die mathematischen Beziehungen zwischen den Spannungen und den Dehnungen bzw. Verzerrungen in einem Material dar. 4

5 Klassifizierung 5

6 Klassifizierung Belastung Linear elastisch Entlastung ε Belastung Belastung Entlastung Entlastung Nichtlinear elastisch Elastisch-plastisch 6

7 Beispiel: Stahl 7

8 Beispiel: Beton Entfestigung (Softening) ε ε Da Beton nur geringe Zugfestigkeit besitzt, können Mikrorisse im Beton entstehen. Die Mikrorissbildung im Beton führt zur Entfestigung (Softening) des Betons! 8

9 Viskoelastizität Viskoelastizität: Zeitabhängiges Materialverhalten! = konst. ε = konst. Kriechen: Verformungszunahme bei konstanter Spannung! 9 Relaxation (Schwinden): Spannungsabnahme bei konstanter Dehnung bzw. Verformung!

10 Beispiel l u F = n cε ε Gegeben: E, A, l, c, n, F Materialgesetz: Ludwik Nichtlinear elastisch Gesucht: F-u-Kurve 1

11 Beispiel N u F Lösung: Gleichgewicht: Kinematik: Materialgesetz: N = F A = F = u ε = l = c n (2) In (3) eingesetzt, und dann (3) in (1) eingesetzt: ε F u = ca l n F A n u F = cε = c = l A n (1) (2) (3) 11

12 Beispiel F u Last-Verschiebungskurve 12

13 Baustatik III SS Materialgesetze und Festigkeitshypothesen 2.2 Plastizität 13

14 Plastisches Fließen (Plastizität) Bei duktilen Werkstoffen existiert ein ausgeprägtes plastisches Fließen. Wenn die Fließgrenze (Streckgrenze) eines Werkstoffs erreicht wird, tritt dann ein plastisches Fließen bzw. eine Plastizität auf. Die Fließgrenze kann experimentell ermittelt werden. Im einachsigen Zugversuch tritt ein plastisches Fließen auf, wenn: < F F, kein Fließen, plast. Fließen Im mehrachsigen Spannungszustand tritt ein plastisches Fließen auf, wenn: F Fließgrenze V < F F, kein Fließen, plast. Fließen V V 14

15 Vergleichsspannung Einachsiger Spannungszustand (im Versuch): Mehrachsiger Spannungszustand: V Die Vergleichsspannung ist eine fiktive einachsige Spannung, die dieselbe Materialbeanspruchung darstellt wie ein realer, mehrachsiger Spannungszustand. V Quelle: 15

16 Vergleichsspannung Vergleichsspannung nach der Hauptnormalspannungshypothese (William Rankine, ) Stab, Balken (1D): V = τ 2 Ebener Spannungszustand (2D): V = ( ) ( ) τ x y x y xy 2 16

17 Vergleichsspannung Vergleichsspannung nach der Hauptnormalspannungshypothese (William Rankine, ) Räumlicher Spannungszustand (3D): V 1, bei 1 > & 1 > 3 = 3, bei 3 < 17

18 Vergleichsspannung Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese: (Tresca, ) Allgemein: V Stab, Balken (1D): 2 2 = + 4τ Ebener Spannungszustand (2D): V ( ) = + τ V x y xy Räumlicher Spannungszustand (3D): = max,, V = 2τ max ( )

19 Vergleichsspannung Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese (Huber, ; von Mises, ; Hencky, ) Allgemein: Stab, Balken (1D): 1 V = = + 3τ V Ebener Spannungszustand (2D): = + + 3τ V x y x y xy Ebener Verzerrungszustand (2D): ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = + ν ν + 1 2ν 2ν 1 + 3τ V x y x y xy 19

20 Vergleichsspannung Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese (Huber, ; von Mises, ; Hencky, ) Räumlicher Spannungszustand (3D): ( ) = τ + τ + τ V x y z x y x z y z xy xz yz = τ + τ + τ 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) V x y x z y z xy xz yz 1 V = ( ) ( ) ( ) 2

