Karl Heinz Fasol: Der Goldene Schnitt und die Wunder der Zahl PHI 1)
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- Otto Gerhardt
- vor 7 Jahren
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1 Vortrag im RC Bochum-Hellweg am 07.Januar 004 Karl Heinz Fasol: Der Goldene Schnitt und die Wunder der Zahl PHI 1) Ihr werdet Euch aus der Schulzeit noch sicher an die Zahl π = 3, erinnern; im Zusammenhang mit dem Kreis und 'allem was rund ist'. Ich bin aber ziemlich sicher, dass hingegen kaum einer von Euch die Zahl Φ kennt; sie ist viel wundersamer als π und sie ist auch für den Nicht-Mathematiker faszinierend. Sie ist seit der Antike bekannt, wenn sie auch damals noch nicht so genannt wurde. Den Buchstaben Φ erhielt sie erst zu Beginn des 0. Jahrhunderts, nachdem man sie im 19. Jahrhundert die "Goldene Zahl" genannt hatte. "Goldene Zahl" deshalb, weil sie sich aus dem "Goldenen Schnitt" ergibt; aber dieser Begriff ist Euch sicher bekannt. Was ist nun der "Goldene Schnitt"? Er wurde vor rund 300 Jahren, also etwa zur Zeit Alexander des Großen, durch Euclid von Alexandria, dem Schöpfer der auch heute noch gültigen 'Euclidischen Geometrie' mathematisch/geometrisch definiert und lautet wie folgt: Eine Strecke mit der Länge AB A C B X 1 soll in zwei Teile so geteilt, zerschnitten, werden, dass sich die Länge der durch die Teilung entstehenden Strecke AC = x zu der noch kürzeren Strecke CB = 1 genau so verhält wie die Länge der gesamten Strecke AB = (x +1) zur kürzeren Länge von AC = x. Oder "mathematisch" geschrieben AC/CB = AB/AC. Das also ist der Goldene Schnitt des Euclid. Ein Rechteck mit den Seiten AB = (x +1) und AC = x ist das "Goldene Rechteck"; das Format des Goldenen Schnitts. Euclid ahnte sicher nicht, was er für viel spätere Generationen angestoßen hatte. Seine Streckenteilung nach dem Goldenen Schnitt führt nämlich auf die Goldene Zahl Φ; und viele hundert Jahre nach Euclid staunt man über deren Bedeutung, die von der Anordnung von Blättern bei Pflanzen und Früchten bis zur Struktur von Galaxien, von der Mathematik bis hin zu Architektur, Malerei und vereinzelt sogar zur Musik reicht. Nur einige wenige Beispiele: Der Mann des Marcus Vitruvius Pollio (ca.70-5 v.chr.), der mit gespreizten Beinen und ausgestreckten Armen in einem Kreis steht, wurde später durch Leonardo da Vinci berühmt und symbolisiert u.a. den Goldenen Schnitt. Das Bild "Geißelung Christi" des Malers und Mathematikers Piero della Francesca (ca ) ist perspektivisch peinlichst genau konstruiert und entspricht überdies weitgehend dem Goldenen Schnitt. Das Bild "Mutterschaft" (nebenstehend der Entwurf), des Malers Gino Severini ( ) ist nach seiner eigenen Aussage exakt nach dem Goldenen Schnitt 1) Von den im Vortrag gezeigten zahlreichen Bildern können hier nur einige wenige beigefügt werden.
