12 2 Grundbelastungsarten

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1 2.1 Zug 11 Der Elastizitätsmodul kann als diejenige Spannung interpretiert werden, die erforderlich ist, um den Probestab auf das Doppelte seiner Länge gegenüber dem unbelasteten Zustand zu dehnen. In der Praxis ist allerdings eine derart hohe Dehnung in der Regel nicht erreichbar, da zuvor eine plastische Verformung und anschließend ein Bruch eintritt. Querkontraktionszahl: Wird neben der Längsdehnung ε bzw. ε l auch die Durchmesserveränderung Δd der Probe ermittelt, dann kann die Querdehnung ε q errechnet werden: ε = q Δd d0 (2.9) Im Gültigkeitsbereich der Hookeschen Geraden (linear-elastisches Werkstoffverhalten) definiert man dann die Querkontraktionszahl µ als Verhältnis aus Querdehnung ε q und Längsdehnung ε l (siehe auch Kapitel ): εq μ = ε l Querdehnung Definition der Querkontraktionszahl (2.10) Duktile Metalle ohne ausgeprägte Streckgrenze Die Mehrzahl duktiler Metalle und Metalllegierungen zeigen ein Spannungs-Dehnungs-Verhalten ohne ausgeprägte Streckgrenze. Das Werkstoffverhalten ist gekennzeichnet durch einen kontinuierlichen Übergang zwischen dem Bereich elastischer und plastischer Verformung. Oberhalb der messtechnisch nicht erfassbaren Elastizitätsgrenze σ E beobachtet man eine zunehmende Abweichung des Kurvenverlaufs von der Hookeschen Geraden (Bild 2.9). Mit steigender Belastung wird der Kurvenverlauf zunehmend flacher. Bei ausreichendem Verformungsvermögen des Werkstoffs strebt das Spannungs- Dehnungs-Diagramm einem Maximum zu. Die Probe schnürt sich mehr oder weniger stark ein und bricht anschließend relativ rasch. Werkstoffe mit geringer Plastizität brechen hingegen vor Erreichen eines Spannungsmaximums d. h. sie zeigen keine Einschnürung. Ein typisches Beispiel sind die ausgehärteten Aluminiumlegierungen (Bild 2.4d). Da der Beginn der plastischen Verformung, wie bereits erwähnt, bei Metallen ohne ausgeprägte Streckgrenze messtechnisch nicht erfassbar ist, wird ersatzweise diejenige Spannung ermittelt, die nach der Entlastung eine festgelegte bleibende Dehnung (z. B. 0,01%, 0,2% oder 1%) hervorruft. Diese Kennwerte werden als Dehngrenzen bezeichnet und erhalten als Formelzei- Bild 2.9 Spannungs-Dehnungs-Diagramm duktiler Metalle ohne ausgeprägte Streckgrenze (die Elastizitätsgrenze ist nicht eingezeichnet)

2 12 2 Grundbelastungsarten chen R p (z. B. R p0,01, R p0,2 oder R p1 ). Im Maschinenbau wird häufig die 0,2%-Dehngrenze (R p0,2 ) als maßgeblicher Werkstoffkennwert für den Beginn ausgeprägter plastischer Verformungen zugrunde gelegt. Zur Ermittlung von Dehngrenzen konstruiert man im Feindehnungsdiagramm, ausgehend von einer festgelegten bleibenden Dehnung (z. B. 0,01%, 0,2% oder 1%), eine Parallele zur Hookeschen Geraden. Ihr Schnittpunkt mit der Abszisse des Koordinatensystems liefert den gesuchten Werkstoffkennwert (Bild 2.10). b) Spröde Werkstoffe bzw. sprödes Werkstoffverhalten Bei spröden Werkstoffen bzw. bei sprödem Werkstoffverhalten beobachtet man kein bzw. ein eingeschränktes plastisches Verformungsvermögen. Bei ideal sprödem Werkstoffverhalten (z. B. keramische Werkstoffe) verhält sich der Werkstoff linear-elastisch bis zum Bruch. Eine Abweichung vom linearelastischen Anstieg kann auf eine gewisse Plastizität hindeuten. Neben dem Elastizitätsmodul E ist die Zugfestigkeit R m der einzige Werkstoffkennwert (Bild 2.11). Eine Streck- bzw. Dehngrenze wird nicht ermittelt, Bruchdehnung und Brucheinschnürung sind Null. Der Zugversuch zeigt, dass sich duktile Werkstoffe vor dem Bruch mehr oder weniger ausgeprägt plastisch verformen, während ein spröder Werkstoff bereits nach relativ geringer, nahezu rein elastischer Verformung bricht. Bild 2.10 Prinzip der Ermittlung von Dehngrenzen im Feindehnungsdiagramm (hier: 0,01%- und 0,2%-Dehngrenze) Bild 2.11 Spannungs-Dehnungs-Verhalten eines spröden Werkstoffs Auf eine Konstruktion übertragen bedeutet dies, dass ein Bauteil aus einem duktilen Werkstoff entweder durch plastische Verformungen ( Fließen ) oder durch Bruch versagen bzw. funktionsunfähig werden kann. Für Bauteile aus einem spröden Werkstoff bzw. bei sprödem Werkstoffverhalten kommt als Versagensmöglichkeit nur ein Bruch in Frage. Die Festigkeitsberechnung, die ein solches Versagen ausschließen soll, muss sich dementsprechend nach den jeweils möglichen Versagensarten richten. Man führt daher bei duktilen Werkstoffen einen Festigkeitsnachweis gegen Fließen und Bruch durch, während man bei spröden Werkstoffen üblicherweise nur gegen Bruch rechnet. Für Festigkeitsnachweise muss die zulässige Spannung ggf. mit einem ausreichenden Sicherheitsabstand (Kapitel 2.1.3) unter demjenigen Werkstoffkennwert bleiben, der für die jeweilige Versagensart maßgebend ist. Für den Versagensfall Fließen ist dieser Kennwert unter Zugbeanspruchung die Streckgrenze R e bzw. die Dehngrenze R p (z. B. R p0,2 ).

