Werkstoffmechanik. Prof. Dr. Meinhard Kuna

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1 Werkstoffmechanik Prof. Dr. Meinhard Kuna Freiberg, 1. Juli 2011

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Aufgaben der Werkstoffmechanik Modellierung in der Werkstoffmechanik Einteilung der Werkstoffmechanik Beschreibung des Werkstoffverhaltens Relevante Größen zur Beschreibung des Werkstoffverhaltens Einflussgrößen auf das Werkstoffverhalten Versuche zum Werkstoffverhalten Phänomenologische Werkstoffmodelle für einachsige Beanspruchung Rheologische Grundmodelle Linear - elastisches Material Viskoses Material Plastisches Material Zusammengesetzte Modelle Reihenschaltung von rheologischen Körpern Parallelschaltung von rheologischen Körpern Elastisch-plastisches Material Elastisch-ideal-plastisches Material Verfestigung Fließgesetz Viskoelastisches Material Kelvin - Voigt - Modell Maxwell - Körper Viskoelastisches Standardmodell Empirische viskolelastische Modelle Viskoplastisches Material Erscheinungsform Bingham-Modell Nichtlineare viskoplastische Modelle Kontinuumsmechanische Werkstoffmodelle für mehrachsige Beanspruchung Werkstoffunabhängige Gleichungen Spannungsvektor und Spannungstensor Verschiebungen und Verzerrungen

3 4.2 Elastische Materialgesetze Allgemeines anisotropes Elastizitätsgesetz Isotropes Elastizitätsgesetz mit Temperaturdehnungen Ebene Aufgaben der Elastizitätstheorie Koordinatentransformation bei Anisotropie Elastisch - plastische Materialgesetze Postulate der Fließtheorie Fließbedingungen Assoziiertes Fließgesetz Verfestigungsarten Konstitutive Gleichungen Versagenskriterien bei statischer Beanspruchung Grenzflächenkonzept Normalspannungskriterien Schubspannungskriterien Kriterium der Gestaltänderungsenergie Beispiele zur Festigkeitsbewertung

4 1 Einführung 1.1 Aufgaben der Werkstoffmechanik Werkstoffmechanik = Werkstoff + Mechanik Die Aufgabe der Werkstoffmechanik ist die quantitative Beschreibung des mechanischen Verhaltens eines Werkstoffs mit den Methoden der Festkörpermechanik (Kontinuumsmechanik) unter Berücksichtigung festkörperphysikalischer und werkstoffwissenschaftlicher Erkenntnisse. Die Aufgabe besteht in der Entwicklung von Modellen, die die phänomenologisch beobachteten makroskopischen mechanischen Eigenschaften der Werkstoffe mathematisch-mechanisch richtig wiedergeben, d.h. Verformungsverhalten Versagensverhalten Das mechanische Verhalten ist die Reaktion des Werkstoffs auf die von außen wirkende Beanspruchung (σ, ε, T, t,...). Unterschiedliche Werkstoffe zeigen verschiedenes Antwortverhalten bei gleicher Beanspruchung! Umgekehrt bewirkt ein unterschiedliches Verformungsverhalten eine andere Verteilung der Beanspruchungen als Rückwirkung auf das Bauteil! Festigkeit-Versagen: Die im Werkstoff auftretenden Beanspruchungen müssen erheblich unter den werkstoff- und beanspruchungsspezifischen Festigkeitskennwerten bleiben. Verformung: Die sich einstellenden Verformungen (statisch) und Schwingungsamplituden (dynamisch) dürfen die Funktion des Bauteils / Konstruktion nicht beeinträchtigen. Frage: Wie werden die mechanischen Eigenschaften der Werkstoffe durch komplexe Beanspruchungen im technischen Einsatz beeinflusst und umgekehrt? Wie beeinflusst das Werkstoffverhalten die Gebrauchseigenschaften, Sicherheit und Lebensdauer des Bauteils? Bisher wurde in der TM nur einfachstes Materialverhalten behandelt: linear-elastisch, isotrop, reversibel: Hookesches Gesetz. Aber reales Verhalten ist: inelastisch, irreversibel, anisotrop,... 4

5 globale Belastung dv dv globale Formänderung lokale Beanspruchung (Spannungen σ) lokale Formänderung (Dehnungen ε) Bild 1.1: Bauteil und Werkstoff Ziele der WM: Vorhersage des mechanischen Werkstoffverhaltens bei der Entwicklung technischer Konstruktionen, Bauteile und Anlagen (Konstruktion, Berechnung, Auslegung) und bei den Herstellungs- und Fertigungsprozessen (Gießen, Umformen, Walzen, Spanen,...) Grundlage für Werkstoffauswahl(beanspruchungsgerechter Werkstoffeinsatz) Welcher Werkstoff muss für die spezifischen Anforderungen des Bauteils ausgewählt werden, um unter den Betriebsbelastungen Festigkeit und Lebensdauer zu gewährleisten? Voraussetzung für moderne computerbasierte Berechnungsmethoden der Technischen Mechanik Numerische Methoden (FEM, BEM) ermöglichen die Berücksichtigung komplizierter (nichtlinear, zeitabhängig) Werkstoffgesetze, die aber bekannt sein müssen! Entwicklung neuer Werkstoffe Anwendung von High-Tech-Werkstoffen erfordert ausgearbeitete Theorien zur Modellierung, Berechnung und Messung der Werkstoffeigenschaften Weitere ökonomische Motive: Rationeller ökonomischer Werkstoffeinsatz (Masse, Material, Energie) - Leichtbau (Verhältnis Festigkeit: Masse!) - Ausnutzung der Festigkeitsreserven der Werkstoffe - Erhöhung der Nutzungsdauer und Verfügbarkeit, Dauerfestigkeit, Zeitfestigkeit Absicherung der Übertragbarkeit Prüfkörper Bauteil An einfachen kleinen Prüfkörpern (einachsige Beanspruchung) bestimmte Materialkennwerte (R p0,2 ) müssen auf große komplexe Bauteile (Mehrachsigkeit) übertragen werden! 1.2 Modellierung in der Werkstoffmechanik Generell kann man in Abhängigkeit von der betrachteten Längenskala verschiedene Ebenen der Modellierung definieren: 5

6 Bild 1.2: Übertragbarkeitskette Werkstoff-Prüfkörper-Bauteil Bild 1.3: Ebenen der Werkstoffmodellierung 6

7 10 0 m makroskopisch : Prüfkörper, Bauteil : Kontinuum 10 3 m mesoskopisch : Werkstoffgefüge, kollektive Prozesse : Kontinuum 10 6 m mikroskopisch : Mikrostruktur, Elementarprozesse : Festkörperphysik 10 9 m nanoskopisch : Atome, Moleküle : Quantenmechanik Die Werkstoffmechanik modelliert die auf mesoskopischer Ebene ablaufenden Prozesse des mechanischen Verhaltens mit Methoden der Kontinuumsmechanik und stellt sie damit der ingenieurmäßigen Anwendung auf der makroskopischen Ebene zur Verfügung. Bild 1.4: Modellbildung Experiment-Simulation Das Werkstoffexperiment ist notwendig als Information für die Modellbildung, Modellverifikation und die Bestimmung der Parameter. Die theoretische Simulation des Experiments ist umgekehrt notwendig für die Interpretation der Messergebnisse und Definition geeigneter Werkstoffkennwerte. (Zusammenhang zw. globalen Messgrößen (F - u) und lokalen Beanspruchungen (σ - ε). Man unterscheidet zwei Methoden der Modellbildung: a) Phänomenologische Modellbildung Die beobachteten Erscheinungen (Phänomene) des mechanischen Verhaltens (Messdaten) werden in mathematischen Beziehungen formuliert, die den Zusammenhang zwischen 7

8 abhängigen und unabhängigen Variablen darstellen (evtl. als Funktion weiterer Einflussgrößen ε, T ) Vorteil: einfaches Konzept für praktische Erfordernisse des Ingenieurs Nachteil: tieferes Verständnis der werkstoffphysikalischen Ursachen fehlt Werkstoff wird als strukturloses infinitesimales Volumenelement (black box) betrachtet! Veränderungen in der Mikrostruktur werden durch makroskopische interne Variable dargestellt (z.b. Versetzungsdichte Verfestigung). b) Mikromechanische Modellierung Die reale Mikrostruktur des Werkstoffs wird als diskrete, statistische inhomogene Anordnung der Phasen nachgebildet und mit allen mikromechanischen Mechanismen der Verformung und des Versagens simuliert. Das Modell ist ein repräsentativer Ausschnitt des Werkstoffgefüges (RVE - repräsentatives Volumenelement). Aus der Simulation des RVE bei typischen Beanspruchungen gewinnt man das homogenisierte (gemittelte) mechanische Verhalten des Werkstoffs. Notwendige Relationen zwischen den Größen λ, l und L: l >> λ: Das RVE muss ausreichend viele mikrostrukturelle Details (Phasen, Körner) enthalten, um einen repräsentativen statistischen Mittelwert zu liefern. l << L: Das RVE muss viel kleiner als die Abmessungen des Bauteils sein, um im Rahmen der Technischen Mechanik als infinitesimales Volumenelement (Punkt) betrachtet werden zu dürfen. Werkstoff Gefügegröße λ RVE-Größe l Metalle, Legierungen Körner 1-100µm 0,5mm Polymere Moleküle 10-50µm 1mm Beton Granulate 1cm 10cm Holz Fasern 0,1-1mm 10mm Vorteile: Tabelle 1.1: Charakteristische Längen für ausgewählte Werkstoffe Mikrostrukturelle Ursachen des Werkstoffverhaltens werden berücksichtigt. Verständnis / Optimierung der Werkstoffstruktur Werkstoffdesign nach Anforderungsprofil universell bzgl. Beanspruchungsart Übertragbarkeit Nachteile: Hoher Aufwand für Strukturaufklärung 8