2 entworfen. Dies nur zwei Beispiele aus der Malerei. Auch alle Scheck- und Kreditkarten entsprechen gut angenähert dem Goldenen Schnitt. Ihm entspricht in seinen Abmessungen auch der Parthenon in Athen, der unter Aufsicht des berühmten Bildhauers und Architekten Phidias von Athen in den Jahren 447 bis 4 v.chr., also rund 100 Jahre vor Euclid, gebaut wurde. Der Parthenon wird häufig als Beispiel für den Goldenen Schnitt angeführt; das Empfinden für den Goldenen Schnitt war also auch vor Euclid vorhanden. Um den berühmten Architekten der Antike zu ehren, gab der Amerikanische Mathematiker Marc Barr vor rund 100 Jahren der Goldenen Zahl die Bezeichnung Φ, den ersten Buchstaben des Namens Phidias. Es wird jetzt also höchste Zeit, diese Zahl zu berechnen. Dies ist ganz einfach. Aus dem oben formulierten Zusammenhang AC/CB = AB/AC lesen wir ab x ( x + 1) = 1 x und multiplizieren beide Seiten mit x, wodurch wir eine sog. quadratische Gleichung x² = x + 1 erhalten. Was sehen wir daraus: Das Quadrat von x (als eine Lösung der Gleichung) sollte also nur um Eins größer sein als x selbst. Das scheint uns zunächst unglaubwürdig; ist es aber keineswegs, wie wir gleich sehen werden. Jedenfalls kann aber x keine ganze, natürliche Zahl sein. Aus der Schule erinnert Ihr Euch sicher, dass eine quadratische Gleichung zwei Lösungen hat und dass es dafür eine einfache Formel gibt. Ich erspare Euch diese aber und behaupte, dass die Anwendung jener Formel die beiden Lösungen x 1 =, x =. ( 5 =, ) ergibt. Nehmen wir nun einen Taschenrechner zur Hand, so berechnen wir zunächst x 1 = 1, = Φ ; und das ist die Goldene Zahl. Sie ist, wie z.b. 5, eine sog. irrationale Zahl; das ist eine nicht periodische Dezimalzahl, die nicht als Quotient zweier Zahlen auszudrücken ist und deren Stellen hinter dem Komma niemals enden. Sie wurde z.b. im Jahre 1996 auf 10 Millionen Dezimalstellen berechnet. Das Verhältnis der beiden Seiten des Goldenen Rechtecks ist durch Φ bestimmt. Und jetzt kommen die ersten "Wunder" aus unserem Taschenrechner, nämlich Φ = 1, Φ =, /Φ = 0, Man könnte dieses Spiel mit der zweiten Lösung
3 3 x = - 1/Φ = - 0, der obigen quadratischen Gleichung weiter treiben, doch will ich damit nicht langweilen. Es erwarten uns nämlich noch weitere "Wunder". Jeder kennt das Verteidigungsministerium der USA in Washington D.C., das Pentagon. Es heißt so, weil sein Grundriss eben ein Pentagon ist; ein 5-Eck mit 5 gleichen Seiten, die 5 gleiche Winkel einschließen. Die Erbauer des Verteidigungsministeriums ahnten wahrscheinlich nicht, dass sich unsere Goldene Zahl Φ hier vielfach wiederfindet. Wenn man nämlich die jeweils gegenüber liegenden Ecken des Pentagons miteinander verbindet, dann erhält man ein sog. Pentagramm. Das ist ein uraltes, etwa 6000 Jahre altes Symbol, bereits gefunden bei Ausgrabungen in Mesopotamien; es hängt u.a. zusammen mit der alten Jüdischen Kabbala und anderen Kulten und Geheimbünden, es wird auch als Drudenfuß bezeichnet, usw. In Goethe's "Faust" ist es Mephisto unmöglich, durch eine Tür zu gehen, auf der ein Pentagramm zu sehen ist. Mephisto: Gesteh' ich's nur! dass ich hinaus spaziere, verbietet mir ein kleines Hindernis, der Drudenfuß auf Eurer Schwelle Faust: Das Pentagramma macht dir Pein? Ei sage mir, du Sohn der Hölle, Wenn dich das bannt, wie kamst du denn herein? Und was "können" Pentagon und Pentagramm mathematisch bzw. geometrisch? Pentagon und Pentagramm Goldenes Dreieck Im Pentagon erscheint das Pentagramm; innerhalb des Pentagramms erscheint wieder ein Pentagon und darin wieder ein Pentagramm, usw., usw., bis ins Unendliche; nach innen und nach außen. Und wo findet sich nun unsere Zahl Φ? Sie findet sich überall! Jede Seite der Goldenen Dreiecke (siehe oben und folgend) verhält sich nämlich zu der nächst kleineren exakt wie Φ. Also: a/b = b/c = c/d = d/e = e/f =... = Φ!
