3. Physikalische Nichtlinearität

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1 Baustatik WS 2012/ Physikalische Nichtlinearität 3.3 Grundlagen der Plastizitätstheorie

2 Grundgleichungen der Plastizitätstheorie (1D) Fließfunktion und Fließbedingung: F( ) 0 Gesamte Dehnungsgeschwindigkeit: Elastische Dehnungsgeschwindigkeit: Fließregel: E el pl el pl F el E Plastische Dehnungsgeschwindigkeit

3 Grundgleichungen der Plastizitätstheorie (1D) Konsistenzbedingung: F ( ) 0... Belastungs- / Entlastungsbedingungen: F F 0 : Belastung F 0 und 0 : neutrale Belastung F 0 : Enlastung

4 Allgemeine Darstellung der Fließfunktionen (2D, 3D) 2 unterschiedliche Darstellungen für die Fließfunktion bzw. Fließbedingung: oder F( 1, 2, 3) 0 F( I1, J2, J3) 0,, : Hauptspannungen I : 1. Invariante des Spannungstensors J J : 2. Invariante des Spannungsdeviators s : 3. Invariante des Spannungsdeviators s I = + = x y z Spannungsdeviator: I s 3 1 I M s, s, s : Hauptdeviatorspannungen I J J 1 ( ) 6 ( ) ( ) det( s) s s s

5 Fließbedingung nach Tresca 3D 2D F : Fließspannung F F F F max,, F Maximale Schubspannungstheorie Henri Édouard Tresca ( ) (

6 Fließbedingung nach von Mises 3D 2D F F F F ( 1 2) ( 2 3) ( 3 1) 2 F J 2 Plastizitätstheorie, J 2 Fließtheorie Richard von Mises ( ) (

7 Vergleich: Tresca und von Mises 3D 2D F F F F (

8 Fließbedingung nach Mohr-Coulomb 3D 2D Ft Fc Ft m 1 max 1 2 K ( 1 ), ( ), ( ) K K Fc m 1 m ; K m 1 Ft Fc Ft Fc : Fließspannung für Druck (c = compression) : Fließspannung für Zug (t = tension) Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sich zu der Fließbedingung von Tresca, falls =! ( Ft Fc Fc

9 Fließbedingung nach Mohr-Coulomb (Schubspannung) (Druckspannung) Christian Otto Mohr ( ) tan( ) c c: Kohäsion : innerer Reibungswinkel Charles-Augustin de Coulomb ( ) Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sich zu der Fließbedingung von Tresca, falls =0! (

10 Fließbedingung nach Drucker-Prager 3D 2D Ft Fc Ft Fc m1 m ( 1 2 3) ( 1 2) ( 2 3) ( 3 1) Fc m Ft Fc Die Fließbedingung von Drucker-Prager reduziert sich zu der Fließbedingung nach von Mises, falls =! ( Ft Fc

11 Fließbedingung nach Drucker-Prager Daniel Charles Drucker ( ) William Prager ( )

12 Andere Darstellung der Fließbedingungen Es ist einfacher, die folgende Darstellung für die Fließfunktion bzw. Fließbedingung zu verwenden: I1: 1. Invariante des Spannungstensors J 2 : 2. Invariante des Spannungsdeviators J : 3. Invariante des Spannungsdeviators 3 I J J F( I1, J2, J3) 0 = + = x y z 1 ( ) 6 ( ) ( ) det( s) s s s Spannungsdeviator: I s 3 1 I M I : Spannungstensor I : Einheitstensor, Einheitsmatrix

13 Andere Darstellungen der Fließbedingungen F F

14 Vergleich von Fließbedingungen Bemerkungen: Die Fließbedingungen von Tresca und von Mises sind geeignet für duktile Werkstoffe (Stahl, Metalle, ). Die Fließbedingungen von Mohr-Coulomb und Drucker-Prager sind geeignet für Boden, Beton, Fels, Keramik und körnige Werkstoffe.