9 Hoher Aufwand für numerische Simulation Mechanische Eigenschaften aller Phasen, Grenzflächen und Mechanismen notwendig - fehlt meistens Für praktische Ingenieuranwendungen z.z. noch nicht anwendbar Bild 1.5: Mikromechanische Modellierung 1.3 Einteilung der Werkstoffmechanik a) Werkstoffmodelle für das Verformungsverhalten Aufstellung von Materialgesetzen, die das Verformungs- bzw. Deformationsverhalten des Werkstoffs beschreiben, sogenannte konstitutive Gleichungen. Zusammenhang zwischen σ ε, σ ε, σ ε rheologische Körper (einfache 1D Grundmodelle) kontinuumsmechanische und thermodynamische Werkstoffmodelle (mehrachsig, Feldkopplungen) Der Werkstoff bleibt dabei unzerstört, d.h. zusammenhängendes Kontinuum ohne Defekte! b) Festigkeitshypothesen / Festigkeitslehre Festlegung eines vom Werkstoff ertragbaren Grenzzustandes der Beanspruchung (σ, ε,...), nach dessen überschreiten es zum Versagen kommt. Man unterscheidet zwei grundlegende Arten des Werkstoffversagens: uneingeschränkte Formänderung (z.b. plast. Fließen) Materialtrennung durch Bruch 9

10 In Festigkeitskriterien wird die Beanspruchungsintensität einem Werkstoffkennwert gegenüber gestellt. Die Grundlage der (klassischen) Festigkeitskriterien bilden die Spannungen und Deformationen des defektfreien Kontinuums. c) Schädigungsmechanik Schädigungsmechanische Modelle beschreiben den Prozess der Werkstoffzerrüttung - Schädigung - als Folge der Beanspruchung und der Deformationen im Rahmen eines Materialgesetzes. Mikrorisse (Keramiken, Beton, Stahl) Mikroporen (duktile Metalle, Kriechschädigung) Die Schädigung wird durch eine innere Variable als Maß quantifiziert. Es handelt sich um ein Kontinuumsmodell, d.h. Defekte werden nicht diskret explizit, sondern integral als Dichtefunktion modelliert. d) Bruchmechanik Die Bruchmechanik geht von der Existenz makroskopischer Defekte im Bauteil aus (Risse), die sich während des Herstellungsprozesses oder unter Betriebsbelastungen gebildet haben. Die Bruchmechanik entwickelt Kriterien zur Beurteilung der Stabilität und des Wachstumsverhaltens der Risse, worauf Aussagen über die Sicherheit und Lebensdauer defektbehafteter Bauteile abgeleitet werden. Bild 1.6: Einteilung der Werkstoffmechanik 10

11 2 Beschreibung des Werkstoffverhaltens 2.1 Relevante Größen zur Beschreibung des Werkstoffverhaltens a) Werkstoffunabhängige Größen (Variable) Im Rahmen der Kontinuumsmechanik und Thermodynamik bestehen allgemeine Größen, deren Definition unabhängig vom speziellen Werkstoff gegeben ist. Das mechanische Werkstoffverhalten wird aber durch die Form des Zusammenhangs zwischen diesen Größen bestimmt. Spannungen σ, τ, σ i j (Kraftgrößen, statische Variable) Verschiebungen u i bzw. Verzerrungen ε i j, Dehnungen ε, Gleitungen γ (kinematische Variable) Temperatur T, T Zeit t Alle Größen sind Funktionen von Ort (Koordinaten) und der Zeit t Feldgrößen. Auch ihre zeitliche Änderung (Geschwindigkeit) ist für das Werkstoffverhalten wesentlich. b) Beobachtbare (messbare) Größen Tatsächlich messbar sind nur Verformungsgrößen u i, ε i j sowie T (und natürlich Zeit t). Alle Kraftgrößen sind abstrakte Begriffe, deren Werte man nur durch ihre Wirkungen messen kann (z.b. DMS, Kraftmessdosen,...) c) Zustandsvariable Die Methode des lokalen Zustandes postuliert, dass der mechanisch-thermodynamische Zustand eines materiellen Volumenelements an einem Ort x und zur Zeit t vollständig und eindeutig durch die Kenntnis einer gewissen Anzahl von Zustandsvariablen definiert wird. Die Veränderung des Werkstoffzustandes im Verlauf der Belastung/Verformung wird durch die zeitliche Entwicklung (Evolution) dieser Zustandsvariablen beschrieben. Für (elastisches) reversibles Werkstoffverhalten genügen die Zustandsvariablen: Gesamtdehnungen ε i j 11

12 Temperatur T Bei dissipativem Werkstoffverhalten (z.b. plastisch) hängt der momentane Werkstoffzustand von der Vergangenheit (Verformungsgeschichte) ab. Diese wird durch sogenannte innere Zustandsvariable beschrieben (nicht beobachtbar!) (z.b.: plast. Deformation ε p i j, h α). Phänomene wie Verfestigung, Schädigung, Kriechen, Ermüdung u.a. erfordern die Einführung innerer Variable. Innere Variable gehen wie Parameter in die Werkstoffgesetze ein. Zusätzlich muss man Beziehungen für ihre Evolution mit der Belastungsgeschichte formulieren (z.b. wie ändert sich Verfestigung mit der plast. Deformation). 2.2 Einflussgrößen auf das Werkstoffverhalten Das mechanische Verhalten kann von weiteren Einflussgrößen abhängig sein: a) Ortsabhängigkeit x Ist das Werkstoffverhalten abhängig von den Koordinaten (Ort der Untersuchung), so spricht man von inhomogener Werkstoffeigenschaft (z.b. Schmiedestück, Schweißverbindung). Homogen bedeutet Ortsunabhängigkeit. b) Richtungsabhängigkeit Unterscheidet sich das Werkstoffverhalten am selben Ort in verschiedenen Richtungen der Beanspruchung, so nennt man diese Eigenschaft Anisotropie (z. B. E-Modul von Compositen, Spaltebenen von Kristallen). Anisotrop kann das Verformungs- oder das Versagensverhalten sein (z.b. Holz). Das Gegenteil (keine Richtungsabhängigkeit) heißt Isotropie. Ursachen der Anisotropie liegen meist in Werkstoffstruktur (Composite) oder sind herstellungsbedingt (Textur - Gefügeanisotropie beim Walzen). Kristalle anisotrop Polykristalle quasi anisotrop (bei Gleichverteilung der Orientierungen) c) Zeitabhängigkeit Wenn sich die Werkstoffeigenschaften mit der Zeit verändern, spricht man von Alterung. Eine Zeitabhängigkeit kann aber auch durch chemische Reaktionen verursacht werden (Abbinden von Beton, Aushärten von Kleber, Korrosion, Strahlung u.a.). Meist wird eine explizite Zeitabhängigkeit vernachlässigbar gering, so dass zeitunabhängiges Verhalten angenommen werden kann. Das Werkstoffverhalten hängt aber oft indirekt von der Zeit ab (z.b. viskose (Kriech-) Dehnungen ε v i j, bei konstanter Last so dass auch hier die physikalische Zeit eine echte Bedeutung hat: rheonom zeitlich veränderlich: viskoelastisch, viskoplastisch skleronom nicht von Zeit abhängige Variablen: elastisch, plastisch 12

13 d) Geschwindigkeitsabhängigkeit Die Reaktion eines Werkstoffs auf eine Beanspruchung kann wesentlich von der Geschwindigkeit des Vorgangs abhängen. ε, σ (z.b. viskoplastische Kunststoffe (elastisch bei hohen ); Dehnratenabhängigkeit der Fließkurve bei Metallen) e) Temperaturabhängigkeit Fast alle mechanischen Werkstoffeigenschaften sind abhängig von der Temperatur, meist nur quantitativ: Parameter = f (T) z.t. aber auch qualitativer Umschlag: plastisch - viskoses Verformungsverhalten, spröd-duktiles Versagensverhalten. f) Beanspruchungsabhängigkeit Das Werkstoffverhalten hängt meist von der Richtung (Richtungssinn) der Beanspruchung ab Zug - Druck (z.b. Festigkeit von Beton, Verfestigung von Metallen). Außerdem spielt die Art der Beanspruchung bzw. des Spannungszustandes eine wesentliche Rolle ein-, zwei-, mehrachsig, Schub- oder Normalspannung, gestalts- oder volumenverändernd (z.b. Sprödbruchanfälligkeit bei Mehrachsigkeit). 2.3 Versuche zum Werkstoffverhalten Zur Charakterisierung des Verformungsverhaltens sind die Größen σ, ε und t notwendig. Man hat verschiedene Versuchsarten entwickelt, um den wechselseitigen Einfluss dieser Größen zu bestimmen. Dabei erkennt man rheonome bzw. skleronome Eigenschaften. a) Verformungsversuch (Zug oder Druck) ergibt Verfestigung σ ε -Kurve bei vorgegebenen σ, ε Bild 2.1: Verformungsversuch b) Kriechtest (konst. Spannung σ(t) = σ 0 H(t)) 13

14 A-B: Erholung Dehnungsantwort Bild 2.2: Kriechtest c) Relaxationstest (konst. Dehnung ε(t) = ɛ 0 H(t)) Bild 2.3: Relaxationstest 14

15 3 Phänomenologische Werkstoffmodelle für einachsige Beanspruchung In diesem Kapitel sollen alle wesentlichen Modelle für das Verformungsverhalten von Werkstoffen erläutert werden. Um zunächst das Verständnis für die qualitativen Eigenschaften zu vermitteln, werden die Materialgesetze nur für einachsigen Spannungs-Dehnungs-Zustand dargestellt. Die mehrachsige Verallgemeinerung erfolgt in Kap Rheologische Grundmodelle Die Methode der rheologischen Modelle hat ihren Ursprung in der Beschreibung von Fluiden, Böden, Gesteinen und später Kunststoffen, siehe z.b. Reimek Dabei definiert man einfache Grundmodelle wie Elastizität, Plastizität und Viskosität. Anschließend kann man durch vielfältige Kombinationen dieser Grundmodelle unterschiedliches Werkstoffverhalten approximieren Linear - elastisches Material Das rheologische Grundmodell Elastizität wird auch Hookescher Körper genannt und mit dem Symbol einer Feder dargestellt: σ = E ε Hooke (3.1) Bild 3.1: Linear-elastisches Verhalten 15

