WS 2008/09. Diskrete Strukturen

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1 WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel II - Kombinatorik Kombinatorische Strukturen und Algorithmen Ziehen von Elementen aus einer Menge Kombinatorische Beweisprinzipien Fundamentale Zählkoeffizienten Bälle und Urnen 2

3 Kapitel II Kombinatorik Kombinatorische Beweisprinzipien Grundlegenden Abzählprinzipien zu, die zur Lösung zahlreicher Abzählprobleme verwendet werden. 3

4 Kapitel II Kombinatorik Die Produktregel Die Anzahl der Elemente des kartesischen Produkts zwischen endlichen Mengen S i ist gleich dem Produkt der Anzahl der Elemente der Mengen S i. 4

5 Kapitel II Kombinatorik Die Produktregel Die Anzahl der Elemente des kartesischen Produkts endlicher Mengen S i ist gleich dem Produkt der Anzahl der Elemente der Mengen S i. Als Formel: 5 S S S S i I i i I i

6 Kapitel II Kombinatorik Die Produktregel Beispiel: Wieviele 4-stelligen Zahlen gibt es, deren i-te 6 Ziffer eine durch i teilbare Zahl ist? Gegeben sind die Mengen S i {0,,9}, i {1,,4}, die alle durch i teilbaren Zahlen aus {0,,9} enthalten. Dann lassen sich die gesuchten Zahlen als Elemente der Relation R = S 1 S 2 S 3 S 4 darstellen.

7 Kapitel II Kombinatorik Die Produktregel Beispiel: Wieviele 4-stelligen Zahlen gibt es, deren i-te Ziffer eine durch i teilbare Zahl ist? S 1 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} S 2 = {0,2,4,6,8} S 3 = {0,3,6,9} S 4 = {0,4,8} Nach der Produktregel gibt es = solche Zahlen.

8 Kapitel II Kombinatorik Produktregel als Baumdiagramm Angenommen, wir können auf drei Wegen von Köln nach Düsseldorf und auf 5 Wegen von Düsseldorf nach München fahren. Wieviele Wege gibt es von Köln nach München? Köln Düsseldorf 8 München

9 Kapitel II Kombinatorik Die Regel des getrennten Abzählens (Summenregel) Die Anzahl der Elemente einer Menge S, die als disjunkte Vereinigung von Mengen S i geschrieben werden kann, ist gleich der Summe der Anzahl der Elemente der Mengen S i. 9

10 Kapitel II Kombinatorik Die Regel des getrennten Abzählens (Summenregel) 10 Die Anzahl der Elemente einer Menge S, die als disjunkte Vereinigung von Mengen S i geschrieben werden kann, ist gleich der Summe der Anzahl der Elemente der Mengen S i. Als Formel: S Si S Si i I i I

11 Kapitel II Kombinatorik Die Regel des getrennten Abzählens (Summenregel) Auf wie viele Arten können 6 Mädchen und 8 Jungen in eine Reihe von 5 Stühlen setzen, wenn Mädchen und Jungen abwechselnd sitzen müssen? Es werden getrennt die Anzahl von Sitzreihen, die mit einem Mädchen beginnen und die mit einem Jungen beginnen gezählt. 11

12 Kapitel II Kombinatorik Die Regel des getrennten Abzählens (Summenregel) Mit Mädchen beginnende Reihen: M = = 6720 Mit Jungen beginnenden Reihen: J = = Insgesamt M+J = Reihen. 12

13 Kapitel II Kombinatorik Typischer Fehler: Man nimmt irrtümlich an, dass die Mengen S 1,, S n Disjunkt sind. Beispiel : zwei Speiler spielen Poker. Der erste Spieler bekommt die Hand A A~ A 2Ä 3 Mit welcher W keit gewinnt er? Wir müssen die Anzahl der Hände berechnen, die gegen diese Hand verlieren. 13

14 Kapitel II Kombinatorik 14 Gegen die Hand verliert man: mit einer Hand der Gestalt XXXYZ. Sei T die Anzahl dieser Hände. mit einer Hand der Gestalt XXYYZ. Sei DP die Anzahl dieser Hände. mit einer Hand der Gestalt XXYZW. Sei P die Anzahl dieser Hände. mit einer Hand XYZUW, die kein straight, flush, oder straight flush sind (d.h., die Karten sind nicht konsekutiv). Sei KP (kein Paar) die Anzahl dieser Hände.

