Definition eines allgemeinen Verzerrungsmaßes

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1 2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS Definition eines allgemeinen Verzerrungsmaßes Mit dem zuvor definierten Verzerrungsmaß E ist die Verzerrungsfreiheit der Ausgangskonfiguration (u = 0) und Starrkörperverschiebungen ( u = 0) gewährleistet. Obwohl in der Kontinuumsmechanik auch weitere Verzerrungsmaße zum Einsatz kommen, soll im Rahmen dieser Vorlesung ausschließlich der Green-Lagrange Verzerrungstensor und dessen linearisierte Form verwendet werden. Zur Vereinfachung der Gleichung für den Green-Lagrange Verzerrungstensor wird die Zerlegung des Verschiebungsgradienten u in einen symmetrischen und schiefsymmetrischen Anteil eingesetzt. 27

2 2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS Definition eines allgemeinen Verzerrungsmaßes Auf Basis dieser Zerlegung kann der Green-Lagrange Verzerrungstensor in folgender kompakter Form dargestellt werden. Der erste Summand dieser Gleichung sym u ist eine lineare Funktion des Gradienten der Verschiebungen u. Im Gegensatz hierzu ist der zweite Summand 1 2 T u u nichtlinear in u. Diese, in der Abbildung der Geometrie vom undeformierten in den deformierten Zustand begründete Nichtlinearität wird als geometrische Nichtlinearität bezeichnet. Der nichtlineare Term beeinflusst den Verzerrungstensor nur dann entscheidend, wenn der Gradient des Verschiebungsfelds groß ist. Dies kann etwa bei schlanken Tragwerken wie Seilstrukturen und Schalen oder im Falle der Plastifizierung oder Schädigung des Materials auftreten. 28

3 2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS Definition eines linearen Verzerrungsmaßes Sind die Deformationen jedoch sehr klein, kann der nichtlineare Term des Verzerrungstensors vernachlässigt werden. In diesem Fall spricht man von der geometrisch linearen Theorie, die auch als Theorie kleiner Verzerrungen bezeichnet wird. Das Verzerrungsmaß der geometrisch linearen Theorie ist nach den vorangehenden Ausführungen mit dem symmetrischen Anteil des Verschiebungsgradienten u definiert. Zur Kennzeichnung der Theorie kleiner Verzerrungen wird der lineare Verzerrungstensor, der auch als infinitesimaler Verzerrungstensor bezeichnet wird, mit ε symbolisiert. 29

4 2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS Definition eines linearen Verzerrungsmaßes Die Komponenten des symmetrischen Verzerrungstensors ε können mit der Definitionen des symmetrischen Anteils eines zweistufigen Tensors und des Gradienten angegeben werden. Die Definition der Komponenten des Verzerrungstensors ε ij ist in der rechten Abbildung visualisiert, wobei infolge der Symmetrie des Verzerrungstensors ε ij = ε ji gilt. Bei der hier gewählten Definition charakterisieren der erste Index die Richtung der Verzerrung und der zweite Index die Flächennormale der bewegten Oberfläche des repräsentativen Volumenelements. Schubverzerrung Normalverzerrung 30

5 2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS Definition eines linearen Verzerrungsmaßes Die Komponenten des symmetrischen Verzerrungstensors ε können mit der Definitionen des symmetrischen Anteils eines zweistufigen Tensors und des Gradienten angegeben werden. Die Definition der Komponenten des Verzerrungstensors ε ij ist in der rechten Abbildung visualisiert, wobei infolge der Symmetrie des Verzerrungstensors ε ij = ε ji gilt. Bei der hier gewählten Definition charakterisieren der erste Index die Richtung der Verzerrung und der zweite Index die Flächennormale der bewegten Oberfläche des repräsentativen Volumenelements. 31

6 2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS Definition eines linearen Verzerrungsmaßes Im Rahmen der Finite-Element-Methode bietet es sich an, den Verzerrungszustand mit Hilfe des Verzerrungsvektors ε zu charakterisieren. Der im folgenden definierte Verzerrungsvektor enthält die Normalverzerrungen ε 11, ε 22 und ε 33, sowie die drei verschiedenen Schubverzerrungen ε 12, ε 23 und ε 13. Zu erwähnen ist der Faktor zwei, mit dem die Schubverzerrungskomponenten versehen sind. Dieser ermöglicht in Verbindung mit dem noch zu definierenden Spannungstensor und Spannungsvektor die formal äquivalente Formulierung der spezifischen inneren Energie in Tensorund Vektornotation (ε: σ = ε σ). Ein weiterer Vorteil dieser Definition wird sich später bei der Darstellung der Verzerrungen und der Impulsbilanz mit Hilfe von Differentialoperatoren in der Äquivalenz des Differentialoperators auf der einen und des transponierten Differentialoperators auf der anderen Seite manifestieren. 32

7 2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS Definition eines linearen Verzerrungsmaßes Der erste Differentialoperator soll nun als Basis der direkten Berechnung des Verzerrungsvektors aus dem Verschiebungsvektor entwickelt werden. Der gesuchte kinematische Zusammenhang von Verzerrungs- und Verschiebungsvektor geht aus der Definition der Verzerrungskomponenten auf Folie 30 hervor, wobei die Komponenten des Differentialoperators D ε Ableitungsvorschriften darstellen. 33

8 2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS Thermische Verzerrungen Ist ein mechanisch zu analysierender Körper nicht isotherm oder unterscheidet sich das Temperaturfeld θ(x) von der dehnungsfreien Referenztemperatur θ ref, treten thermische Verzerrungen ε θ auf. Diese sind rein volumetrisch, d.h. es sind lediglich die Verzerrungskomponenten ε ij für i = j ungleich Null und die Normalkomponenten der thermischen Verzerrungen sind identisch. Hierin symbolisieren α θ den thermischen Ausdehnungskoeffizienten, und θ die lokale Temperatur. Thermische Verzerrungen erzeugen nicht unmittelbar Spannungen, sondern lediglich mittelbar infolge einer Behinderung durch geometrische Zwänge. Im thermischen Lastfall ε θ 0 setzt sich der totale Verzerrungstensor aus der Summe der spannungsbildenden elastischen Spannungen ε σ und den thermischen Verzerrungen zusammen. 34

9 2.2 KINETIK DES KONTINUUMS Theorem von Cauchy Die Kinetik beschreibt den Zusammenhang äußerer und innerer Kräfte eines materiellen Körpers. Als Folge äußerer Kräfte existiert nach dem Spannungsprinzip von Cauchy in einem materiellen Körper ein Tensorfeld der Spannungen σ. Diese Spannungen bilden mit den im Volumen angreifenden statischen oder dynamischen Lasten die lokale Impulsbilanz oder das Kräftegleichgewicht. Die lokale Impulsbilanz muss im allgemeinen bezüglich der deformierten Konfiguration erfüllt sein. Im Rahmen der hier verwendeten der geometrisch linearen Theorie ist es jedoch zulässig, das Kräftegleichgewicht bezüglich der undeformierten Lage zu bilden. 35

10 2.2 KINETIK DES KONTINUUMS Theorem von Cauchy Basis des Theorems von Cauchy ist das Postulat eines Spannungsvektors t bezüglich einer beliebigen Schnittfläche eines materiellen Körpers. Dieser Spannungsvektor ist durch den Quotienten der an der Schnittfläche ΔA angreifenden Kraft Δf für den Grenzübergang zu einer infinitesimal kleinen Schnittfläche definiert. 36

11 2.2 KINETIK DES KONTINUUMS Theorem von Cauchy Basis des Theorems von Cauchy ist das Postulat eines Spannungsvektors t bezüglich einer beliebigen Schnittfläche eines materiellen Körpers. Dieser Spannungsvektor ist durch den Quotienten der an der Schnittfläche ΔA angreifenden Kraft Δf für den Grenzübergang zu einer infinitesimal kleinen Schnittfläche definiert. Dabei ist die Orientierung der Fläche mit Hilfe ihres Normalenvektors n charakterisiert. Nach dem Cauchy-Lemma wird im Innern des Körpers der Spannungsvektor als Funktion der nach außen weisenden Normale vom Spannungsvektor der nach innen gerichteten Normale bilanziert. 37

12 2.2 KINETIK DES KONTINUUMS Theorem von Cauchy Das Theorem von Cauchy fordert nun, dass zum Vektor t ein Tensorfeld σ existiert, das der im folgenden angegebenen Vorschrift einer linearen Abbildung genügt. Der derart postulierte symmetrische Spannungstensor wird als Cauchyscher Spannungstensor bezeichnet. mit 38