16 3.1.2 Viskoses Material Das Grundmodell Viskosität beschreibt zeitabhängige inelastische Deformationen, die bei jeder (noch so kleinen) Spannung mit der Zeit anwachsen. Nur im viskosen Fließen (wie bei viskosen Flüssigkeit) besteht ein Widerstand zur äußeren Spannung, ein statisches Gleichgewicht gibt es nicht. Das Modell wird auf Zug-Druck-Beanspruchung in viskosen Festkörpern angewandt und durch einen linearen (Newtonscher Körper) bzw. nichtlinearen (Nortonscher Körper) Dämpfer symbolisiert. σ = η ε linear Newton (3.2) σ = A ( ε) 1/N nichtlinear Norton (3.3) η - Viskosität; A, N - Materialparameter Je nach Fließgeschwindigkeit ε stellt sich ein Formänderungswiderstand ein bzw. umgekehrt bei konstanter Spannung erfolgt ein Fließen mit bestimmter Geschwindigkeit. ideal viskoplastisch Bild 3.2: Ideal viskoses Verhalten Plastisches Material Plastizität ist die Eigenschaft, bei Erreichen eines bestimmten Schwellen wertes σ F der Spannung mit einer inelastischen zeitunabhängigen plastischen Verformung ε p zu reagieren. Die Verformung bleibt nach Entlastung bestehen (irreversibel). Es stellt sich ein statisches 16

17 Gleichgewicht ein. Die Zeit / Geschwindigkeit treten nicht explizit auf, d.h. kein Kriechen und keine Relaxation. Das Symbol dieses St. Venant-Prandtl-Körpers ist ein Reibklotz (starr-ideal plastisch). σ < σ F : ε = 0 (3.4) σ = σ F sign( ε) : ε = ε p Bild 3.3: Verformung plastischer Materialien 3.2 Zusammengesetzte Modelle In Analogie zur Elektrotechnik kann man die rheologischen Grundmodelle in Reihen- und Parallelschaltungen miteinander kombinieren. Dabei gelten folgende Regeln für die Spannungen und Dehnungen Reihenschaltung von rheologischen Körpern Auf jedes Element (Körper) wirkt die gleiche Spannung, die der angelegten Gesamtspannung entspricht: σ ges = σ 1 = σ 2 = σ i (i = 1, 2..., n) (3.5) In jedem Element stellen sich unterschiedliche Dehnungen ein, deren Summe die Gesamtdehnung ergibt: ε ges = ε 1 + ε 2 = n ε i (i = 1, 2..., n) (3.6) i=1 17

18 Bild 3.4: Reihenschaltung von rheologischen Körpern Parallelschaltung von rheologischen Körpern Bild 3.5: Parallelschaltung von rheologischen Körpern Jedes Element übernimmt (trägt) einen Teil der Gesamtspannung. Ihre Summe muss nach den Gleichgewichtsbedingungen der Statik der Gesamtspannung entsprechen: n σ ges = σ 1 + σ 2 = σ i (i = 1, 2..., n) (3.7) i=1 In allen Elementen stellt sich die gleiche Dehnung ein, die gleich der Gesamtdehnung sein muss: ε ges = ε 1 = ε 2 = ε i (i = 1, 2..., n) (3.8) Komplizierte Netzwerke von zusammengeschalteten Grundmodellen können auf diese beiden Schaltungsarten zurückgeführt werden, z.b.: Parallelschaltung von 1 Element und 2 Elementen in Reihenschaltung 18

19 Bild 3.6: Beispiel eines Netzwerkes rheologischer Körper 3.3 Elastisch-plastisches Material Elastisch-ideal-plastisches Material Der St-Venantsche Körper beschreibt das starr-ideal-plastische Materialverhalten. Zur Berücksichtigung elastischer Verformungen wird eine Reihenschaltung von Reibglied und Feder vorgenommen, was das sogenannte Prandtlsche Modell ergibt: Bild 3.7: St-Venantscher Körper Die Gesamtdehnungen ergeben sich aus elastischem und plastischem Anteil: ε = ε e + ε p = σ E + εp (3.9) σ < σ F : ε = ε e = σ E (3.10) Bei Überschreiten der Fließspannung σ F stellt sich im Reibelement eine unbeschränkte plastische Dehnung ein: σ = σ F sign( ε) : ε = σ F E + εp mit ε p (3.11) Bei Entlastung greift der Reibklotz wieder und ε p bleibt erhalten. 19

20 Kein Kriechen oder Relaxation! p ε e ε ε Bild 3.8: Elastisch-ideal-plastisches Verhalten Zur Formulierung des Grenzzustandes, wo Fließen beginnt, wird eine Fließbedingung Φ(σ) mit folgenden Eigenschaften definiert: Φ(σ) < 0 elastischer Bereich (3.12) Φ(σ) = 0 bei Eintreten plastischen Fließens Φ(σ) = 0 Φ(σ) = 0 bei Fortschreiten des plastischen Fließens Für das elastisch-ideal-plastische Modell lautet die Fließbedingung: Φ(σ) = σ σ F = 0 oder Φ(σ) = (σ) 2 (σ F ) 2 = 0 (3.13) Daraus folgen die plastischen Dehnungsänderungen (Geschwindigkeiten): ε p 0 für Φ = 0 und Φ = 0 plast. Fließen (3.14) ε p = 0 für Φ < 0 oder Φ < 0 elastischer Bereich Entlastung aus dem plastischen Bereich Anwendungsbereich: Stähle mit geringem C-Gehalt (Plateau der Fließkurve) bis 2% Dehnung T = 1 T 4 M (Schmelztemperatur) Berechnung der plast. Grenzlasten 20

21 3.3.2 Verfestigung Verfestigung bedeutet eine Erhöhung der aktuellen Fließgrenze als Folge der plastischen Deformation (strain hardening) oder plastischen Formänderungsarbeit (Work hardening). Für Spannungen oberhalb der Anfangs-Fließspannung σ F0 stellt sich eine endliche bleibende plast. Dehnung ein. σ σ F0 : ε p = g(σ) bzw. σ F = f (ε p ) Für die Funktion g(σ) existieren viele Beschreibungen z.b.: lineare Verfestigung ε p = 1 E (σ σ F0) (3.15) Potenzgesetz der Verfestigung (Ramberg-Osgood) ( σ ε p = α σ 0 ) n (3.16) Bild 3.9: Verfestigung Ein einfaches rheologisches Modell zur Beschreibung linear-elastisch-plastischen Verhaltens besteht aus drei Elementen: ε = ε e + ε p ε e = σ/e ε p 0 für σ < σ F0 = (3.17) (σ σ F0 )/E p für σ σ F0 21

22 Bild 3.10: Rheologisches Modell für linear-elastisch-plastisches Verhalten Bei Überschreiten der Fließgrenze σ F0 verformt sich das Parallelschaltungselement mit dem plastischen Tangentenmodul: E p = σ ε p = H Daraus ergibt sich ein effektiver Tangentenmodul: ε = σ E + σ E p = σ E T E T = σ ε = (3.18) E E p E + E p (3.19) Bisher wurde nur monotone Belastung diskutiert. Wenn das Material nach plast. Verformung in die entgegengesetzte Richtung (Zug Druck) entlastet und wiederbelastet wird, zeigt es meist ein anderes plastisches Verhalten, z.b. dass plast. Fließen früher einsetzt (Fließgrenze hat sich verschoben) - Bauschinger-Effekt. Hinsichtlich des Einflusses einer reversiblen Belastung unterscheidet man zwei Verfestigungsarten, die wesentliche Bedeutung erlangt haben: a) isotrope Verfestigung Nach Belastungsumkehr kommt es erst wieder zum plast. Fließen, wenn die bereits erreichte Fließgrenze σ F erneut überschritten wird, d.h. der verfestigte (elastische) Bereich vergrößert sich und bleibt bestehen. Die Spannungs-Dehnungs-Kurve wird bzgl. des Nulldurchgangs σ = 0 (Punkt B) gespiegelt. Das Maß für die isotrope Verfestigung ist die Größe R = R(ε p ), um die sich der Werkstoff gegenüber seiner Anfangsfließgrenze verfestigt hat: σ F (ε p ) = σ F0 + R(ε p ) Somit lautet die isotrope Fließbedingung: Φ(σ, ε p ) = σ σ F (ε p ) = σ σ F0 R(ε p ) = 0 (3.20) Die Fließgrenze hängt nun von der bisher erreichten Verfestigung R ab, weshalb die plast. Dehnung ε p als interne Variable zur Quantifizierung dieses Materialzustandes in Φ Eingang findet. 22

23 Bild 3.11: Isotrope Verfestigung Bild 3.12: Anschauliches Schiebermodell der isotropen Verfestigung 23

24 b) kinematische Verfestigung (Prager) Die isotrope Verfestigungsregel erklärt nicht den Bauschinger Effekt!? Unter kinematischer Verfestigung versteht man eine Verschiebung der Fließbedingung in Richtung der aktuellen Belastung, wobei die Größe des elastischen Bereiches (d.h. σ F = σ F0 ) unverändert bleibt. Die Verschiebung des Bezugspunktes der Fließbedingung wird durch die kinematische Verfestigungsvariable X ausgedrückt. Für die Veränderung von X mit der plastischen Verformung muss zusätzlich zur Fließbedingung eine Evolutionsgleichung aufgestellt werden, z.b. lineare kinematische Verfestigung als Funktion der internen Zustandsvariablen ε p. X = X(ε p ) = c ε p c Materialkonstante Φ(σ, ε p ) = σ X(ε p ) σ F0 = 0 (3.21) Bild 3.13: Kinematische Verfestigung 24

25 Bild 3.14: Anschauliches Schiebermodel der kinematische Verfestigung Die Spannungs-Dehnungs-Kurve wird bzgl. des Bezugspunktes C gespiegelt, der das Zentrum des elast. Bereiches darstellt. Die Variable X repräsentiert eine innere Spannung des neutralen Zustandes (Rückspannung - backstress), die überwunden werden muss, damit die äußere Belastung auf Null zurückgeht. Erwähnt werden sollen auch nichtlineare kinematische Verfestigungsregeln (z.b. Chaboche u.a.), wo eine Evolutionsgleichung für die Rückspannungen in nichtlinearer Form aufgestellt wurde: Ẋ(ε p, X) = c ε p γ X ε p (einachsig) Der 2. Term recall ist zum Abklingen der kinematischen Verfestigung (dynamische Erholung). Tatsächlich weisen reale metallische Werkstoffe eine kombinierte isotrop-kinematische Verfestigung auf. Bild 3.15: Nichtlineare kinematische Verfestigung 25

