l~~j f n1 1 cos U2 cos u3 [ni] BODENMECHANIK UND FELSMECHANIK Spannungen im Boden Seite xx Lxy LXZ o Lyx Oyy Lyz Spannungen im Boden.

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Hella Ziegler
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1 Spannungen im Boden Seite Spannungen im Boden. Grundlagen Spannungsvektor und Spannungstensor Spannungsvektor im Punkt P eines Schnittes: o L'>.F lim t,a-..o M df da 6F Spannungstensor in Matrixform: 0xx Lxy LXZ o Lyx Oyy Lyz LZX Lzy OZz x y Spannungstensor in Indexnotation: On Oi 2 Oi 3 ~1 ~ Gleiche Indizes kennzeichnen Normalspannungen, nungen. Xl Xz Symmetrieeigenschaft des Spannungstensors: CJ.i.j = Oji Spannungsvektor in Indexnotation: ungleiche Indizes Schubspano Normaleneinheitsvektor: n [ni] f n1 1 l~~j cos U1 cos U2 cos u3 ~ el e, X, XI

2 Spannungen im Boden Seite Summationskonvention: 3 OJi nj = )':1 OJi nj = 0li n1 + 02i. n2 + OJi n3 J= Zusammenhang zwischen Spannungstensor und Spannungsvektor:

3 Spannungen im Boden Seite Koordinatentransformation, Hauptspannungen, Invarianten Transformation des Spannungstensors bei Drehung des Koordinatensystems: mit Spannungstensor im Hauptachsensystem (Diagonalform): eh 0 0 a= o 0 Oj Invarianten: 11 = C\i = ' Invarianten durch die Hauptspannungen ausgedrückt:

4 Spannungen im Boden Seite Hydrostatischer Spannungszustand, Deviator Spannungstensor im hydrostatischen Spannungszustand: Cb (J = 0 o o 0 Cb 0 o Cb Zerlegung des Spannungstensors in einen hydrostatischen Teilzustand, den Kugeltensor, und einen Restzustand, den Deviator: Oll Gm 0 0 0ll - Gm Ül1 022 CfJ.3 = 0 Gm Gm CfJ Gm OJ1 032 OJ3-0 m Gm 0 0 S11 S12 S13 = 0 Gm 0 + Sn S22 S23 mit 0 0 Gm S31 S Deviator CfJ Gm = 3 I / 0, ~.""'- (J ->.>: /,~ ;: -:::- (j?> ~ ö{""v2. Kugeltensor o 3

5 Spannungen im Boden Seite Verzerrungen Verzerrungstensor: ~ Ell El2 El3 E = E21 E22 E Ex ; Yxy ; Yx z 1 1 = ; Yyx E y ; Yy z E31 E32 E ; Yzx ; Yzy E z Volumenänderung: E v = ildv dv = Ell + E22 + E33 = zerlegung des Verzerrungstensors in einen Volumenänderungsanteil Gestaltsänderungsanteil: und einen [,u E12 E13] Ern 0 0 [,u -Em E12 E21 E22 E23 = 0 Ern 0 + E21 E22 - Ern E23 '13 ] E32 E Ern E31 E32 E33 - Ern Ern 0 0 [eu e12 el3 = 0 Ern 0 + e21 e22 e Ern e31 e32 e33 mit Ern = EU + E22 + E33 3

6 Spannungen im Boden Seite Graphische Darstellung eines Spannungszustandes mit Hilfe des Mohr'schen Spannungskreises Abb.1 Hauptspannungen, die mittlere Hauptspannung 02 wird nicht berücksichtigt (ebener Verformungszustand) ~----I ts1. d :l 1 3 f----- ci,x ---1'I lö";'dz d%. l I 1 I Vorzeichen von 1: : "[>0 1:>0 T<O "[<0 Abb.2 Die Beziehungen zwischen den Spannungen auf das Bodenelement lassen sich im Mohr'schen Spannungskreis darstellen. Der Mohr'sche Spannungskreis ist der +5" geometrische Ort der Spannungen im betrachteten Bodenelement in Abhängigkeit vom Neigungswinkel a der Schnittfläche. Der rumct a bezeichnet den Spannungszustand im Schnitt a - a 5' = ~ (6"1 + 5"3) -t- ~ (5"1-6 3 ) cos 2a T = ~ ) s i.n 2a -T Polkonstrwction-nach Mohr: Mit dem Mohr'schen Spannungskreis kann der Spannungszustand in einer durch einen Punkt B gelegten willkürlichen Schnittrichtung a - a bestimmt v/erden, wenn Größe und Richtung der Hauptspannungen(51 undc5 3 bekannt sind. Abb.3 P = Pol +5 \ Si T

7 Spannungen im Boden Seite Der Spannungszustand im Boden Das Prinzip der wirksamen Spannungen o' = CJ - U Totale Spannung 0: infolge des Gewichts der Festmasse des Bodens urid des Gewichts des Wassers über dem betrachteten Horizont, sowie Bodenpressung durch äußere Lasten L'l.F 0= M Neutrale Spannung u: u h Y w. h Druckh5he in dem betrachteten Horizont Wirksame Spannung 0' : herrscht im Korngerüst in dem betrachteten Horizont L'l.F' d -.6.F u d CJ - U M '" 0 ILlAl----~ M s mit A. Kontaktfläche zwischen den Bodenk5rnern Beispiel: Boden mit Grundwasserspiegel Y 1 = (1 - n) 0 mit S,., < 1 Ys + Sr,l 0 n. Y w Y2 = (1 - n) 0 mit Sr.' = 1 Ys + Sr,.2. n. Yw wirk~arne SpQnnun9~ Horizont I-- u = {'wo hw-.(...i.~-- 6' G- u , \ h ' h 2

8 Spannungen im Boden Seite Beispiel: Boden überflutet Gi Y r. Z [(1 - n). Y s + n. Y w ] Z ul d 1 Y w Z Gi - ul (Yr - Y w ). Z L.. 2 'Sr Horizont ~~~~ wirk50me Spannung G' / ---- u,

9 Spannungen im Boden Seite Kapillarität z Kapillardruck: \ ~~ ~~ Kapillare Steighöhe: 0,3. cas a d h~ = aktive kapillare Steighöhe h_ = passive kapillare steighöhe Erfahrungswerte für h_: Bodenart Mittel- bis Grobkies sandiger Kies oder Feinkies Grobsand oder schluffiger Kies Mittel- und Feinsand Schluff Ton h,p 0,05 rn bis 0,2 m bis 0,5 rn bis 1,5 m bis 5 m bis über 50 m Beispiel: Wasserspiegel abgesenkt, Kapillarzone mit Wasser gesättigt ~ =. z 'Y r = [(1 - n). 'Y s + n. YwJ. z U2 = Y w. z - Y w. h k = Y w. (z - h k ) I 2 = ~ - U2 = 'Y r. z - Y w (z - h k ) = (Yr - 'YJ. z + Y w. h k d 2 = d 1 + 'Y w. h k wirk"ornoz Spannung GI Horizont +... I 5~-----J I

10 Spannungen im Boden Seite Literatur siehe Kapitel 1.5 und: [1] Bathe, K.-J. [2] Betten, J.. [3] Grass, Hauger, Schnell, Wriggers Finite Element Methoden Springer Verlag 1990 Tensorrechnung für Ingenieure B. G. Teubner 1987 Technische Mechanik 4 Springer Verlag 1993

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