Grundlagen der Mathemagie

Transkript

1 Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathemagie Helmut Glas und Martin Kreuzer ASG Passau und Universität Passau Lehrerfortbildung Bezaubernde Mathematik Universität Passau,

2 Die vier Asse Der mathemagische Assistent führt den Trick Die vier Asse vor. (1) Um wie viele Karten wurde jeweils weiter gezählt? (2) Die Karten mit welchen vier Nummern (gezählt von der obersten Karte des Decks) wurden schlussendlich aufgedeckt? (3) Wie muss man das Deck präparieren, damit der Trick funktioniert? 2

3 Auflösung (1) Da man um die Quersumme einer Zahl z {11,12,...,19} zurückzählt, hat man jeweils 9 Karten weitergezählt. (2) Die erste aussortierte Karte ist also die zehnte Karte von oben im ursprünglichen Deck. (3) Die weiteren aussortierten Karten sind die Karten Nummer 11, 12, 13 im ursprünglichen Deck. Dieses war entsprechend präpariert. 3

4 Die magische Zahl 109 (1) Schreibe eine dreistellige Zahl auf, deren erste und letzte Ziffer verschieden sind. (2) Schreibe die Zahl rückwärts hin und subtrahiere die kleinere Zahl von der größeren. Erhalte die Differenz D. (3) Schreibe D rückwärts hin und addiere das Ergebnis zu D. (4) Das Ergebnis ist 109! 4

5 Auflösung (1) Modelliere die Angabe. Die gedachte Zahl sei 100a+10b+c mit a,b,c {0,...,9}, wobei o.e. a > c gelte. (2) Berechne die erste Differenz: (100a+10b+c) (100c+10b+a) = 100(a c) (a c) (3) Modelliere die Ziffern dieser Differenz: Sei ã = (a c) 1 und 100 (a c) = 90+ c. Dann ist die Differenz gleich 100ã+90+ c. (4) Berechne das Endergebnis: (100ã+90+ c)+(100 c+90+ã) = 101(ã+ c)+10 = 101[(a c 1)+10 (a c)]+10 = = 109 5

6 Die mathemagischen Stäbe (1) Suchen Sie eine Relation in den Spalten, d.h. Zahlen a i,b mit a 1 z 1 +a 2 z 2 +a 3 z 3 +a 4 z 4 = b für alle Spalten (z 1,z 2,z 3,z 4 ). (2) Was passiert, wenn man die Spalten (beginnend mit der Einerziffer) addiert? Folgern Sie die einfache Berechnung, die der mathemagische Assistent auszuführen hat! 6

7 Auflösung (1) Die Spalten (z 1,z 2,z 3,z 4 ) erfüllen jeweils z 1 +z 2 +z 4 = 19. (2) Wenn man die Einerstelle addiert, ergibt sich also z 3 1 mit Übertrag 2. (3) Wenn man dann die Zehnerstelle addiert, ergibt sich 19+2+z 3 z 3 1 wieder mit Übertrag 2. Dasselbe passiert bei der Hunderter- und Tausenderstelle. (4) Der mathematische Assistent nimmt also die dritte Zeile (a 1,a 2,a 3,a 4 ) und schreibt die Ziffernfolge 2, (a 1 +1), (a 2 +1), (a 3 +1), (a 4 1) hin. 7

8 Die durchscheinenden Hände Der Kandidat verteilt die Münzen beliebig in der linken und rechten Hand. Die Zahl der rechts gehaltenen Münzen wird mit vier, die der links gehaltenen mit fünf multipliziert. Aus der Summe der Ergebnisse kann der mathemagische Assistent sofort die Anzahlen der Münzen in den Händen berechnen.

9 Auflösung Sei m die Gesamtzahl der Münzen und s die vom Kandidaten genannte Summe. Ist x die Zahl der Münzen in der linken Hand, so gilt s = 4 (m x)+5x = 4m+x. Somit kann man x mittels x = s 4m leicht berechnen. Dann ist m x die Zahl der Münzen in der rechten Hand. 9

10 Noch mehr Quadrate verschwinden Das folgende Beispiel ist ein berühmter Fall eines verschwindenden Quadrats: 10

11 Auflösung Die beiden grossen Dreiecke sind gar keine Dreiecke und auch nicht gleich gross. Die Steigung der roten Grenzlinie im orangen Bereich ist 0,4 und im blauen Bereich ist sie 0,