21 Fließfunktion und Fließbedingung Fließfunktion und Fließbedingung: Einachsiger Zug (1D) Fließbedingung: = F oder F( ) = Fließfunktion: F( ) = F Fließfunktion bzw. Fließbedingung: 2D und 3D Fließbedingung: v = F oder F(,, ) = Fließfunktion: F = = v F F(,, ) 1 2 3,, : Hauptspannungen

22 Fließbedingung nach Tresca 3D 2D F : Fließspannung F F F F ( ) = max,, = v F Allgemein: = 2τ = v max F Maximale Schubspannungstheorie Henri Édouard Tresca ( ) ( 22

23 Fließbedingung nach von Mises 3D 2D F F F F v = ( 1 2 ) + ( 2 3 ) + ( 3 1 ) = F 2 J 2 Plastizitätstheorie, J 2 Fließtheorie Richard von Mises ( ) ( 23

24 Vergleich: Tresca und von Mises 3D 2D F F F F ( 24

25 Fließbedingung nach Mohr-Coulomb 3D 2D Ft Fc Ft m + 1 max ( ( ), ( ), ( ) v = K K K ) = 2 Fc m 1 m = ; K = m + 1 Ft Fc Ft : Fließspannung für Druck (c = compression) : Fließspannung für Zug (t = tension) Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sich zu der Fließbedingung von Tresca, falls =! ( Fc Ft Fc Fc 25

26 Fließbedingung nach Mohr-Coulomb τ (Schubspannung) (Druckspannung) Christian Otto Mohr ( ) τ = tan( φ) + c c: Kohäsion φ: innerer Reibungswinkel Charles-Augustin de Coulomb ( ) Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sich zu der Fließbedingung von Tresca, falls φ=! ( 26

27 Fließbedingung nach Drucker-Prager 3D 2D Ft Fc Ft Fc m 1 m v = ( ) + ( 1 2) + ( 2 3) + ( 3 1) = Fc m = Ft Fc Die Fließbedingung von Drucker-Prager reduziert sich zu der Fließbedingung nach von Mises, falls =! ( Ft Fc 27

28 Fließbedingung nach Drucker-Prager Daniel Charles Drucker ( ) William Prager ( ) 28

29 Vergleich von Fließbedingungen Bemerkungen: Die Fließbedingungen von Tresca und von Mises sind geeignet für duktile Werkstoffe (Stahl, Metalle, ). Die Fließbedingungen von Mohr-Coulomb und Drucker-Prager sind geeignet für Boden, Beton, Fels, Keramik und körnige Werkstoffe. 29

30 Beispiel E,, A E 1 y1 Gegeben: E = 2E = 2 E, = 3 = 3 Gesucht:,, A 2 y2 l 1 2 y1 y2 y F-u-Kurve u F y Materialgesetz: Elastisch-ideal plastisch ε 3

31 Beispiel Lösung: N + N = F A + A = F + = u u = u = u ε = l Gleichgewicht: Kinematik: 1 2, Materialgesetz: N 1 N 2 F u F A (1) (2) 1.) Beide Stäbe im elastischen Bereich: Hookesches Gesetz u u 1 = E1ε = E1, 2 = E2ε = E2 l l u u Fl E A + E A = F u = l l ( E + E ) A (3) In (1) eingesetzt: (3)

32 Beispiel Spannungen in den beiden Stäben: u F 2 F u F F = E ε = E = E =, E E E l ( E E ) A 3 A = ε = = = l ( E E ) A 3A ) Stab 2 im plastischen Bereich, Stab 1 im elastischen Bereich: 2 = y F = 3 y A Fl y u = = l am Anfang des plastischen Fließens ( E1 + E2) A E Bei weiterer Laststeigerung: u F E l 1A + y A = F u = y l A 2E u F Spannung im Stab 1: 1 = E1 = y l A 3.) Stab 1 auch im plastischen Bereich: =3 1 = y1 y F = 4 y A Danach weitere Laststeigerung nicht mehr möglich! F l 3 y u = y = l A 2E 2 E 32