13 2.2 KINETIK DES KONTINUUMS Theorem von Cauchy Die Spannungskomponenten σ ij des Cauchy Spannungstensors sind in der Abbildung anhand der am repräsentativen Volumenelement angreifenden Spannungspfeile illustriert. Analog zur Definition der Verzerrungen gibt der erste Index die Richtung der Spannung und der zweite Index die entsprechende Flächennormale an. Durch Auswertung der lokalen Drehimpulsbilanz kann die Symmetrie des Cauchy Spannungstensors gezeigt werden. 39

14 2.2 KINETIK DES KONTINUUMS Theorem von Cauchy Die Spannungskomponenten σ ij des Cauchy Spannungstensors sind in der Abbildung anhand der am repräsentativen Volumenelement angreifenden Spannungspfeile illustriert. Analog zur Definition der Verzerrungen gibt der erste Index die Richtung der Spannung und der zweite Index die entsprechende Flächennormale an. Durch Auswertung der lokalen Drehimpulsbilanz kann die Symmetrie des Cauchy Spannungstensors gezeigt werden. 40

15 2.2 KINETIK DES KONTINUUMS Lokale Impulsbilanz Die Bilanzgleichung des linearen Impulses beschreibt das Gleichgewicht der inneren Kräfte und der Spannungen. Die im Körper auftretenden Kräfte können in deformationsunabhängige, volumenspezifischen Lasten volumenspezifische Trägheitskräfte, die nach dem Newton Axiom der Beschleunigung entgegengesetzt sind und infolge von Spannungen resultierende Kräfte klassifiziert werden. Die anschauliche Herleitung des inneren Kräftegleichgewichts oder des Impulssatzes wird auf den zweidimensionalen Fall beschränkt und anschließend für räumliche Betrachtungen erweitert. 41

16 2.2 KINETIK DES KONTINUUMS Lokale Impulsbilanz Betrachten wir ein differentielles Flächenelement dx 1 dx 2 der Dicke dx 3. Im Mittelpunkt agieren die volumenspezifischen Lasten ρb und ρ u. An den Rändern des Volumenelements liefern die Spannungskomponenten mit den entsprechenden Flächenelementen Anteile zum Kräftegleichgewicht. Dabei sind bereits die differentiellen Änderungen der Spannungskomponenten σ ij innerhalb des Flächenelements und die Symmetrie des Spannungstensors (σ ij = σ ij ) berücksichtigt. Das Kräftegleichgewicht in Richtung des Basisvektors e 1 beinhaltet die Spannungskomponenten σ 11, σ 12 und die Komponenten der volumenspezifischen Lasten b 1 und u 1. 42

17 2.2 KINETIK DES KONTINUUMS Lokale Impulsbilanz Die Spannungskomponenten σ 11 und σ 12 verschwinden, was bedeutet, dass lediglich differenzierte Spannungskomponenten bei der Formulierung des Gleichgewichts beteiligt sind. Die Division mit dem Elementvolumen dx 1 dx 2 dx 3 ergibt die lokale Form des Impulssatzes in e 1 -Richtung. 43

18 2.2 KINETIK DES KONTINUUMS Lokale Impulsbilanz Analog kann die partielle Differentialgleichung der orthogonalen Richtung e 2 entwickelt werden und für dreidimensionale Betrachtungen erweitert werden. Dies ergibt den folgenden Satz partieller Differentialgleichungen 44

19 2.2 KINETIK DES KONTINUUMS Lokale Impulsbilanz In tensorieller Darstellung ergibt sich hieraus die lokale Form der Impulsbilanz, des Kräftegleichgewichts oder der Cauchyschen Bewegungsgleichung Hierbei symbolisiert div σ die Divergenz des Cauchy Spannungstensors. Die Anwendung der Divergenz auf den zweistufigen Spannungstensor liefert einen volumenspezifischen Kraftvektor 45

20 2.2 KINETIK DES KONTINUUMS Lokale Impulsbilanz Analog zur Definition des Verzerrungsvektors können die Komponenten des Spannungstensors in einen Vektor geschrieben werden. Der so definierte Spannungsvektor enthält die Normalspannungskomponenten σ 11, σ 22 und σ 33 sowie die Schubspannungskomponenten σ 12, σ 23 und σ 13, wobei im Gegensatz zum Verzerrungsvektor die Schubkomponenten nicht faktorisiert werden. 46

