Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

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1 kartesische Produkte und und Funktionen (Teil I) Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014

2 Table of Contents kartesische Produkte und 1 kartesische Produkte und 2 Darstellung von Einschränkungen und Bilder von 3

3 I kartesische Produkte und Bei den Mengen konnten wir bisher doppelte Elemente und Reihenfolgen nicht unterscheiden. Will man nun aber Zuordnungen einzelner Elemente zu anderen (nicht notwendigerweise unterschiedlichen) Elementen betrachten, benötigen wir den Begriff des geordneten Paars bzw. a, b zweier Elemente a und b. Beachten Sie, dass anders als bei n bei Mengen im Falle a = b stets {a, b} = {a} = {b} gilt.

4 II kartesische Produkte und Definition geordnetes Paar Seien a und b Elemente einer Menge M. Das geordete Paar a, b von a und b ist dann definiert als: a, b := {{a}, {a, b}} Lemma geordnetes Paar Für beliebige Elemente a, b, c, d M gilt stets: {a, c} = {b, c} a = b a, b = c, d a = c b = d

5 III kartesische Produkte und Es gelte {a, c} = {b, c}. Wir unterscheiden nun 2 Fälle: 1 Es gilt a = c: b {b, c} b {a, c} = {a} b = a 2 Es gilt a c: a {a, c} = {b, c} a {b, c} a = b

6 IV kartesische Produkte und Es gelte a, b = c, d {a} a, b = c, d {a} = {c} {a} = {c, d} {a} = {c} a = c {a} = {c, d} a = c = d Es gilt somit immer {a} = {c}. Desweiteren gilt {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} Somit gilt {a, b} = {c, d} = {a, d} Daraus folgt b = d

7 kartesische Produkte und Kartesisches Produkt Definition Seien A und B Mengen. Die Menge A B := { a, b a A, b B} heißt der Mengen A und B. Das kartesische Produkt zweier Mengen A B ist die Menge aller, deren rechtes Element aus der Menge A stammen und deren linkes Element aus der Menge B stammen.

8 kartesische Produkte und Beispiele für das kartesische Produkt 1 Sei A = {1, 2} und B = {k, l, m}. A B ={ 1, k, 1, l, 1, m, 2, k, 2, l, 2, m } 2 Sei A = {0, 1}. A A ={ 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1 } 3 Die übliche Schreibkonvention für Schachbrettfelder basiert darauf, dass das Schachbrett als der Mengen {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} und {a, b, c, d, e, f, g, h} betrachtet wird. Feldbezeichnungen wie f6 stellen dann eine Kurznotation für das entsprechende geordnete Paare f, 5. Wieviele Elemente enthält die Menge A B, mit m, respektive n Elementen?

9 kartesische Produkte und Lemma Lemma Für beliebige Mengen A, B, C und D gilt stets: (A B) (C D) = (A B) (C D) (A B) (A C) = A (B C)

10 Beweis I kartesische Produkte und Zum Beweis von Mengengleichheit, muss immer gezeigt werden, dass alle Elemente (bzw. ein generisches Element) der einen Menge auch Element der andern sind und umgekehrt. Sei x (A B) (C D). Dann gilt: x A B (1) x C D (2) Aus der Definition des kartesischen Produktes folgt: a A, b B : x = a, c (3) Daraus folgt: c C, d D : x = c, d (4) a, b = c, d, und a = c A C, b = d B D (5)

11 Beweis II kartesische Produkte und Um zu zeigen dass (A B) (A C) = A (B C) gilt, zeigen wir zuerst, dass (A B) (A C) A (B C) gilt, und dann A (B C) (A B) (A C). Warum beweist dieses Vorgehen ebenfalls die Mengengleichheit?

12 Beweis III kartesische Produkte und Nach der Definition der Vereinigung gilt für (A B) (A C) A (B C): d A B a A, b B : d = a, b d A B d A (B C) oder d A C a A, c C : d = a, c d A C d A (B C) In Beiden Fällen gilt d A (B C).

13 Beweis IV kartesische Produkte und Nach der Definition der Vereinigung gilt für A (B C) (A B) (A C): Falls e B: Falls e C: d A (B C) a A, e B C : d = a, e d = a, e A B d (A B) (A C) d = a, e A C d (A C) (A C) In beiden Fällen gilt d (A B) (A C). Mit A B B A A = B ist die Gleichheit bewiesen.

14 Beweis V kartesische Produkte und Die Vorherige Argumentation lässt sich noch wesentlich kompakter darstellen: d A (B C) a A, e B C : d = a, e a A, e : ((e B e C) d = a, e ) a A, e : ((e B d = a, e ) (e C d = a, e )) ( a A, e B : d = a, e ) ( a A, e C : d = a, e ) (d A B) (d A C) d (A B) (A C)

15 kartesische Produkte und Reihen von kartesische Produkten Es ist natürlich möglich, mehrere kartesische Produkte aneinander zu reihen: A B C = (A B) C. Wie sehen die der Ergebnismenge aus? Gilt (A B) C = A (B C)? Gilt (A B) = (B A)?