33 Beispiel 1.) Bereich 1: Fl F E u u = 3 EA A = l 3 y y 2.) Bereich 2: F l F E u u = y = A 2E A l 3.) Bereich 3: 3 y E u 3 u = l = 2 E l 2 y y y F y A ) 2.) 1.) Last-Verschiebungskurve E y u l 33

34 Baustatik III SS Materialgesetze und Festigkeitshypothesen 2.3 Festigkeitshypothesen 34

35 Festigkeitshypothesen (Versagenshypothsen) Bei spröden Werkstoffen existiert kein ausgeprägtes plastisches Fließen. Wenn die Zugfestigkeit oder Druckfestigkeit eines Werkstoffs erreicht wird, tritt dann ein plötzliches Bruchversagen auf. Die Zugfestigkeit oder Druckfestigkeit eines Werkstoffs wird als die maximal zulässige Spannung zul bezeichnet. Im einachsigen Zugversuch tritt ein Bruchversagen auf, wenn: > zul zul, kein Versagen, Versagen Im mehrachsigen Spannungszustand tritt ein Versagen auf, wenn: V V > zul zul, kein Versagen, Versagen V 35

36 Festigkeitshypothesen (Versagenshypothesen) zul = maximal zulässige Spannung (experimentell gemessen) V = Hauptnormalspannung = 2 Maximale Schubspannung V Hauptnormalspannungshypothese Schubspannungshypothese = nach der Gestaltänderungsenergie Gestaltänderungsenergiehypothese V Bestimmung der Vergleichsspannung V : Siehe Abs. 2.2! Bemerkung: Das plastische Fließen kann als ein Sonderfall der allgemeinen Festigkeitshypothesen (Versagenshypothesen) betrachtet werden, falls es angenommen wird: zul = Beginn des Fließens = Versagen! F 36

37 Vergleich: Versagenshypothesen 3D Von Mises Versagensfläche 2D Von Mises Versagenskurve Tresca Versagenskurve Tresca Versagensfläche zul F zul F Fzul Fzul ( 37

38 Vergleich: Versagenshypothesen Anwendungsbereiche der unterschiedlichen Festigkeitshypothesen 38

39 Baustatik III SS Materialgesetze und Festigkeitshypothesen Rheologische Grundelemente Kelvin-Voigt-Modell Maxwell-Modell Burgers-Modell Weitere Modelle 2.4 Viskoelastizität Literatur: Gross, Dietmar, Hauger, Werner, Wriggers, Peter: Technische Mechanik 4. Springer-Verlag,

40 Baustatik III SS Viskoelastizität Rheologische Grundelemente 4

41 Grundelemente Rheologie: Rheologie ist die Wissenschaft bzw. Lehre zur Beschreibung vom Verformungsund Fließverhalten von Körpern. Rheologische Modelle: Rheologische Modelle beschreiben den Zusammenhang zwischen der Spannung und der Verformung (Deformation). Rheologische Grundelemente: Ideale Elastizität: Ideal-elastische Festkörper Feder, Hooke-Element Ideale Viskosität: Flüssigkeit Dämpfer, Newton-Element Ideale Plastizität: Idel-plastische Festkörper Reibelement, St.-Venant-Element 41

42 Hooke-Element Ideale Elastizität: Zeitunabhängiges Materialverhalten. Rheologisches Modell: Hooke-Element = Feder Werkstoffgesetz (Stoffgleichung): Eindeutige Spannungs-Dehnungs-Beziehungen. Deformationen vollständig reversibel d.h. der Körper kehrt nach Entfernung der Belastung wieder in seinen ursprünglichen Ausgangszustand zurück. Materialverhalten unabhängig vom Lastpfad (Belastung und Entlastung). Das Hooke-Element beschreibt die Eigenschaften eines ideal-elastischen Festkörpers. 42

