Kompendium Festigkeitsberechnung

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1 Kompendium Festigkeitsberechnung Erstellt von Daniel Schäfer 2014 Betreuer Prof. Dr. Ing. Manfred Reichle

2 Inhalt 1. Einleitung Aufgaben der Festigkeitsrechnung Größen in der Festigkeitsrechnung Mechanische Spannung Werkstoffkennwerte Sicherheitsbeiwert Grundbelastungsarten Zugbeanspruchung Druckbeanspruchung Beanspruchung auf Biegung Schubbeanspruchung Torsionsbeanspruchung Allgemeiner Spannungszustand Spannung an schrägen Schnitten Mohrscher Spannungskreis Festigkeitshypothesen Normalspannungshypothese (NH) Schubspannungshypothese (SH) Gestaltungsänderungsenergiehypothese (GEH) Weitere Belastungsarten

3 4.1 Euler sche Knickung von Stäben Pressung Verzeichnisse Literaturverzeichnis Abbildungsverzeichnis Anhang A. Werkstoffkennwerte verschiedener Stähle B. Werkstoffkennwerte verschiedener Gusseisensorten C. Beanspruchungsarten und Spannungen D. Übersicht Elastizitätsmodule E. Flächenträgheits- und Widerstandsmoment - Biegung F. Belastungsfälle Biegung

4 Einleitung Aufgaben der Festigkeitsrechnung 1. Einleitung Dieses Kompendium der Festigkeitslehre soll einem Studenten der Mechatronik das selbstständige Erlernen der in der Praxis relevanten Grundlagen zur Berechnung und Auslegung von Werkstücken und Bauteilen ermöglichen. Dabei wird auf eine detaillierte mathematische Herleitung in den meisten Fällen verzichtet und die in der Praxis verwendeten Lösungen und Vorgehensweisen vorgestellt. Die Lösung von Aufgaben soll mit der Hilfe der Tabellenwerke im Anhang und den verwendeten Gleichungen in den Beispielrechnungen möglich sein. 1.1 Aufgaben der Festigkeitsrechnung Die Hauptaufgabe der Festigkeitsrechnung ist die Beantwortung einer simplen Fragen: Ist ein Bauteil gegenüber seinen Beanspruchungen sicher ausgelegt? Aus dieser Frage können weitere Fragen abgeleitet werden: Wie groß ist die Sicherheit gegenüber einem Bauteilversagen? Welcher Werkstoff erfüllt das Sicherheitskriterium am besten? Ist das Bauteil über- oder unterdimensioniert? Das allgemeine Vorgehen bei der Festigkeitsberechnung zum Beantworten dieser Fragen kann der Abbildung 1 entnommen werden. 4

5 Einleitung Aufgaben der Festigkeitsrechnung Abbildung 1 Allgemeine Vorgehensweise in der Festigkeitslehre 1 1 entnommen aus: (Läpple, 2008) 5

6 Einleitung Größen in der Festigkeitsrechnung 1.2 Größen in der Festigkeitsrechnung Mechanische Spannung Mechanische Spannung innerhalb eines Werkstückes entsteht durch eine Beanspruchung. Diese kann verschiedene Gründe, wie z. B. eine Kraft, ein Moment oder auch eine Temperaturänderung haben. 2 Weiterhin hängt die mechanische Spannung auch von der Geometrie des Bauteils, insbesondere der Querschnittsfläche ab. Als Formelzeichen wird je nach Beanspruchungsart für Zug, Druck und Biegung oder für Beanspruchungen Torsion und Schub verwendet. Die Einheit der mechanischen Spannung ist. In der praktischen Festigkeitslehre wird i. d. R. das Prinzip von St. Vernant angewendet. Dieses ist eine Vereinfachung, bei der Spannungen innerhalb eines Bauteils nur ab einer gewissen Entfernung zum Krafteinleitungspunkt betrachtet werden und somit davon ausgegangen werden kann, dass diese über den gesamten Bauteilquerschnitt gleich verteilt sind Werkstoffkennwerte Um die Festigkeit eines Werkstückes zu bestimmen, müssen zwingend die Werkstoffkennwerte des verwendeten Werkstoffes bekannt sein. Diese können z. B. durch einen Zugversuch ermittelt und aus einem Spannungs- Dehnungsdiagramm abgelesen werden. Ein solches Diagramm für einen Stahl ist in Abbildung 2 dargestellt. 2 Vgl. (Läpple, 2008), Seite 1 3 Vgl. (Dankert & Dankert, 2013), Seite 170 6

7 Einleitung Größen in der Festigkeitsrechnung Das Spannungs-Dehnungsdiagramm besteht aus 4 Bereichen: Abbildung 2 Spannungsdehnungsdiagramm Stahl 4 1. Hook scher Bereich Im Hook schen Bereich steigt die Kurve im Diagramm annäherungsweise linear an. Dies ist der Bereich der elastischen Verformung, d. h. wenn auf den Werkstoff eine Kraft wirkt wird das Werkstück gedehnt, beim Nachlassen der Kraft zieht es sich wieder zusammen. Den Punkt am Ende der Hook schen Gerade, ab dem die Kennlinie nicht mehr linear ist, bezeichnet man als Streckgrenze. Dieses ist in der Festigkeitsberechnung in den meisten Fällen der wichtigste Kennwert, da ein Bauteil so ausgelegt werden muss, dass die Beanspruchung geringer ist als die Streckgrenze. Einige Werkstoffe besitzen keine klar erkennbare 4 entnommen aus: (bs-wiki.de, 2013), Artikel zum Zugversuch 7