26 σ A M R σ F 0 σ F 0 X σ F 0 P ε σ F 0 M ' R A' Bild 3.16: Kombinierte isotrop-kinematische Verfestigung Fließgesetz Das Fließgesetz liefert den eigentlichen Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen im plast. Bereich, d.h. wenn die Fließbedingung erfüllt ist. (Bei Entlastung aus dem Plastischen sowie im Elastischen gilt das Hookesche Gesetz.) Da die Größe der plast. Verzerrungen vom aktuellen Spannungs- u. Verfestigungszustand abhängt, kann das Fließgesetz nur die momentane Änderung (Inkrement) der plastischen Verzerrungen und Spannungen beschreiben, d.h. man benötigt eine Ratenform (Geschwindigkeiten) des Materialgesetzes. Damit ist auch klar, dass es keinen eindeutigen Zusammenhang zwischen totalen Spannungen und totalen Verzerrungen geben kann, sondern dieser von der Belastungsgeschichte abhängt. Die Verzerrungsgeschwindigkeiten (1D - Dehnraten) werden additiv in den elastischen und den plastischen Anteil zerlegt (exakt bei kleinen Verzerrungen): ε = ε e + ε p ε e = σ E elastische Dehnrate nach Hooke Das Fließgesetz definiert Größe und Richtung der plastischen Verzerrungsgeschwindigkeit. Im Einachsigen sieht man sofort, dass für die plast. Dehnrate gilt: ε p = σ mit plastischer Tangente E p = dr E p dε p 26

27 Allgemeiner kann man das Fließgesetz nach der sogenannten Normalenregel finden: ε p = λ Φ σ (3.22) Dabei ist λ 0 ein noch zu bestimmender,plastischer Multiplikator, für den gilt: { = 0 bei Φ < 0 oder Φ < 0 elast. Entlastung λ > 0 bei Φ = 0 und Φ = 0 plast. Fließen (3.23) Als innere Zustandsvariable für die Verfestigung wird die akkumulierte plastische (Vergleichs-) Dehnung eingeführt: p = t ṗ(τ) dτ, ṗ(τ) = ε p (τ) ε p (τ) 0, ṗ = ε p (3.24) 0 Damit lautet die Fließbedingung: Φ = σ X(p) R(p) σ F0 = 0 (3.25) Die Evolutionsgesetze für beide Verfestigungsvariablen sind: Ṙ = dr dp ṗ = E p(p) ṗ, Ẋ = c ε p γ ṗ X (3.26) Mit (3.22) ergibt sich das Fließgesetz: [ σ X = (σ X) sign(σ X) ] ε p = λ sign(σ X) (3.27) Zur Bestimmung von λ untersucht man das totale Differenzial der Fließbedingung Φ = 0 : Φ(σ, R, X) = Φ σ σ + Φ X Ẋ + Φ R Ṙ = 0 (3.28) sign(σ X) σ sign(σ X) Ẋ + ( 1) Ṙ = 0 27

28 Nun sind Ẋ und Ṙ mit λ zu verknüpfen: Aus (3.24) erkennt man mit (3.27) : ṗ = λ (3.25) Ṙ = E p λ Mit (3.27) und (3.29) in (3.26) : Ẋ = [ c sign(σ X) γ X ] λ (3.29) sign(σ X) σ = sign(σ X) [ c sign(σ X) γ X ] λ + E p λ = H λ λ = sign(σ X) σ H H = sign(σ X) [ c sign(σ X) γ X ] + E p Somit erhält man das Fließgesetz (3.27): ε p = σ H (3.29) 3.4 Viskoelastisches Material Ein viskoelastisches Material verbindet viskose und elastische Verformungen. Die sich einstellende Spannungsantwort hängt somit von der Dehnung ε (elast.) und der Dehnungsrate ε (viskos) ab. Die physikalische Zeit geht damit direkt in das Materialverhalten ein (rheonom). Viskoses Fließen beginnt bereits ab σ 0. σ = f (ε, ε) Kelvin - Voigt - Modell Das Modell stellt eine Parallelschaltung von Feder und Dämpfer dar. Die Dehnung wird durch die Feder begrenzt - viskoelastischer Festkörper. Bild 3.17: Kelvin - Voigt- Modell 28

29 σ = E ε + η ε = σ e + σ v (3.30) Verhalten bei konst. Dehnungsgeschwindigkeit ε 0 : ε(t) = ε 0 t σ(t) = E ε + η ε 0 = (E t + η) ε 0 Bild 3.18: Verhalten bei konstanter Dehnrate Kriechtest: Belastung mit σ 0 = const. bei t = 0: 0 t < 0 σ = σ 0 H(t) mit Heaviside Sprungfunktion H(t) = 1 t 0 Bild 3.19: Kriechtest ε = σ 0 η E η ε DGL 1. Ordnung für ε(t): Separation der Variablen σ 0 η dε E ε = dt η Substitution: x = σ 0 η E η ε dx = E η dε 29

30 x x 0 η E dx t x = 0 dt x 0 = x(t = 0) = σ 0 η η E [ ( σ0 ln η E ) η ε ln σ ] 0 = t ε(t) = σ 0 η E Entlastung bei t 1 : σ = σ 0 H(t) σ 0 H(t t 1 ) ( 1 e E η t) (1) t t 1 : σ = Eε + η ε dε ε = E η dt ln ε ε ε1 = E η (t t 1) ε(t) = ε 1 e E η (t t 1) mit ε 1 = ε(t 1 ) = σ 0 E ( ) 1 e E η t σ 1 0 folgt ε(t) = E [ e E η t 1 1 ] e E η t (2) Maxwell - Körper Reihenschaltung von Feder und Dämpfer. Bei vorgegebener Spannung entstehen im viskosen Element unbeschränkte Dehnungen (Fließen) - viskoelastische Flüssigkeit. Bild 3.20: Maxwell - Körper ε = ε e + ε v = σ E + σ η (3.31) Vorgegebene Dehnrate: ε 0 = const. ε(t) = ε 0 t (1) E ε 0 σ η E = dσ dt t 0 dt = σ 0 dσ E ε 0 E η σ t = η E ln x x 0 30

31 DGL für σ(t) Separation x = E ε 0 E η σ, dx = E η dσ x 0 = x(t = 0) = E ε 0 (2) (2): x = x 0 e E η t σ(t) = η ε 0 ( 1 e E η t) (1) : σ(ε) = η ε 0 ( 1 e E η ε ε 0 ) (3.32) Bild 3.21: Verhalten Maxwell-Körper Relaxationstest: ε(t) = ε 0 [ H(t) H(t t 1 ) ] 0 t t 1 : σ E + σ η = 0 dσ σ = E dt (1) η mit σ 0 = σ(0) = ε 0 E σ(t) = E ε 0 e E η t (2) t 1 < t : σ 1 = σ(t 1 ) = E ε 0 e E η t 1 E ε 0 elast. Spannung (3) (1) : ln σ σ σ 1 = E η (t t 1) σ(t) = σ 1 e E η (t t 1) = E ε 0 [ 1 e E η t 1 ] e E η t (4) 31

32 Bild 3.22: Relaxationstest Viskoelastisches Standardmodell Die Parallelschaltung von Maxwell-Körper und Feder wird als Poynting-Thomson-Körper bezeichnet. Er stellt die Verallgemeinerung von Maxwell-und Kelvin-Voigt-Körper dar (beide sind als Spezialfälle enthalten) und besitzt eine recht universelle Anwendbarkeit. Bild 3.23: Viskoelastisches Standardmodell geg.: E 1, E 2, η ges.: Gesamtverhalten σ ε ε = ε 1 = ε 1E + ε 1η = ε 2 (1) σ = σ 1 + σ 2 (2) 32

33 σ 1 = E 1 ε 1E = η ε 1η (3) σ 2 = E 2 ε 2 = E 2 ε (4) (1) + (3) : ε 1η = ε ε 1E = ε σ 1 E 1 (5) (5) in (3) : σ 1 = η ε 1η = η ( ε σ ) 1 E 1 σ 1 + η E 1 σ 1 = η ε (6) (2) + (4) : σ 1 = σ E 2 ε (7) (7) in (6) : σ + η E 1 }{{} T ( σ = }{{} E 2 ε + η 1 + E ) 2 E 1 L } {{ } M T ε σ + T σ = L ε + M T ε (3.33) L = E 2 [MPa] - Langzeitmodul (wenn ε ε, σ σ ohne Viskosität nur Feder 2) M = E 1 + E 2 [MPa]- Momentanmodul (wenn ε ε, σ σ unendliche Viskosität + Federn 1 und 2) T = η [s] - Relaxationszeit, Kriechkonstante E 1 (nach (3) die Zeit, nach der ε 1η = ε 1E erreicht wird. E 1 η ε 1E = ε 1η ε 1η = ε 1η T = ε 1E ) (3.33) E 1 η : σ + E 1 η σ = (E 1 + E 2 ) }{{}} {{ } ε + E1 E 2 η }{{} ε σ + λ σ = Ẽ ε + Ẽ µ ε (3.34) λ = E 1 η = 1 T [ ] 1, Ẽ = E 1 + E 2 = M [MPa], µ = 1 s η E 1 E 2 E 1 + E 2 = L M T [ ] 1 s 33

34 Lösung der linearen inhomogenen DGL 1. Ordnung (3.33): σ + T σ = L ε + M T ε ges.: σ(t) bei vorgegebenen ε(t) Lösungsmethode: Variation der Konstanten homogene DGL: σ + T σ = 0 Lösung: σ(t) = C e t/t Variation: σ(t) = C(t) e t/t σ = Ċ e t/t 1 T C e t/t Einsetzen in inhomogene DGL (3.33): [C + TĊ C] e t/t = L ε + M T ε [ L ] Ċ(t) = T ε(t) + M ε(t) e t/t t dτ C(t) = L T t e τ/t ε(τ) dτ + M t e τ/t ε(τ) dτ + C( ) 0 } {{ } =0 Partielle Integration des 2. Terms : t e τ/t ε(τ) dτ = e τ/t ε(τ) t 1 T t e τ/t ε(τ) dτ u v = u v u v = e t/t ε(t) 0 ( L C(t) = T M T t ) e τ/t ε(τ) dτ + M e t/t ε(t) 34