3 2.1 Zug 13 Für den Versagensfall Bruch ist die Zugfestigkeit R m maßgebend. Erreicht also die wirkende Spannung σ im Bauteil die Festigkeitsgrenzen (Streck- bzw. Dehngrenze oder Zugfestigkeit) dann ist mit einem Versagen (plastisches Fließen oder Bruch) zu rechnen. In Tabelle 2.1 sind die maßgeblichen Werkstoffkennwerte aus dem Zugversuch tabellarisch zusammengestellt. Tabelle 2.1 Werkstoffkennwerte aus dem Zugversuch Kennwerte der Elastizität Verformungskennwerte Festigkeitskennwerte Elastizitätsmodul E Berechnung: E = Δσ / Δε Querkontraktionszahl µ dimensionslos Berechnung: µ = -ε q /ε l Bruchdehnung A Dimension: % oder dimensionslos Berechnung: A = (L u - L 0 ) / L 0 Brucheinschnürung Z Dimension: % oder dimensionslos Berechnung: Z = (A 0 A u ) / A 0 Zugfestigkeit R m Berechnung: R m = F m / A 0 Streckgrenze R e (R eh, R el ) Berechnung: R e = F e / A 0 Dehngrenze R p Ermittlung aus dem Feindehnungsdiagramm (Bild 2.10) Zulässige Spannung bei Zugbeanspruchung Mit einem Versagen ist zu rechnen, sobald die im Bauteil wirkende Spannung die Festigkeitsgrenzen erreicht. Bei der Festlegung der zulässigen Belastung wird man aus Sicherheitsgründen nicht bis an die Festigkeitsgrenzen (R e bzw. R p oder R m ) gehen, sondern man begrenzt die im Bauteil wirkenden Spannungen auf die zulässige Spannung σ zul. Die zulässige Spannung σ zul erhält man, indem man den jeweiligen Festigkeitskennwert (z. B. R e bzw. R p oder R m ) durch einen Sicherheitsbeiwert S dividiert. Mit Hilfe des Sicherheitsbeiwertes sollen alle Unsicherheiten einer Festigkeitsberechnung abgedeckt werden. Derartige Unsicherheiten sind beispielsweise: Lastannahmen (z. B. Belastungsschwankungen, tatsächliche Höhe der Beanspruchung), Werkstoffkennwerte (Gefügeinhomogenitäten, Werkstofffehler), Spannungsermittlung (Idealisierungen der Bauteilgeometrie). Die Höhe des Sicherheitsbeiwerts hängt ab von: Anzahl und Einfluss der auszugleichenden Unsicherheitsfaktoren, Gefährdungspotenzial das mit dem Erreichen der Grenzbeanspruchung verbunden ist, Folgen im Falle des Versagens. Wenngleich eine plastische Verformung in der Regel zum Verlust der Funktionsfähigkeit eines Bauteils führt, so kann der Sicherheitsbeiwert gegen plastische Verformung (Fließen) dennoch niedriger angesetzt werden, da sich ein Bruch durch mehr oder weniger ausgeprägte plastische Verformungen ankündigt (Zähbruch). Die Sicherheit gegen Bruch ist andererseits umso höher anzusetzen, je geringer die Verformungsfähigkeit des Werkstoffes ist, da sich der