8 Einleitung Größen in der Festigkeitsrechnung Streckgrenze. Für diese wird als Werkstoffkennwert die Spannung gewählt, bei der die bleibende plastische Verformung 0,2% beträgt. Dieser Wert wird mit, bezeichnet. 2. Fließbereich Der Fließbereich zeichnet sich durch eine konstante Spannung in der Zugprobe aus, d. h. die Dehnung steigt bei einer gleichbleibenden Kraft, die unterhalb der Kraft an der Streckgrenze liegt, an: der Werkstoff fließt. 3. Verfestigungsbereich Um den Werkstoff [ ] weiter zu verformen, bedarf es wieder einer Steigerung der Kraft, der Werkstoff verfestigt sich. 5 Die Kennlinie flacht dabei ab und erreicht einen Höhepunkt. Dieser Punkt wird als Zugfestigkeit bezeichnet und als Werkstoffkennwert angegeben. 4. Bereich der Einschnürung In diesem Bereich fällt die Kennlinie ab, da sich die Zugprobe einschnürt, bis es schließlich zum Bruch kommt. Die verschiedenen Bereiche des Spannungs-Dehnungs-Diagramms haben bei verschiedenen Werkstoffen verschiedene Ausprägungen. So ist zum Beispiel für Gusseisen kennzeichnend, dass es sich plastisch praktisch nicht verformt, d. h. die Bereiche 2. bis 4. sind nicht vorhanden und es kommt nach der elastischen Dehnung direkt zum Bruch. Werkstoffe mit diesem Verhalten werden als spröde bezeichnet. Kunststoffe verfügen dem gegenüber über einen sehr ausgeprägten plastischen Verformungsbereich, die Phasen 2. bis 4. sind entsprechend lang. Werkstoffe mit diesem Verhalten, zu denen auch Stahl gerechnet wird, werden als duktil oder zäh bezeichnet. Eine Übersicht über die verschiedenen Typen von Spannungsdehnungsdiagrammen und deren typischen Vertretern sind in Abb. 3 dargestellt. 5 (Dietmann, 1992), S.13 8

9 Einleitung Größen in der Festigkeitsrechnung Abbildung 3 Typen von Spannungsdehnungsdiagrammen Teil 1 Abbildung 4 Typen von Spannungsdehnungsdiagrammen Teil 2 9

10 Einleitung Größen in der Festigkeitsrechnung Abbildung 5 Typen von Spannungsdehnungsdiagrammen Teil 3 6 Für die Festigkeitsberechnung lässt sich neben der Streckgrenze noch ein weiterer wichtiger Werkstoffkennwert aus dem Diagramm ablesen: Der Elastizitätsmodul E. Es gilt: Der Werkstoff ist umso elastischer, d.h. seine elastische Dehnung ist bei gleicher Spannung umso größer, je kleiner E ist: (1.1) 6 Teilabbildungen 3 bis 5 entnommen aus: (Läpple, 2008) 10

11 Einleitung Größen in der Festigkeitsrechnung Oder umgekehrt gesagt: Je größer der E-Modul, desto steifer ist der Werkstoff. 7 Für Stahl ist ein E-Modul zwischen 200 und 210 kennzeichnend. Die E-Module weiterer gebräuchlicher Werkstoffe können Anhang D entnommen werden Sicherheitsbeiwert Der Sicherheitsbeiwert beschreibt, wie stark ein Werkstoff maximal belastet werden sollte, damit kein unnötiges Risiko von Werkstoffversagen besteht. Man unterscheidet dabei zwischen der Sicherheit gegenüber dem Fließen des Werkstoffes und der Sicherheit gegen über dem Bruch. Der Sicherheitsbeiwert ist abhängig von dem gewählten Werkstoff, insbesondere von dessen plastischen Verhalten: handelt es sich um einen zähen Werkstoff, etwa Stahl, dann kann die Sicherheit gegenüber dem Fließen bestimmt werden. Der zugehörige Sicherheitsbeiwert liegt je nach Anwendung zwischen 1,2 und 2,0. Eine Sicherheit von 2,0 bedeutet, dass die Spannung im Bauteil maximal 50% der Streckgrenze des Werkstoffes erreichen darf. Wird mit einem spröden Werkstoff gearbeitet, bei dem es keine plastische Verformung gibt, dann muss mit einer Sicherheit gegenüber Werkstückbruch gerechnet werden. Da die Gefahren, die durch einen Werkstückbruch entstehen wesentlich höher sind als die Gefahren durch ein plastisch verformtes Werkstück, wird der Sicherheitsbeiwert entsprechend höher angesetzt. Er liegt Anwendungs- und Werkstoffabhängig zwischen 3,0 und 9,0. 7 (Dietmann, 1992), S15 11

12 Einleitung Größen in der Festigkeitsrechnung Eine kurze Übersicht über die Sicherheitsbeiwerte wird in folgender Tabelle gegeben: Werkstoff Versagensart Maßgebender Werkstoffkennwert Sicherheitsbeiwert zäh Fließen 1,22 Bruch 23 spröd Bruch 49 Tabelle 1 Sicherheitsbeiwerte 8 8 (Dietmann, 1992), S19 12

13 Grundbelastungsarten Zugbeanspruchung 2. Grundbelastungsarten Im Allgemeinen wird in der Festigkeitsberechnung versucht die an einem Werkstück wirkenden äußeren Beanspruchungen auf fünf Grundbelastungen zurückzuführen. Diese können überlagert werden um die realen Beanspruchungen zu modellieren. Einen Überblick über die Grundbelastungsarten bietet folgende Tabelle: Tabelle 2 Übersicht Grundbelastungsarten Zugbeanspruchung Bei der Definition der Werkstoffgrößen wurde bereits auf den Zugversuch eingegangen: Ein gerader prismatischer Stab wird an beiden Enden mit einer Zugkraft beaufschlagt. Dabei entsteht eine mechanische Spannung im Werkstoff. Diese ist abhängig von dem Durchmesser der Zugprobe und der wirkenden Kraft. 9 entnommen aus: (Läpple, 2008) 13