35 σ(t) = M ε(t) + L M T t e τ t T ε(τ) dτ (3.35) Spannungsverlauf bei beliebig vorgegebener Deformationsgeschichte ε(τ)- Konvolutionsintegral. Die DGL (3.33) kann auch als Funktion ε(t) aufgefasst werden mit den σ-termen als inhomogenem Teil. Eine analoge Rechnung ergibt Dehnungsverlauf bei beliebig vorgegebener Spannungsgeschichte σ(τ): ε(t) = σ(t) M + M L M 2 T t e L M T (τ t) σ(τ) dτ (3.36) Kriechtest: σ(t) = σ 0 [H(t) H(t t 1 )] 0 t t 1 : Gleichung (3.36) σ(t) = σ 0 ε(t) = σ 0 M + M L M 2 T σ M T 0 L e L MT (τ t) t 0 ε(t) = σ 0 [ 1 L + ( 1 M 1 L ) ] e M L T t (1) ε(t 1 ) = σ 0 [ 1 L + ( 1 M 1 L ) ] e L t 1 M T = ε 1 t 1 t: σ(t) = 0 aber σ(t) = σ 0 in [0, t 1 ] ε(t) = 0 M + M L M 2 T M T L σ 0 e L M T (τ t) t 1 0 ε(t) = σ 0 ( 1 L 1 M ) [ ] 1 e L t 1 M T e M L T (t 1 t) (2) 35

36 Diskussion: bei t = 0 wirkt Momentanmodul M = E 1 + E 2 bei t wirkt Langzeitmodul L = E 2 (1) - asymptotische Annäherung ε( ) = σ 0 /L (2) - asymptotische Annäherung ε( ) = 0 Sprung bei t 1 : ε + (t 1 ) = ε (t 1 ) σ 0 /M folgt aus (1) und (2) Bild 3.24: Kriechtest - viskolelastisches Standardmodell Realaxationstest: ε(t) = ε 0 [H(t) H(t t 1 )] 0 t t 1 : Gleichung (10) ε(t) = ε 0 σ(t) = M ε 0 + L M T ε 0 T e τ t T t 0 [ ] σ(t) = ε 0 L + (M L) e T t (1) σ(t 1 ) = ε 0 [ L + (M L) e t 1 T ] = σ 1 36

37 t 1 t: Entlastung ε = 0 σ (t) = M 0 + L M T ε 0 T e τ t T t 1 0 ] σ(t) = ε 0 (L M) [1 e t 1 T e t 1 t T (2) σ(t 1 ) = σ + 1 = σ 1 M ε 0 Diskussion: Abklingen der Steifigkeit von M (bei t = 0) L (bei t = ) bei Dehnungsrücknahme Spannungssprung - M ε 0 danach Abklingen σ(t ) = Bild 3.25: Relaxationstest - Viskoelastisches Standardmodell 37

38 3.4.4 Empirische viskolelastische Modelle a) Kriechfunktion In verallgemeinerter Form kann viskoelastisches Verformungsverhalten durch eine materialspezifischen Kriechfunktion J(t τ) beschrieben werden. Die Kriechfunktion gibt das Dehnungsverhalten wieder als Reaktion auf eine Spannungsänderung σ 0 zur Zeit τ. σ = σ 0 H(t τ) ε(t) = J(t τ) σ 0 für t τ (3.37) Bild 3.26: Kriechfunktion Experimentell kann die Kriechfunktion aus Dehnungsmessungen an verschieden belasteten (σ 0 ) gleichartigen Proben nach gleichen Zeiten ermittelt werden - Isochronendiagramm. lineares Kriechverhalten wenn J nicht von σ 0 abhängt Geraden. Annahmen: lineares Kriechverhalten Bild 3.27: Isochronendiagramm 38

39 Werkstoff altert nicht (kein Einfluss von t 0 ) Superposition in der Zeit unabhängig von τ erlaubt Für eine beliebige Belastungsgeschichte σ(τ) ist die zeitliche Dehnungs-Antwort ε(t) gesucht: ε(t) = f (σ(τ)) < τ t Der Werkstoff reagiert quasi zeitlich verzögert auf die vorangegangenen Belastungen - Gedächtnis. Die Belastungsfunktion σ(τ) idealisieren wir zunächst als Mehrstufenverlauf in äquidistanten Zeitabständen t. τ i = (i 1) τ i = 1, 2,..., n σ(t) = Bild 3.28: Mehrstufenverlauf der Belastungsfunktion n H(t τ i ) σ i i=1 Dann ergibt sich der Dehnungsverlauf als zeitliche Abfolge von um versetzten Kriechversuchen mit den jeweiligen Spannungsänderungen σ i (i = 1, 2,..., n): ε(t) = J(t τ 1 ) σ 1 + J (t τ 2 ) σ n = J(t τ i ) σ i = i=1 n i=1 J(t τ i ) σ i τ τ und im Grenzübergang t τ erhält man ε(t) = t 0 J(t τ) σ(τ) τ dτ (3.38) 39

40 Beginn der Lastgeschichte bei τ = 0. Darf im Prinzip aber beliebig weit ( ) zurück liegen. Durch partielle Integration kann die Ableitung σ behoben werden mit den Anfangsbedingungen τ bei τ = : ε(τ) = 0, σ(τ) = 0, σ(τ) τ = 0 ε(t) = t J(t τ) σ(τ) τ t dτ = J(0) σ(t) J(t τ) τ σ(τ) dτ (3.39) Das beim Kelvin-Voigt-Modell berechnete Kriechverhalten bzgl. einer Spannungsänderung σ 0 = σ zur Zeit τ = 0 stellt somit eine Kriechfunktion dar. τ J KV = 1 ( 1 e E (t τ)) η E Bewährte empirische Kriechfunktionen sind z.b. J F (t τ) = 1 ( ( t τ ) α ) 1 + Findley(1955) E T mit Parametern α (0, , 3) und T (Kriechzeit, bei der ε = 2 ε e 0 wird.) b) Relaxationsfunktion Wir betrachten nun ein einstufiges Relaxationsexperiment, d.h. ε(t) = ε 0 H(t τ). Die normierte Spannungsantwort wird durch die Relaxationsfunktion R(t τ) beschrieben. σ(t) = R(t τ) ε 0 (3.40) Bild 3.29: Relaxationsfunktion Mathematisch analog ergibt sich für eine beliebig vorgegebene Dehnungsgeschichte ε(τ) der zeitliche Spannungsverlauf als Integral: σ (t) = t 0 bzw. R(t τ) ε(τ) τ dτ (3.41) 40

41 σ(t) = R(0) ε(t) t R(t τ) τ ε(τ) dτ z. B. Relaxationsverhalten des Maxwell Körpers: R M = E e E η (t τ) Für einachsige Beanspruchung sind Relaxations- und Kriechfunktion gleichwertige Materialfunktionen, die sich ineinander umrechnen lassen. Die R-Funktion stellt gewissermaßen die Umkehrfunktion der J-Funktion dar, d.h. die Umkehrung des zeitabhängigen σ ε-gesetzes. t J(t τ) R(τ) τ dτ = 1 Das lässt sich einfach zeigen, wenn man den einstufigen Relaxationsversuch mit der Kriechfunktion beschreibt: ε(t) = t J(t τ) σ(τ) τ dτ = ε 0 = const Für σ(τ) wird jetzt die Relaxationsfunktion angewandt: σ(τ) = R(τ τ 0 ) ε 0 mit τ 0 = 0! t J(t τ) R(τ) τ dτ = Viskoplastisches Material Erscheinungsform Ein viskoplastisches Material weist eine bleibende (irreversible) plastische Verformung infolge der Beanspruchung σ auf, deren Bildung aber ein zeitabhängiger (rate-dependent = geschwindigkeitsabhängiger) Vorgang ist (rheonom, viskos). Ein statisches Gleichgewicht zwischen Beanspruchung und Materialantwort ist nicht möglich. Zum viskoelastischen Material bestehen drei wesentliche Unterschiede: nach Entlastung bleiben viskoplastische Dehnungen bestehen (keine Relaxation der Dehnungen auf Null) Viskoplastisches Fließen beginnt erst oberhalb einer Grenzspannung σ F0 das viskoplastische Fließen ist nichtlinear infolge von Verfestigung 41

42 Anwendungsbereich: Kriechen von Metallen bei T > 1 3 T M (Diffusion von Punktdefekten, Versetzungskletten, Korngrenzengleiten,... dynamische Fließkurven des Umformverhaltens) Die Zeitabhängigkeit im plastischen Fließgesetz äußert sich in zwei Phänomenen: die σ ε-verfestigungskurve hängt von der Dehnrate ε ab bei konst. Spannung σ σ F0 kommt es zum Kriechen σ = f (ε e, ε p, ε p ) Kriechkurve mit den Bereichen I: primär:, II: sekundär, III: tertiär Dehnratenabhängigkeit der plastischen Verformung Kriechgesetze ε = f (σ, t, T) Bild 3.30: Kriechkurve und Dehnratenabhängigkeit Ansätze: z.bsp. Norton: Garofalo: Lifshitz: f = f 1 (σ) f 2 (t) f 3 (T) ε = Bσ n ε = A [ sinh ( σ σ 0 )] n ε = σ T exp ( Q kt ) Bingham-Modell Dieser rheologische Körper aus Feder, Dämpfer und Reibglied beschreibt ein elastisch-idealviskoplastisches Verhalten. ε = ε e + ε vp (3.42) 42

43 Bild 3.31: BINGHAM-Modell Elastischer Bereich: σ < σ F0 bzw. Φ(σ) = σ σ F0 < 0 : ε = ε e = σ E, εvp = 0 Viskoplastischer Bereich: σ σ F0 bzw. Φ(σ) = σ σ F0 0: ε = ε e + ε vp, ε e = σ E, εvp = σ σ FO η = Φ η Oberhalb σ FO verhält sich der Bingham-Körper wie der Maxwell-Körper. Verformungsversuch bei konstanter Dehnrate: [ ] σ(ε) = σ F0 + η ε 0 1 e η E ε ε 0 (analog Maxwell) : Kriechtest: σ(t) = σ 0 [ H(t) H(t t 1 ) ], σ 0 > σ F0 0 t t 1 : ε(t) = ε 0 + (σ 0 σ F0 ) η t 1 t : ε(t) = (σ 0 σ F0 ) η t, ε 0 = σ 0 E t 1 = konst. = ε vp (t 1 ) 43

44 Bild 3.32: Verformungsversuch Bild 3.33: Kriechtest - Bingham-Modell Relaxationstest: ε(t) = ε 0 [ H(t) H(t t 1 ) ] ; ε 0 E > σ F0 0 t t 1 : ε = σ E + σ 0 σ F0 η = 0 σ(t) = σ F0 + (E ε 0 σ F0 ) e E η t (3.43) t 1 t : σ 1 (t 1 ) = σ F0 + (E ε 0 σ F0 ) e E η t 1 E ε 0 (el. Sprung) 44