4 14 2 Grundbelastungsarten Bruch bei einem spröden Werkstoff nicht durch nennenswerte plastische Formänderungen ankündigt (Sprödbruch). In Tabelle 2.2 sind Kennwerte zur Ermittlung der zulässigen Spannung unter Zugbeanspruchung sowie Sicherheitsbeiwerte zusammengestellt. Weitere Sicherheitsbeiwerte, wie sie in der FKM-Richtlinie [2] empfohlen werden, sind im Anhang 2 zusammengestellt. Tabelle 2.2 Kennwerte zur Bestimmung der zulässigen Spannung unter reiner Zugbeanspruchung Werkstoff bzw. Werkstoffzustand duktil Versagensart Werkstoffkennwert Sicherheitsbeiwert 1) Fließen R e bzw. R p0,2 S F = 1,2... 2,0 Bruch R m S B = 2,0... 4,0 spröde Bruch R m S B = 4,0... 9,0 1) Anhaltswerte, sofern keine einschlägigen Berechnungsvorschriften vorliegen. Zusammenfassend errechnet sich die zulässige Spannung σ zul unter Zugbeanspruchung wie folgt: Bauteile aus duktilen Werkstoffen bzw. duktiles Werkstoffverhalten Fließen: R Rp σ zul = bzw. mit S F = 1,2... 2,0 (2.11) S S e F F Bruch: Rm σ zul = mit S B = 2,0... 4,0 (2.12) S B Maßgebend für den Festigkeitsnachweis ist der niedrigere der beiden Werte für σ zul. Bauteile aus spröden Werkstoffen bzw. sprödes Werkstoffverhalten Bruch: Rm σ zul = mit S B = 4,0... 9,0 (2.13) S B

5 2.1 Zug Formänderung durch einachsige Normalspannung Mechanische Spannungen bewirken in einem deformierbaren Körper Formänderungen, die sich durch Längen- und/oder Winkeländerungen äußern können. Der Zusammenhang zwischen Formänderungen und Spannungen wird durch Stoffgesetze hergestellt Hookesches Gesetz Im Gültigkeitsbereich der Hookeschen Geraden besteht zwischen Normalspannung σ und Dehnung ε ein linearer Zusammenhang, der durch das Hookesche Gesetz ausgedrückt werden kann: σ = E ε Hookesches Gesetz bei einachsiger Beanspruchung (2.14) Die Gesetzmäßigkeit wurde erstmals 1678 von Robert Hooke ( ) veröffentlicht, allerdings als linearer Zusammenhang zwischen Belastung und Längenänderung elastisch beanspruchter Federn (ut tensio, sic vis = wie die Kraft, so die Streckung). Die Formulierung als linearer Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung (σ = E ε ) erfolgte erst 1727 durch Leonhard Euler ( ). Gleichung 2.14 gilt nur bei einachsiger Zug- oder Druckbeanspruchung. Bei mehrachsiger Beanspruchung muss das Hookesche Gesetz erweitert werden (Kapitel 5). Der Proportionalitätsfaktor E in Gleichung 2.14 wird als Elastizitätsmodul (kurz: E-Modul) bezeichnet und entspricht der Steigung der Hookeschen Geraden im Spannungs-Dehnungs- Diagramm (Bilder 2.5 und 2.6 sowie Bilder 2.9 bis 2.11). Der Elastizitätsmodul E hat innerhalb einer Werkstoffgruppe ähnliche Werte: Stähle und Stahlguss: E = N/mm 2 Al und Al-Legierungen: E = N/mm 2 Mg und Mg-Legierungen: E = N/mm 2 Die Elastizitätsmoduln wichtiger Konstruktionswerkstoffe finden sich im Anhang 1 (Werkstofftabellen). Anschaulich entspricht der Zahlenwert des Elastizitätsmoduls, wie bereits erwähnt, derjenigen Spannung mit der man einen Zugstab beanspruchen muss, um eine elastische Dehnung von 100% (also eine Verdoppelung der Ausgangslänge) zu erreichen. Es muss jedoch angemerkt werden, dass nahezu alle Werkstoffe bereits weit vorher eine plastische Verformung oder einen Bruch erleiden Nicht lineare Elastizität Das Hookesche Gesetz gilt nicht für alle Werkstoffe. Bei einigen Metallen und insbesondere bei nicht metallischen Werkstoffen, insbesondere den Kunststoffen, beobachtet man nicht lineare Elastizitätserscheinungen. Ein bekanntes Beispiel für nicht lineare Elastizität bei Metallen ist das Gusseisen mit Lamellengraphit, dessen Elastizitätsmodul E Bild 2.12 Nicht lineare Elastizität