14 Grundbelastungsarten Zugbeanspruchung Die Zugspannung, mit dem Buchstaben (kleines Sigma) bezeichnet, berechnet sich nach der Gleichung (2.1) Dabei ist F die wirkende Kraft in Zugrichtung und der kleinste Querschnitt des Stabes. Zur sicheren Auslegung eines Werkstückes unter Zugkrafteinwirkung muss die Streckgrenze, bzw. bei spröden Werkstoffen die Zugfestigkeit, und der Sicherheitsbeiwert mit einbezogen werden. Für die zulässige Zugspannung gilt: (2.2) Beispiel: Ein runder prismatischer Stab, der auf einer Seite fest eingespannt ist, wird mit der Gewichtskraft einer Masse m belastet. Als Material des Stabes wird der Stahl S235 mit der Streckgrenze verwendet. Die an dem Stab befestigte Masse beträgt 100. Die Eigenmasse des Stabes soll nicht berücksichtigt werden. Masse Die Sicherheit gegen Fließen soll 1,5 betragen. Es ist der minimale Durchmesser d des Stabes zu berechnen, bei dem die Sicherheit ausreichend ist. Lösung: 10 vgl. Anhang A 14

15 Grundbelastungsarten Druckbeanspruchung 4 Somit muss für den Stab gelten: 4 Da der Durchmesser gesucht ist, muss die Ungleichung aufgelöst werden: 4 Durch das Einsetzen von 100, 9,81, 1,5 und ergibt sich: 100 9,81 1,5 2, Bei einem Durchmesser von 3 ist der Stab also mit einer Sicherheit von 1,5 dimensioniert. 2.2 Druckbeanspruchung Die Druckbeanspruchung kann als Zugbeanspruchung mit umgekehrten Vorzeichen betrachtet werden. 11 Auch bei der Druckbeanspruchung entsteht 11 (Dietmann, 1992), S.22 15

16 Grundbelastungsarten Druckbeanspruchung bei zähen Werkstoffen im Spannungsdehnungsdiagramm eine Hook sche Gerade, die in der Regel mit der Gerade bei Zugbeanspruchung übereinstimmt. Daher kann auch bei Druckbeanspruchung die Streckgrenze als Werkstoffkennwert verwendet werden. Wird ein zäher Werkstoff unter Druck plastisch verformt, kommt es meistens nicht zu einem Bruch. Dennoch führt eine starke Verformung bei vielen Anwendungen häufig zu einer Funktionsbeeinträchtigung. Daher werden zähe Werkstoffe in der Festigkeitsberechnung mit einer Sicherheit gegen Fließen berechnet. Es gilt: (2.3) Spröde Werkstoffe zeigen unter Druckbeanspruchung ein anderes Verhalten. Die Kennlinie im Spannungsdehnungsdiagramm steigt deutlich stärker an als bei Zugbeanspruchung. Es kommt jedoch auch unter Druck zu einem Werkstoffversagen, meist durch einen Bruch. Die Spannung, bei der es zum Bruch kommt wird als Druckfestigkeit bezeichnet. Die Druckfestigkeit ist wesentlich größer als die Zugfestigkeit. Für Gusseisen gilt z. B. näherungsweise: 4 Auf Grund der hohen Druckfestigkeit werden bei reiner Druckbeanspruchung bevorzugt spröde Werkstoffe eingesetzt. Diese werden mit einer Sicherheit gegen Bruch berechnet. Somit gilt für spröde Werkstoffe: (2.4) Beispiel: Ein Werkstück aus Stahl (S235, 235 ) und ein Werkstück aus Grauguss (EN-GJS , 350 ) werden mit einer identischen 16

17 Grundbelastungsarten Beanspruchung auf Biegung Druckkraft von 10 beaufschlagt. Beide Werkstücke sind Würfel mit einer Kantenlänge von 10. Die Sicherheit gegen Werkstückversagen soll für die beiden Würfel berechnet werden. S235 EN-GJS ,35 14 Man erkennt, dass die Sicherheit gegenüber Werkstückversagen unter Druckbeanspruchung bei dem Gusswerkstoff EN-GJS wesentlich größer ist, als bei Baustahl. 2.3 Beanspruchung auf Biegung Bei einer Biegung wird ein Werkstück mit einem Biegemoment beansprucht. Dieses entsteht, wenn ein gelagertes oder eingespanntes Werkstück in einem Abstand mit einer Kraft normal zu seiner Hauptachse beaufschlagt wird. Aus 17

18 Grundbelastungsarten Beanspruchung auf Biegung dem Moment resultieren im Werkstück sowohl Zug- als auch Druckkräfte. Diese verteilen sich um eine sogenannte neutrale Faser, die in der Mitte des Werkstücks verläuft. Abbildung 6 Spannungen in einem durch Biegung beanspruchten Stab 12 Man erkennt aus Abbildung 6, dass die Spannung mit steigendem Abstand von der neutralen Faser größer wird. Das Integral über alle Spannungen innerhalb des Querschnittes des Werkstückes ergibt wiederum das wirkende Moment. (2.5) Da das Werkstück durch dieses Moment elastisch verformt wird, kann angenommen werden, dass die neutrale Faser auf einem Kreisbogen mit dem Radius liegt. Mit dieser Annahme und der dem Hook schen Gesetz (vgl. Gleichung (1.1)), kann die Gleichung (2.5) vereinfacht werden zu: (2.6) 12 (Läpple, 2008) 18

19 Grundbelastungsarten Beanspruchung auf Biegung Der Ausdruck wird dabei als axiales Flächenmoment 2. Ordnung bezeichnet. 13 Dieser Ausdruck kann für komplexe Geometrien schwierig zu berechnen sein und wird daher in der Praxis aus Tabellen entnommen. Der Biegeradius kann in der Praxis selten ermittelt werden. Daher über die Spannungsverteilung innerhalb des Stabes die Gleichung (2.6) umgeformt zu: (2.7) Aus Abbildung 6 erkennt man, dass die Spannung im Stab am Rand am größten ist. Da für die Festigkeitsberechnung nur die maximale Spannung interessiert, gilt für die Biegespannung: (2.8) Der Ausdruck ist für ein Bauteil ebenso charakteristisch wie das axiale Flächenmoment. Daher wird in der Festigkeitsberechnung das axiale Widerstandsmoment gegen Biegung definiert mit: (2.9) Somit ergibt sich die Grundgleichung zur Spannungsermittlung bei Biegung: (2.10) Die Einheit des Widerstandsmoments wird i. d. R. mit, manchmal auch mit oder angegeben. Das Widerstandsmoment hängt sehr stark von der Form des Trägers ab. So hat z. B. ein T-Träger bei gleicher Querschnittsfläche ein wesentlich größeres Widerstandsmoment als ein Träger mit Rechteckprofil. Die Gleichungen für die Widerstandsmomente und axialen Flächenmomente verschiedener Träger sind im Anhang E aufgelistet. 13 (Läpple, 2008) 19

20 Grundbelastungsarten Beanspruchung auf Biegung Soll die Sicherheit eines Werkstückes berechnet werden, das auf Biegung beansprucht wird, so gilt mit Gleichung (2.10) für einen zähen Werkstoff: (2.11) Das Biegemoment hängt sowohl von der wirkenden Kraft, als auch von der Krafteinleitungsstelle und der Lagerung ab. Der einfachste Fall einer Biegung ist ein Träger, der auf einer Seite fest eingespannt ist und auf der anderen Seite mit einer Kraft beaufschlagt wird. Hier kann das Moment einfach mit der Gleichung berechnet werden. Sobald eine weitere Lagerstelle verwendet wird, entstehen Momente, deren Herleitung komplexer ist. Eine Auswahl verschiedener Biegebeanspruchungen kann dem Anhang F entnommen werden. 20

21 Grundbelastungsarten Beanspruchung auf Biegung Berechnungsbeispiel: An einem Träger mit der freien Länge 300 ist am Ende eine Seilrolle befestigt. Eine Masse 1000 hängt an einem Seil das über die Seilrolle verläuft und wird in konstanter Höhe gehalten. Der Träger sei aus dem Stahl E295 gefertigt. Das Eigengewicht von Seilrolle und Träger könne vernachlässigt werden. Es soll das Widerstandsmoment berechnet werden, bei dem die Sicherheit gegen Fließen mindestens 1,8 beträgt. Lösung: Gleichung (2.11): Das Moment, das durch die Seilkräfte erzeugt wird, beträgt: 2 Somit gilt: 2 Einsetzen der Größen ergibt: , , ,5 Mit diesem Wert kann nun aus Tabellen (vgl. Anhang E) ein Trägerprofil ausgesucht werden. Möglich wäre zum Beispiel ein quadratisches Rechteckprofil mit einer Kantenlänge von 70 und einer Wandstärke von 10 mm: ,5 ³ 21

22 Grundbelastungsarten Schubbeanspruchung 2.4 Schubbeanspruchung Eine Schubbeanspruchung, im Fall einer plastischen Verformung auch Scherung genannt, tritt auf, wenn an einem Werkstück relativ nah beieinander zwei entgegengesetzte Kräfte wirken. Dies tritt zum Beispiel bei einem kurzen Balken auf, auf den eine Kraft wirkt und der durch ein Lager eine rückstellende Kraft erfährt. F Abbildung 7 Schubkraft auf kurzen Balken Aus dieser Kraft resultiert eine Schubspannung. Diese verläuft, anders als bei Zug- oder Druckbeanspruchung, nicht orthogonal zur Schnittfläche, sondern liegt in deren Ebene. Dies wird in Abbildung 8 deutlich: Die Zugspannung verursachende Kraft verläuft senkrecht zur Schnittfläche A, die Schubspannung verursachende Kraft liegt parallel zu dieser. 22

23 Grundbelastungsarten Schubbeanspruchung Abbildung 8 Unterschied Zug- und Schubbeanspruchung Die Schubspannung wird daher nicht mit sondern mit bezeichnet und kann näherungsweise mit der Gleichung (2.12) angegeben werden, wobei F die wirkende Kraft und A die Querschnittsfläche des Werkstücks in Kraftrichtung ist. Zu beachten ist, dass bei einer Scherung an mehr als einer Stelle die Querschnittsfläche mit der entsprechenden Anzahl multipliziert werden muss (siehe Beispielrechnung). Die Scherfestigkeit eines Werkstücks kann mit der Faustformel 0,65 0,75 (2.13) berechnet werden. Da das Abscheren einen Bruch bedeutet, ist mit einem Sicherheitsbeiwert gegen Bruch zu rechen. Somit ergibt sich die zulässige Schubspannung:, (2.14) 23

24 Grundbelastungsarten Schubbeanspruchung Beispiel: Ein Bolzen in einer Gabel wird mit einer Kraft 10 beaufschlagt. Sowohl Gabel als auch Bolzen seien aus Stahl (E295) gefertigt. Es ist der minimale Durchmesser des Bolzens zu berechnen, für den die Sicherheit gegen Bruch mindestens 2,5 beträgt. F/2 F/2 d F Abbildung 9 Gabel mit Bolzen 24

25 Grundbelastungsarten Schubbeanspruchung Lösung: Da es zwei Scherflächen gibt, muss mit der doppelten Querschnittsfläche des Bolzens gerechnet werden: ,7 Auflösen nach d ergibt: ,5 0,7 0, ,779 9 Bei einem Bolzendurchmesser von 9 mm liegt die Sicherheit gegenüber Abscherung bei über 2,5. 25

