1 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik

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1 1 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik In diesem Kapitel sind einige wichtige Begriffe, Konzepte und Gleichungen der Festkörpermechanik zusammengestellt. Es versteht sich, dass diese Darstellung nicht vollständig sein kann und sich nur auf das Notwendigste beschränkt. Der Leser, der sich ausführlicher informieren möchte, sei auf die Spezialliteratur verwiesen; einige Angaben hierzu finden sich am Ende des Buches. Wie der Name schon andeutet, verfolgt die Festkörpermechanik das Ziel, das mechanische Verhalten von festen Körpern einer Analyse zugänglich zu machen. Sie basiert auf der Idealisierung des in Wirklichkeit diskontinuierlichen Materials als ein Kontinuum. Seine Eigenschaften sowie die mechanischen Größen können damit durch im allgemeinen stetige Funktionen beschrieben werden. Es ist klar, dass die darauf aufbauende Theorie ihre Grenzen dort hat, wo der diskontinuierliche Charakter des Materials eine Rolle spielt. So sind Begriffe wie Spannungen und Verzerrungen nur dann physikalisch sinnvoll anwendbar, wenn sie auf Bereiche bezogen sind, die hinreichend groß im Vergleich zu den charakteristischen Abmessungen der vorhandenen Inhomogenitäten sind (zum Beispiel bei makroskopischen Bauteilen aus polykristallinen Werkstoffen groß gegenüber der Korngröße). Hierauf ist insbesondere bei der Anwendung der Kontinuumsmechanik auf mikroskopische Bereiche zu achten. Die Darstellung erfolgt im wesentlichen in kartesischen Koordinaten unter Verwendung der Indexschreibweise bzw. der symbolischen Notation. Sie beschränkt sich außerdem meist auf isotrope Materialien sowie auf kleine (infinitesimale) Deformationen. 1.1 Spannung Spannungsvektor Wirken auf einen Körper äußere Kräfte (Volumenkräfte f, Oberflächenkräfte t), so werden hierdurch verteilte innere Kräfte - die Spannungen - hervorgerufen. Um sie zu definieren, denken wir uns den Körper im augenblicklichen (deformierten) Zustand durch einen Schnitt getrennt (Bild 1.1a), über welchen die beiden Teilkörper durch entgegengesetzt gleich große Flächenlasten aufeinander einwirken. Ist F die Kraft auf ein Flächenelement A der Schnittfläche, so beschreibt der Quotient F / A die mittlere Flächenbelastung für dieses Element. Den Grenzwert F t = lim A 0 A = df (1.1) da

2 6 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik bezeichnet man als Spannungsvektor in einem Punkt der Schnittfläche. Seine Komponente σ = t n in Richtung des Normaleneinheitsvektors n (senkrecht zum Flächenelement da) heißtnormalspannung; diekomponenteτ = t 2 σ 2 senkrecht zu n (tangential zum Flächenelement da) nenntmanschubspannung (Bild 1.1b). Der Spannungsvektor t in einem Punkt hängt von der Orientierung des Schnittes, das heißt vom Normalenvektor n ab: t = t(n). Wir betrachten zunächst drei Schnitte senkrecht zu den Koordinatenachsen x 1, x 2, x 3, denen die Spannungsvektoren t 1, t 2, t 3 zugeordnet sind (Bild 1.1c). Ihre kartesischen Komponenten werden mit σ ij bezeichnet, wobei die Indizes i, j die Zahlen 1, 2, 3 annehmen können. Der erste Index kennzeichnet die Orientierung des Schnittes (Richtung der Normale), während durch den zweiten Index die Richtung der Komponente zum Ausdruck kommt. Danach sind σ 11, σ 22, σ 33 Normalspannungen und σ 12, σ 23 etc. Schubspannungen. Es sei angemerkt, dass es manchmal zweckmäßig ist eine andere Notation zu verwenden. Unter Bezug auf die Koordinaten x,y,z bezeichnet man die Normalspannungen häufig mit σ x, σ y, σ z und die Schubspannungen mit τ xy, τ yz etc. t τ t x 3 σ 31 da n da n σ σ 13 σ 11 σ 12 σ 33 σ 32 σ 23 t 2 σ 22 σ 21 x 2 a) b) Bild 1.1 x 1 Spannungsvektor Für das Vorzeichen von Spannungen gilt folgende Vereinbarung: Komponenten sind positiv, wenn sie an einer Schnittfläche, deren Normalenvektor in positive (negative) Koordinatenrichtung zeigt, in positive (negative) Richtung wirken. Mittels der Komponenten lässt sich zum Beispiel der Spannungsvektor t 2 in der Form t 2 = σ 21 e 1 + σ 22 e 2 + σ 23 e 3 = σ 2i e i ausdrücken. Analog gilt t 1 = σ 1i e i oder allgemein t j = σ ji e i. (1.2) Darin sind e 1, e 2, e 3 die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinaten x 1, x 2, x 3. Außerdem wurde Gebrauch von der Einsteinschen Summationsvereinbarung gemacht. Danach ist über einen Ausdruck zu summieren, wenn in ihm ein und derselbe Index doppelt vorkommt; der betreffende Index durchläuft dabei der Reihe nach die Werte 1, 2, 3. c)

3 Spannung Spannungstensor DieneunskalarenGrößen σ ij sind die kartesischen Komponenten des Cauchyschen Spannungstensors σ (A.L. Cauchy, ). Man kann ihn in Form der Matrix σ 11 σ 12 σ 13 σ = σ 21 σ 22 σ 23 (1.3) σ 31 σ 32 σ 33 darstellen. Durch den Spannungstensor ist der Spannungszustand in einem Punkt, d.h. der Spannungsvektor für jeden beliebigen Schnitt durch den Punkt, eindeutig bestimmt. Um dies zu zeigen, betrachten wir das infinitesimale Tetraeder nach Bild 1.2a. Die Orientierung der Fläche da ist durch den Normalenvektor n bzw. durch seine Komponenten n i gegeben. Das Kräftegleichgewicht liefert dann zunächst t da = t 1 da 1 + t 2 da 2 + t 3 da 3 (etwaige Volumenkräfte sind von höherer Ordnung klein). Mit t = t i e i,da j =dan j und (1.2) erhält man daraus t i = σ ij n j bzw. t = σ n, (1.4) wobei der Punkt in der symbolischen Schreibweise die einfache Indexsummation (hier über j) kennzeichnet. Mit dem Spannungstensor σ liegt demnach der Spannungsvektor t für jeden Schnitt n fest (hier und im weiteren wollen wir Tensoren und Vektoren alternativ durch ihre Symbole oder durch ihre Komponenten kennzeichnen und beide Schreibweisen oft parallel benutzen). Es sei angemerkt, dass (1.4) eine lineare Abbildung zweier Vektoren darstellt, durch welche σ als Tensor zweiter Stufe charakterisiert ist. Aufgrund des Momentengleichgewichts, auf das wir hier nicht eingehen wollen, ist der Spannungstensor symmetrisch: σ ij = σ ji. (1.5) Das heißt, die Schubspannungen in aufeinander senkrecht stehenden Schnitten sind einander paarweise zugeordnet. t 1 t 2 x 3 x 3 da 1 n t x 3 x 2 da 2 da da 3 x 2 x 1 x 2 x 1 a) t 3 Bild 1.2 x 1 Spannungszustand b)