6 16 2 Grundbelastungsarten in Abhängigkeit der Spannung N/mm 2 bis N/mm 2 betragen kann. Unter Zugbeanspruchung sinkt der Elastizitätsmodul aufgrund lokaler Plastifizierung an den Enden der Graphitlamellen. Unter Druckbeanspruchung verhält sich der Werkstoff hingegen über weite Spannungsbereiche linear-elastisch, d. h. der Elastizitätsmodul ist konstant. Bei nicht linearer Elastizität wird als Maß für den Elastizitätsmodul entweder die Anfangssteigung oder die Steigung (Tangente) der Kurve in einem bestimmten Kurvenpunkt angegeben (Bild 2.12) Poissonsches Gesetz Die Zugbeanspruchung eines elastischen Körpers führt nicht nur zu einer Längenänderung (ΔL) bzw. zu einer Dehnung in Beanspruchungsrichtung (ε bzw. ε l ), sondern auch zu einer Verformung in Querrichtung. Eine Zugspannung führt dementsprechend zu einer Längenzunahme bei gleichzeitiger Querkontraktion (Stab wird länger und dünner), eine Druckbeanspruchung hingegen zu umgekehrten Verhältnissen. Die Formulierung dieser Gesetzmäßigkeit geht auf den französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson ( ) zurück und wird als Poissonsches Gesetz bezeichnet: ε = μ Poissonsches Gesetz (2.15) q ε l Die dimensionslose Werkstoffkonstante µ (mitunter auch ν) wird als Querkontraktionszahl oder Querzahl bezeichnet. Den Kehrwert m = 1/µ nennt man Poisson-Zahl. Das negative Vorzeichen berücksichtigt, dass eine Längsdehnung (Zugbeanspruchung) mit einer Querstauchung bzw. eine Längsstauchung (Druckbeanspruchung) mit einer Querdehnung einhergeht. Die Querkontraktionszahl kann im Zugversuch ermittelt werden, falls spezielle Querdehnungsaufnehmer eingesetzt werden (Kapitel 2.1.2). Die Querkontraktionszahl kann Werte zwischen µ = 0 (keine Querdehnung) und µ = 0,5 (inkompressibler Werkstoff) annehmen. Für Metalle findet man bei linear-elastischem Verhalten: 0,25 µ 0,40. Häufig wird mit den folgenden Werten gerechnet: Beton: µ 0 Stähle und Stahlguss: µ = 0,30 Gusseisen mit Lamellengraphit: µ = 0, ,27 Al und Al-Legierungen: µ = 0,33 Mg und Mg-Legierungen: µ = 0,35 Kupfer: µ = 0,34 Zink: µ = 0,39 Elastomere: µ 0,5

7 2.1 Zug Aufgaben Aufgabe 2.1 Ein Zugstab aus Vergütungsstahl 34CrMo4 mit Kreisringquerschnitt (d a = 25 mm, s = 2,5 mm) und einer Länge von l 0 = 1,2 m (im unbelasteten Zustand) wird durch eine mittig angreifende statische Kraft von F = 60 kn auf Zug beansprucht. Werkstoffkennwerte 34CrMo4: R p0,2 = 680 N/mm 2 R m = 1050 N/mm 2 E = N/mm 2 µ = 0,0 a) Ermitteln Sie die Normalspannung im Zugstab. b) Berechnen Sie die Sicherheiten gegen Fließen (S F ) und gegen Bruch (S B ). Sind die Sicherheiten ausreichend? c) Bestimmen Sie die Verlängerung Δl des Zugstabes bei der angegebenen Belastung. d) Die Verringerung des Außendurchmessers (Δd a ) soll auf 0,01 mm begrenzt werden. Ermitteln Sie für diesen Fall den zulässigen Wert der Zugkraft F. e) Eine zweite Variante des Zugstabes aus derselben Stahlsorte (34CrMo4) soll eine Zugkraft von F* = 150 kn aufnehmen. Berechnen Sie die erforderliche Wandstärke s, falls der Außendurchmesser unverändert bleiben soll (d a = 25 mm) und eine Sicherheit von S F = 1,4 gegenüber Fließen gefordert wird. Aufgabe 2.2 Ein Zugstab mit Vollkreisquerschnitt und einer Länge von l 0 = 1500 mm aus Vergütungsstahl C35E (R e = 430 N/mm 2 ; R m = 630 N/mm 2 ; E = N/mm 2 ) soll als Zuganker verwendet werden. Der Stab muss eine statische Betriebskraft von F = N aufnehmen. a) Ermitteln Sie den erforderlichen Durchmesser d des Zugstabes, damit die Betriebskraft mit Sicherheit aufgenommen werden kann (S F = 1,5 und S B = 2,0). b) Berechnen Sie für die Betriebskraft von F = N die Dehnung ε sowie die Verlängerung Δl des Zugstabes. c) Bestimmen Sie diejenige statische Zugkraft F B, die zu einem Bruch des Zugstabes führt.