26 Grundbelastungsarten Torsionsbeanspruchung 2.5 Torsionsbeanspruchung Eine Beanspruchung auf Torsion entsteht, wenn an einem Werkstück ein Kräftepaar angreift, das parallel zur Querschnittsfläche eines Körpers verläuft und ein Moment um dessen Hauptachse erzeugt. Abbildung 10 Kräfte bei Torsionsbeanspruchung Dies führt zu einem schraubenförmigen Verdrehen der Querschnittsflächen des Werkstücks zueinander. Die im Werkstück entstehenden Spannungen liegen in der Querschnittsebene und sind demzufolge Schubspannungen. Die Hauptachse, um die das Moment wirkt, ist spannungsfrei und nach außen hin nimmt das Moment nach linear zu. Somit ergibt sich der in Abbildung 11 dargestellte Spannungsverlauf innerhalb des Werkstücks. Das wirkende Torsionsmoment kann mit dem Integral über die Schubspannungen berechnet werden: (2.15) Analog zur Herleitung des Biegemoments und des Widerstandsmoments gegen Biegung (vgl. Kapitel 2.3) kann über den Verdrehwinkel, der Länge der Achse und dem sogenannten Schubmodul G, einer Werkstoffkonstanten, hergeleitet werden. Dabei ergibt sich die Gleichung: (2.16) 26

27 Grundbelastungsarten Torsionsbeanspruchung Abbildung 11 Schubspannungen unter Torsionsbeanspruchung Der Ausdruck bezeichnet das sogenannte polare Flächenmoment 2. Ordnung 14. Dieses ist, wie das axiale Flächenmoment 2. Ordnung eine Größe, die meist aus Tabellen entnommen wird. Gleichung (2.16) lässt sich wiederum analog zur Herleitung in Kapitel 2.3 als Ausdruck der Schubspannung aufschreiben: (2.17) Da wiederum für die Festigkeitsberechnung nur die maximale Schubspannung interessiert, die, wie man in Abbildung 11 erkennt, am äußeren Rand anliegt. Somit ergibt sich für die Torsionsspannung : (2.18) 14 (Läpple, 2008) 27

28 Grundbelastungsarten Torsionsbeanspruchung Dies führt zur Definition des Widerstandsmoments gegen Torsion mit der Einheit : (2.19) Somit gilt für die maximale Torsionsschubspannung in einem Werkstück: (2.20) Eine Tabelle mit den polaren Flächenmoment 2. Ordnung und dem Widerstandsmoment gegen Torsion verbreiteter Profilformen befindet sich im Anhang G. Die zulässige maximale Torsionsspannung hängt vom verwendeten Werkstoff ab. Die zu verwendenden Kenngrößen und Sicherheitsbeiwerte können Tabelle 3 entnommen werden. Tabelle 3 Werkstoffkennwerte bei Torsionsbeanspruchung Die Sicherheit gegen Fließen wird mit der Gleichung und die Sicherheit gegen Bruch mit (2.21) (2.22) berechnet. Wenn die Werkstoffkennwerte und nicht vorliegen, können die Ersatzwerte nach Tabelle 3 verwendet werden. 28

29 Grundbelastungsarten Torsionsbeanspruchung Beispielrechnung Torsion Ein Rundstab der Länge 1 m aus dem Stahl S235 ist auf einer Seite fest eingespannt. Auf der anderen Seite ist eine kreisförmige Scheibe mit dem Durchmesser 250 angebracht. An dieser greifen tangential 2 Kräfte mit dem Betrag von 300 an. Es soll der notwendige Mindestdurchmesser des eingespannten Stabes bestimmt werden. Abbildung 12 Beispielrechnung Torsion Lösung: Zunächst wird das angreifende Moment berechnet: 2 2 Für den kreisförmigen Vollstab wird aus Anhang E die Gleichung für das Widerstandsmoment gegen Torsion entnommen: Aus Gleichung (2.21) folgt damit: Es wird die Sicherheit gegen Fließen berechnet, da es sich um einen zähen Werkstoff handelt und die Sicherheit gegen Bruch damit in jedem Fall gewährleistet ist. Nach Tabelle 3 wird der Ersatzwert für die Schubspannung eingesetzt, bei der Fließen auftritt: 0,5 0, ,5 Die Streckgrenze wird aus Anhang A unter der Annahme entnommen, dass der Durchmesser des Stabes kleiner als 40 mm ist. Diese Annahme muss nach der Berechnung gegengeprüft werden. Als Sicherheitsbeiwert wird 1,5 gewählt. Damit ergibt sich: 29

30 Grundbelastungsarten Torsionsbeanspruchung ,5 1, ,2 Es wird ein Wellendurchmesser von 18 mm gewählt. Damit ist sichergestellt, dass die Welle für die Torsionsbeanspruchung sicher ausgelegt ist. Die Annahme, dass der Wellendurchmesser kleiner als 40 mm ist, trifft zu, somit wurde auch die richtige Streckgrenze der Tabelle im Anhang entnommen. 30

31 Allgemeiner Spannungszustand Spannung an schrägen Schnitten 3. Allgemeiner Spannungszustand Bei der Betrachtung der Grundbelastungsarten wurde davon ausgegangen, dass die angreifenden Kräfte nur zu eindeutig bestimmten Spannungen führten. Im Folgenden soll der allgemeine Spannungszustand betrachtet werden. Das bedeutet, dass diese Einschränkung nicht mehr gilt und die verschiedenen Beanspruchungsarten überlagert auftreten können. 3.1 Spannung an schrägen Schnitten Im Kapitel 2.1 wurde ein Stab betrachtet, in dem unter Zugkraft die Spannungen gerade durch das Werkstück geleitet wurden. Nun wird ein Stab betrachtet, an dem die Kraft an einer schrägen Fläche angreift. Abbildung 13 Kräfte am schrägen Schnitt Aus Gleichgewichtsgründen muss eine Komponente der Kraft normal zur Schnittfläche und eine Komponente tangential zur Schnittfläche verlaufen. 31