4 4 Das Dreieck in der Mitte des Pentagons ist das sog. "Goldene Dreieck". Teilt man eine Seite dieses gleichschenkeligen Dreiecks nach dem Goldenen Schnitt Φ (rechte Skizze), dann entsteht wiederum ein neues, ein kleineres "Goldenes Dreieck", usw., usw.; wiederum bis ins Unendliche. Und die beiden anderen Dreiecke des Pentagons? Hier verhalten sich die Seiten des Pentagons zu deren Basis (also zur Seite des Pentagramms) wie der Kehrwert von Φ, also 1/Φ. War den Erbauern des US Verteidigungsministeriums all dies bewusst? Verbindet man die Eckpunkte aller Basislinien der unendlich vielen Goldenen Dreiecke durch eine Kurve, dann entsteht eine sog. Logarithmische Spirale. Diese finden wir vielfach in der Natur, z.b. bei der Sonnenblume, bei Meeresschnecken, und bis hin zu spiralenförmigen Galaxien, denen also ebenfalls die Goldene Zahl Φ zugrunde liegt; jedenfalls soweit die betreffende Galaxie genügend genau beobachtbar ist. Von ca bis ca. 140 lebte Leonardo von Pisa, genannt "Fibonacci", der damals berühmteste Mathematiker. Unter anderem erklärte er aus der Vermehrung der Kaninchen eine bis heute nach ihm benannte und berühmt gewordene Zahlenfolge, die Fibonacci'sche Folge. Sie entsteht dadurch, dass man, beginnend mit zwei Einsen, immer die zwei aufeinander folgenden Zahlen addiert. Also: usw. Und auch hier verbergen sich für uns neue "Wunder"! Z.B. hat die Struktur der Schale der Ananas-Frucht vorwiegend 5, 8, 13, und manchmal auch noch 1 parallele Ringe unterschiedlicher Steigung. Auch die Anordnungen von Zweigen und Blättern mancher Pflanzen folgen Meister Fibonacci. Und vor einiger Zeit war ich überrascht, in einem Artikel im Wirtschaftsteil der FAZ den Hinweis auf eine Theorie zu finden, nach der die Verläufe von Wechselkursen oder Aktienkursen langfristig der Fibonacci'schen Zahlenreihe folgen. Auch dies waren nur zwei Beispiele; es gäbe viel mehr. Fibonacci wusste natürlich nichts von den gleich folgenden Eigenschaften seiner Zahlenfolge und konnte nicht ahnen, dass sie Eingang in viele Phänomene der Mathematik, Natur, und offenbar auch wirtschaftliche Prozesse finden würde. Nun also diese Eigenschaften: Das Quadrat einer jeden Zahl der Folge unterscheidet sich immer nur um Eins vom Produkt der benachbarten Zahlen, der vorhergehenden und nachfolgenden. Man erkennt ja sofort: 5² = 5, 3 x 8 = 4. Und eine höhere Zahl der Folge, z.b. 987² = ; hier also 610 x 1597 =
5 5 Aber, wo ist der Zusammenhang mit der Goldenen Zahl? Und jetzt also die Überraschung: Dividiert man eine Zahl der Fibonacci-Folge durch die vorhergehende, also z.b : = 1, Kommt das bekannt vor? Es ist unser Φ! Und je größer die Zahlen in der Fibonacci-Folge sind, die man dividiert, je genauer wird das Ergebnis. Der Mathematiker sagt: Das Ergebnis konvergiert gegen Φ. Es war Johannes Kepler, etwa 400 Jahre nach Fibonacci, der diese Eigenschaften entdeckte. Zum Abschluss möchte ich noch mit einem Puzzle verblüffen, bei dem man die Fibonacci-Zahlen 3, 5, 8, 13 verwendet: Die Fläche des Quadrats: 8² = 64. Die Zahl vor der Acht ist 5, jene nachher ist 13, 5 x 13 = 65. Die Differenz ist 1. Die 65 erscheint nun im zweiten Bild als neue Fläche. Durch Umstellen des Elemente des Puzzles bei unveränderten Teilflächen hat sich die Gesamtfläche des entstehenden Rechtecks plötzlich um genau eine Einheit vergrößert, nämlich auf 5 x 13 = 65;... entsprechend der Fibonacci-Eigenschaft! Wie ist dies zu erklären??? Für die richtige Erklärung, die mir per Telefon oder mit "Einsendeschluss" Meeting am 15. Januar zu geben war, hatte ich als Preis eine Flasche Champagner ausgelobt und und frohes Kopfzerbrechen gewünscht. Dem Vortrag lag folgende Literatur zugrunde: Mario Livio: The Golden Ratio The Story of Phi, the Extraordinary Number of Nature, Art and Beauty. Headline Book Publishing, London 00, ISBN
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