15 Kapitel II Kombinatorik Damit ist die Gesamtzahl T+DP+P+KP. Richtig? Ja, aber nur wenn beim Zählen der Möglichkeiten darauf geachtet wird, dass X,Y,Z,W,U verschiedene Augenzahlen sein müssen. Sonst werden einige Hände mehrmals gezählt!, und es werden Hände gezählt, die gegen die Hand gewinnen. 15

16 Kapitel II Kombinatorik Die Gleichheitsregel Existiert eine Bijektion f: S T dann haben die Mengen S und T gleich viele Elemente. Wird häufig verwendet, wenn eine der beteiligten Mengen einfacher abzuzählen ist. 16

17 Kapitel II Kombinatorik Anwendung der Gleichheitsregel Beispiel: Wieviele Elemente hat P({1,,n})? Sei W = {0,1} n die Menge aller n-stelligen Zeichenreihen bestehend aus den Zahlen 0 u. 1. Nach der Produktregel is W = 2 n. 17 Für A µ {1,,n} sei f(a) = w 1 w 2 w n = 1 falls k A und 0 sonst. Beispiel mit n=5: f({1,3}) = W mit w k

18 Kapitel II Kombinatorik Anwendung der Gleichheitsregel Beispiel: Wieviele Elemente hat P({1,,n})? Da es sich bei f um eine bijektive Abbildung handelt gilt nach der Gleichheitsregel P({1,,n}) = W = 2 n. 18

19 Kapitel II Kombinatorik Noch eine Anwendung der Gleichheitsregel Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Euro unter m Kinder zu verteilen? Für n=5 und m=3 gibt es 21 Möglichkeiten:

20 Kapitel II Kombinatorik Anwendung der Gleichheitsregel 20 Beispiel: Wieviele Möglichkeiten gibt es, n Euro unter m Kinder zu verteilen? Sei K={k 1,, k m } die Menge der Kinder. Wir ordnen jeder Verteilung (a,b,c) die Multimenge f((a,b,c)) über K, die so oft ein Kind enthält, wie die Anzahl der Euro, die es bekommt. Beispiel: f((1,3,1)) = { k 1, k 2, k 2, k 2, k 3 }

21 Kapitel II Kombinatorik Anwendung der Gleichheitsregel Beispiel: Wieviele Möglichkeiten gibt es, n Euro unter m Kinder zu verteilen? Die Funktion f ist eine Bijektion zwischen der Menge der Verteilungen und der Menge der n- Multimengen einer m-elementigen Menge. 21 Damit ist die Anzahl der Verteilungen µ m + n 1 m 1

22 Kapitel II Kombinatorik Doppeltes Abzählen Annahme: eine Relation zwischen zwei Mengen S = {s 1,,s n } und T = {t 1,,t m } sei durch eine Matrix mit n Zeilen und m Spalten und Einträgen m ij beschrieben. 22

23 Kapitel II Kombinatorik Doppeltes Abzählen Annahme: eine Relation zwischen zwei Mengen S = {s 1,,s n } und T = {t 1,,t m } sei durch eine Matrix mit n Zeilen und m Spalten und Einträgen m ij beschrieben. Es gelte: m ij 1 wenn sirt j 0 sonst 23

24 Kapitel II Kombinatorik Doppeltes Abzählen 24 Annahme: eine Relation zwischen zwei Mengen S = {s 1,,s n } und T = {t 1,,t m } sei durch eine Matrix mit n Zeilen und m Spalten und Einträgen m ij beschrieben. Es gelte: m ij 1 wenn sirt j 0 sonst Eine solche Matrix wird Inzidenzmatrix genannt.

25 Kapitel II Kombinatorik Was ist eine Matrix Eine n x m Matrix ist ein zweidimensionales Feld mit n Zeilen und m Spalten, deren Einträge Zahlen sind. a a a a 11 1m n1 nm 25

26 Kapitel II Kombinatorik Doppeltes Abzählen Beispiel: Relation und Inzidenzmatrix 26 Lemma: In jeder Matrix ist die Summe der Zeilensummen gleich der Summe der Spaltensummen. Beweis: Beide Summen ergeben die Summe aller Einträge.