32 Allgemeiner Spannungszustand Mohrscher Spannungskreis Wenn die ursprüngliche Schnittfläche und die schräge Schnittfläche zusammen den Winkel einschließen, gilt für die Kraftkomponenten und die neue Schnittfläche: cos (3.1) sin (3.2) (3.3) Mit diesen Gleichungen entsteht aus der Normalkraft die Normalspannung : ² (3.4) Der Anteil entspricht dabei der Spannung, der Zugspannung, die in Kapitel 2.1 berechnet wurde. Es gilt für die Normalspannung am schrägen Schnitt: ² (3.5) Ähnlich kann aus der tangentialen Komponente die Schubspannung am schrägen Schnitt ermittelt werden: sin cos sin 2 (3.6) 3.2 Mohrscher Spannungskreis Die in Kapitel 3.1 berechneten Normal- und Schubspannungen sind abhängig von dem Schnittwinkel. Diesen Zusammenhang kann man deutlich machen, indem man die Spannungen in einer -Ebene über dem Winkel aufträgt. 32

33 Allgemeiner Spannungszustand Mohrscher Spannungskreis Dazu werden die Gleichungen (3.5) und (3.6) zunächst quadriert, dann die Komponenten addiert und die entstehende Gleichung mit Hilfe trigonometrischer Funktionen umgeformt. Schließlich ergibt sich der Ausdruck: (3.7) Dieser Ausdruck entspricht in einem -Koordinatensystem einem Kreis. Dieser Kreis wird als Mohrscher Spannungskreis bezeichnet. Abbildung 14 Mohrscher Spannungskreis bei Zugbeanspruchung Sein Mittelpunkt liegt im Punkt 0 und der Radius beträgt. Jeder Punkt auf der Kreisbahn entspricht einer Paarung von Normalspannung und Schubspannung. So kann man direkt erkennen, dass die Normalspannung bei einem Winkel von 0 maximal und bei einem Winkel von 180 minimal ist. Diese Extrema werden auch als die Hauptspannungen und ihre Richtungen als 33

34 Allgemeiner Spannungszustand Festigkeitshypothesen Hauptspannungsrichtungen bezeichnet. Die Schubspannungen werden für einen Winkel von 45 zu diesen Hauptspannungsrichtungen maximal. Der Mohrsche Spannungskreis kann auch gezeichnet werden, wenn Kräfte in mehr als eine Richtung wirken. In diesem Fall wird der Mittelpunkt des Kreises verschoben. Die Gleichung des Spannungskreises für 2-dimensionale Beanspruchung lautet: (3.8) Dabei sind und die Spannungen, die wirkenden Kräfte verursacht werden. Durch diesen Kreis sind die Spannungen an jedem Punkt einer 2- dimensionalen Scheibe eindeutig bestimmt. 3.3 Festigkeitshypothesen Es kann unter Umständen sehr aufwändig sein den Mohrschen Spannungskreis für ein Bauteil zu bestimmen und damit die maximal auftretenden Spannungen zu bestimmen. Daher wurden für die praktische Festigkeitsberechnung sogenannte Festigkeitshypothesen entwickelt. Mit diesen werden die mit Hilfe der Grundbeanspruchungen bestimmten Spannungen über Näherungsgleichungen in eine Vergleichsspannung umgerechnet, die dem Ergebnis eines Zugversuches entspricht. Daher muss für die Vergleichsspannung immer gelten: (3.9) Es wurden für verschiedene Werkstoffe verschiedene Festigkeitshypothesen entwickelt Normalspannungshypothese (NH) Die Normalspannungshypothese wird auf spröde Werkstoffe angewendet. Sie geht davon aus, dass die wichtigste Beanspruchung durch die betragsmäßig größte Normalspannung entsteht. Im Mohrschen Spannungskreis entspricht 34

35 Allgemeiner Spannungszustand Festigkeitshypothesen diese immer der größten Hauptspannung, also dem Schnittpunkt mit der - Achse, der am weitesten rechts liegt. Für ein 2-dimensionales System gilt somit für die Vergleichsspannung: ² (3.10) Eine Umformung dieser Gleichung für den häufigen Fall, dass eine Biegung mit einer Torsion überlagert wird, lautet: ² (3.11) Für den Fall einer Überlagerung mit einer Scherung oder bei einer Zugbeanspruchung müssen und entsprechend ersetzt werden. Da eine Normalspannung bei einem spröden Werkstoff zu einem Bruch führen kann wird gegen diesen auch eine Festigkeitsberechnung durchgeführt. Die Festigkeitsbedingung lautet somit: (3.12) Schubspannungshypothese (SH) Bei der Schubspannungshypothese wird angenommen, dass ein Versagen durch eine plastische Verformung entsteht, bei der die Gitterstruktur des Werkstoffs unter Schubspannung abgleitet, also einem Fließvorgang. Diese Eigenschaft tritt in der Regel nur bei zähen und duktilen Werkstoffen wie z. B. unvergüteten Stählen auf. Wie bei der Normalspannungshypothese wird davon ausgegangen, dass die größte auftretende Spannung zum Versagen führt. Allerdings wird statt der Hauptspannungen und die Fließschubspannung betrachtet. Diese kann aus dem Mohrschen Spannungskreis abgeleitet werden (vgl. Abbildung 15). 35

36 Allgemeiner Spannungszustand Festigkeitshypothesen (3.13) Da bei dieser Berechnung die Hauptspannungen verwendet werden, kann die Fließschubspannung aus einem Zugversuch ermittelt werden. Aus symmetriegründen im Mohrschen Spannungskreis muss gelten: (3.14) Abbildung 15 Fließschubspannung im Mohrschen Spannungskreis Somit ergibt sich für die Vergleichsspannung die Festigkeitsbedingung: (3.15) Analog zur NH können die Hauptspannungen und im technisch bedeutsamen zweiachsigen Belastungsfall über die Gleichung des Mohrschen Kreises hergeleitet werden. Es gilt die Gleichung (ohne Herleitung): 4 (3.16) 36