45 für σ 1 < σ F0 σ(t) = σ F0 [ E ε 0 ( 1 e E η t 1 ) σf0 ] e E η t Bild 3.34: Relaxationstest -BINGHAM-Modell Nichtlineare viskoplastische Modelle Beim Bingham-Körper ist die viskoplastische Dehnrate linear von der Differenz Spannung σ - Fließspannung σ F0 abhängig, d.h. dem Spannungswert, um den die Fließbedingung Φ überschritten wird. Nach Perzyna nennt man dies den Overstress, der genau dem Wert von entspricht, wenn man im Unterschied zur Plastitzität Φ > 0 zulässt. Die Funktion Φ(σ,...) wird in dieser Bedeutung auch Belastungsfunktion (loading funktion) bzw. generalisiertes Dissipationspotential Ω(σ,...) bezeichnet (wichtig für spätere mehrachsige Formulierung). Damit gilt in Erweiterung von den Regeln der Plastizität ein Fließgesetz für Viskoplastizität: { 0 Φ < 0 ε vp = λ Φ Φ 0 σ (3.44) wobei : λ = σ σ F0 η = Φ η und Φ σ = sign σ Beide Fälle der Ungleichung kann man mit der Macauly-Klammer zusammenfassen: ε vp = 1 η 1 σ F0 σ σ linear ideal viskoplastisch 45

46 Die Erweiterung auf beliebige nichtlineare Gesetze für die viskoplastische Dehnrate als Funktion der viskosen Spannung σ v = Φ kann durch einen beliebigen empirischen Zusammenhang V(Φ) erfolgen. ε vp = V(Φ) sign σ (3.45) ( ) σ z.b. Norton Baley : ε vp v N =, V(Φ) = A ( ) N Φ A ε vp = N Φ sign (σ) = A N σ σf0 sign (σ) (3.46) A In Übereinstimmung mit den Verfestigungsarten der Plastizität können mit der Wahl von Φ jetzt auch viskoplastisch verfestigende Eigenschaften modelliert werden, d.h. die Spannungsgrenze, oberhalb derer viskoelastische Verformung auftritt, darf sich aufgrund der Verformung (Verfestigung) verschieben. R(p) IsotropeVerfestigung : p = t ε vp ε vp dt = ε vp 0 X(ε vp ) = c ε vp kinematischeverfestigung Φ(σ, R, X) = σ X σ F0 R ( 0 )! (3.47) Fließgesetz : ε vp = V(Φ) Φ σ = V(Φ) sign (σ) z.b.: lineares Kriechgesetz mit isotroper Verfestigung: ε vp = 1 η σ σ F0 R sign (σ) (3.48) Eingeschlossen ist darin auch der Spezialfall σ F0 = 0, d.h. ein verschwindender elastischer Bereich und sofortiges viskoses Fließen. Während des viskoplastischen Fließens wird der Abstand zur Fließkurve geringer, d.h. Φ < 0 solange bis die statische Fließbedingung Φ = 0 erreicht ist. Insofern ist diese Theorie der internen Variablen für Viskoplastizität eine Erweiterung der Beziehungen der Plastizitätstheorie, wobei die ratenunabhängige Plastizitätstheorie sich als statischer Grenzfall der ratenabhängigen Viskoplastizität herausstellt. 46

47 Bild 3.35: Lineares Kriechgesetz mit isotroper Verfestigung 47

48 4 Kontinuumsmechanische Werkstoffmodelle für mehrachsige Beanspruchung 4.1 Werkstoffunabhängige Gleichungen Spannungsvektor und Spannungstensor Wir betrachten einen deformierbaren Körper unter Wirkung eines Gleichgewichtssystems äußerer Belastungen. An einem beliebigen Punkt P legen wir eine differentiell kleine Schnittfläche A mit einer beliebigen Orientierung, gekennzeichnet durch den Normaleneinheitsvektor n, fest. Bild 4.1: Spannungsvektor Aus der wirkenden Schnittkraft F erhält man durch Grenzwertbildung den Spannungsvektor F t = lim A 0 A = df (4.1) da Der Spannungsvektor t am Ort P hängt von der Flächenorientierung n ab. Wir untersuchen deshalb den Spannungszustand in P bzgl. der drei Schnittebenen senkrecht zu den Koordinatenachsen: e n1 = e x, e n2 = e y, e n3 = e z Der Spannungsvektor t an jeder Fläche wird in seine drei kartesischen Komponenten σ i j zerlegt, wobei gilt: 48

49 σ i j - Spannungskomponenten des Spannungstensors, i, j = x, y, z 1. Index: Richtung der Flächennormalen (positive Koordinaten) 2. Index: Richtung der Spannungskomponente Komponenten mit gleichen Indizes sind : Bild 4.2: Spannungstensor Normalspannungen σ xx, σ yy, σ zz (4.2) Komponenten mit verschiedenen Indizes sind : Schubspannungen τ xy = τ yx, τ xz = τ zx, τ yz = τ zy (4.3) Aus dem Momentengleichgewicht am Volumenelement folgt, dass einander zugeordnete Schubspannungen gleich sind. Der Spannungszustand im Punkt P ist eindeutig durch diese 6 unabhängigen Werte charakterisiert. Sie bilden die Komponenten des Spannungstensors σ (symmetrischer Tensor 2. Stufe) Matrizenschreibweise: σ xx τ xy τ xz σ = [σ i j ] 3x3 = τ yx σ yy τ yz = [σ i j] T (4.4) τ zx τ zy σ zz 49

50 Zusammenhang zwischen Spannungsvektor und Spannungstensor Projektionen: cos α = n e x = n x, cos β = n e y = n y, cos γ = n e z = n z GGB am Volumenelement ergibt: t x t y t z σ xx τ yx τ zx = τ xy σ yy τ zy τ xz τ yz σ zz n x n y n z, [t i] = [σ i j ] [n j ], t = σ n (4.5) Der Spannungsvektor ergibt sich aus dem Skalarprodukt des Spannungstensors mit dem Normaleneinheitsvektor n der Schnittfläche. Hauptachsentransformation: Man kann den Spannungstensor vom Ausgangssystem (x, y, z) in ein beliebiges gedrehtes Koordinatensystem (x, y, z ) umrechnen (transformieren), siehe TM II. Für jeden Spannungszustand existiert genau ein Koordinatensystem, in dem der Spannungstensor nur Normalspannungsaber keine Schubspannungskomponenten besitzt. Dieses nennt man das Hauptachsensystem und die drei Normalspannungen in diesem System sind die Haupt(normal)spannungen. Eine Hauptachsenrichtung ist dadurch charakterisiert, dass der Spannungsvektor parallel zur Richtung der Flächennormalen verläuft, d.h.: t = σ n! = σ n, t i = σ i j n j! = σ ni mit i = x, y, z σ i j n j σ δ i j n j = (σ i j σ δ i j ) n j = 0 i σ xx σ τ yx τ zx τ xy σ yy σ τ zy τ xz τ yz σ zz σ n x n y n z 0 = 0 0 (4.6) Mathematisch gesehen stellt die Bestimmung der Hauptachsen eine Eigenwertaufgabe dar. Dabei ist σ der gesuchte Eigenwert (Hauptspannung) und n die dazugehörige Hauptachsenrichtung. Das homogene GLS für die gesuchten Hauptachsenrichtungen hat nur dann nichttriviale Lösungen wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet. σ xx σ τ yx τ zx τ xy σ yy σ τ zy τ xz τ yz σ zz σ = 0 Die Auflösung (Entwicklungssatz) führt auf eine Gleichung 3. Grades, deren 3 reelle Lösungen die Hauptspannungen σ α (mit α = { I, II, III }) sind: 50

51 σ 3 I 1 (σ i j ) σ 2 + I 2 (σ i j ) σ I 3 (σ i j ) = 0 (4.7) Die Lösung des homogenen Gleichungssystems für jede Hauptspannung σ α ergibt die 3 (senkrecht zueinander stehenden) Hauptrichtungen: n α = n αx e x + n αy e y + n αz e z = n αi e i α = {I, II, III} Normierung als Einheitsvektor : n 2 αx + n 2 αy + n 2 αz = 1 (4.8) Invarianten des Spannungstensors: I 1 (σ i j ) = I σ 1 = σ xx + σ yy + σ zz = σ kk I 2 (σ i j = I σ 2 = σ xx τ xy + σ xx τ xz + τ xy σ yy τ xz σ zz σ yy τ yz τ yz σ zz = 1 2 (σ kk σ ll σ kl σ lk ) (4.9) = σ xx σ yy + σ xx σ zz + σ yy σ zz τ 2 xy τ 2 yz τ 2 xz I 3 (σ i j ) = I σ 3 = det(σ kl) = σ xx σ yy σ zz + 2 τ xy τ yz τ xz σ xx τ 2 yz σ yy τ 2 xz σ zz τ 2 xy 1. Berechnen der 3 Zahlen bzw. Invarianten (4.9) 2. Lösung der Gleichung 3. Grades (4.7) 3. Lösung von (6) mit Nebenbedingung (4.8) Hauptrichtungen n αi, α = {I, II, III} Vereinbarung : σ I σ II σ III (4.10) In einem anderen Koordinatensystem nehmen die Schubspannungen Extremalwerte an: Hauptschubspannungen: τ I = 1 2 (σ II σ III ), τ II = τ max = 1 2 (σ I σ III ), τ III = 1 2 (σ I σ II ) (4.11) Zerlegung des Spannungstensors in Deviator und Kugeltensor: σ i j = σ D i j + σ H δ i j (4.12) 51