43 Newton-Element Ideale Viskosität: Zeitabhängiges Materialverhalten. Rheologisches Modell: Newton-Element = Dämpfer Werkstoffgesetz (Stoffgleichung): Das Material reagiert auf eine einwirkende Spannung mit einer unbegrenzten, zeitlich verzögerten Deformation. Materialverhalten ist abhängig von der Deformationsgeschichte. Deformationen vollständig irreversibel bzw. dauerhaft bestehend. Die Dehngeschwindigkeit (zeitliche Ableitung der Dehnung) ist proportional zur aufgebrachten Spannung. Das Newton-Element beschreibt die Eigenschaften einer idealen Flüssigkeit. 43

44 St.-Venant-Element Ideale Plastizität: Zeitabhängiges Materialverhalten. Rheologisches Modell: St.-Venant-Element = Reibelement Werkstoffgesetz (Stoffgleichung):, F ε =, > F Deformationen irreversibel (bleibende Dehnungen). Materialverhalten unabhängig vom Lastpfad (Belastung und Entlastung). Das St.-Venant-Element beschreibt die Eigenschaften einer ideal-plastischen Festkörpers. 44

45 Kriechen Kriechen: Verformungszunahme bei konstanter Spannung! Kriechfunktion, Retardationsfunktion: ε ( t) = J ( t) J ( t) = ε ( t) J () : momentane Nachgebiegkeit J ( ) : Gleichgewichtsnachgebiegkeit Zum Zeitpunkt t = wird plötzlich eine konstant gehaltene Spannung aufgebracht. Die zur Dehnung proportionale Materialfunktion beim Kriechversuch heißt Retardationsfunktion J(t). Die Retardationsfunktion beschreibt den zeitlichen Verlauf (Zunahme) der Dehnung eines viskoelastischen Materials unter konstant gehaltener Spannung. 45

46 Relaxation Relaxation (Schwinden): Spannungsabnahme bei konstanter Dehnung bzw. Verformung! G() : momentane Steifigkeit Relaxationsfunktion: G( ) : Gleichgewichtssteifigkeit ( t) = G( t) ε G( t) = ( t) ε Zum Zeitpunkt t = wird plötzlich eine konstant gehaltene Dehnung aufgebracht. Die zum Spannungsverlauf proportionale Materialfunktion beim Relaxationsversuch heißt Relaxationsfunktion G(t). Die Relaxationsfunktion beschreibt die zeitliche Abnahme der Spannung (Spannungsrelaxation) eines viskoelastischen Materials unter konstant gehaltener Dehnung. 46

47 Baustatik III SS Viskoelastizität Kelvin-Voigt-Modell Das Kelvin-Voigt-Modell ist geeignet, um das Kriechverhalten von Materialien zu beschreiben. 47

48 Kelvin-Voigt-Modell E D 1.) Gleichgewicht: 2.) Kinematik: Gleiche Dehnung in beiden Elementen! + = E E D ε = ε = ε D 1 ε + τε& = E 3.) Werkstoffgesetz: = Eε, = ηε& E E D D 48

49 Kelvin-Voigt-Modell Gleiche Dehnung in beiden Elementen! Materialgleichung (Stoffgleichung): 2 Möglichkeiten: 1.) ε ( t) vorgegeben, ( t) gesucht 1 ε + τε& = E ε ( t) & ε ( t) ( t) = E( ε + τε& ) G( t) 2.) ( t) vorgegeben, ε ( t) gesucht Inhomogene Dgl. nach ε ( t) lösen! ε ( t) J ( t) 49

50 Kelvin-Voigt-Modell Beispiel 1: ( t) = H ( t) vorgegeben Gesamtlösung: Homogene Lösung: ε h = Ae λt Partikularlösung: ε = p C Gesamtlösung: ε = ε + ε ε Anfangsbedingung (AB): ε () = A E h h h p + τε& = 1 λ = τ ε p + τε p = C = E t/ τ ε = ε h + ε p = Ae + E & = ( t/ τ ε 1 e ) E E = t/ ε h Ae τ ε = p = ( t/ τ J ( t) = = 1 e ) 5 E ε ( t) 1 E