37 Allgemeiner Spannungszustand Festigkeitshypothesen Gestaltungsänderungsenergiehypothese (GEH) Die Gestaltungsänderungsenergiehypothese basiert auf der Annahme, dass ein Werkstück, das durch Zug und Druckkräfte oder Momente beansprucht wird eine Arbeit in Form einer elastischen Verformung leistet. Diese Energie wird durch die elastische Verformung im Werkstück gespeichert. Eine plastische Verformung tritt demnach auf, sobald das Werkstück, bzw. der Werkstoff nicht mehr in der Lage ist zusätzliche Energie zu speichern. Die plastische Verformung erfolgt bei dieser Hypothese wie bei der SH durch ein Abgleiten der Kristallgitter im Werkstoff. Daher ähnelt auch die Gleichung der GEH der Gleichung 3.16: 3 (3.17) Dabei entspricht, und jeweils einer Zug-, Druck- und Biegebeanspruchung und und des Torsions- und der Schubspannung. Der Faktor ist 1, wenn die Zug- und Druckspannungen sich nicht im zyklisch umkehren. Tritt dieser Fall auf, so ist für 0,7 einzusetzen. Als Festigkeitsbedingung gilt für die GEH: Die Gestaltungsänderungsenergiehypothese wird in der Praxis häufiger als die Schubspannungshypothese verwendet, da sie durch Experimente besser belegt ist. Allerdings ist die Auslegung mit Hilfe der SH auf Grund des größeren Faktors vor der Schubspannung immer sicherer. 37

38 Weitere Belastungsarten Euler sche Knickung von Stäben 4. Weitere Belastungsarten Im Kapitel 2 wurden die 5 Grundbelastungsarten näher betrachtet. Mit deren Hilfe kann in der Regel immer eine Festigkeitsberechnung durchgeführt werden. Unter bestimmten Umständen müssen jedoch auch weitere Belastungsarten geprüft werden, die zu einem Werkstückversagen führen können. Die wichtigsten Fälle werden im Folgenden vorgestellt. 4.1 Euler sche Knickung von Stäben Eine Knickung kann auftreten, wenn ein sehr schlanker Stab mit einer großen Stablänge und einem kleinen Querschnitt durch eine Druckkraft in axialer Richtung belastet wird. Dies kann selbst dann geschehen, wenn die Druckkraft genau mittig auf die Querschnittsfläche trifft. Eine Knickung kann auftreten, obwohl die Druckspannung im Werkstück nur zu einer elastischen Verformung führen würde, welche alleine nicht zu einem Werkstückversagen führen würde. In diesem Fall spricht man von einer euler schen Knickung. Diese ist kein Spannungs- sondern ein Stabilitätsproblem. Die Knickkraft bei der eine Knickung auftritt wird mit der Gleichung (4.1) berechnet. Dabei steht für das kleinste Flächenträgheitsmoment des Stabes und l für die sogenannte freie Knicklänge. Diese wird durch die Art der Lagerung des Stabes bestimmt. Man unterscheidet zur Bestimmung der freien Knicklänge die 4 Knickfälle nach Euler. In Abbildung 16 sind für diese die Gleichungen der Knickkräfte aufgeführt. 38

39 Weitere Belastungsarten Euler sche Knickung von Stäben Abbildung 16 Knickfälle nach Euler Die freien Knicklängen ergeben sich zu: Fall 1 2 (4.2) Fall 2 (4.3) Fall 3 0,5 2 (4.4) Fall 4 0,5 (4.5) Bei der Auslegung eines mit Druckkraft beanspruchten Stabes muss immer auch die Sicherheit gegen Versagen durch Knickung berechnet werden. Für den Sicherheitsfaktor gilt: (4.6) Dieser Sicherheitsfaktor wird in der Praxis mit Werten zwischen 2 und 5 15 relativ hoch angesetzt. Oft ist dieser Wert auch zusammen mit der wirkenden Kraft vorgegeben. Ziel ist es dann den Stab durch die Bestimmung des minimal notwendigen Flächenträgheitsmoments passend auszulegen. Für den Knickfall 1 ergibt sich beispielsweise: 15 (Dankert & Dankert, 2013) 39

40 Weitere Belastungsarten Euler sche Knickung von Stäben (4.7) Damit kann dann mit Hilfe von Tabellenwerken ein Stab mit dem passenden Querschnitt ermittelt werden. Eine Auswahl an Querschnitten und Flächenträgheitsmomenten ist in Anhang E zu finden. Um die Stabilität eines Stabes zu bewerten kann dessen Schlankheitsgrad berechnet werden. (4.8) Dieser ist nur von der Geometrie abhängig. Mit seiner Hilfe kann jedoch auch die Knickspannung in einem Stab einfach ausgedrückt werden. Es gilt: (4.9) Da die Gleichungen für die euler sche Knickung nur im elastischen Bereich gelten muss weiterhin die Bedingung erfüllt sein: (4.10) Da bei ist die Proportionalitätsgrenze, ab der der Werkstoff sich plastisch verformt. 40

41 Weitere Belastungsarten Pressung 4.2 Pressung Wenn sich zwei Körper berühren kommt es neben den bekannten Spannungen in einem Werkstück auch zu einer Oberflächenspannung. Diese entstehen in den meisten Fällen nur bei Druckspannung, allerdings können sich auch bei Verwendung von Löt- oder Klebeverbindungen unter Zugbeanspruchung entstehen. Der einfachste Fall einer Pressung sind zwei planparallele Körper, die durch eine Kraft aufeinander gepresst werden. In diesem Fall ergibt sich eine Oberflächenspannung, die von der Oberfläche des kleineren Körpers abhängt. (4.11) Eine häufig vorkommende Pressung ist der sogenannte Leibungsdruck. Hierbei wird ein runder Zylinder, z. B. ein Bolzen, auf die Oberfläche eines ebenfalls halbrunden Werkstücks gepresst. Ein Leibungsdruck tritt beispielsweise in der Musteraufgabe im Kapitel 2.4 auf und hätte dort korrekterweise mit betrachtet werden müssen. Für die Oberflächenspannung gilt bei einem Zylinderdurchmesser d und einer Zylinderlänge b: (4.12) Ein Spezialfall der Flächenpressung ist die sogenannte Hertzsche Pressung. Wenn zwei Werkstücke gegeneinander gewölbt sind, so berühren sie sich nur in einem Punkt, bzw. auf einer Linie. Eine Pressung führt nun zu einem Abplatten der Werkstücke und somit zu einer großen Oberflächenspannung. Wenn die Radien der Werkstücke mit und bezeichnet werden, die Querkontraktionszahl ist und es gilt Hertz: und 2 dann gilt nach Für die Berührung zweier Kugeln: 41