27 Kapitel II Kombinatorik Doppeltes Abzählen Für die Summe der Zeilen- bzw. Spaltensummen (M r bzw. M c ) einer Inzidenzmatrix gilt: r n i Mc s S srt j M t T s Rt i 1 m i 1 27

28 Kapitel II Kombinatorik Doppeltes Abzählen Für die Summe der Zeilen- bzw. Spaltensummen (M r bzw. M c ) einer Inzidenzmatrix gilt: r n i Mc s S srt j M t T s Rt i 1 i 1 Aus dem Lemma folgt dann das Prinzip der doppelten Abzählung: M r = M c m 28

29 Kapitel II Kombinatorik Doppeltes Abzählen Sei S = T = {1,,8}. Wir betrachten die Relation 29 i j (i ist Teiler von j). Die Inzidenzmatrix ist:

30 Kapitel II Kombinatorik Doppeltes Abzählen Sei t(j) = Anzahl von 1 en in Spalte j = Anzahl der Teiler von j. Frage: Wieviele Teiler hat eine Zahl von 1 bis 8 im Durchschnitt? Antwort: avg(8) = 1 8 P 8 i=1 t(j) 30 = = 2; 75

31 Kapitel II Kombinatorik Doppeltes Abzählen Wie groß ist avg(n) für beliebiges n? Schwer wenn wir die Spalten addieren. In der i-ten Zeile stehen jedoch die Vielfachen von i, nämlich 1i, 2i,, n/i i, und damit M r (i) = n/i (Anzahl der 1en in der i-ten Zeile) 31

32 Kapitel II Kombinatorik Doppeltes Abzählen Wie groß ist avg(n) für beliebiges n? Aus M r (i) = n/i folgt unter Berücksichtigung des Prinzips des doppelten Abzählens: 1 n 1 n avg( n) t( j) n n j 1 i 1 n i 32

33 Kapitel II Kombinatorik Doppeltes Abzählen Wie groß ist avg(n) für beliebiges n? Aus M r (i) = n/i folgt unter Berücksichtigung des Prinzips des doppelten Abzählens: n 1 1 avg( n) t( j) n n 1 n n n 1 n i i n j 1 n i 1 i i 1 i 1 33

34 Kapitel II Kombinatorik Doppeltes Abzählen Wie groß ist avg(n) für beliebiges n? Aus M r (i) = n/i folgt unter Berücksichtigung des Prinzips des doppelten Abzählens: n 1 1 avg( n) t( j) n n 1 n n n 1 n i i n j 1 n i 1 i i 1 i 1 ln n 34

35 Kapitel II Kombinatorik Das Prinzip der Inklusion/Exklusion Bei der Summenregel müssen die zu vereinigenden Teilmengen disjunkt sein. Das Prinzip der Inklusion/Exklusion erlaubt uns, die Kardinalität der Vereinigung zu beschreiben, wenn die zu vereinigenden Mengen nicht disjunkt sind. Seien S 1 und S 2 zwei nicht disjunkte Mengen. 35 Dann gilt: S 1 S 2 = S 1 + S 2 S 1 S 2

36 Kapitel II Kombinatorik Das Prinzip der Inklusion/Exklusion Beispiel: Wieviele durch 7 oder 11 teilbare natürliche Zahlen kleiner gleich 1000 gibt es? 36

37 Kapitel II Kombinatorik Das Prinzip der Inklusion/Exklusion Beispiel: Wieviele durch 7 oder 11 teilbare natürliche Zahlen kleiner gleich 1000 gibt es? Lösung: S 1 S2 S1 S2 S1 S

38 Kapitel II Kombinatorik Das Prinzip der Inklusion/Exklusion 38 Bei der Erweiterung auf die Vereinigung von drei Mengen (A,B,C) ist zu berücksichtigen, dass A + B + C jedes Element in genau einer der Mengen einmal zählt, Elemente in genau zwei der Mengen zweimal zählt und Elemente in genau drei der Mengen dreimal zählt. Folgt daraus A B C = A + B + C A B A C B C?

39 Kapitel II Kombinatorik Das Prinzip der Inklusion/Exklusion Die grafische Darstellung der Vereinigung von drei nicht disjunkten Mengen: 39

40 Kapitel II Kombinatorik Das Prinzip der Inklusion/Exklusion Aus der grafische Darstellung der Vereinigung von drei nicht disjunkten Mengen folgt: A B C = A + B + C A B A C B C + A B C 40

41 Kapitel II Kombinatorik Prinzip der Inklusion/Exklusion 41 Beispiel: An den Vorlesungen Inf1, LA und DS nehmen jeweils 1232, 879 und 114 Studierende teil. 103 nehmen an InfI und LA teil, 23 an InfI und DSI und 14 an LA und DSI Studierende nehmen an mindestens einer der Vorlesungen teil.