16 n- kartesische Produkte und Um auf natürliche Weise kartesische Produkte mit n 0 verwenden zu können, müssen wir zwei spezielle definieren: Das leere Das Eintupel aus der Menge A a oder einfach a. Für beliebige Elemente a 1,..., a n+1 mit n 2 definieren wir die n-: a 1,..., a n, a n+1 := a 1,..., a n, a n+1

17 kartesische Produkte und kartesische Produkte mit n Faktoren Definition Es sei n N und A 1,..., A n Mengen. Die Menge n A i := { a 1,..., a n a i A i } i=1 heißt der Mengen A 1,..., A n. Oftmals wird das kartesische Produkt auch in der Form A 1 A 2 A n notiert. Gilt A 1 = A 2 = = A n =: A so schreibt man für n i=1 A i auch kürzer A n.

18 Beispiele kartesische Produkte und 1 Es gilt stets: A 0 ={ } 2 A 1 ={ a a A} = {a a A} 3 Sei A = {1, 2}, B = {b} und C = {c}. Dann ist A B C ={ 1, b, c, 2, b, c }. 4 Sei A = {a, b} dann ist A 2 = { a, a a, b b, a b, b }.

19 kartesische Produkte und Die Definition von n, macht klar warum vorher auch leere und Eintupel definiert wurden. Definition Menge der Es sei A eine Menge. Dann heißt A := n N A n die Menge der über der Menge A. Jedes Element w A n heißt ein Wort der Länge n über A. Wieviele (Elemente) enthält A mit A = {a, b}? Welches besondere Wort (Element) enthält A?

20 kartesische Produkte und und Alphabete Formal gesehen sind einfach nur n- mit Elementen aus einer Menge A und die Schreibweise a 1 a 2... a n einfach nur eine vereinfachte Form von a 1, a 2,..., a n. sind also einfach Zeichenfolgen unterschiedlicher Längen. Die Basismenge aus denen diese zusammengesetzt werden wird dabei meist als Alphabet bezeichnet.

21 Formale Sprachen kartesische Produkte und Definition Sprache Es sei A eine Menge. Dann heißt jede Teilmenge L von A eine formale Sprache über dem Alphabet A. Mit L(A) wird die Menge aller formalen Sprachen über A bezeichnet. Was für eine spezielle Menge ist L(A)?

22 Beispiele kartesische Produkte und Sei A = {0, 1,..., 9, a, b, c, d, e, f }. Dann ist die Menge aller zweistelligen Hexadezimalzahlen eine formale Sprache über dem Alphabet A. Sei A das Alphabet aller Buchstaben der deutschen Sprache. Dann ist die Menge aller Wochentage {Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samsag, Sonntag} eine Formale Sprache (Montag ist dabei nur eine abkürzende Schreibweise für das M, o, n, t, a, g... ). Eine Menge n W kann selbst wieder als Alphabet dienen. Ist also W := {Max,raucht,lacht}, so ist die Menge mit den n (Sätzen) über W Max raucht, Max lacht eine formale Sprache über W. In diesem Sinn kann jede Menge von Sätzen der deutschen Sprache als eine formale Sprache über einem Wortalphabet beschrieben werden.

23 Table of Contents kartesische Produkte und Darstellung von Einschränkungen und Bilder von 1 kartesische Produkte und 2 Darstellung von Einschränkungen und Bilder von 3

24 kartesische Produkte und Darstellung von Einschränkungen und Bilder von formalisieren Beziehungen von Elementen untereinander. Von einer Relation spricht man genauer, wenn immer dieselbe Anzahl von Elementen in einer Beziehung stehen. Definition Relation Eine Menge R wird n-stellige Relation genannt genau dann, wenn es Mengen A 1, A 2,..., A n mit n 1 gibt und gilt: R n i=1 Anstatt a 1, a 2,..., a n R schreibt man kürzer: R(a 1, a 2,..., a n ). Gilt A 1 = A 2 = = A n =: A, so heißt R eine n-stellige Relation auf A. A i

25 kartesische Produkte und Beispiel Datenbanken Darstellung von Einschränkungen und Bilder von Name Geschlecht Dienstalter Geburtsdatum Gehaltsklasse Maier m I Maier w III Müller w I Die Tabellen von Datenbanksystemen stellen dar. Die Zahl der Tabellenspalten bestimmt die Stelligkeit der dargestellten Relation. Das Beispiel entält 5- aus dem kartesischen Produkt der Menge A 1 A 2 A 3 A 4 A 5. In der Informatik werden solche relationalen Tabellen in Datenbanksystemen verwendet.