52 Kugeltensor (hydrostatische Spannung) : Deviator : σ H δ i j, σ H = σ kk 3 = Iσ 1 3 = σ xx + σ yy + σ zz 3 σ D i j = σ i j σ H δ i j Bsp. : ESZ : σ H = 1 3 (σ xx + σ yy ), σ D kk = 0! 2 σ xx τ xy 0 σ τ xy σ yy 0 = 3 xx 1 σ 3 yy τ xy 0 2 τ xy σ 3 yy 1 σ 3 xx (σ + σh 3 xx + σ yy ) Verschiebungen und Verzerrungen Als Folge der Belastung erfährt jeder Punkt P (x, y, z) des Körpers eine Verschiebung, die mit dem Vektor u(x, y, z) = u x e x + u y e y + u z e z (4.13) ausgedrückt wird. Setzt man voraus, daß der Zusammenhang des Körpers bei der Verformung erhalten bleibt (keine Klaffungen, Durchdringungen), so müssen die Verschiebungen stetige Funktionen der Koordinaten (x, y, z) sein. Zwei infinitesimal benachbarte Punkte P (x, y, z) und Q (x + dx, y + dy, z + dz) erfahren unterschiedliche Verschiebungen u (x, y, z) und u (x + dx, y + dy, z + dz) = u (x, y, z) + du. Die relative Verschiebung du kann für jede Komponente mit einer Taylor -Entwicklung bestimmt werden: du i = u i (x, y, z) x dx + u i (x, y, z) y dy + u i (x, y, z) z dz, i = x, y, z Dies soll in der Ebene veranschaulicht werden. Wir betrachten drei Punkte P (x, y), Q (x + dx, y) und R (x, y + dy), deren Lage auf dem unverformten Körper markiert wird. Infolge der Verformung verschieben sie sich in die Lagen P, Q und R. (Ableitung siehe TM II.) Dehnungen sind die relativen Längenänderungen der Strecken in Achsrichtung: ε xx = P Q PQ PQ = u x x analog: ε yy = u y y, ε zz = u z z (4.14) 52

53 Gleitungen sind die Änderungen des Winkels am Volumenelement: γ xy = Q P R Q P R = α + β α tan α = u y x, β u x y, γ xy = u y x + u x y = 2 ε xy (4.15) Bild 4.3: Verschiebungen und Verzerrungen analog: 1 2 γ xy = ε xy = 1 ( uy 2 x + u ) x = ε yx = 1 y 2 γ yx 1 2 γ yz = ε yz = 1 ( uz 2 y + u ) y = ε zy = 1 z 2 γ zy 1 2 γ zx = ε zx = 1 ( ux 2 z + u ) z = ε xz = 1 x 2 γ xz (4.16) Dehnungen und Gleitungen bezeichnet man als Verzerrungsgrößen / Deformationen. Sie charakterisieren eindeutig den Verformungszustand an einem Punkt P des Körpers. Die ε i j bilden 53

54 die Komponenten eines symmetrischen Tensors, dem Verzerrungstensor. ε xx ε xy ε xz ε = [ε i j ] = ε yx ε yy ε yz = [ε i j] T (4.17) ε zx ε zy ε zz Indexschreibweise: ε i j = 1 2 ( u j + u ) i x i x j i, j = x, y, z Auch für den Verzerrungstensor kann man wie beim Spannungstensor eine Transformation in Hauptachsen finden, bei der die Gleitungen Null werden und die Dehnungen Hauptwerte ε α (mit α = {I, II, III}) annehmen. Vereinbarung : ε I ε II ε III (4.18) In einem anderen Koordinatensystem nehmen die Gleitungen Extremalwerte an: Hauptgleitungen: γ I = (ε II ε III ); γ II = γ max = (ε I ε III ); γ III = (ε I ε II ) (4.19) Zerlegung des Verzerrungstensors in Deviator und Kugeltensor: ε i j = ε D i j + ε H δ i j Kugeltensor : ε H δ i j ; ε H = (ε xx + ε yy + ε zz ) 3 = ε kk 3 = I 1(ε i j )/3 Deviator : ε D i j = ε i j ε H δ i j Volumendehnung : V V 0 = 3 ε H = ε kk Die Hauptachsen des Verzerrungstensors und des Spannungstensors sind bei isotropen elastischen Materialverhalten identisch. Dieselben Hauptachsen besitzen auch die entsprechenden Deviatortensoren. 54

55 4.2 Elastische Materialgesetze Allgemeines anisotropes Elastizitätsgesetz Wesentliches Merkmal der Elastizität ist die Reversibilität der Verzerrungen bei Entlastung und der eindeutige Zusammenhang zwischen den momentanen Spannungen σ i j und momentanen elastischen Verzerrungen ε i j. Dies wird physikalisch und mathematisch dadurch gewährleistet, dass man die spez. innere Energie = Verformungs(Formänderungs)energiedichte pro Volumen als gespeicherte potentielle Energie in Abhängigkeit von den Zustandsvariablen ε e i j formuliert: du = σ xx dε xx + σ yy dε yy + σ zz dε zz (4.20) + τ yz dε yz + τ zy dε zy + τ xz dε xz + τ zx dε zx + τ xy dε xy + τ yx dε yx du = σ i j dε i j U(ε i j ) = ε i j 0 σ kl dε kl Das ist die Verformungsenergiedichte für den allgemeinen mehrachsigen Beanspruchungsfall. Daraus folgt umgekehrt: σ i j = U(ε i j) ε i j Die einfachste und physikalisch plausible Form der Funktion U(ε i j ) ist eine Reihenentwicklung bis zum Glied 2. Ordnung: U(ε i j ) = A B i j ε 0 i j C i jkl ε i j ε kl +... woraus der lineare Zusammenhang folgt: σ i j = U ε i j = C i jkl ε kl (4.21) Das ist das Hookesche Gesetz in seiner allgemeinsten Form. C i jkl - Elastizitätstensor 4. Stufe mit 3 4 Termen. Wegen Symmetrie von σ i j, ε kl und Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen (C i jkl = 2 U/ ε i j ε kl ) besitzt er die Symmetrieeigenschaften: C i jkl = C kli j = C jikl = C i jlk = C jilk so dass 21 von Null verschiedene elastische Konstanten bleiben. 55

56 Zur Veranschaulichung wird das allgemeine Hookesche Gesetz von der Tensornotation in Matrizenschreibweise überführt (Voigtsche Schreibweise): σ 1 σ xx C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 ε xx ε 1 σ 2 σ yy C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 ε yy ε 2 σ 3 σ = zz C = 33 C 34 C 35 C 36 ε zz ε = [C σ 4 τ yz C 44 C 45 C 46 γ α β ] 3 yz ε 4 σ 5 τ zx sym C 55 C 56 γ zx ε 5 σ 6 τ xy C 66 γ xy ε 6 (4.22) [σ α ] = [C α β ] [ε β ] [C β α ] = [C α β ] Summation griechischer Indizees: α, β = 1, 2,... 6 Im allgemeinen anisotropen Fall ruft jede einzelne vorgegebene Verzerrungskomponente einen vollständigen mehrachsigen Spannungszustand hervor! Die Umstellung des Hookeschen Gesetzes nach den Verzerrungen geschieht durch Invertierung der Elastizitäts(steifigkeits)matrix. [ε α ] = [C 1 α β] [σ β ] = [S α β ] [σ β ] ε xx S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 16 σ xx ε yy S 22 S 23 S 24 S 25 S 26 σ yy ε zz S = 33 S 34 S 35 S 36 σ zz γ yz S 44 S 45 S 46 τ yz γ zx sym S 55 S 56 τ zx γ xy S 66 τ xy } {{ } Nachgiebigkeitsmatrix (4.23) Viele Werkstoffe und Kristallstrukturen besitzen Symmetrieeigenschaften, wodurch die Zahl der elastischen Konstanten reduziert wird. a) Orthotropes Materialverhalten Materialsymmetrie bzgl. der (x 1, x 2 ) - Ebene, (x 2, x 3 ) - Ebene und (x 3, x 1 ) - Ebene: C 11 C 12 C C 12 C 22 C C [C α β ] = 13 C 23 C C C C 66 (4.24) 56

57 9 unabhängige elastische Konstanten Bsp.: Orthorhombische Kristalle, mehrlagige Faserverbunde b) Transversal isotropes Materialverhalten Hierbei wird angenommen, dass sich das Material in einer Ebene (x 1, x 2 ) in allen Richtungen gleich verhält (isotrop), aber in der dritten Koordinate (x 3 ) andere Eigenschaften besitzt. [C α β ] = C 11 C 12 C 13 C 12 C 11 C 13 0 C 13 C 13 C 33 C C (C 2 11 C 12 ) (4.25) 5 unabhängige elastische Konstanten Bsp.: Unidirektional faserverstärkte Verbundwerkstoffe, Holz, hexagonale Kristalle, piezoelektrische Materialien c) Isotropes Materialverhalten Isotropie ist die höchste Symmetriestufe, bei der das elastische Verhalten in allen Raumrichtungen identisch wird. C 11 C 12 C 12 C 12 C 11 C 12 0 C [C α β ] = 12 C 12 C 11 C C C 44 (4.26) C 44 = 1 2 (C 11 C 12 ) = G Schubmodul C 12 = νe (1 + ν)(1 2ν), C 11 = 2 unabhängige elastische Konstanten (1 ν)e (1 + ν)(1 2ν) Bsp.: Metalle (Polykristalle), Polymere, Glas,... Entsprechend vereinfacht sich auch die Nachgiebigkeitsmatrix. 57

58 d) Darstellung in den Ingenieurkonstanten Die elastischen Konstanten C α β und S α β müssen durch geeignete Experimente für jeden Werkstoff ermittelt werden. Dafür bieten sich folgende Grundversuche an: Zug/Druck: Längsdehnungen (E-Modul) und Querkontraktionen(ν-Poisson-Zahl) Schub/Torsion: Gleitungen (G-Modul) Anwendung auf orthotropes Material in allen drei Achsrichtungen: ε 11 1/E 1 ν 21 /E 2 ν 31 /E σ 11 ε 22 ν 12 /E 1 1/E 2 ν 32 /E σ 22 ε 33 ν = 13 /E 1 ν 23 /E 2 1/E σ 33 γ /G τ 23 γ /G 31 0 τ 31 γ /G 12 τ 12 (4.27) Zug σ 11 : ε 11 = σ 11 = σ 11 S 11 = 1 E 11 E 1 E 1 ε 22 = ν 12 ε 11 = ν 12 σ 1 S 21 = ν 12 E 1 E 1 ε 33 = ν 13 ε 11 = ν 13 σ 1 S 31 = ν 13 E 1 E 1 γ α β 0 S α1 = 0 (α = 4, 5, 6) Zug σ 22 : ε 22 = σ 22 S 22 = 1 E 2 E 2 ε 11 = ν 21 ε 22 = ν 21 σ 22 S 12 = ν 21! = ν 12 = S 21 Symmetrie! E 2 E 2 E 1 ε 33 = ν 23 ε 22 = ν 23 σ 22 S 32 = ν 23! = ν 32 = S 23 E 2 E 2 E 3 γ α β 0 S α2 = 0 (α = 4, 5, 6) Zug σ 33 : 58