42 Kapitel II Kombinatorik Prinzip der Inklusion/Exklusion Wieviele Studierende nehmen an allen drei Vorlesungen teil? Inf1 = 1232, LA = 879, DS = 114. Inf1 LA = 103, Inf1 DS = 23, LA DS = 14, Inf1 LA DS = Daraus folgt: Inf1 LA DS = = 7 42

43 Kapitel II Kombinatorik Das Prinzip der Inklusion/Exklusion Die Verallgemeinerung auf n Mengen 43

44 Kapitel II Kombinatorik Das Prinzip der Inklusion/Exklusion Die Verallgemeinerung auf n Mengen Satz: Seien n endliche Mengen S 1,,S n gegeben. Dann gilt: S... S S S S 44 1 n 1 1 i ( i n j 1) i k n S i n 1 1 S 1 i j S n j S i 2 S k... j... S n

45 Kapitel II Kombinatorik Das Prinzip der Inklusion/Exklusion Die Kardinalität der Vereinigung von vier Mengen S 1,,S 4 : 45 4 i 1 S S S S S i (S S S S S S S S S S S S ) (S S S S S S S S S S S S ) (S S S S )

46 Kapitel II Kombinatorik Das Schubfachprinzip Satz: Ist f: X Y eine Abbildung und gilt X > Y, so gibt es ein y Y mit f -1 (y) 2. Wenn man n Elemente auf m Fächer verteilt und n>m ist, dann gibt es mindestens ein Fach, das 2 Elemente enthält. 46

47 Kapitel II Kombinatorik Das Schubfachprinzip 47 Beispiel: In jeder Menge von 13 Personen befinden sich zwei, die im selben Monat Geburtstag haben. Beispiel: Wenn 42 Studenten an einer Klausur teilnehmen, bei der es bis zu 40 Punkte gibt, so gibt es mindestens zwei Studenten, die die gleiche Punktzahl haben.

48 Kapitel II Kombinatorik Das Schubfachprinzip Satz: In jeder Menge von P Personen gibt es mindestens 2 Personen, die die gleiche Anzahl Personen aus P kennen. (Annahme: die Relation kennen ist symmetrisch.) 48

49 Kapitel II Kombinatorik Das Schubfachprinzip 49 Beweis des Satzes auf der letzten Seite: Sei P = {p 1,,p n }, f: P {0,,n-1} die Abbildung, die jeder Person p i P die Anzahl f(p i ) zuordnet, die p i kennt. Da P = n = {0,,n-1} kann das Prinzip nicht direkt angewendet werden! Beachte jedoch, dass entweder p i P: f(p i ) = 0 p i : f(p i ) {0,,n-2} oder p i P: f(p i ) = 0 p i : f(p i ) {1,,n-1} Daraus folgt: f(p) < P und mit dem Prinzip der Beweis.

50 Kapitel II Kombinatorik Das Schubfachprinzip Satz: In jeder (n+1)-elementigen Teilmenge von M = {1,2,...,2n} gibt es mindestens zwei Zahlen, die zueinander teilerfremd sind. Beweis: Unter je n+1 Zahlen der Menge M gibt es stets zwei aufeinanderfolgende; diese Zahlen sind sicher teilerfremd. 50

51 Kapitel II Kombinatorik Das Schubfachprinzip Satz: In jeder Menge M bestehend aus sechs natürlichen Zahlen (M = {a 1,, a 6 }) gibt es stets 51 zwei, deren Differenz durch 5 teilbar ist. Beweis: Wir bilden Teilmengen K i M mit K i = {a i M: bei Division durch 5 bleibt Rest i}. Nach dem Schubfachprinzip gibt es eine Teilmenge, die zwei Zahlen enthält, die also denselben Rest ergeben. Das bedeutet: deren Differenz ist durch 5 teilbar.

52 Kapitel II Kombinatorik Das Schubfachprinzip Behauptung: Sei A {1, 2,, 2n} mit A = n+1. Dann gibt es immer zwei Zahlen in A, von denen die eine die andere teilt. 52

53 Kapitel II Kombinatorik Das Schubfachprinzip 53 Beweis: Schreibe jedes Element a A in der Form a = 2 k m (k N 0 ) wobei m eine ungerade Zahl zwischen 0 und 2n sei. Eine solche Darstellung finden wir, da jede Zahl von der Form 2 k m mit m > 2n - 1 ebenfalls > 2n wäre. Da A = 1 + n, es aber bloß n ungerade Zahlen in dem Intervall von 0 bis 2n gibt, müssen zwei Zahlen denselben ungeraden Anteil m haben, somit eine ein Vielfaches der anderen sein.

