Anhang B. Relationenalgebraische Definitionen. B.1 Relationen

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1 Anhang B Relationenalgebraische Definitionen Die relationenalgebraischen Definitionen bilden die Grundlage der formalen Aspekte der Projekte WebReference und InterMediate [Her00]. Sie sind [SS89] entnommen. B.1 Relationen Definition A-1 (Relation) Gegeben sei die Grundmenge M. Dann wird eine Teilmenge R des kartesischen Produkts M M als homogene Relation bezeichnet. Eine allgemeinere Beziehung gilt bei unterschiedlichen Grundmenge M 1 und M 2 mit M 1 M 2. Dann wird eine Teilmenge R des kartesischen Produkts M 1 M 2 als heterogene Relation bezeichnet. Definition A-2 (Komplement) Sei R eine binäre Relation. Dann gilt für das Komplement R: R := {(x, y) (x, y) / R} (B.1) Definition A-3 (Transponierte) Sei R eine binäre Relation. Dann ist die transponierte oder konverse Relation R T wie folgt definiert: R T := {(x, y) (y, x) R} (B.2) 271

2 272 B Relationenalgebraische Definitionen Definition A-4 (Nullrelation) Die Nullrelation (leere Relation) O zu einer Grundmenge M entspricht der leeren Teilmenge M M. Definition A-5 (Allrelation) Die Allrelation (Universalrelation) L zu einer Grundmenge M entspricht dem gesamten kartesischen Produkt M M M M. Definition A-6 (Identitätsrelation) Die Identitätsrelation I und ihre Inverse I sind definiert als: I = {(x, y) x = y} V V sowie I = {(x, y) x y} V V (B.3) (B.4) Definition A-7 (Inklusion, Vereinigung und Durchschnitt) Gegeben seien die Relationen R 1 und R 2. Dann sind die Inklusion R 1 R 2, die Vereinigung R 1 R 2 und der Durchschnitt R 1 R 2 - analog zu den Mengenoperationen - wie folgt definiert: R 1 R 2 x, y : [(x, y) R 1 (x, y) R 2 ] (B.5) R 1 R 2 := {(x, y) (x, y) R 1 (x, y) R 2 } (B.6) R 1 R 2 := {(x, y) (x, y) R 1 (x, y) R 2 } (B.7) Definition A-8 (Produkt) Das Produkt R 1 R 2 M M (Kurzform: R 1 R 2 ) zweier homogener Relationen R 1, R 2 M M ist wie folgt definiert: R 1 R 2 := {(x, z) M M y M : (x, y) R 1 (y, z) R 2 } (B.8) Das Produkt zweier heterogener Relationen ist nur bei passenden Grundmengen (Sorten) möglich: R 1 R 2 M 1 M 3 mit R 1 M 1 M 2 und R 2 M 2 M 3 (B.9) Definition A-9 (Projektion) Die Projektion p χ (R) entfernt Komponenten einer Relation und ist definiert als: p χ : R A R χ mit χ A (B.10) In der tabellarischen Darstellung einer Relation entspricht die Projektion dem Ausblenden bestimmter Spalten und der Anzeige der übrigen Spalten.

3 B.2 Graphen 273 Definition A-10 (Selektion) Die Selektion s B (R) wählt aus einer Relation diejenigen Tupel aus, die eine vorgegebene Bedingung B erfüllen. Es gilt: s B : R A R A mit s B (R) := {r R B(r)} (B.11) In der tabellarischen Darstellung einer Relation entspricht die Selektion dem Ausblenden bestimmter Zeilen und der Anzeige der übrigen Zeilen. Definition A-11 (Transitive und reflexiv-transitive Hülle) Die transitive Hülle R + und die reflexiv-transitive Hülle R einer Relation R werden definiert als: R + :=sup i 1 R i =inf{h R H, H transitiv} R :=sup i 0 R i =inf{h R H, H reflexiv und transitiv} (B.12) (B.13) In den Formeln werden das Supremum (sup), die kleinste obere Schranke, und das Infimum (inf), die größte untere Schranke, verwendet. Definition A-12 (Punkt) Eine Relation wird als Punkt bezeichnet, wenn gilt: x (P ) Punkt : x (P ) = x (P ) L x (P ) (x (P ) ) T I x (P ) O (B.14) Ein Punkt x (P ) steht für eine zeilenkonstante Matrix, die sich in Kurzform auch als Vektor darstellen lässt. B.2 Graphen Definition A-13 (Vorgänger und Nachfolger) Sei R die assoziierte Relation eines Graphen G und x (P ) ein Punkt, so heißt: R x (P ) Menge der Vorgänger von x (P ) (B.15) (R) T x (P ) Menge der Nachfolger von x (P ) (B.16) Definition A-14 (Weg) Sei R die assoziierte Relation eines Graphen G mit den beiden Punkten x (P ), y (P ) und h IN 0 eine natürliche Zahl, so gilt: x (P ) R y (P ) Es gibt einen Weg von x (P ) nach y (P ) (B.17) x (P ) R h y (P ) Es gibt einen Weg von x (P ) nach y (P ) der Länge h (B.18)

4 274 B Relationenalgebraische Definitionen Definition A-15 (Vorfahren, Nachfahren und Erreichbarkeit) Sei R die assoziierte Relation eines Graphen G und x (P ), y (P ) zwei Punkte, so gilt: R + x (P ) Menge der Vorfahren von x (P ) (B.19) (R + ) T x (P ) Menge der Nachfahren von x (P ) (B.20) x (P ) (y (P ) ) T R y (P ) erreichbar von x (P ) aus (B.21) Definition A-16 (Initialer und terminaler Punkt) In einem Graphen G mit der Assoziierten R stelle x (P ) einen Punkt dar. Es gilt: x (P ) initial (auch: Quelle) : R x (P ) = O (B.22) x (P ) hat keinen Vorgänger x (P ) terminal (auch: Senke) : R T x (P ) = O x (P ) hat keinen Nachfolger (B.23) R T L ist die Menge der initialen und RL die der terminalen Punkte. Definition A-17 (Wurzel und Wurzelgraph) Sei G ein Graph mit der Assoziierten R, und w (P ) ein Punkt in G. Dann heißt: w (P ) Wurzel von G : w (P ) L R L (w (P ) ) T R w (P ) R L Alle Punkte sind von w (P ) aus erreichbar (B.24) (B.25) Ein Paar W = (G, w (P ) ) bestehend aus einem Graphen G und einer ausgezeichneten Wurzel w (P ) von G heiße Wurzelgraph. B.3 Eigenschaften Definition A-18 (Eigenschaften von Relationen) Sei R eine Relation, so heißt: R reflexiv : I R R I = R x : (x, x) R (B.26) R irreflexiv : R I R I = R x : (x, x) R (B.27) R total : L = RL I RR T R RI (B.28) R eindeutig : R T R I RI R (B.29)

5 B.3 Eigenschaften 275 Eine irreflexive Relation wird auch schlingenfrei genannt. Eine totale und eindeutige Relation R M 1 M 2 wird auch als Abbildung (synonym: Funktion 1 ) R : M 1 M 2 bezeichnet. 1 In [SS89] wird eine Funktion - entgegen dem Bourbaki-Standard - als eindeutige Relation definiert.

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