26 kartesische Produkte und Darstellung von Einschränkungen und Bilder von Viele in der Mathematik auftretenden sind zweistellig. Zur Darstellung von zweistelligen auf endlichen Mengen verwendet man häufig Schaubilder mit Pfeilen. Ein Pfeil von einem Element x zu einem (nicht notwendigerweise anderen) Element y bedeutet dass R(x, y) bzw. x, y R gilt. Abbildung : Darstellung von

27 kartesische Produkte und Matrixdarstellung von Darstellung von Einschränkungen und Bilder von auf endlichen Mengen können auch als Matrix von Wahrheitswerten dargestellt werden. Man schreibt dabei M[i, j] für den Eintrag in Zeile i und Spalte j der Matrix M. Ein Eintrag m[i, j] = 1 (bzw. 0) steht für R(i, j) (bzw. R(i, j)). R a b c d e a b c d e

28 kartesische Produkte und Darstellung von Darstellung von Einschränkungen und Bilder von Abbildung : Darstellung von Die hier dargestellte Relation enthält die Paare 1, a, 1, c, 2, a, 4, a, 4, b, 4, c. In Matrixschreibweise ergibt sich folgende Tabelle: R a b c

29 kartesische Produkte und Beispiele für Darstellung von Einschränkungen und Bilder von Eine wichtige Eigenschaft von im Gegensatz zu den nachfolgenden Funktionen ist, dass ein gegebenes Element mit mehreren anderen Elementen in Beziehung stehen kann. Die Relation die einem Wort alle seine Präfixe zuordnet. Die Relation die einem Wort alle seine Suffixe zuordnet. Die kleinergleich Relation. Anstatt (a, b) schreibt man in der Infixnotation a b. Die Teilbarkeitsrelation. Die Eltern- bzw. Kindsrelation von Menschen. Einfache Transitive Verben wie lieben oder kennen entsprechen zweistelligen von Personen.

30 kartesische Produkte und Bilder von Darstellung von Einschränkungen und Bilder von Definition Bild Sei R A B eine zweistellige Relation, X A und Y B. Die Menge R(X ) := {y B x X : R(x, y)} heißt Bild von X unter R.

31 kartesische Produkte und Beispiel Bilder von I Darstellung von Einschränkungen und Bilder von Abbildung : Die Relation R {1, 2, 3, 4} {a, b, c, d, e, f } In der Abbildung ist das Bild {a, c, d, f } der Menge {1, 3, 4} dargestellt. Um das Bild einer Menge zu erhalten, müssen alle hinteren Einträge y all derjenigen geordneten Paare x, y aus R zusammengefasst werden, deren vorderer Eintrag x aus {1, 3, 4} ist. Das Urbild von {c, d, e} unter R ist {1, 3, 4}.

32 kartesische Produkte und Beispiel Bilder von II Darstellung von Einschränkungen und Bilder von Abbildung : Die Relation R {1, 2, 3, 4} {a, b, c, d, e, f } Das Bild von {2, 4} in R: {b, d, f }. Das Bild von {1} in R: {a, c}. Das Urbild von {c, d} unter R: {1, 3, 4}. Was ist das Bild von {1, 2} in der kleinergleich Relation? Was ist das Urbild von {1, 2} unter der kleinergleich Relation?

33 kartesische Produkte und Einschränkungen von Darstellung von Einschränkungen und Bilder von Definition Einschränkung Sei R A B eine zweistellige Relation, X A und Y B. Die Menge R X := { x, y R x X } heißt Einschränkung von R auf X.

34 kartesische Produkte und Beispiel Einschränkung von Darstellung von Einschränkungen und Bilder von Abbildung : Die Relation R {1, 2, 3, 4} {a, b, c, d, e, f } Die Einschränkung von R auf {1, 2, 3} ist die Menge aus den n { 1, a, 1, c, 2, b, 3, c }.

35 kartesische Produkte und Darstellung von Einschränkungen und Bilder von Unterschied zwischen Bild und Einschränkung von Die Mengen R X und R(X ) sollten nicht verwechselt werden. Man sollte im Kopf behalten, dass die Einschränkung R X eine Teilmenge der Relation und damit eine Menge von n ist. Das Bild R(X ) ist eine einfache Teilmenge von B und damit eine Menge von Elementen.

36 Table of Contents kartesische Produkte und 1 kartesische Produkte und 2 Darstellung von Einschränkungen und Bilder von 3

37 tl;dr kartesische Produkte und ermöglichen Zuordnungen einzelner Elemente zueinander. Das Kartesische Produkt zweier Mengen sind alle, die sich (unter Beachtung der Reihenfolge) aus den jeweiligen Elementen der Mengen bilden lassen. sind unterschiedlich lange n- über einem Alphabet. Formale Sprachen sind Teilmengen der Menge aller über einem Alphabet. stellen Beziehungen von Elementen dar. n-stellige sind Teilmengen von n-stelligen kartesischen Produkten, die Elemente zueinander in Beziehung stellen.