Fibonacci-Zahlen und der goldene Schnitt

Transkript

1 Fibonacci-Zahlen und der goldene Schnitt Behandlung von rekursiven Zahlenfolgen zum Umgang mit Excel, Mathematica, Maple und Octave (Matlab), sowie Einüben von Diagonalisierung und Stellenwertsystemen Dr. rer. nat. Frank Morherr

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3 Warum müssen Häuser immer viereckig sein? Dreieckige Häuser sind in! Chilehaus Hamburg Flatiron Building New York Museum für moderne Kunst Frankfurt

4 Gute Planung eines Gebäudes erhöht Ein Beispiel sehen Sie hier: den verfügbaren Platz Weiße Fläche: 13*34=442 Kästchen Weiße Fläche: 21*21=441 Kästchen Die bunten Dreiecke sind in beiden Bildern jeweils gleich groß. Was ist hier los? Wo kommt das zusätzliche Quadrat her? Wieso gerade diese Zahlen?

5 Die Fibonacci-Zahlen beschreiben die Populationsentwicklung der Kaninchen Start mit einem Elternpaar. Die nächste Generation besteht aus der Summe der beiden vorhergehenden. Bildungsgesetz: Die Fibonacci-Zahlen Leonardo da Pisa, auch Fibonacci genannt (von 1180 in Pisa; bis 1241 in Pisa) war Rechenmeister in Pisa und gilt als der bedeutendste Mathematiker des Mittelalters.

6 Die Fibonacci-Zahlen Rekursionsformel Explizite Formel

7 Wie kommt man auf die explizite Formel? Erinnerung: Z.B. über ein Stellenwertsystem

8 Anders kommt man auf die explizite Formel über Matrizendiagonalisierung

9 Übung: Führen Sie die Verfahren für:

10 Diagonalisierung von Matrizen mit Mathematica und graphische Darstellung (links unten, Darstellung mit Maple) Übung: Führen Sie die Matrizenmultiplikation und Diagonalisierung mit Octave und Mathematica aus, speziell die Übung oben.

11 Anwendung: Diagonalisierung von Spannungstensoren Tensorrechnung erlaubt, Spannungszustand zunächst unabhängig von einem bestimmten Koordinatensystem zu beschreiben. Komponentengleichungen werden den geometrischen Eigenschaften des Körpers angepasst, beispielsweise in Zylinderkoordinaten. Spannungstensor ist derjenige Tensor zweiter Stufe, der skalar multipliziert mit der äußeren Flächennormalen einer Schnittfläche den Kraftvektor pro Flächeneinheit ergibt. Spannungszustand durch Hauptachsentransformation umrechenbar in ein Koordinatensystem, in dem alle Schubspannungen verschwinden. Zerlegung in zwei Komponenten. Komponente quer zur Raumdiagonalen ist ein Maß dafür, wie groß in anderen Schnittrichtungen die Schubspannungen je nach Schnittrichtung maximal werden können. Allein dieser Anteil ist bei der Berechnung von Stahlkonstruktionen relevant. Wenn er die Fließspannung der jeweiligen Stahlsorte überschreitet, verformt sich der Stahl plastisch. Die Komponente in Richtung der Raumdiagonalen beschreibt den Druck; dieser Anteil ist bei der Berechnung von Stahlkonstruktionen irrelevant, da er in keinerlei Schnittrichtung zu Schubspannungen führt, und insofern auch zu keiner plastischen Verformung.

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13 Flächen zweiten Grades

14 Implementierung der Fibonacci-Zahlen Fibonacci Aufrufexplosion bei rekursivem Fibonacci

15 Implementierung der Fibonacci-Zahlen

16 Übung: Berechnung der Fibonacci-Zahlen mittels eines Programms oder mit Excel 1

17 Implementierung in Excel

18 Der goldene Schnitt Eine gegebene Strecke heißt im goldenen Schnitt geteilt, wenn das Verhältnis der Gesamtstrecke zum größeren Teil so groß ist, wie das Verhältnis des größeren Teils zum kleineren Teil. Setzt man die Gesamtstrecke willkürlich gleich 1 und das größere Teilstück x, so ergibt sich formal 1 x 1-x Umformen ergibt die Gleichung Lösen mit p-q-formel

19 Der goldene Schnitt Die irrationale, aber quadratisch algebraische Zahl wird in der Regel als goldener Schnitt bezeichnet. Oft bezeichnet man auch die goldene Zahl Φ als goldenen Schnitt Dann hat AS die Länge 1, AB die Länge Φ, und Φ erfüllt die Gleichung Beispiel zum Lösen einer Gleichung mit Mathematica:

20 Bilder zum goldenen Schnitt Goldenes Rechteck Fibonacci-Rechtecke und goldenespirale Goldener Winkel 3 goldene Rechtecke im Ikosaeder Fünfeck falten Kettenbruchentwicklung von Φ

21 Der goldene Schnitt in der Kunst

22 Der goldene Schnitt in der Architektur Rathaus in Leipzig Petersbasilika, Rom(Vorläufer des Petersdoms) Le Corbusier: Unité

23 Der goldene Schnitt in der Natur Bestimmt Blütenstände und Stellung der Blätter bei Blättern, da die Beschattung minimal und somit die Lichtausbeute maximal ist Fibonacci Zahlen sind die Quotienten der Spiralenwendungszahl und der Blätterzwischenräumeinzahl. Schauen wir jetzt die Blätter 1, 4, 9, die sich an der ausgewählten Richtung befinden: Die Zahl der Räumen zwischen der Blätter 1 und 4 ist 3. Die Zahl der Spiralenwendung ist 2. Die Fibonacci Bruchzahl ist 2/3. Die Zahl der Räumen zwischen der Blätter 1 und 9 ist 8. Die Zahl der Spiralenwendung ist 5. Die Fibonacci Bruchzahl ist 5/8. Die Zahl der Räumen zwischen der Blätter 4 und 9 ist 5. Die Zahl der Spiralenwendung ist 3. Die Fibonacci Bruchzahl ist 3/5. Deswegen ist die Anordnung der Blätter auf den Pflanzen günstig, dass die unteren Blätter auch genug Licht bekommen können. So ist es z.b. die Anzahl der Blätterspiralenwendung beim Kiefer 5/8 und bei der Kamille 21/34. Glockenblume Nautilus

24 Zusammenhang des goldenen Schnitts mit den Fibonacci-Zahlen Übung: Zeigen Sie den Grenzwert oben mittels der expliziten Formel der Fibonacci-Zahlen

25 Auflösung des Eingangs gestellten Problems scheinbare Hypotenuse hat in Wirklichkeit einen Knick dort versteckt sich der zusätzliche Kasten Der Knick fällt nicht auf, da Steigungen sich als Quotient von Fibonacci-Zahlen sich einem Grenzwert (Kehrwert des Goldenen Schnitts) annähern. Hier ein Beispiel in größerem Maßstab Weiße Fläche: 2*5=10 Kästchen Weiße Fläche: 3*3=9 Kästchen Allgemeine Formel, die dahinter steckt: