DIE ENTSTEHUNG DES TENSORKALKÜLS

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1 DIETER HERBERT DIE ENTSTEHUNG DES TENSORKALKÜLS VON DEN ANFÄNGEN IN DER ELASTIZITÄTSTHEORIE BIS ZUR VERWENDUNG IN DER B AUSTATIK FRANZ STEINER VERLAG STUTTGART 1991

- 1 - Inhaltsverzeichnis 0. Vorwort 7 1.0 Einleitung 8 2.0 Die Tensorvorformen als physikalische Grundlagen der Elastizi- 10 tätstheorie und als metrische Größen starrer Körper 2.

2 - 1 - Inhaltsverzeichnis 0. Vorwort Einleitung Die Tensorvorformen als physikalische Grundlagen der Elastizi- 10 tätstheorie und als metrische Größen starrer Körper 2.1 Die tensorielle Frühphase in der Mechanik deformierbarer Körper Der Spannungstensor in der Mechanik der Kontinua Die unterschiedlichen Schreibweisen für die Spannungskomponenten 18 des Spannungstensors 2.2 Die tensorielle Frühphase in der Mechanik elastischer, fester 19 Körper Cauchys erste Bemühungen die Zusammenhänge zwischen den Span- 19 nungen und Deformationen physikalisch zu beschreiben Eine erste Hypothese Cauchys, den Spannungstensor über Elasti- 24 zitätskonstante mit dem Verzerrungstensor zu verbinden Die "rari - constant - theory" Cauchys Elastizitäts-Studien an einem pulsierenden System aus 28 willkürlich angeordneten Punkten Die Beziehungen zwischen den Komponenten des Spannungs- und 39 Dehnungstensors in einem elastischen Kontinuum Cauchy verfeinert seine Hypothese im Sinne eines allgemeinen 50 Hookeschen Gesetzes Die "multi - constant - theory" Die molekulartheoretisch motivierte Suche Lames nach einer 65 neuen Begründung für Cauchys Theorie Experimentelle und mathematische Studien an Kristallen zur 79 Klärung der Elastizitätsverhältnisse in isotropen Stoffen (Voigt) Die verschiedenen Schreibweisen für das allgemeine Hookesche 89 Gesetz 2.3 Die tensorielle Frühphase in der allgemeinen Dynamik starrer 93 Körper Historischer überblick über die Entwicklung der Lehre von den 93 Trägheitsmomenten Über die geometrische Interpretation der axialen Trägheitsmo- 95 mente am Beispiel der Studien Cauchys

- 2-2.4 Schlußbetrachtung und Ausschau nach Auswirkungen auf den Ten- 101 sorkalkül 3.

3 Schlußbetrachtung und Ausschau nach Auswirkungen auf den Ten- 101 sorkalkül 3.0 Die verschiedenen definitorischen Ausbildungen eines direkten 103 Tensorbegriffs in zwei Bereichen der Mathematik und in der Physik 3.1 Der Tensorbegriff in der Quaternionentheorie Die Übernahme des Tensorbegriffs in die Vektorrechnung Der Tensorbegriff in der Vektoranalysis Der Tensorbegriff in der technischen Mechanik Die definitorische Ausbildung eines Tensorbegriffs in der 111 Kristallographie W. Voigts Referat für den physikalischen Kongreß in Paris im 111 Jahre Wissenschaftliche Nomenklatur Tensoren Tensortripel Beziehungen zwischen den Tensoren eines Tripels und ihren Korn- 117 ponenten 3.4 Schlußbetrachtung und Auswirkungen Die definitorischen Ausbildungen eines indirekten Tensorbe- 123 griffs in der Differentialgeometrie 4.1 Die Auswirkungen von Gauß Flächentheorie auf die Differen- 123 tialgeometrie 4.2 Die Schaffung des Kalküls der sogenannten kovarianten Diffe- 123 rentiation Die Transformation ganzer homogener Differentialausdrücke Die Christoffelsymbole 1. Art Die Bedeutung der Christoffelsymbole in der Differentialgeo- 126 metrie Ober den Tensorcharakter der Christoffelsymbole Die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zwei- 127 ten Grades Die Christoffelsymbole 2. Art Ober den Tensorcharakter der Christoffelsymbole 2. Art 129

- 3-4.2.2.3 Das Lemma von Christoffel 130 4.2.2.4 Die Bedeutung von Christoffels Lemma für den Tensorkalkül 130 4.2.2.5 Der Riemann - Christoffel - Tensor 131 4.2.2.6 Die speziellen Eigenschaften des Riemann - Christoffel - 134 - Tensors 4.

4 Das Lemma von Christoffel Die Bedeutung von Christoffels Lemma für den Tensorkalkül Der Riemann - Christoffel - Tensor Die speziellen Eigenschaften des Riemann - Christoffel Tensors Die Bedeutung von Christoffels Arbeit für die Differential- 136 geometrie und die Mechanik 4.3 Der Ricci - Kalkül oder der absolute Differentialkalkül Die mathematischen Grundlagen Allgemeine Einführung in die mathematischen Grundlagen Grundlegende Beziehungen Die kovariante und kontravariante Ableitung von Funktions- 142 Systemen Anwendungsbeispiele zur kovarianten Ableitung Die Tensoreigenschaften der ersten partiellen Ableitung Der Riemannsche Krümmungstensor Das Lemma von Ricci Anwendungsbeispiele des Ricci - Kalküls Veranlassung und Zielsetzung Differentialgeometrie der Fläche Die Metrikkoeffizienten Der Metriktensor Die Ableitungsgleichungen von GauS und Weingarten Vektoranalysis Kovariante und kontravariante Basisvektoren Transformationsgesetze Elastizitätstheorie Die Verträglichkeitsbedingungen Der Verzerrungstensor Die räumliche Dehnung Schlugbetrachtungen und Auswirkungen Die Schaffung des Tensorkalküls und seine Verwendung bei der 188 Gestaltung einer allgemeinen Elastizitätstheorie als deren mathematische Grundlagen 5.1 Die Schaffung des Tensorkalküls auf der Grundlage des Ricci Kalküls

- 4 - Die Beachtung des Ricci - Kalküls in der Mechanik und in 188 den Naturwissenschaften Die Schaffung des Tensorkalküls zur mathematischen Beschrei- 190 bung der physikalischen Abläufe in der

5 - 4 - Die Beachtung des Ricci - Kalküls in der Mechanik und in 188 den Naturwissenschaften Die Schaffung des Tensorkalküls zur mathematischen Beschrei- 190 bung der physikalischen Abläufe in der Relativitätstheorie 1 Veranlassung und Zielsetzung Die mathematischen Grundlagen der Relativitätstheorie Die Verallgemeinerung der mathematischen Grundlagen 193 Schlußbetrachtung und Auswirkungen 196 Die allgemeine Elastizitätstheorie 197 Das Strukturschema der Elastizitätstheorie 197 Die physikalischen Grundlagen Die Gesetze der Elastizität, ein Beitrag von L. Brillouin Veranlassung und Zielsetzung Der Verzerrungstensor Der Spannungstensor Die Gleichgewichtsbedingungen Der Verzerrungs- und Gleichgewichtszustand, ein Beitrag von 209 P. Appell und R. Thiry 2.1 Veranlassung und Zielsetzung Der Verzerrungstensor Die Gleichgewichtsbeziehungen Der Gleichgewichtszustand und das isotrope Stoffgesetz, ein 214 Beitrag von A. J. HcConnel 3.1 Veranlassung und Zielsetzung Die Gleichgewichtsbedingungen Die elastischen Konstanten Die virtuellen Verrückungen und das Prinzip der virtuellen 218 Arbeiten, ein Beitrag von F. D. Murnaghan 4.1 Veranlassung und Zielsetzung Das Kriterium der Festkörperverschiebung Das Prinzip der virtuellen Verrückungen Die Grundgleichungen der klassischen Elastizitätstheorie in 222 allgemeinen Koordinaten, ein Beitrag von E. A. Deuker 5.1 Veranlassung und Zielsetzung Der Formänderungstensor Der Spannungstensor Die Gleichgewichtsbedingungen 227

6 - 5 - Die Kompatibilitätsbedingungen, ein Beitrag von V.Z. Vlasov 228 Schlußbetrachtung und Auswirkungen 230 Die allgemeine Elastizitätstheorie entsprechend der inge nieurmä8igen Betrachtungsweise Allgemeine Grundgleichungen der Elastizitätstheorie, ein 231 Beitrag von W.Zerna 1 Veranlassung und Zielsetzung Ergänzende Ausdrücke zum Tensorkalkül Der Spannungszustand Die Gleichgewichtsbedingungen Der Formänderungszustand Das Elastizitätsgesetz 238 Die Elastizitätstheorie in allgemeinen Koordinaten, ein Bei- 240 trag von W.Zerna und A.E.Green 1 Veranlassung und Zielsetzung Der Verschiebungsvektor Der Verzerrungstensor Die Kompatibilitätsbedingungen Der Spannungstensor Die Gleichgewichtsbedingungen Die virtuellen Arbeiten Die Verzerrungsenergie Die Variationsprinzipe Die Spannungs - Dehnungs - Beziehungen Die elastischen Koeffizienten 256 Schlußbetrachtung und Auswirkungen 256 Die Entwicklung einer allgemeinen Theorie der gekrümmten 258 Flächentragwerke Allgemeine Betrachtungen zur Geschichte der gekrümmten Flä- 258 chentragwerke Die Differentialgleichungen der Schalentheorie als Tensor- 260 gleichungen, ein Beitrag von N.E. Bergner Veranlassung und Zielsetzung 260 Formeln und Bezeichnungen 260 Differentialgeometrie auf der Schalenmittelfläche 263 Der Deformationstensor 265 Der Spannungstensor 266

- 6-5.3.2.6 Die Gleichgewichtsbedingungen 267 5.3.3 Eine strenge Schalentheorie, zwei Beitrage von I.J Synge 271 und U.Z. Chien 5.3.3.1 Veranlassung und Zielsetzung 271 5.3.3.2 Der Spannungszustand am Schalenelement 271 5.

7 Die Gleichgewichtsbedingungen Eine strenge Schalentheorie, zwei Beitrage von I.J Synge 271 und U.Z. Chien Veranlassung und Zielsetzung Der Spannungszustand am Schalenelement Die Spannungskomponenten und die resultierenden Schnitt- 271 großen Die Gleichgewichtsbeziehungen Die Reduzierung der Zahl der unbekannten Schnittgrößen Der Verzerrungszustand am Schalenelement Der Verzerrungstensor Die Verträglichkeitsbedingungen Die Spannungs - Dehnungsbeziehungen Zusammenfassende Betrachtungen der Autoren Differentialgeometrie auf der spannungsfreien Schalenmit- 281 telfläche Das Approximationskonzept Beitrag zur allgemeinen Schalentheorie, eine Abhandlung 287 von W. Zerna Veranlassung und Zielsetzung Geometrie der Schalen Spannungszustand Gleichgewicht am Schalenelement Formänderungszustand Elastizitätsgesetz Schlußbetrachtung und Auswirkung Wachwort Quellenverzeichnis 312

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