4 8 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik In manchen Fällen ist es notwendig, den Spannungstensor bzw. seine Komponenten in einem zum x 1,x 2,x 3 -Koordinatensystem gedrehten System x 1,x 2,x 3 (Bild 1.2b) anzugeben. Der Zusammenhang zwischen den Komponenten bezüglich des einen und des anderen Systems ist durch die Transformationsbeziehung σ kl = a ki a lj σ ij. (1.6) gegeben. Darin kennzeichnet a ki den Kosinus des Winkels zwischen der x k - und der x i -Achse: a ki =cos(x k,x i)=e k e i. Ein besonderes Achsensystem ist das Hauptachsensystem. Es ist dadurch ausgezeichnet, dass in Schnitten senkrecht zu den Achsen nur Normalspannungen und keine Schubspannungen auftreten. Das bedeutet, der Spannungsvektor t i und der zugehöriger Normalenvektor n i sind jeweils gleichgerichtet: t i = σn i = σδ ij n j. Darin sind σ die Normalspannung im Schnitt und δ ij das Kronecker-Symbol (δ ij =1für i = j und δ ij =0für i j). Gleichsetzen mit (1.4) liefert das homogene lineare Gleichungssystem (σ ij σδ ij )n j =0 bzw. (σ σ I) n = 0, (1.7) wobei I den Einheitstensor mit den Komponenten δ ij darstellt. Es hat nur dann eine nichttriviale Lösung für die n j, wenn seine Koeffizientendeterminate verschwindet: det(σ ij σδ ij )=0.Diesführt auf die kubische Gleichung σ 3 I σ σ 2 II σ σ III σ =0, (1.8) wobei die Größen I σ, II σ, III σ unabhängig vom Koordinatensystem, d.h. Invarianten des Spannungstensors sind; sie lauten I σ = σ ii = σ 11 + σ 22 + σ 33, II σ = (σ ij σ ij σ ii σ jj )/2 = (σ 11 σ 22 + σ 22 σ 33 + σ 33 σ 11 )+σ σ σ31 2, (1.9) σ 11 σ 12 σ 13 III σ = det(σ ij )= σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33. Die drei Lösungen σ 1, σ 2, σ 3 von (1.8) sind sämtlich reell. Sie werden als Hauptspannungen bezeichnet. Je einer Hauptspannung ist eine Hauptrichtung (Normalenvektor n j in Hauptachsenrichtung) zugeordnet, die sich aus (1.7) ermitteln lässt. Man kann zeigen, dass die drei Hauptrichtungen senkrecht aufeinander stehen. Die Hauptspannungen selbst sind Extremwerte der Normalspannung in einem Punkt. Bezüglich des Hauptachsensystems kann der Spannungstensor durch σ σ = 0 σ 2 0 (1.10) 0 0 σ 3 dargestellt werden.

5 Spannung 9 In Schnittflächen, deren Normale jeweils senkrecht auf einer der Hauptachsen steht und mit den beiden anderen einen Winkel von 45 einschließt, treten extremale Schubspannungen auf. So wirkt zum Beispiel im Schnitt mit der Normalen senkrecht zur σ 3 -Richtung eine Schubspannung τ 3 = ±(σ 1 σ 2 )/2. Allgemein sind die sogenannten Hauptschubspannungen gegeben durch τ 1 = ± σ 2 σ 3 2, τ 2 = ± σ 3 σ 1 2, τ 3 = ± σ 1 σ 2 2. (1.11) Sind σ 1 die maximale und σ 3 die minimale Hauptspannung, so ist demnach die maximale Schubspannung τ max = σ 1 σ 3. (1.12) 2 Von praktischer Bedeutung sind noch die Oktaederspannungen. Hierunter versteht man die Normal- und die Schubspannung in Schnitten, deren Normale mit den drei Hauptachsen gleiche Winkel einschließt. Es gilt σ oct = σ 1 + σ 2 + σ 3 3 = σ ii 3 = I σ 3, τ oct = 1 3 (σ1 σ 2 ) 2 +(σ 2 σ 3 ) 2 +(σ 3 σ 1 ) 2. (1.13) Die Spannung σ oct kann man auch als mittlere Normalspannung deuten: σ m = σ kk /3=σ oct. Vielfach ist es nützlich, den Spannungstensor additiv zu zerlegen: σ ij = σ kk 3 δ ij + s ij bzw. σ = σ m I + s. (1.14) Darin beschreibt 1 3 σ kkδ ij eine Beanspruchung durch eine allseitig gleiche Spannung σ m. Wegen der Analogie zum Spannungszustand in einer ruhenden Flüssigkeit wird dieser Anteil als hydrostatischer Spannungszustand bezeichnet. Den Tensor s nennt man Deviator. Durch ihn bzw. durch seine Invarianten I s =0, II s = 1 2 s ijs ij = 1 6 [(σ 1 σ 2 ) 2 +(σ 2 σ 3 ) 2 +(σ 3 σ 1 ) 2 ] = 1 6 [(σ 11 σ 22 ) 2 +(σ 22 σ 33 ) 2 +(σ 33 σ 11 ) 2 ]+σ σ σ 2 31, (1.15) III s = 1 3 s ijs jk s ki wird die Abweichung des Spannungszustandes vom hydrostatischen Zustand charakterisiert. Durch Vergleich mit (1.13) erkennt man: II s = 3 2 τ 2 oct.

6 10 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik Zur grafischen Veranschaulichung des Spannungszustandes werden häufig die Mohrschen Spannungskreise herangezogen (O. Mohr, ). Hierbei handelt es sich um die Darstellung der Normalspannung σ und der zugehörigen Schubspannung τ als Spannungsbildpunkte in einem σ-τ-diagramm für alle möglichen Schnitte. Geht man von einem Hauptachsensystem aus, so gilt mit (1.4) σ 2 + τ 2 = t i t i = σ 2 1n σ 2 2n σ 2 3n 2 3, σ = t i n i = σ 1 n σ 2n σ 3n 2 3. Damit lässt sich unter Beachtung von n i n i = 1 zum Beispiel die Identität in der Form (σ σ 2 + σ 3 2 (σ σ 2 + σ 3 2 ) 2 + τ 2 = σ(σ 2 + σ 3 )+( σ 2 + σ 3 ) 2 +(σ 2 + τ 2 ) 2 ) 2 + τ 2 = n 2 1(σ 1 σ 2 )(σ 1 σ 3 )+( σ 2 σ 3 ) 2 (1.16) 2 schreiben. Man kann dies formal als Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt bei σ = (σ 2 + σ 3 )/2, τ = 0 und einem von n 1 abhängigen Radius auffassen. Wegen 0 n 2 1 1beträgt der minimale Mittelpunktsabstand der Spannungsbildpunkte (σ 2 σ 3 )/2 =τ 1 (für n 1 =0),während der maximale Abstand σ 1 +(σ 2 σ 3 )/2 (für n 1 = ±1) ist. Analoge Überlegungen können an zwei weiteren Gleichungen durchgeführt werden, die sich aus (1.16) durch zyklische Vertauschung der Indizes ergeben. Ordnet man die Hauptspannungen nach ihrer Größe (σ 1 σ 2 σ 3 ), so erhält man zusammengefasst eine Darstellung nach Bild 1.3. Spannungsbildpunkte befinden sich danach nur in dem schraffierten Gebiet bzw. auf den Kreisen vom Radius τ i. Die Kreise selbst entsprechen dabei jeweils Schnitten, deren Normale senkrecht zu einer der drei Hauptachsen steht. τ max τ σ, τ τ 1 τ 3 σ 3 σ 2 σ 1 σ Bild 1.3 Mohrsche Spannungskreise

7 Deformation und Verzerrung Gleichgewichtsbedingungen Auf einen beliebigen Teilkörper, der aus einem Körper herausgeschnitten ist, wirken im allgemeinen über das Volumen V verteilte Volumenkräfte f i sowie über die Oberfläche V verteilte Flächenkräfte (Spannungsvektor) t i.kräftegleichgewicht herrscht dann, wenn die Resultierende dieser Kräfte verschwindet: t i da + f i dv =0. (1.17) V V Mit t i = σ ij n j und unter Anwendung des Gaußschen Satzes σ V ijn j da = σ V ij,jdv ergibt sich hieraus (σ ij,j + f i )dv =0. (1.18) V Vorausgesetzt ist dabei, dass die Spannungen und ihre Ableitungen stetig sind; letztere sind durch Indizes nach dem Komma gekennzeichnet: σ ij,j = σ ij / x j. Da das betrachtete Volumen V beliebig ist, folgt aus (1.18), dass für jeden Punkt des Körpers die Gleichgewichtsbedingungen σ ij,j + f i =0 bzw. σ + f = 0 (1.19) erfüllt sein müssen. Dabei haben wir in der symbolischen Schreibweise den Vektoroperator =( / x j ) e j verwendet. Aus (1.19) erhält man unmittelbar die Bewegungsgleichungen, wenn man die bei der Bewegung auftretenden Trägheitskräfte ρü i als zusätzliche Volumenkräfte auffasst: σ ij,j + f i = ρ ü i. (1.20) Darin ist ρ die Dichte; über eine Größe gesetzte Punkte kennzeichnen Ableitungen nach der Zeit. Auf die Momentengleichgewichtsbedingung wollen wir hier nicht näher eingehen. Sie führt auf die in (1.5) schon erwähnte Symmetrie des Spannungstensors. 1.2 Deformation und Verzerrung Verzerrungstensor Zur Beschreibung der Kinematik eines deformierbaren Körpers werden üblicherweise der Verschiebungsvektor und ein Verzerrungstensor herangezogen. Zu ihrer Erklärung betrachten wir einen beliebigen materiellen Punkt P, dessen Lage im undeformierten Zustand (zum Beispiel zur Zeit t = 0) durch die Koordinaten (Ortsvektor) X i gekennzeichnet wird (Bild 1.4). Ein zu P benachbarter Punkt Q

8 12 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik x 1 x 3 X i x 2 Bild 1.4 Q dx i x i P u i Deformation im Abstand ds hat die Koordinaten X i +dx i. Unter der Wirkung der Belastung verschiebt sich P nach P bzw. Q nach Q. Ihre aktuelle Lage (zur Zeit t) ist durch die Raumkoordinaten x i bzw. x i +dx i gegeben. Die Verschiebung von P nach P wird durch den Verschiebungsvektor P Q dx i u i = x i X i (1.21) ausgedrückt. Unter der Voraussetzung, dass eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen x i und X i besteht, kann man den Verschiebungsvektor u i und den Ortsvektor x i als Funktionen der materiellen Koordinaten X i auffassen: u i = u i (X j,t), x i = x i (X j,t). (1.22) Zur Herleitung eines geeigneten Deformationsmaßes vergleichen wir nun die Abstände der benachbarten Punkte im deformierten und im undeformierten Zustand. Es ist zweckmäßig hierzu die Abstandsquadrate ds 2 = dx k dx k = x k X i x k X j dx i dx j ds 2 = dx k dx k =dx i dx j δ ij heranzuziehen. Mit (1.22) erhält man wobei ds 2 ds 2 =2E ij dx i dx j, (1.23) E ij = 1 2 ( u i X j + u j X i + u k X i u k X j ) (1.24) ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe ist. Man nennt ihn Greenschen Verzerrungstensor (G. Green, ). Es lässt sich zeigen, dass für hinreichend kleine (infinitesimale) Verschiebungsgradienten ( u i / X j 1) die Ableitung nach den materiellen Koordinaten X j durch die Ableitung nach den Ortskoordinaten x j ersetzt werden kann: u i / X j u i / x j = u i,j. Beachtet man, dass in diesem Fall das Produkt

9 Deformation und Verzerrung 13 der Verschiebungsgradienten in E ij von höherer Ordnung klein ist, so erhält man aus (1.24) den infinitesimalen Verzerrungstensor ε ij = 1 2 (u i,j + u j,i ). (1.25) Man kann ihn in Form der Matrix ε 11 ε 12 ε 13 ε = ε 21 ε 22 ε 23 (1.26) ε 31 ε 32 ε 33 darstellen, die wegen ε ij = ε ji symmetrisch ist. Geometrisch lassen sich die Komponenten ε 11, ε 22, ε 33 als Dehnungen (bezogene Längenänderungen) und ε 12, ε 23, ε 31 als Gleitungen (Winkeländerungen) deuten. Hingewiesen sei in diesem Zusammenhang auf die technische Notation. Unter Bezug auf ein x, y, z-koordinatensystem finden dort häufig die Bezeichnungen ε x, ε y, ε z für die Dehnungen und γ xy /2, γ yz /2, γ zx /2für die Gleitungen Verwendung. Die Eigenschaften des Verzerrungstensors können wir sinngemäß vom Spannungstensor übertragen. So existiert ein Hauptachsensystem, in dem die Gleitungen verschwinden und nur die Hauptdehnungen ε 1, ε 2, ε 3 auftreten. Daneben gibt es die drei Invarianten I ε, II ε, III ε des Verzerrungstensors. Die erste charakterisiert dabei geometrisch die Volumendehnung (bezogene Volumenänderung): Wird der Verzerrungstensor entsprechend I ε = ε V = ε kk = ε 1 + ε 2 + ε 3. (1.27) ε ij = ε kk 3 δ ij + e ij bzw. ε = ε V 3 I + e (1.28) zerlegt, so beschreibt der erste Anteil die Volumenänderung, während durch den Deviator e eine Gestaltänderung (bei gleichbleibendem Volumen) ausgedrückt wird. Angegeben sei noch die zweite Invariante des Deviators. Sie lautet in Analogie zu (1.15) II e = 1 2 e ije ij = 1 6 [(ε 1 ε 2 ) 2 +(ε 2 ε 3 ) 2 +(ε 3 ε 1 ) 2 ]. (1.29) Bei gegebenen Verzerrungskomponenten liegen mit (1.25) sechs Gleichungen für die drei Verschiebungskomponenten vor. Soll in einem einfach zusammenhängenden Gebiet das Verschiebungsfeld (bis auf eine Starrkörperbewegung) eindeutig sein, so können die Verzerrungen nicht unabhängig voneinander sein; sie müssen den sogenannten Verträglichkeitsbedingungen (Kompatibilitätsbedingungen) genügen. Letztere ergeben sich aus (1.25) durch Elimination der Verschiebungen zu ε ij,kl + ε kl,ij ε ik,jl ε jl,ik =0. (1.30)

10 14 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik Verzerrungsgeschwindigkeit Der Verzerrungstensor ist nicht immer geeignet, die Deformation bzw. die Bewegung eines deformierbaren Körpers zu beschreiben. In manchen Fällen, wie zum Beispiel in der Plastizität, ist es vielmehr zweckmäßig, Verzerrungsänderungen bzw. Verzerrungsgeschwindigkeiten zu verwenden. Wir gehen hierzu vom Geschwindigkeitsfeld v i (x j,t) aus (Bild 1.5). Die Relativgeschwindigkeit zweier Partikel, die sich zur Zeit t in den benachbarten Raumpunkten P und Q befinden, wird durch dv i = v i x j dx j = v i,j dx j (1.31) ausgedrückt. Hierdurch ist der Geschwindigkeitsgradient v i,j als Tensor zweiter Stufe definiert, den man gemäß zerlegen kann. v i,j = 1 2 (v i,j + v j,i )+ 1 2 (v i,j v j,i )=D ij + W ij (1.32) x 3 Q dx i v i +dv i x 1 x 2 P x i v i Bild 1.5 Verzerrungsgeschwindigkeit Der symmetrische Anteil D ij = 1 2 (v i,j + v j,i ) (1.33) wird als Verzerrungsgeschwindigkeitstensor bezeichnet. Er charakterisiert die zeitliche Verzerrungsänderung der momentanen Konfiguration. Das sogenannte natürliche Verzerrungsinkrement ergibt sich mit ihm zu dɛ ij = D ij dt. (1.34) Wenn die Verzerrungen für alle Zeiten klein sind, dann können D ij bzw. dɛ ij durch die zeitliche Ableitung des Verzerrungstensors ε ij bzw. durch dε ij ersetzt werden. Dies wollen wir im folgenden meist voraussetzen. Angemerkt sei wieder, dass auf D ij bzw. dɛ ij alle Eigenschaften, die beim Spannungstensor diskutiert wurden, sinngemäß zutreffen. Daneben gelten auch die Kompatibilitätsbedingungen, wenn in (1.30) ε ij durch D ij bzw. durch dɛ ij ersetzt wird. Der schiefsymmetrische Anteil W ij in (1.32) beschreibt die augenblickliche Drehgeschwindigkeit (Spin), auf die wir hier jedoch nicht weiter eingehen.

11 Stoffgesetze Stoffgesetze Wir beschränken uns im weiteren auf kleine (infinitesimale) Verzerrungen, was für eine große Klasse von Problemen zulässig ist und die Formulierung von Stoffgesetzen stark vereinfacht Elastizität Linear elastisches Material In Verallgemeinerung des einachsigen Hookeschen Gesetzes σ = E ε (R. Hooke, ) sind bei einem linear elastischen Material die Verzerrungen und die Spannungen im dreiachsigen Fall gemäß σ = C : ε bzw. σ ij = C ijkl ε kl (1.35a) miteinander verknüpft. Dabei kennzeichnet der Doppelpunkt bei der symbolischen Schreibweise die Summation über zwei Indexpaare (hier k, l). Der Elastizitätstensor C (Tensor vierter Stufe) charakterisiert mit seinen Komponenten C ijkl die elastischen Eigenschaften des Materials. Man kann zeigen, dass es im allgemeinsten Fall einer Anisotropie maximal 21 voneinander unabhängige Konstanten gibt; dabei gelten die Symmetrien C ijkl = C jikl = C ijlk = C klij.löst man (1.35a) nach den Verzerrungen auf, so lautet das Elastizitätsgesetz ε = M : σ bzw. ε ij = M ijkl σ kl. (1.35b) Darin ist M = C 1 der Nachgiebigkeitstensor mit den Komponenten M ijkl,für welche die gleichen Symmetrieeigenschaften wie für C ijkl gelten. Im Fall eines isotropen Materials ist C durch alleine zwei unabhängige Konstanten festgelegt (isotroper Tensor): C ijkl = λδ ij δ kl + µ (δ ik δ jl + δ il δ jk ). (1.36) Damit erhält man aus (1.35a) das Elastizitätsgesetz σ ij = λε kk δ ij +2µε ij, (1.37) worin λ und µ die Lamé schen Konstanten sind (G. Lamé, ). Ihr Zusammenhang mit dem Elastizitätsmodul E, dem Schubmodul G, der Querkontraktionszahl ν (Poissonsche Konstante, S.D. Poisson, ) und dem Kompressionsmodul K ist in Tabelle 1.1 gegeben. Löst man das Elastizitätsgesetz (1.37) entsprechend (1.35b) nach den Verzerrungen auf, so gilt mit den Beziehungen nach Tabelle 1.1 ε ij = ν E σ kk δ ij + 1+ν E σ ij. (1.38)

12 16 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik Tabelle 1.1 Beziehungen zwischen den elastischen Konstanten Zugrunde liegendes Konstantenpaar λ,µ µ,k E,G E,ν λ λ K 2 3 µ G(E 2G) 3G E µ µ µ G K λ + 2 G 3 K GE 3(3G E) E µ(3λ +2µ) 9Kµ λ + µ 3K + µ E ν λ 3K 2µ 2(λ + µ) 2(3K + µ) E 2G 1 Eν (1 + ν)(1 2ν) E 2(1 + ν) E 3(1 2ν) E ν Eine weitere mögliche Schreibweise des isotropen Elastizitätsgesetzes folgt durch Trennung in den hydrostatischen (volumetrischen) und den deviatorischen Anteil. Mit (1.14), (1.28) und den Beziehungen nach Tabelle 1.1 ergibt sich σ kk =3Kε kk, s ij =2µe ij. (1.39) Ein anisotropes Material verhält sich nicht in allen Richtungen gleich. Wir wollen uns hier auf zwei Fälle beschränken. Bei Orthotropie hat der Werkstoff aufeinander senkrecht stehende Vorzugsrichtungen. Fallen sie mit den Koordinatenrichtungen zusammen, so lautet das Elastizitätsgesetz in Matrizenform ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 31 2 ε 12 = h 11 h 12 h h 12 h 22 h h 13 h 23 h h h h 66 σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 31 σ 12. (1.40) Dabei hängen die 9 von Null verschiedenen Nachgiebigkeiten h ij mit den Tensorkomponenten M ijkl und den technischen Konstanten E i (Elastizitätsmoduli), ν ij (Querdehnzahlen), µ ij (Schubmoduli) wie folgt zusammen: h 11 =M 1111 = 1 E 1, h 12 =M 1122 = ν 12 E 1 = ν 21 E 2, h 44 =M 2323 = 1 µ 23, h 22 =M 2222 = 1 E 2, h 23 =M 2233 = ν 23 E 2 = ν 32 E 3, h 55 =M 3131 = 1 µ 31, h 33 =M 3333 = 1 E 3, h 13 =M 1133 = ν 13 E 1 = ν 31 E 3, h 66 =M 1212 = 1 µ 12. (1.41)

13 Stoffgesetze 17 Zeigt ein orthotropes Material keine Abhängigkeit der Materialeigenschaften bei einer Drehung um eine Achse (zum Beispiel die x 3 -Achse), dann nennt man es transversal isotrop. Aufgrund der dann herrschenden Beziehungen zwischen den Nachgiebigkeiten h 11 = h 22, h 13 = h 23, h 44 = h 55, h 66 =2(h 11 h 12 ) (1.42) wird ein solches Material durch nur 5 unabhängige Konstanten charakterisiert. Erwärmt man ein spannungsfreies Material um die Temperaturdifferenz T, so führt dies zu thermischen Dehnungen ε th, die in erster Näherung proportional zur Temperaturänderung sind: ε th = k T bzw. ε th ij = k ij T. (1.43) Darin stellt k den Tensor der Wärmedehnungskoeffizienten dar, welcher bei thermisch isotropem Material durch einen einzigen Parameter gegeben ist: k ij = kδ ij. Fasst man die elastischen und die thermischen Verzerrungen zu den Gesamtverzerrungen ε zusammen, so erhält man das Duhamel-Neumann-Gesetz (J.M. Duhamel, , F. Neumann, ) Formänderungsenergiedichte σ = C :(ε ε th ). (1.44) Bei einem elastischen Material ist die bei einer Deformation pro Volumeneinheit geleistete Arbeit ε kl U = σ ij dε ij (1.45) 0 unabhängig vom Deformationsweg. In diesem Fall ist der Integrand du = σ ij dε ij ein vollständiges Differential (du = U ε ij dε ij ), und es gilt σ ij = U ε ij. (1.46) Man bezeichnet U = U(ε ij )alsformänderungsenergiedichte oder spezifisches elastisches Potential. Neben U(ε ij ) kann man eine spezifische Ergänzungsenergie oder spezifische Komplementärenergie Ũ(σ ij) einführen. Sie ist definiert durch Analog zu (1.46) gilt σ kl Ũ = σ ij ε ij U = ε ij dσ ij. (1.47) 0 ε ij = Ũ σ ij. (1.48)

14 18 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik Im Spezialfall des linear elastischen Materials folgt die Formänderungs- bzw. die Komplementärenergiedichte durch Einsetzen von (1.35a) und (1.35b) in (1.45) und (1.47) zu U = Ũ = 1 2 σ ijε ij = 1 2 ε : C : ε = 1 2 σ : M : σ. (1.49) Sie lässt sich unter Verwendung von (1.14), (1.28) und (1.39) in zwei Teile aufspalten: U = 1 2 Kε2 kk + µe ije ij = U V + U G. (1.50) Darin ist U V = 1 2 Kε2 kk = 1 2 KI2 ε die Volumenänderungsenergiedichte (=Energieanteil infolge reiner Volumendehnung), während U G = µe ij e ij =2µII e die Gestaltänderungsenergiedichte (=Energieanteil infolge reiner Gestaltänderung) beschreibt Nichtlinear elastisches Material Ist ein Material isotrop, so hängt die Formänderungsenergiedichte U nur von den Invarianten I ε, II ε, III ε des Verzerrungstensors ab. Dabei lassen sich II ε, III ε auch durch die Invarianten II e, III e des Deviators ersetzen: U = U(I ε,ii e, III e ). Mit I ε = ε ij δ ij, II e = 1 2 e ije ij, III e = 1 3 e ije jk e ki und (1.46) kann man demnach ein allgemeines nichtlineares Elastizitätsgesetz in der Form σ ij = U I ε δ ij + U II e e ij + U III e e ik e kj (1.51) angeben. Für viele Materialien kann man annehmen, dass sich die Formänderungsenergiedichte (wie beim linearen Material) entsprechend U = U 1 (I ε )+U 2 (II e ) aus einem Volumenänderungsanteil und einem Gestaltänderungsanteil zusammensetzt. In diesem Fall reduziert sich (1.51) auf σ ij = du 1 di ε δ ij + du 2 dii e e ij, (1.52) woraus sich durch Zerlegung in den hydrostatischen und den deviatorischen Anteil die folgenden Gesetzmäßigkeiten ergeben: σ kk =3 du 1 di ε = f(ε kk ), s ij = du 2 dii e e ij = g(ii e ) e ij. (1.53) Wird das Material zusätzlich noch als inkompressibel angesehen (ε kk =0),so entfällt in (1.53) die erste Gleichung. Die Funktion g(ii e ) kann man dann durch das einachsige Spannungs-Dehnungs-Verhalten σ(ε) des Materials ausdrücken. Zu diesem Zweck definieren wir zunächst eine einachsige Vergleichsspannung oder effektive Spannung σ e folgendermaßen: ein dreiachsiger Spannungszustand σ

15 Stoffgesetze 19 (bzw. s) ist hinsichtlich der Materialbeanspruchung äquivalent zu einem einachsigen Spannungszustand σ e,wennii s für beide gleich ist. Hiermit ergibt sich aus (1.15) mit σ 1 = σ e, σ 2 = σ 3 = 0 der Zusammenhang σ 2 e = 3 2 s ijs ij = 3 2 s : s. (1.54a) Analog sehen wir beim inkompressiblen Material einen dreiachsigen Verzerrungszustand ε (bzw. e) alsäquivalent zu einer einachsigen Dehnung ε e an, wenn II e in beiden Fällen gleich ist. Dies führt mit (1.29) und ε 1 = ε e, ε 2 = ε 3 = ε 1 /2 auf die Definition der einachsigen Vergleichsdehnung oder effektiven Dehnung ε 2 e = 2 3 e ije ij = 2 3 e : e. (1.54b) Bildet man nun unter Verwendung von (1.53), (1.54a,b) das Produkt s ij s ij,so folgt g = 2 3 σ e/ε e und damit schließlich s ij = 2 3 σ e ε e e ij. (1.55) Als Beispiel betrachten wir einen einachsigen Spannungs-Dehnungs-Zusammenhang in Form eines Potenzgesetzes: ε = Bσ n bzw. σ = bε N. (1.56) Darin sind n =1/N und B =1/b n Materialkonstanten. Seine dreidimensionale Verallgemeinerung lautet unter der Voraussetzung der Inkompressibilität e ij = 3 2 Bσn 1 e s ij bzw. s ij = 2 3 bεn 1 e e ij. (1.57) Die Formänderungsenergiedichte und die spezifische Komplementärenergie ergebensichindiesemfallzu U = Viskoelastizität n n +1 s ije ij, Ũ = 1 n +1 s ije ij. (1.58) Viskoelastische Materialien kombinieren elastisches mit viskosem Verhalten. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass das Materialverhalten zeitabhängig bzw. eine Funktion der Belastungs- oder Deformationsgeschichte ist. Typische viskoelastische Effekte sind Kriech- und Relaxationserscheinungen, wie sie zum Beispiel bei Polymeren oder im höheren Temperaturbereich auch bei Stählen auftreten.

16 20 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik Linear viskoelastisches Material Das Stoffgesetz von linear viskoelastischen Materialien unter einachsiger Beanspruchung kann alternativ durch ε(t) = t J(t τ) dσ dτ dτ, σ(t) = t E(t τ) dε dτ (1.59) dτ ausgedrückt werden. Darin sind J(t) bzw. E(t) Materialfunktionen, die das Verhalten bei einer plötzlich aufgebrachten, konstanten Spannung σ 0 bzw. konstanten Dehnung ε 0 beschreiben. Man bezeichnet J(t) =ε(t)/σ 0 als Kriechfunktion oder Kriechnachgiebigkeit und E(t) =σ(t)/ε 0 als Relaxationsfunktion (Bild 1.6). Sie sind miteinander durch die Beziehung d t J(t τ) E(τ)dτ = 1 (1.60) dt 0 verknüpft. Die untere Grenze bei den Integralen in (1.59) deutet an, dass das Verhalten des Materials zum Zeitpunkt t von der gesamten zuvor durchlaufenen Spannungs- bzw. Dehnungsgeschichte abhängt. J E E g J e J g E e a) t b) t Bild 1.6 a) Kriechfunktion, b) Relaxationsfunktion Bei isotropem Materialverhalten ist es zweckmäßig, die dreidimensionale Verallgemeinerung von (1.59) in den hydrostatischen und den deviatorischen Anteil zu trennen. Dabei setzt man häufig die bei vielen viskoelastischen Materialien zu beobachtende Tatsache voraus, dass die Volumendehnung rein elastisch erfolgt (σ kk =3Kε kk ). Für den deviatorischen Anteil gilt dann e ij = 1 2 t J d (t τ) ds t ij dτ dτ, s ij =2 G(t τ) de ij dτ dτ. (1.61)

17 Stoffgesetze 21 Die Kriechfunktion J d (t) und die Relaxationsfunktion G(t) hängen wieder wie im einachsigen Fall zusammen. Integrale vom Typ (1.59), (1.61) nennt man Faltungsintegrale.Für ihre Behandlung bietet sich die Laplace-Transformation an. Die Laplace-Transformierte f(p) einer Funktion f(t) ist definiert als f(p) = 0 f(t)e pt dt. (1.62) Wendet man die Transformation zum Beispiel auf die zweite Gleichung von (1.61) an, so ergibt sich unter der Annahme, dass die Verzerrungsgeschichte zum Beispiel zum Zeitpunkt τ =0beginnt, s ij =2p Ḡ(p)ē ij. (1.63) Durch Vergleich mit (1.39) erkennt man, dass das transformierte viskoelastische Materialgesetz und das Elastizitätsgesetz die gleiche Form haben. Dies trifft auch auf weitere Gleichungen, wie die Gleichgewichtsbedingungen oder die kinematischen Beziehungen zu. Man spricht aus diesem Grund von der elastisch viskoelastischen Analogie, aus der sich das Korrespondenzprinzip herleitet. Danach erhält man die Laplace-transformierte Lösung eines viskoelastischen Problems aus der Lösung des entsprechenden elastischen Problems, indem man die elastischen Konstanten geeignet durch Kriech- bzw. Relaxationsfunktion ersetzt (z.b. G p Ḡ(p)). Die endgültige Lösung folgt dann durch Rücktransformation Nichtlinear viskoelastisches Material, Kriechen Zur Beschreibung des nichtlinear viskoelastischen Verhaltens bedient man sich häufig formaler, pragmatisch begründeter Näherungen. Hierzu gehört zum Beispiel der für Polymere gedachte Ansatz (H. Leaderman, 1943) ε(t) = t J(t τ) d(σf) dτ. (1.64) dτ Darin ist f(σ) eine zusätzliche Materialfunktion. Sie charakterisiert die Abhängigkeit der Kriechdehnung von der Größe der angelegten konstanten Spannung σ 0 in der Art ε(t) =σ 0 f(σ 0 )J(t). Eine Übertragung von (1.64) auf den dreidimensionalen Fall kann sinngemäß wie beim linearen Material erfolgen. Wegen seiner praktischen Bedeutung sei hier noch auf das Kriechen metallischer Werkstoffe eingegangen. Man unterscheidet dabei zwischen primärem, sekundärem und tertiärem Kriechen. Das sekundäre Kriechen zeichnet sich dadurch aus, dass im einachsigen Fall die Dehnungsgeschwindigkeit ε unter festgehaltener Spannung σ zeitlich konstant ist; sie hängt nur von der Größe der Spannung

18 22 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik ab: ε = ε(σ). Zur Beschreibung dieser stationären Kriechbewegung finden unter anderen die Ansätze von Norton-Bailey (F.H. Norton, R.W. Bailey, 1929) oder von Prandtl (L. Prandtl, ) sowie modifizierte Ansätze der Art ε = Bσ n (1.65) ε ε =[sinh( σ σ )] n (1.66) ε ε = C d dt ( σ σ ) m +( σ σ ) n (1.67) Verwendung. Darin sind B, C, n, m, σ und ε Materialkonstanten. Die Stoffgesetze für viskoses Fließen und elastisches Verhalten weisen häufig eine analoge Struktur auf. So erhält man zum Beispiel (1.65) aus (1.56), indem man die Verzerrungen durch die Verzerrungsgeschwindigkeit ersetzt. Setzt man voraus, dass die Ausdrücke (Arbeitsraten) D = σ kl 0 ε ij dσ ij, D = ε kl 0 σ ij d ε ij = σ ij ε ij D (1.68) unabhängig vom Integrationsweg sind, so gelten die zu (1.48), (1.46) analogen Beziehungen ε ij = D σ ij, σ ij = D ε ij. (1.69) Man bezeichnet D(σ ij )alsfließpotential und D( ε ij )alsspezifische Formänderungsenergierate; diegröße σ ij ε ij stellt die spezifische Dissipationsleistung dar. Nimmt man an, dass das Material inkompressibel ist ( ε kk = 0) und das Fließpotential nur von II s abhängt, so liefert (1.69) ė ij = d D s ij = 3 ε e s ij (1.70) dii s 2 σ e mit σ e =( 3 2 s ijs ij ) 1/2 und ε e =( 2 3ėijė ij ) 1/2. Zum Beispiel lauten dann das auf drei Dimensionen verallgemeinerte Nortonsche Kriechgesetz ė ij = 3 2 Bσn 1 e s ij (1.71) und die zugehörige spezifische Formänderungsenergierate sowie das Fließpotential D = n n +1 s ijė ij, D = 1 n +1 s ijė ij. (1.72)

19 Stoffgesetze 23 Diese Beziehungen sind vollkommen analog zu den Gleichungen (1.57), (1.58) für das nichtlinear elastische Verhalten entsprechend einem Potenzgesetz; man muss nur die Verzerrungen durch die Verzerrungsraten ersetzen. Als Folge hiervon sind auch die Lösungen für zugeordnete Randwertprobleme analog. Das heisst, man kann die Lösung eines nichtlinear elastischen Problems auf ein zugeordnetes Kriechproblem übertragen, indem man die Verzerrungen durch die Verzerrungsraten ersetzt Plastizität Überschreitet die Materialbeanspruchung eine bestimmte Grenze, so kommt es insbesondere bei metallischen Werkstoffen zu plastischem Fließen. Hierbei zieht im Unterschied zur Viskoelastizität eine Belastungsänderung meist eine unmittelbare (zeitunabhängige) Deformationsänderung nach sich. Plastisches Fließen hat unter anderem zur Folge, dass nach einer Entlastung bleibende Deformationen auftreten. Bei der Beschreibung eines elastisch-plastischen Materialverhaltens wird üblicherweise angenommen, dass sich die Verzerrungen und damit auch die Verzerrungsinkremente additiv aus einem elastischen und einem plastischen Anteil zusammensetzen: ε = ε e + ε p, dε =dε e +dε p. (1.73a) Bezieht man die Verzerrungsinkremente auf ein zugeordnetes Zeitinkrement dt, dann lässt sich dies auch in der Form ε = ε e + ε p (1.73b) ausdrücken. Für den elastischen Anteil setzt man dabei einen linearen Spannungs- Dehnungs-Zusammenhang zum Beispiel in Form von (1.35a) voraus. Mit (1.73a) lautet somit das Elastizitätsgesetz σ = C : ε e = C :(ε ε p ). (1.74) Als Stoffgesetz für den plastischen Anteil finden sowohl Formulierungen in den Verzerrungsinkrementen (inkrementelle Theorie) als auch in den totalen Verzerrungen (Deformationstheorie) Verwendung. Beide machen häufig Gebrauch von der Annahme, dass keine plastischen Volumenänderungen auftreten: ε p kk =0;dies hat dann ε p = e p zur Folge Fließbedingung Wir nehmen an, dass für plastisches Fließen ein bestimmter Zustand vorliegen muss, der durch die Spannungen σ ij gegeben ist. Eine solche Fließbedingung kann durch F (σ) = 0 (1.75a)

20 24 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik ausgedrückt werden, was sich auch als Darstellung einer Fläche (=Fließfläche) im neundimensionalen Raum der Spannungen σ ij deuten lässt. Ein Spannungszustand auf der Fließfläche (F = 0) charakterisiert danach Fließen, während Punkte innerhalb der Fließfläche (F <0) elastischem Verhalten zugeordnet sind. Die erweiterte Form der Fließbedingung F (σ) 0 (1.75b) beschreibt danach die Menge aller überhaupt möglichen (zulässigen) Spannungszustände. Die Fließfläche kann ihre Lage und Form im Verlauf des Fließvorganges verändern. Spezialfälle sind die selbstähnliche Aufblähung (isotrope Verfestigung) und die reine Translation (kinematische Verfestigung). Bleibt die Fließfläche unverändert, so nennt man das Material idealplastisch. Aufgrund des Prinzips der maximalen plastischen Arbeit, auf das wir noch eingehen werden, ist die Fließfläche konvex. Die Fließbedingung kann bei isotropem Material nur von den Invarianten I σ, II σ, III σ oder, was gleichbedeutend ist, nur von I σ, II s, III s abhängen. Berücksichtigt man, dass bei vielen Materialien (insbesondere bei metallischen Werkstoffen) der hydrostatische Anteil des Spannungszustandes nur zu elastischer Volumenänderung führt und den Fließvorgang nicht beeinflusst, so folgt aus (1.75a) die Fließbedingung F (II s, III s )=0. (1.76) Aus der Fülle der Möglichkeiten, welche (1.76) bietet, seien hier nur zwei bewährte und weit verbreitete Fließbedingungen herausgegriffen. Die von Misessche Fließbedingung (R. von Mises, ) lautet F = II s k 2 =0 bzw. F = 1 2 s ijs ij k 2 =0. (1.77a) Mit (1.15) lässt sie sich auch in der Form F = 1 6 [(σ 1 σ 2 ) 2 +(σ 2 σ 3 ) 2 +(σ 3 σ 1 ) 2 ] k 2 = 0 (1.77b) ausdrücken. Danach tritt Fließen auf, wenn II s einen Wert k 2 erreicht. Äquivalent hierzu sind die Aussagen, dass für Fließen eine bestimmte Oktaederschubspannung τ oct erforderlich ist bzw. dass beim linear elastischen Material die Gestaltänderungsenergiedichte U G begrenzt ist. Durch (1.77b) ist im dreidimensionalen Raum der Hauptspannungen eine Kreiszylinderfläche definiert, deren Mittelachse mit der hydrostatischen Geraden σ 1 = σ 2 = σ 3 zusammenfällt und deren Radius 2k beträgt (Bild 1.7a). Beim idealplastischen Material ist k konstant. Mit der Fließspannung σ F unter einachsigem Zug (σ 1 = σ F, σ 2 = σ 3 = 0) und der Fließschubspannung τ F für reinen Schub (σ 1 = σ 3 = τ F, σ 2 = 0) gilt dann der Zusammenhang k = σ F / 3=τ F. Im Fall einer isotropen Verfestigung hängt

21 Stoffgesetze 25 k von den plastischen Deformationen ab. Dann ist σ F durch die aktuelle Fließspannung zu ersetzen: k = σ/ 3. Aus (1.77a) ergibt sich damit die einachsige Vergleichsspannung σ e =( 3s 2 ijs ij ) 1/2, die wir schon in (1.54a) kennengelernt haben; sie wird auch von Misessche Vergleichsspannung genannt. σ 3 Tresca hydrostatische Achse σ 2 v.mises σ F σ F v.mises σ 2 Tresca σ F σ F σ F σ 1 σ F a) Bild 1.7 σ 1 Fließbedingungen nach von Mises und Tresca b) Im Spezialfall des ebenen Spannungszustandes (σ 3 = 0) folgt aus (1.77b) die Fließbedingung σ σ 2 2 σ 1 σ 2 = σ 2 F. (1.78) Die zugehörige Fließkurve ist eine Ellipse (Bild 1.7b). Die Fließbedingung von H.E. Tresca (1868) geht von der Annahme aus, dass plastisches Fließen auftritt, wenn die maximale Schubspannung einen bestimmten Wert annimmt: F = τ max k = 0. Mit den Hauptschubspannungen nach (1.11) muss daher eine der Bedingungen σ 1 σ 3 ± 2k =0, σ 2 σ 1 ± 2k =0, σ 3 σ 2 ± 2k = 0 (1.79) erfüllt sein. Die zugehörige Fließfläche im Raum der Hauptspannungen ist ein hexagonales Prisma, dessen Mittelachse die hydrostatische Gerade ist (Bild 1.7). Beim idealplastischen Material ist der Zusammenhang zwischen k und den Fließspannungen σ F (einachsiger Zug) und τ F (reiner Schub) durch k = σ F /2=τ F gegeben Inkrementelle Theorie Im weiteren wird vorausgesetzt, dass der Werkstoff dem Prinzip der maximalen plastischen Arbeit (σ ij σ 0 ij )dεp ij 0 (1.80) genügt. Darin sind σ ij der tatsächliche Spannungszustand auf der Fließfläche und σij 0 ein Ausgangszustand innerhalb oder auf der Fließfläche. Dieses Prinzip lässt

22 26 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik sich dahingehend interpretieren, dass unter allen Spannungszuständen σ ij,welche die Fließbedingung erfüllen, die tatsächlichen Spannungen σ ij die plastische Arbeit σ ij dε p ij zum Extremum machen. Diese Extremalaussage kann in der Art σ ij [ σ ij dε p ij dλf( σ ij)] = 0 für σ ij = σ ij (1.81) formuliert werden, wobei dλ 0 ein noch freier, Lagrangescher Multiplikator ist. Hieraus ergibt sich die Fließregel dε p ij =dλ F σ ij, (1.82a) die wir auch in den folgenden Formen schreiben können: ε p ij F = λ bzw. ε p F = λ σ ij σ. (1.82b) Ohne im einzelnen darauf einzugehen sei angemerkt, dass aus dem Prinzip der maximalen plastischen Arbeit bzw. aus der Fließregel Konsequenzen erwachsen. Zu ihnen gehören unter anderen die erwähnte Konvexität der Fließfläche und die Normalenregel. Letztere besagt, dass die plastischen Verzerrungsinkremente normal zur Fließfläche gerichtet sind (vgl.(1.82a,b)). Legt man die von Misessche Fließbedingung (1.77a,b) zugrunde, so folgt aus (1.82a,b) dε p =dλ s. Die Hauptrichtungen von dε p stimmen demnach mit denen des Deviators s und folglich auch mit denen von σ überein. Der Faktor dλ kann bestimmt werden, indem wir die einachsige Vergleichsspannung σ e =( 3 2 s ijs ij ) 1/2 und unter Berücksichtigung der plastischen Volumenkonstanz ein einachsiges Vergleichsverzerrungsinkrement dε p e = ( 2 3 dεp ij dεp ij )1/2 einführen. Aus dε p ij dεp ij = (dλ) 2 s ij s ij erhält man dann dλ = 3 2 dεp e/σ e und damit dε p ij = 3 dε p e s ij bzw. ε p = 3 ε p e s. 2 σ e 2 σ e (1.83a) Für idealplastisches Material ist σ e = σ F ;für verfestigendes Material schreibt man (1.83a) unter Verwendung des plastischen Tangentenmoduls g =dσ e /dε p e = σ e / ε p e auch häufig in der Form dε p ij = 3 2 s ij dσ e bzw. ε p = 3 σ e s. gσ e 2 gσ e (1.83b) Durch Zusammenfassen der elastischen und der plastischen Verzerrungsinkremente entsprechend (1.73a,b) ergibt sich schließlich als Stoffgesetz im Fließbereich (F =0,dσ e > 0) das sogenannte Prandtl-Reuss-Gesetz ε kk = 1 3K σ kk, ė = 1 2 µ ṡ + 3 σ e s. 2 gσ e (1.83c)

23 Stoffgesetze 27 Geht man von der Trescaschen Fließbedingung in der Form F = σ 1 σ 3 k =0 aus (σ 1 σ 2 σ 3 ), so liefert die Fließregel in Hauptachsenrichtung dε p 1 =dλ, dεp 2 =0, dεp 3 = dλ. (1.84) Hierdurch wird ebenfalls die Bedingung plastischer Volumenkonstanz erfüllt Deformationstheorie In der Deformationstheorie wird angenommen, dass zwischen den plastischen Verzerrungen und den deviatorischen Spannungen die Beziehung ε p = λ s (1.85) besteht, wobei der Faktor λ vom Spannungszustand und den plastischen Verzerrungen abhängt. Er ergibt sich unter Zugrundelegung der von Misesschen Fließbedingung mit der Vergleichsspannung σ e =( 3s 2 ijs ij ) 1/2 und der plastischen Vergleichsverzerrung ε p e =( 2 3 εp ij εp ij )1/2 zu λ =3ε p e/2σ e. Fasst man nach (1.73a) die elastischen und die plastischen Verzerrungen zusammen, so erhält man das finite Hencky-Ilyushin-Gesetz ε kk = 1 3K σ kk, e = [ 1 2 µ ε p ] e s. (1.86) σ e Durch Vergleich von (1.86) mit (1.55) erkennt man, dass die Deformationstheorie ein plastisches Materialverhalten wie ein nichtlinear elastisches Verhalten beschreibt. Sie ist dementsprechend nicht in der Lage zum Beispiel Entlastungsvorgänge adäquat zu modellieren. Physikalisch sinnvoll kann sie nur im Bereich monoton wachsender Belastung angewendet werden. Dabei ist sie insbesondere dann gut geeignet, wenn eine Proportionalbelastung vorliegt, das heisst wenn gilt s = P s 0. (1.87) Darin sind s 0 ein Bezugsspannungszustand (zum Beispiel bei der Endbelastung) und P ein skalarer Belastungsparameter. Man kann zeigen, dass in diesem Fall die Deformationstheorie und die inkrementelle Theorie äquivalent sind. Als hinreichend gute Approximation des realen Stoffverhaltens spezialisiert man häufig die allgemeine Beziehung (1.85) durch das Potenzgesetz (1.56) bzw. (1.57). Dieses führt immer zu einer Proportionalbelastung nach (1.87), wenn die Belastung eines Körpers oder Teilkörpers durch einen einzigen Lastparameter P (z.b. durch eine Kraft) vorgegeben ist. Für die Verzerrungen und die Verschiebungen ergibt sich in diesem Fall ε p = P n ε p 0, u = P n u 0. (1.88) Darin sind ε p 0 und u 0 die zum Bezugsspannungszustand s 0 zugeordneten plastischen Verzerrungen und Verschiebungen. Sind dementsprechend die Spannungen

24 28 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik und Verzerrungen für eine bestimmte Last bekannt, so kennt man sie auch für alle anderen Lasten. An dieser Stelle sei angemerkt, dass die Eigenschaften des Potenzgesetzes sinngemäß von der Deformationstheorie auf Kriechvorgänge übertragen werden können. Aufgrund der Analogie der Stoffgesetze für nichtlinear elastisches Verhalten und für das Kriechen (vgl. Abschnitt ) müssen nur die Dehnungen durch die Dehnungsraten und die Verschiebungen durch die Geschwindigkeiten ersetzt werden, d.h. es gelten dann die Beziehungen s = P s 0, ε p = P n ε p 0, u = P n u 0. (1.89) 1.4 Energieprinzipien Im folgenden sind einige klassische Energieprinzipien für deformierbare Körper zusammengestellt. Dabei wird davon ausgegangen, dass bei Zustandsänderungen des Körpers die materielle Oberfläche unverändert bleibt. Ein etwaiges Risswachstum ist hier also ausgeschlossen. Der kürzeren Schreibweise wegen nehmen wir noch an, dass als äußere Kräfte nur Oberflächenkräfte und keine Volumenkräfte wirken. Letztere können sinngemäß aber ohne weiteres berücksichtigt werden Energiesatz Der Energiesatz der Kontinuumsmechanik besagt, dass die Änderung der Gesamtenergie (innere Energie + kinetische Energie) eines Körpers dem Energiefluss in den Körper entspricht. Dies kann alternativ in Form der Gleichungen Ė + K = P + Q, (E + K) 2 (E + K) 1 = t 2 t 1 (P + Q)dt (1.90) ausgedrückt werden. Darin sind E die innere Energie, K die kinetische Energie und P die Leistung der äußeren Kräfte. Sie sind gegeben durch E = ρedv, K= 1 ρ u u dv, P= t u da, (1.91) 2 V V wobei e die spezifische innere Energie ist. Durch Q wird der Energietransport in den Körper beschrieben, welcher nicht durch P erfasst wird (zum Beispiel Wärmetransport); wir wollen ihn hier nicht näher festlegen. Für ein elastisches Material lässt sich ρe mit der Formänderungsenergiedichte U identifizieren. Im Spezialfall einer quasistatischen Belastung (K = 0) und für Q = 0 lautet dann der Energiesatz Π i 2 Πi 1 = W a 12. (1.92) V