12 Ein kleinerer und ein größerer Fall des gleichen Tricks. (1) Welche allgemeine Formel für Fibonacci-Zahlen liegt dem Verschwinden des weißen Quadrats zugrunde? (2) Wieso sind die Steigungen der beiden Teilstücke so nahe beieinander? Wogegen konvergiert diese Steigung? 12

13 Auflösung (1) Die Fibonacci-Zahlen sind definiert durch F 1 = F 2 = 1 und F n = F n 1 +F n 2 für n 3. Sie erfüllen die Identität von Cassini: F n 1 F n+1 F 2 n = ( 1) n wie man mit z.b. vollständiger Induktion leicht zeigen kann. Die rechte Seite ist das verschwindende Quadrat. (2) Die Steigungen sind F n 1 /F n sowie F n /F n+1. Die Folge der Quotienten F n /F n 1 konvergiert sehr schnell gegen den goldenen Schnitt τ = (1+ 5)/2. Die Steigungen der Teilstücke sind also ungefähr gleich 1/τ. 13

14 Der Stinkefinger (1) Die Zuschauer halten ihre linke Hand hoch und spreizen die Finger. Sie stecken einen Ring imaginär auf einen Finger. (2) Jeder Zuschauer denkt sich eine Zahl zwischen 1 und 20 und lässt den Ring entsprechend viele Finger weiterwandern. Am Daumen und kleinen Finger dreht er dabei jeweils um. (3) Der Ring wandert noch einmal so viele Finger weiter wie die Nummer des aktuellen Fingers angibt. Dabei gilt: Daumen = 1, Zeigefinger = 2, Mittelfinger = 3, Ringfinger = 4, kleiner Finger = 5. (4) Der Ring kann nicht auf dem Daumen und dem kleinen Finger sein. Diese beiden werden eingeknickt. (5) Der Ring wandert noch einmal einen Finger weiter. Die beiden leeren Finger werden eingeknickt. Übrig bleibt der Stinkefinger! 14

15 Wer siegt beim Pferderennen? Die Vorhersagekünste des mathemagischen Assistenten werden am besten durch die folgende vereinfachte Variante des Tricks erläutert. (1) Ein Kandidat denkt sich eine Zahl zwischen 1 und 63 aus. (2) Der Mathemagier gibt ihm 6 Karten mit Zahlen. (3) Der Kandidat gibt dem Mathemagier die Karten zurück, auf denen seine gedachte Zahl steht. (4) Der Mathemagier kann ihm die gedachte Zahl sofort nennen. 15

16 Zahlen mit 1 und der Einer-, Zweier und Viererstelle in der Darstellung im Binärsystem 16

17 Zahlen mit 1 and der er-, 16er- und 32er-Stelle Der Mathemagier braucht nur die Zweierpotenzen links oben auf den zurückgegebenen Karten zu addieren. 17

18 Der Kruskal Count Beim Kartentrick Kruskal Count soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass er fehlschlägt. Annahme: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Rahmen des Weiterzählens zur nächsten Karte weitergezählt wird, sei ungefähr geometrisch verteilt zur Wahrscheinlichkeit p. Aufgabe 1: Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man n Karten weiterzählt dann gleich P(X = n) = p n 1 (1 p) ist und dass E(X) = 1/(1 p) gilt. Aufgabe 2: Beweisen Sie, dass die geometrische Verteilung gedächtnislos ist, d.h. dass P(X = n+k X n) = P(X = k) gilt. 1

19 Aufgabe 3: Sei nun Y die Zufallsvariable, die angibt, wann zwei Versuchsreihen die gleiche Summe ergeben, d.h. wann sich zwei Starts des Kruskal Counts treffen. Beweisen Sie die Formel P(Y > n) = p n (2 p) n mit vollständiger Induktion nach n. Beweis: n = 1: Nachrechnen. n > 1: Seien X 1 und X 2 die beiden Versuchsreihen und sei X (j) i j-te Summe in X i. Dann gilt: die P(Y > n) = P(Y > n X (1) 1 2, X (1) 2 2) P(X (1) 1 2, X (1) 2 2) +P(Y > n X (1) 1 = 1, X (1) 2 2) P(X (1) 1 = 1, X (1) 2 2) +P(Y > n X (1) 1 2, X (1) 2 = 1) P(X (1) 1 2, X (1) 2 = 1) 19

20 Wegen der Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung sind die ersten Faktoren in jedem der drei Produkte gleich P(Y > n 1). Zusammen mit der Induktionsvoraussetzung folgt dann P(Y > n) = P(Y > n 1) P(max(X (1) 1,X(1) 2 ) 2) = P(Y > n 1) p(2 p) = p n (2 p) n q.e.d 20