51 Kelvin-Voigt-Modell J ( t = ) = 1 J ( t = ) = E J ( t = τ ) = (1 e ) =,632 E E 1 1 J& t e J& J& η η t/ τ ( ) =, () =, ( ) = Wenn die Retardationszeit erreicht wird, dann beträgt die Dehnung 63.2% ihres Endwertes bzw. der Gleichgewichtsnachgiebigkeit zum Zeitpunkt t=. Am Anfang zeigt der Kelvin-Voigt Körper ein flüssigkeitsähnliches Verhalten, da in der Steigung von J(t) zum Zeitpunkt t= nur η (kein E) auftritt(d.h. J& ( t = ) = 1/ η). Nach langer Zeit zeigt der Kelvin-Voigt Körper dagegen ein festkörperähnliches Verhalten, da J( )=1/E nur von E abhängt. Die Verformungen sind vollständig reversibel. Das Kelvin-Voigt Modell ist gut geeignet um den zeitlichen Übergang vom flüssigen in den festen Zustand zu modellieren. Durch die Parallelschaltung der beiden Grundelemente wirkt das Newton- Element zeitlich verzögernd auf die Deformation und das Newton-Element begrenzt die Dehnung. Das Kelvin-Voigt Modell beschreibt überwiegend einen Festkörper. 51

52 Kelvin-Voigt-Modell Beispiel 2 : ε ( t) = ε H ( t) vorgegeben Die Lösung der Differentialgleichung ist in diesem Fall komplizierter. Daher wird hier nur die endgültige Lösung angegeben. ( t) = ηε δ ( t) + Eε H ( t) ( t) G( t) = = η δ ( t) + E H ( t) ε, t δ ( t) =, t = Dirac-Funktion, t H ( t) = 1, t > Heaviside-Funktion Das Kelvin-Voigt-Modell ist also nicht geeignet, um die Spannungsrelaxation zu beschreiben! 52

53 Baustatik III SS Viskoelastizität Maxwell-Modell Das Maxwell-Modell ist geeignet, um die Spannungsrelaxation in Materialien zu beschreiben. 53

54 Maxwell-Modell Gleiche Spannung in beiden Elementen! 1.) Gleichgewicht: 2.) Kinematik: = = E E D D + = ε ε ε + τ& = ηε& 3.) Werkstoffgesetz: = Eε, = ηε& E E D D 54

55 Maxwell-Modell Gleiche Spannung in beiden Elementen! Materialgleichung (Stoffgleichung): 2 Möglichkeiten: 1.) ( t) vorgegeben, ε ( t) gesucht + τ& = ηε& 1 ( t) & ( t) & ε ( t) = ( + τ& ) ε ( t) J ( t) η Integration 2.) ε ( t) vorgegeben, ( t) gesucht Inhomogene Dgl. nach ( t) lösen! ( t) G( t) Relaxationszeit: τ = η E 55

56 Beispiel 1: ( t) = H ( t) Maxwell-Modell vorgegeben & ( t) =, t > = ηε& Lösung der Dgl.: & ε = η ε ( ) Anfangsbedingung (AB): () E t = t + C η ε () = = E C = E ε ( t) J ( t) t 1 = + η E = ε ( t) t 1 = η + E 56

57 Maxwell-Modell 1 J ( t = ) = E J ( t = ) = J& ( t) 1 = η Das Maxwell-Modell ist also nicht geeignet, das Kriech- bzw. Relaxationsverhalten richtig zu beschreiben, da J( )= unbegrenzt ist! 57

58 Beispiel 2 : ε ( t) = ε H ( t) Maxwell-Modell vorgegeben & ε ( t) =, t > + τ& = Lösung der Dgl.: = Ae λt + τ& = 1 λ = t τ = Ae / τ Anfangsbedingung (AB): ε () () = Eε () = Eε A = Eε = ε = ε t / E e τ ( t) ε t/ G( t) = = Ee τ 58

59 Maxwell-Modell G( t = ) = E G( t = ) = 1 G( t = τ ) = Ee =,368E 1 E G& t E e G& G& τ τ t/ τ ( ) =, () =, ( ) = Wenn die Relaxationszeit erreicht wird, dann beträgt die Spannung 36.8% ihres Anfangswertes bzw. der momentanen Steifigkeit zum Zeitpunkt t=. Der Maxwell Körper hat ein festkörperartiges Anfangsverhalten (da G()=E bzw. J()=1/E). Nach langer Zeit ist der Maxwell Körper spannungsfrei und er hat daher ein flüssigkeitsartiges Endverhalten. Die Verformungen sind aufgrund der Reihenschaltung vollständig irreversibel. Durch die Reihenschaltung der beiden Grundelemente nimmt das Hooke-Element den anfänglichen Dehnungssprung in Form der Anfangsspannung auf. Durch die zeitlich verzögerte Zunahme der Dehnung im Newton-Element nimmt die Dehnung in der Feder und somit die Spannung ab. Das Material entspannt sich (relax) mit der Zeit. Das Maxwell Modell beschreibt überwiegend eine viskoelastische Flüssigkeit. 59

60 Gegenüberstellung Kelvin-Voigt Maxwell 1.) Gleichgewicht E + = D = = E D 2.) Kinematik ε = ε = ε E D ε + ε = ε E D 3.) Werkstoffgesetz = Eε, = ηε& E E D D 6

61 Gegenüberstellung Kelvin-Voigt Maxwell Stoffgleichung y Einheitlich 1 y + α y& = g 1.) y vorgegeben, g gesucht g 1 ε + τε& = E = ε, α = τ, = E y y& g = y +α y& + τ& = ηε& y g =, α = τ, = ηε& 2.) g vorgegeben, y gesucht y = y y y = Ae t/ α h + p; h, y p mit Ansatz vom Typ der rechten Seite 61

62 Baustatik III SS Viskoelastizität Burgers-Modell Das Burgers-Modell ist geeignet, um das Verhalten von Asphalt, Bitumen und Polymeren zu beschreiben. 62

63 Burgers-Modell Maxwell Kelvin-Voigt 1.) Gleichgewicht: = = M KV 2.) Kinematik: ε + ε = ε M KV + τ & = η & ε 3.) Werkstoffgesetz: M M M M M Maxwell 1 ε + τ & ε = KV KV KV KV E KV Kelvin-Voigt (1) (2) (3) 63

64 (1) in (3) eingesetzt: Aus (2): Aus (2): M KV Burgers-Modell M KV 1 + τ & = η & ε ε + τ & ε = M M M = = KV KV KV E KV 1 && ε ( ) M = & + τ && M 1 1 && η KV = & M τ KV EKV && ε + && ε = && ε ε & ε ( & + τ && ) M + & & ε KV = && ε ηm τ KV EKV & + & = & ε M ε KV ε ( & + τ && ) ( ) M + & & ε & ε M = && ε ηm τ KV EKV 64 KV

65 Burgers-Modell Aus (3): ( & + τ && ) M + & & ε + & ε M = && ε η τ E τ τ M KV KV KV + τ& = ηε& M ( & τ ) ( ) M ε M ε η + & + & τ τ E & τ + τ + & η = && M KV KV KV KV KV M τ M 1 1 τ M 1 1 && & + = && ε + & ε ηm ηm τ KV EKV τ KVηM τ KVηM τ KV 65

66 τ M η M KV =, τ KV = EM EKV Burgers-Modell η E KV EKV EKV && & + = && ε + & ε EM ηm ηkv ηkv EM ηkvηm ηkv Stoffgleichung: a&& + b& + c = g EKV a =, b = + +, E η η η E M M KV KV M EKV 1 EKV c =, g = && ε + & ε = && ε + & ε η η τ η KV M KV KV 66

