Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

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1 Relationen und Funktionen (Teil II) Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014

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3 Ebenso wie bei Mengen, gibt es einige besondere Operationen auf Relationen. Diese Operationen erlauben es aus bestehenden Relationen neue Relationen zu erzeugen. Zwei Operationen, Komposition und Umkehrung sind hierbei von vorrangiger Bedeutung.

4 Definition Sei R A B eine zweistellige Relation. Die Menge R 1 := { y, x R(x, y)} heißt die zu R inverse Relation oder die von R. Ist Y B, so heißt R 1 (Y ) das Urbild von Y unter R.

5 Beispiel Ist eine Relation durch Pfeile dargestellt, so ergibt sich die inverse Relation R 1 einfach durch die Umkehrung der Pfeile. Abbildung : Die Relation R Abbildung : R 1

6 Urbild Abbildung : Die Relation R Die grauen Elemente in der Abbildung sind das Bild R({1, 2, 3}). Die weißen Elemente in der Abbildung sind das Urbild R 1 ({a, c, d, f }).

7 Beispiel Ist eine Relation durch eine Matrix dargestellt, ergibt sich die inverse Relation durch Spiegelung an ihrer Diagonalen (bzw. durch Vertauschung der Zeilen und Spalten). R R

8 Weitere Beispiele Werden Relationen zur Formalisierung von transitiven Verben, wie kennen oder lieben verwendet, ergibt sich die Inverse durch Passivbildung. So entspricht z.b lieben 1 dem Passiv wird geliebt von. Sei A eine Menge von Personen, und K A A die Kinderbeziehung, dann ist die Inverse K 1 die Elternbeziehung E und E = K 1.

9 en Lemma Es seien R A B und S A B zweistellige Relationen. Dann gilt stets: (R 1 ) 1 = R (R S) 1 = R 1 S 1 (R S) 1 = R 1 S 1

10 Beweis Zu zeigen: (R S) 1 = R 1 S 1 Sei b, a (R S) 1. Dann gilt a, b (R S) und somit a, b R oder a, b S. Falls a, b R gilt auch b, a R 1. Falls a, b S gilt auch b, a S 1. Es gilt daher immer b, a R 1 S 1. Die Umkehrung folgt dann analog dazu

11 Definition Komposition Es seien R A B und S B C zwei Relationen. Die Menge R S := { a, c A C b B : R(a, b) S(b, c)} heißt das Produkt von R und S oder die Komposition von R und S. Für das n-fache Produkt R R R schreibt man ähnlich wie beim kartesischen Proukt kurz R n (für n 1).

12 Beispiel Offensichtlich ist mit R A B und S B C auch R S wieder eine Relation. Es gilt: R S A C. Das folgende Bild zeigt die Komposition zweier Relationen: Abbildung : Die Relation R S

13 Beispiel Sind A, B, C endliche Mengen, mit m, n, l Elementen können die Relationen R A B und S B C durch die Matrizen M R und M S repräsentiert werden. Die Matrix die die Relation darstellt, die das Ergebnis der Komposition von R S ist, kann durch eine spezielle Art der Matrixmultiplikation aus M R und M S berechnet werden. M hat dann m Zeilen und l Spalten. Der Eintrag M[i, j] ergibt sich aus dem Maximum über alle Produkte M R [i, k] M S [k, j] (für 1 k n).

14 Beispiel R a b c d R S S a b c = d Mit M[i, j] = n max 1 (M R[i, k] M S [k, j]).

15 Beispiel R a b c d R S S a b c = d

16 Beispiel Die Komposition von einfachen Verwandschaftbeziehungen 1 kann verwendet werden, um weitere Komplexere Beziehungen zu definieren. So ist die Komposition der Vaterbeziehung mit der Elternbeziehung die Großvaterbeziehung. Die Komposition der Kinderbeziehung mit sich selbst ergibt dann die Enkelbeziehung. Die Komposition der Relation kennen mit sich selbst ergibt dann die Relation der Personen, die eine Person über eine andere kennt. 1 Kinderbeziehung, Elternbeziehung, Vater- Mutterbeziehung usw.

17 Monotonie der Komposition Lemma Monotonie der Komposition Es seien A, B, C Mengen. Für jeden Index i I {1, 2} seien stets R i A B und S i B C Relationen. Es gilt: R 1 R 2 S 1 S 2 R 1 S 1 R 2 S 2 R A B R ( i I S i ) = i I(R S i ) S B C ( i I R i ) S = i I(R i S)

18 Assoziativität der Komposition Lemma Assoziativität der Komposition Die Komposition zweistelliger Relationen ist assoziativ. Sind R A B, S B C und T C D Relationen, so gilt (R S) T = R (S T ) Beweis: Aus der Definition der Komposition folgt direkt: R (S T ) A D. Ebenso gilt (R S) T A D. Für alle a A und d D gilt: a, d R (S T ) b B : ( a, b R b, d S T ) b B, c C : ( a, b R b, c S c, d T ) c C : ( a, c R S c, d T ) a, d (R S) T

19 Ketten Definition Kette Es sei R A A. Für n 0 heißt einf Folge a 0, a 1,..., a n von (nicht notwendigerweise verschiedenen) Elemente au A eine R-Kette der Länge n von a 0 nach a n genau dann wenn, R(a i, a i+1 für i = 0,..., n 1 gilt.

20 Zyklen Definition Zyklus Eine R-Kette heißt R-Zyklus genau dann wenn gilt: a 0 = a n. Ein R-Zyklus heißt nicht trivial, genau dann, wenn er zumindest zwei verschiedene Elemente enthält In der Abbildung ist 1, 2, 3, 4, 5, 3, 4 eine R-Kette der Länge 7. Die Folge 3,4,5,3 ist ein nichttrivialer Zyklus.

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22 tl;dr Die einer Relation sind die umgekehrten Tupel der Ursprungsrelation. Das Urbild einer Relation ist das Bild der einer Relation. Die Komposition zweier Relationen ergibt wiederum eine Relation.