54 Kapitel II Kombinatorik Das verallgemeinerte Schubfachprinzip Satz: Ist f: X Y eine Abbildung, so gibt es ein y Y mit f -1 (y) X / Y. Wenn man n Elemente auf m Fächer verteilt, dann gibt es mindestens ein Fach, das mindestens n/m Elemente enthält. 54

55 Kapitel II Kombinatorik Widerspruchsbeweis des verallgemeinerten Schubfachprinzip Angenommen keines der Fächer enthält mehr als X / Y - 1 Elemente. 55

56 Kapitel II Kombinatorik Widerspruchsbeweis des verallgemeinerten Schubfachprinzip Angenommen keines der Fächer enthält mehr als X / Y - 1 Elemente. Dann ist die Anzahl aller Elemente höchstens X X Y 1 Y 1 1 X. Y Y 56

57 Kapitel II Kombinatorik Widerspruchsbeweis des verallgemeinerten Schubfachprinzip Angenommen keines der Fächer enthält mehr als X / Y - 1 Elemente. Dann ist die Anzahl aller Elemente höchstens Y X Y X 1 Y 1 1 X. Y 57 Dies ist ein Widerspruch zur Annahme.

58 Kapitel II Kombinatorik Das verallgemeinerte Schubfachprinzip Beispiel: Wenn es N = 380 Studierende in dieser Vorlesung gibt und es gibt 52 Wochen in einem Jahr, dann muss es mindestens eine Woche geben, in der mindestens 380/52 = 7.31 = 8 Studierende der Vorlesung Geburtstag haben. 58

59 Kapitel II Kombinatorik Das verallgemeinerte Schubfachprinzip Satz: In jeder Menge von 6 Personen gibt es 3, die sich alle untereinander kennen oder 3, die sich alle nicht kennen (wobei die Relation kennen symmetrisch sei). 59

60 Kapitel II Kombinatorik Das verallgemeinerte Schubfachprinzip 1. Beweis: Sei A eine der 6 Personen. Von den verbleibenden 5 Personen kennt A drei oder mehr, oder A kennt drei oder mehr nicht. Dies folgt direkt aus dem verallgemeinerten Schubfachprinzip! (Forts. n. Seite) 60

61 Kapitel II Kombinatorik 1. Beweis (Fortsetzung): Im ersten Fall (zweiter Fall analog) nehmen wir an, dass B,C und D die Person A kennen. 61 Wenn sich zwei Personen aus B,C,D kennen, dann erhalten wir mit A die drei Personen, die sich kennen. Wenn sich keine zwei Personen aus B,C,D kennen, dann sind B,C,D die drei Personen, die sich nicht kennen.

62 Kapitel II Kombinatorik 2. Beweis (etwas formaler): 1 6 Sei P p,..., p. Betrachte die Abbildung 1 " p1 kennt pi " 0 " p1 kennt pi nicht" 2,...,6 0,1 mit i 2,...,6 62

63 Kapitel II Kombinatorik 2. Beweis (etwas formaler): Aus dem verallgem. Schubfachprinzip folgt: Es gibt mindestens 3 Leute {p 2,, p 6 }, die p 1 kennen, oder es gibt mindestens 3 Leute, die p 1 nicht kennen. Wir betrachten die erste Alternative, die zweite ist analog. O.B.d.A. kennt p 1 p 2, p 3 und p 4. Sei P p,..., p. Betrachte die Abbildung 1 " p1 kennt pi " 0 " p1 kennt pi nicht" 2,...,6 0,1 mit i 2,...,6

64 Kapitel II Kombinatorik 2. Beweis (etwas formaler): 1. Fall: p i,p j {p 2,p 3,p 4 }: i j und p i kennt p j. Dann erfüllen {p 1,p i,p j } den ersten Teil der Behauptung. 2. Fall: (Komplement des 1. Falls!) p i,p j {p 2,p 3,p 4 }: (i j p i kennt p j nicht). Dann erfüllen {p 2,p 3,p 4 } den zweiten Teil der Bahauptung. 64

65 Kapitel II Kombinatorik Das verallgemeinerte Schubfachprinzip Hinweis: Die sog. Ramsey-Zahlen R(m,n), mit m,n N und m,n 2, geben die minimale Anzahl von Personen aus einer Gruppe an, so dass sich entweder m Personen kennen oder n Personen nicht kennen. Wir haben also gezeigt, dass R(3,3) 6. Frage: Warum ist R(3,3) = 6? 65