67 Burgers-Modell 2 Möglichkeiten: 1.) ( t) vorgegeben, ε ( t) gesucht 1 & && && ε + & ε = a&& + b& + c ε ( t) J ( t) τ KV 2.) ε ( t) vorgegeben, ( t) gesucht 1 ε & ε && ε a&& + b& + c = && ε + & ε ( t) G( t) Beispiel 1: τ KV ( t) = H ( t) vorgegeben Lösung der Dgl.: Homogene Lösung: & ( t) =, t > ε = ε + ε ε = h h Ae λt p 1 && ( t) =, t > && ε + & ε = c τ KV 1 && ε h + & 2 1 ε h = λ + λ = τ τ KV λ1 =, λ2 = 1/ τ KV KV 67

68 Gesamtlösung: Anfangsbedingungen: ε () = ε M () + ε KV () = 123 Burgers-Modell 1t 2 t t/ h A e A e λ ε = + = A + A e τ ε = B t p ε = ε + ε = A + A e + c τ t E M λ && ε + & ε = c τ Partikularlösung: p p ε p = c τ & ε () = & ε M () + & ε KV () = + η η KV t KV t/ τ KV h p 1 2 KV M KV A A + A = 1 2 E M KV B = c τ KV = c τ τ = 2 2 KV KV ηm ηkv EKV A = A 1 = EM EM EKV 68

69 Burgers-Modell 1 1 EM KV ε = 1 + t + 1 EM τ M EKV ( t/ τ e ) ε ( t) 1 1 EM KV J ( t) = = 1 + t + 1 e EM τ M EKV J ( t) ( t/ τ ) 1 1 η M 1 E KV 1 E M 69

70 Burgers-Modell Beispiel 2 : ε ( t) = ε H ( t) vorgegeben Die Lösung der Differentialgleichung ist in diesem Fall komplizierter. Daher wird hier nur die endgültige Lösung angegeben. 1 ( ) r ( ) 1t r2t q1 q2r1 e q1 q2r2 e ε = A ( t) 1 ( ) r t G( t) = = q ( ) 1 q2r1 e q1 q2r2 e ε A r t 1 2 η η η η η p = + +, p =, q = η, M M KV M KV EM EKV EKV EM EKV η η p m A q =, r =, A = p 4 p M KV ,2 1 2 EKV 2 p2 M 7

71 Baustatik III SS Viskoelastizität Weitere Modelle 71

72 Weitere Modelle Weitere Modelle können durch die Schaltung mehrerer Grundelemente in Kombination mit den Kelvin-Voigt- und Maxwell-Modellen konstruiert werden. 3-Elemente-Festkörper (linearer Standardkörper): Werden die Konstanten entsprechend gewählt, wird der teilweise viskose Festkörper bei beiden Modellen mit der gleichen Stoffgleichung beschrieben. 72

73 Weitere Modelle 3-Elemente-Flüssigkeit: 4-Elemente-Festkörper: 73

74 Weitere Modelle 4-Elemente-Flüssigkeit: N-Elemente-Festkörper (Kelvin-Voigt-Gruppe): 74

75 Weitere Modelle N-Elemente-Flüssigkeit (Maxwell-Gruppe): 75

76 Gegenüberstellung Kriechfunktion J(t) Relaxationsfunktion G(t) Kelvin-Voigt Maxwell 1 1 t/ E ( τ e ) E[ 1 +τδ ( t) ] t 1 η + t/ Ee E τ Burgers 1 t E 1 M 1 KV + + EM τ M EKV t/ τ ( e ) 1 r1 t r2t ( q1 q2r1 ) e ( q1 q2r2 ) e A Standard 1 EKV EKV + e E KV E1 E1 1 ηkv 1 E t E KV E1 E1 + E + E E + E 1 KV 1 KV e E1 + E η KV KV t 76