59 ε 33 = σ 33 S 33 = 1 E 3 E 3 ε 11 = ν 31 ε 33 = ν 31 σ 33 S 13 = ν 31! = ν 13 = S 31 E 3 E 3 E 1 ε 22 = ν 32 ε 33 = ν 32 σ 33 S 23 = ν 32! = ν 32 = S 32 E 3 E 3 E 2 γ α β 0 S α3 = 0 (α = 4, 5, 6) Schub (ergibt nur Gleitung): γ 23 = τ 23 G 23 in Ebene (x 2, x 3 ) S 44 = 1 G 23 γ 31 = τ 31 G 31 in Ebene (x 1, x 3 ) S 55 = 1 G 31 γ 12 = τ 12 G 12 in Ebene (x 1, x 2 ) S 66 = 1 G 12 Somit gibt es bei Orthotropie insgesamt 12 Konstanten (3 E α, 3 G α β, 6 ν α β ), von denen aber nur 9 unabhängig voneinander sind wegen Symmetrieeigenschaften: ν 21 E 1 = ν 12 E 2, ν 23 E 3 = ν 32 E 2, ν 31 E 1 = ν 13 E 3 Spezialfall Isotropie: E 1 = E 2 = E 3 = E alle ν α β = ν 1 ν 1 2 alle G α β = G = E 2 (1 + ν) Isotropes Elastizitätsgesetz mit Temperaturdehnungen Bei Voraussetzung eines linear-elastischen, homogenen und isotropen Materialverhaltens gilt das Hookesche Gesetz in allen drei Koordinatenrichtungen: ε xx = 1 E [ σ xx ν (σ yy + σ zz ) ] + α T T ε yy = 1 E [ σ yy ν (σ zz + σ xx ) ] + α T T ε zz = 1 E [ σ zz ν (σ xx + σ yy ) ] + α T T (4.28) 59

60 E - Elastizitätsmodul ν - Poissonsche Querkontraktionszahl 0 ν 1/2 Wärmedehnung ist nicht ursächlich mit Spannungen gekoppelt! T = T(x, y, z) T 0 Temperaturdifferenz α T - linearer thermischer Ausdehnungskoeffizient Keine Gleitungen aufgrund Erwärmung T! Für die Gleitungen bei Schubbelastung gilt: Bild 4.4: Verformungen bei Zug und Schub γ xy = τ xy G, γ yz = τ yz G, γ zx = τ zx G (4.29) G - Schubmodul / Gleitmodul Verallgemeinerte Schreibweise des Hookeschen Gesetzes: ε i j = 1 + ν E σ i j ν E σ kk δ i j + α T T δ i j (4.30) Die drei elastischen Konstanten E, ν und G sind nicht unabhängig voneinander (nur 2). Es besteht der Zusammenhang: G = E 2 (1 + ν) (4.31) 60

61 Lamesche Konstanten: µ = E 2 (1 + ν) = G, λ = E ν (1 + ν) (1 2 ν) = 2 µ ν (1 2 ν) (4.32) Die Umstellung von (4.28) bzw. (4.29) nach den Spannungen liefert die inversen Beziehungen: σ xx = E [ ν ] ε xx ν 1 2 ν (ε E xx + ε yy + ε zz ) 1 2 ν α T T σ yy = E [ ν ] ε yy ν 1 2 ν (ε E xx + ε yy + ε zz ) 1 2 ν α T T σ zz = E [ ν ] (4.33) ε zz ν 1 2 ν (ε E xx + ε yy + ε zz ) 1 2 ν α T T τ xy = G γ xy, τ yz = G γ yz, τ zx = G γ zx Verallgemeinerte Schreibweise: σ i j = 2 µ ε i j + λ δ i j ε kk (3 λ + 2 µ) α T T δ i j Beziehung zwischen allseitiger hydrostatischer Spannung σ H und der Volumenänderung 3ε H = ε xx + ε yy + ε zz = dv/v 0 : ε H = σh 3 K + α T T (4.34) K = E 3 (1 2 ν) = 1 (2 µ + 3 λ) Kompressionsmodul (4.35) Ebene Aufgaben der Elastizitätstheorie Als Scheiben werden ebene Flächentragwerke bezeichnet, die nur durch Kräfte in ihrer Ebene (x, y) belastet werden. Dann sind alle Feldgrößen σ i j, ε i j und u i j nur Funktionen von (x, y)! Die Relation zwischen den Verzerrungen und Verschiebungen reduziert sich in der Ebene auf: ε xx = u x x, ε yy = u y y, γ xy = u x y + u y x (4.36) Bezüglich der Annahmen über die Feldgrößen in der Dickenrichtung unterscheidet man zwei Approximationen: a) Ebener Spannungszustand (ESZ) Für sehr dünne Scheiben (Dicke h << als Abmessungen in der Ebene) kann das Modell des ebenen Spannungszustands angewandt werden: 61

62 Bild 4.5: Ebener Spannungszustand Die Spannungskomponenten in der Ebene σ xx, σ yy und τ xy verhalten sich nahezu konstant über die Dicke h/2 z +h/2. An der Ober- und Unterseite z = ±h/2 wirken keine Belastungen, so dass dort σ zz = τ xz = τ yz = 0 sein muss. Diese Spannungskomponenten müssen deshalb auch im Inneren klein sein, verglichen mit den Komponenten in der Ebene, d.h. man kann approximieren: σ zz (x, y) = τ xz (x, y) = τ yz (x, y) 0 (4.37) Damit reduziert sich das Hookesche Gesetz (4.28) u. (4.32) auf die Form: ε xx = 1 E [ σ xx ν σ yy ] + α T T ε yy = 1 E [ σ yy ν σ xx ] + α T T ε zz = ν E [ σ xx + σ yy ] + α T T γ xy = τ xy 2 (1 + ν) = G E γ yz = γ zx = 0 τ xy (4.38) oder aufgelöst nach den Spannungen: σ xx = E 1 ν [ ε 2 xx + ν ε yy (1 + ν) α T T ] σ yy = E 1 ν [ ε 2 yy + ν ε xx (1 + ν) α T T ] E τ xy = 2 (1 + ν) γ xy = G γ xy (4.39) 62

63 Die Dehnung ε zz in Dickenrichtung kann sich frei ausbilden. [ σ zz = 0 in (4.33) ] ε zz = 1 1 ν [ ν (ε xx + ε yy ) (1 + ν) α T T ] (4.40) b) Ebener Verzerrungszustand (EVZ) Das Modell eine ebenen Verzerrungszustands liegt vor, wenn die Verschiebungskomponente u z überall Null ist und die Komponenten u x in der Ebene nicht von u y abhängen (nur (x, y)). Dann verschwinden alle Verzerrungskomponenten in z - Richtung: ε zz = γ xz = γ yz = 0 (4.41) Der EVZ trifft auf dicke prismatische Bauteile zu, deren Geometrie und Belastung sich mit der z - Koordinate nicht ändert und wo die z - Verschiebung durch die Lagerbedingungen verhindert wird. y Bild 4.6: Bsp. Ebener Verzerrungszustand, Rohr unter Innendruck Auch die Spannungen können demzufolge nicht von der Längskoordinate z abhängen. Einsetzen von (4.41) in das allgemeine Elastizitätsgesetz (4.33) ergibt: E σ xx = (1 + ν) (1 2 ν) [ ε E xx (1 ν) + ν ε yy ] 1 2 ν α T T E σ yy = (1 + ν) (1 2 ν) [ ε E yy (1 ν) + ν ε xx ] 1 2 ν α T T E σ zz = (1 + ν) (1 2 ν) [ ν (ε E xx + ε yy )] 1 2 ν α T T (4.42) τ xy = σ γ xy 63

64 Die Umstellung nach den Dehnungen liefert: ε xx = 1 [ ν2 σ xx ν ] E 1 ν σ yy + (1 + ν) α T T ε yy = 1 [ ν2 σ yy ν ] E 1 ν σ xx + (1 + ν) α T T ε zz = 0 γ xy = τ xy G ; γ yz = 0 ; γ zx = 0 (4.43) Die Längsspannung σ zz ist verschieden von Null, wird aber durch die Spannungen in der Ebene σ xx, σ yy festgelegt. Aus (4.28) erhält man mit ε zz = 0: σ zz = ν (σ xx + σ yy ) E α T T (4.44) Führt man die Substitution ein E E = E 1 ν 2, ν ν = ν 1 ν, α T α T = (1 + ν) α T (4.45) so lässt sich das Hookesche Gesetz für den EVZ auf eine analoge Form wie die Beziehungen (4.38) und (4.39) für den ESZ bringen Koordinatentransformation bei Anisotropie Wenn die Koordinatenachsen des anisotropen Materials gegenüber dem globalen Koordinatensystem des Bauteils gedreht sind, oder wenn man die elastischen Konstanten in einer beliebigen Orientierung bestimmen will, so ist eine Transformation der Grundgleichungen erforderlich. e 1 e 2 e 3 = R i j e 1 e 2 e 3 R i j = cos(e i, e j ), R ji = cos(e i, e j) (4.46) Richtungskosinus von e i zur Basis e j. z.b. Drehung um die e 3 -Achse: cos ϕ sin ϕ 0 [R i j ] = sin ϕ cos ϕ

65 Globale Koordinaten Materialkoordinaten Bild 4.7: Koordinatentransformation Bild 4.8: Drehung um e 3 -Achse Transformation der Spannungen und Verzerrungen (ohne Beweis): [σ α] = [T σ α β ] [σ β] α, β = 1, 2,..., 6 [ε α] = [T ε α β ] [ε β] [T α β ] =... (4.47) R 2 11 R 2 12 R 2 13 s R 12 R 13 s R 11 R 13 s R 11 R 12 R 2 21 R 2 22 R 2 23 s R 22 R 23 s R 21 R 23 s R 21 R 22 R = 2 31 R 2 32 R 2 33 s R 32 R 33 s R 31 R 33 s R 31 R 32 e R 21 R 31 e R 22 R 32 e R 23 R 33 R 22 R 33 + R 23 R 32 R 21 R 33 + R 23 R 13 R 21 R 32 + R 22 R 31 e R 11 R 31 e R 12 R 32 e R 13 R 33 R 12 R 33 + R 13 R 32 R 11 R 33 + R 13 R 31 R 11 R 32 + R 12 R 31 e R 11 R 21 e R 12 R 22 e R 13 R 23 R 12 R 23 + R 13 R 22 R 11 R 23 + R 13 R 21 R 11 R 22 + R 12 R 21 65