42 Weitere Belastungsarten Pressung, (4.13) Für die Berührung zweier Zylinder: (4.14) Für die Berührung mit einer Ebene wird für die r ein Grenzwert lim gebildet. Damit können die Gleichungen (4.13) und (4.14) auch für eine Pressung Kugel Ebene und Zylinder Ebene verwendet werden. 42

43 Verzeichnisse Literaturverzeichnis 5. Verzeichnisse 5.1 Literaturverzeichnis bs-wiki.de. (14. Dezember 2013). Von abgerufen Dankert, J., & Dankert, H. (2013). Technische Mechanik. Wiesbaden: Springer Verlag. Dietmann, H. (1992). Einführung in die Elastizitäts- und Festigkeitslehre. Stuttgart: Alfred Kröner Verlag. Fischer, U. (2013). Tabellenbuch Metall digital 7.0. Europa Lehrmittel. Läpple, V. (2008). Einführung in die Festigkeitslehre. Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag. 43

44 Verzeichnisse Abbildungsverzeichnis 5.2 Abbildungsverzeichnis Abbildung 1 Allgemeine Vorgehensweise in der Festigkeitslehre... 5 Abbildung 2 Spannungsdehnungsdiagramm Stahl... 7 Abbildung 3 Typen von Spannungsdehnungsdiagrammen Teil Abbildung 4 Typen von Spannungsdehnungsdiagrammen Teil Abbildung 5 Typen von Spannungsdehnungsdiagrammen Teil Abbildung 6 Spannungen in einem durch Biegung beanspruchten Stab Abbildung 7 Schubkraft auf kurzen Balken Abbildung 8 Unterschied Zug- und Schubbeanspruchung Abbildung 9 Gabel mit Bolzen Abbildung 10 Kräfte bei Torsionsbeanspruchung Abbildung 11 Schubspannungen unter Torsionsbeanspruchung Abbildung 12 Beispielrechnung Torsion Abbildung 13 Kräfte am schrägen Schnitt Abbildung 14 Mohrscher Spannungskreis bei Zugbeanspruchung Abbildung 15 Fließschubspannung im Mohrschen Spannungskreis Abbildung 16 Knickfälle nach Euler Abbildung 17 Werkstoffkennwerte unlegierter Stähle Abbildung 18 Werkstoffkennwerte schweißgeeigneter Stähle Abbildung 19 Werkstoffkennwerte vergüteter Baustähle Abbildung 20 Werkstoffkennwerte Gusseisen mit Lamellengrafit

45 Verzeichnisse Abbildungsverzeichnis Abbildung 21 Werkstoffkennwerte Gusseisen mit Kugelgrafit Abbildung 22 Beanspruchungsarten Abbildung 23 Zulässige Spannungen verschiedener Werkstoffe Abbildung 24 E-Modul verschiedener Werkstoffe Abbildung 25 Berechnung Widerstandsmomente Biegung Abbildung 26 Vergleich der Widerstandsmomente verschiedener Profile Abbildung 27 Belastungsfälle Biegung Teil Abbildung 28 Belastungsfälle Biegung Teil Abbildung 29 Widerstandsmomente Torsion Teil Abbildung 30 Widerstandsmomente Torsion Teil

46 Anhang Anhang A. Werkstoffkennwerte verschiedener Stähle 16 Abbildung 17 Werkstoffkennwerte unlegierter Stähle 16 entnommen aus der digitalen Fassung von (Fischer, 2013) 46

47 Anhang Abbildung 18 Werkstoffkennwerte schweißgeeigneter Stähle Abbildung 19 Werkstoffkennwerte vergüteter Baustähle 47

48 Anhang B. Werkstoffkennwerte verschiedener Gusseisensorten 17 Abbildung 20 Werkstoffkennwerte Gusseisen mit Lamellengrafit Abbildung 21 Werkstoffkennwerte Gusseisen mit Kugelgrafit 17 entnommen aus der digitalen Fassung von (Fischer, 2013) 48

49 Anhang C. Beanspruchungsarten und Spannungen 18 Abbildung 22 Beanspruchungsarten 18 entnommen aus der digitalen Fassung von (Fischer, 2013) 49

50 Anhang Abbildung 23 Zulässige Spannungen verschiedener Werkstoffe D. Übersicht Elastizitätsmodule Abbildung 24 E-Modul verschiedener Werkstoffe 50

51 Anhang E. Flächenträgheits und Widerstandsmoment Biegung Abbildung 25 Berechnung Widerstandsmomente Biegung 51

52 Anhang Abbildung 26 Vergleich der Widerstandsmomente verschiedener Profile 52

53 Anhang F. Belastungsfälle Biegung Abbildung 27 Belastungsfälle Biegung Teil 1 53

54 Anhang Abbildung 28 Belastungsfälle Biegung Teil 2 54

55 Anhang G. Flächenträgheits und Widerstandsmoment Torsion Abbildung 29 Widerstandsmomente Torsion Teil 1 55

56 Anhang Abbildung 30 Widerstandsmomente Torsion Teil 2 56