25 Energieprinzipien 29 Hierbei wurden die Abkürzungen u 2 Π i = U dv, W12 a = [ t du]da (1.93) V V u 1 für die Formänderungsenergie des Körpers und für die Arbeit der äußeren Kräfte zwischen den Zuständen 1 und 2 eingeführt. Man nennt Π i auch elastisches Potential Prinzip der virtuellen Arbeit Wir betrachten einen Körper im Gleichgewicht, auf dessen Teiloberflächen V t bzw. V u die Belastungen ˆt bzw. die Verschiebungen û vorgeschrieben sind. Die statischen und die kinematischen Grundgleichungen hierfür lauten σ ij,j =0 inv, σ ij n j = ˆt i auf V t, ε ij = 1 2 (u i,j + u j,i ) in V, u i =û i auf V u. (1.94) Ein statisch zulässiges Spannungsfeld σ (1) erfüllt die Gleichgewichtsbedingungen und die Randbedingungen auf V t.analoggenügt ein kinematisch zulässiges Verschiebungsfeld u (2) bzw. Verzerrungsfeld ε (2) den kinematischen Beziehungen und den Randbedingungen auf V u. Multipliziert man nun die Gleichgewichtsbedingung für σ (1) mit den Verschiebungen u (2) und integriert über das Volumen V,so erhält man aus (1.94) unter Verwendung des Gaußschen Satzes den allgemeinen Arbeitssatz σ (1) : ε (2) (1) dv = ˆt u (2) da + t (1) û (2) da. (1.95) V V u V t Aus (1.95) lassen sich verschiedene Gesetzmäßigkeiten herleiten. Verwendet man als Kraftgrößen die zu einem Gleichgewichtszustand gehörigen wirklichen Größen und als kinematische Größen die virtuellen Verschiebungen δu bzw. virtuellen Verzerrungen δε aus der Gleichgewichtslage, dann erhält man das Prinzip der virtuellen Arbeit (Prinzip der virtuellen Verrückungen) mit δw i = σ : δε dv, δw a = V δw i = δw a (1.96) V t ˆt δu da. (1.97) Die virtuellen Verrückungen sind dabei als gedacht, infinitesimal und kinematisch zulässig zu verstehen. Befindet sich ein Körper im Gleichgewicht, so ist nach diesem Prinzip die bei einer virtuellen Verrückung geleistete Arbeit δw i der inneren Kräfte gleich der Arbeit δw a der äußeren Kräfte.

26 30 Einige Grundlagen der Festkörpermechanik Für ein elastisches Material entspricht die Arbeit der inneren Kräfte der Änderung des elastischen Potentials. Nach (1.45) ist nämlich σ : δε = δu, woraus mit (1.97) und (1.93) die Beziehung δw i = δπ i folgt. Sind zusätzlich noch die äußeren Kräfte aus einem Potential herleitbar, so wird δw a = δπ a, und man erhält aus (1.96) δπ =δ(π i +Π a )=0. (1.98) In der Gleichgewichtslage nimmt das Gesamtpotential Π demnach einen Stationärwert an. Man kann zeigen, dass es sich dabei um ein Minimum handelt, sofern das Potential konvex ist: Π=Π i +Π a = Minimum. (1.99) Dies ist das Prinzip vom Stationärwert (Minimum) des Gesamtpotentials. Es lässt sich auch in folgender Form ausdrücken: unter allen zulässigen (mit den kinematischen Randbedingungen verträglichen) Deformationen machen die wahren Deformationen das Potential Π zu einem Stationärwert (Minimum). Angemerkt sein, dass das Potential bei einem linear elastischen Material und festen Spannungs- oder Verschiebungsrandbedingungen tatsächlich konvex ist, in der Gleichgewichtslage also ein Minimum annimmt. Aus (1.95) ergibt sich das Prinzip der virtuellen Komplementärarbeit (Prinzip der virtuellen Kräfte), wenn man als Verschiebungsgrößen die wirklichen Verschiebungen bzw. Verzerrungen einsetzt und als statisch zulässige Kraftgrößen virtuelle Änderungen aus der Gleichgewichtslage verwendet. Dann folgt wobei V δ W i = δ W a, (1.100) δ W i = ε : δσ dv, δ W a = V u û δt da (1.101) die Komplementärarbeiten der inneren und äußeren Kräfte sind. In Analogie zum Vorhergehenden führen wir bei elastischem Material das innere Komplementärpotential Π i = Ũ dv (1.102) V ein. Existiert zusätzlich noch ein äußeres Komplementärpotential mit Π a = W a, so ergibt sich aus (1.100) δ Π =δ( Π i + Π a )=0. (1.103) In der Gleichgewichtslage nimmt also auch das Komplementärpotential einen Stationärwert an. Es handelt sich dabei um ein Minimum, wenn Π konvex ist, was bei linear elastischen Systemen zutrifft: Π = Π i + Π a = Minimum. (1.104)

27 Ebene Probleme 31 Man nennt dies das Prinzip vom Stationärwert (Minimum) des Komplementärpotentials. Danach machen unter allen zulässigen (mit den statischen Randbedingungen verträglichen) Spannungsfeldern die wahren Spannungen das Komplementärpotential zu einem Stationärwert (Minimum) Satz von Clapeyron, Satz von Betti Wir führen jetzt in (1.95) als statische und kinematische Größen die wirklichen, aktuellen Größen ein. Setzt man die äußeren Kräfte als Totlasten voraus (t = t(x)), so entspricht die rechte Seite von (1.95) der Arbeit W a dieser Kräfte vom undeformierten zum aktuellen, deformierten Zustand. Da Totlasten ein Potential besitzen, gilt zudem W a = Π a.für ein linear elastisches Material wird die linke Seite von (1.95) mit σ : ε =2U und (1.94) zu 2 Π i.damiterhält man den Satz von Clapeyron (B.P.E. Clapeyron, ) 2Π i +Π a =0. (1.105) Im Sonderfall eines inkompressiblen nichtlinear elastischen Materials in Form des Potenzgesetzes (1.56) erhält man unter Verwendung von (1.58) für die linke Seite von (1.95) zunächst n+1 n Πi und damit n +1 n Πi +Π a =0. (1.106) Wir betrachten nun nochmals den Fall eines linear elastischen Materials mit dem Elastizitätsgesetz σ ij = C ijkl ε kl (vgl.(1.35a)). Wegen der Symmetrie des Elastizitätstensors (C ijkl = C jikl = C ijlk = C klij ) gilt allgemein σ (1) ij ε(2) ij = σ (2) ij ε(1) ij. Integration über das Volumen liefert mit dem Arbeitssatz (1.95) den Satz von Betti (Reziprozitätstheorem, E. Betti, ) t (1) u (2) da = t (2) u (1) da. (1.107) V Danach sind für zwei verschiedene Belastungszustände (1), (2) eines Körpers die Arbeiten der Randlasten des einen Zustandes an den Verschiebungen des anderen Zustandes jeweils gleich. V 1.5 Ebene Probleme Allgemeines Probleme der Festkörpermechanik sind vielfach ebene (zweidimensionale) Probleme, oder sie können näherungsweise als solche beschrieben werden. Besonders wichtig für die Anwendungen sind der ebene Verzerrungszustand (EVZ) und der