21 2.2 KINETIK DES KONTINUUMS Lokale Impulsbilanz Mit Hilfe der Gleichungen von Folie 44 kann die Impulsbilanz (Folie 45) auf Basis des Spannungsvektors und der Definition des Differentialoperators D σ formuliert werden. Durch Vergleich dieser Gleichung und der Gleichung von Folie 31 gewinnt man den Zusammenhang der Differentialoperatoren D ε und D σ. 47

22 2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN Klassifizierung von Anfangs- und Randbedingungen Die in den vorangehenden Abschnitten hergeleiteten Grundgleichungen der Kinematik und Kinetik sind innerhalb eines materiellen Körpers oder Gebiets zu einem beliebigen Zeitpunkt gültig. Diese Gleichungssätze sind sowohl durch Randbedingungen, die die charakteristischen kinematischen und kinetischen Größen der Oberfläche des Körpers oder des Gebietsrands betreffen, und Anfangsbedingungen des Verschiebungs- oder Beschleunigungsfelds zu ergänzen. 48

23 2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN Klassifizierung von Anfangs- und Randbedingungen Die Abbildung zeigt einen materiellen Körper, dessen Volumen oder allgemein Gebiet Ω durch den Gebietsrand Ω begrenzt ist. Die Impulsbilanz inklusive der Definition des Verzerrungsmaßes besitzt im Gebiet Ω Gültigkeit. Weiterhin sind bei zeitabhängigen Problemen Anfangsbedingungen im Gebiet Ω vorzuschreiben. Der Gebietsrand Ω ist in disjunkte Untermengen des Dirichlet-Rands Ω u und des Neumann-Rands Ω σ unterteilt. Dabei sind im allgemeinen auf dem Dirichlet-Rand die primäre Variable und auf dem Neumann-Rand abhängige Größen vorgeschrieben. Im Kontext der Elastomechanik sind dies die Verschiebungen u und der Spannungsvektor t. Gebietsrand Dirichlet-Rand Neumann-Rand 49

24 2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN Dirichlet-Randbedingungen Die Kinematik des Kontinuums wird durch die wesentlichen, geometrischen oder Dirichlet-Randbedingungen ergänzt. Dirichlet-Randbedingungen sind für die beliebige Zeit t vorgeschriebene Verschiebungen für den Teilbereich Ω u des Körperrands Ω. Sind die vorgeschriebenen Verschiebungen identisch Null, so handelt es sich um homogene Dirichlet- Randbedingungen, die z.b. durch Auflager vorgeschrieben sind. Gebietsrand Dirichlet-Rand Neumann-Rand 50

25 2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN Neumann-Randbedingungen Zur Ableitung der statischen, natürlichen oder Neumann-Randbedingungen wird zunächst der zweidimensionale Fall betrachtet und anschließend der abgeleitete Gleichungssatz auf drei Dimensionen erweitert. Gebietsrand Dirichlet-Rand Neumann-Rand 51

26 2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN Neumann-Randbedingungen Zur Ableitung der statischen, natürlichen oder Neumann-Randbedingungen wird zunächst der zweidimensionale Fall betrachtet und anschließend der abgeleitete Gleichungssatz auf drei Dimensionen erweitert. Die Abbildung zeigt ein Oberflächenelement eines materiellen Körpers. Die Oberfläche ist durch den Normalenvektor mit gekennzeichnet. Der auf das Linienelement ds bezogene Spannungsvektor wird von den Spannungen an den Linienelementen dx 1 und dx 2 im Gleichgewicht gehalten. 52

27 2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN Neumann-Randbedingungen Das Kräftegleichgewicht in e 1 -Richtung dividiert durch die Dicke dx 3 und die Seitenlänge ds liefert die folgende Bedingung Hierin können die Ableitungen dx 1 und dx 2 mit der Ähnlichkeit ds ds des Normalenvektor-Dreiecks mit den Seitenlängen n 1, n 2 mit n = 1 und des geometrischen Dreiecks mit den Seitenlängen dx 1, dx 2 und ds gewonnen werden 53

28 2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN Neumann-Randbedingungen Wird zusätzlich in analoger Weise das Kräftegleichgewicht in e 2 -Richtung gebildet, erhält man den Gleichungssatz im zweidimensionalen Fall 54

29 2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN Neumann-Randbedingungen Wird zusätzlich in analoger Weise das Kräftegleichgewicht in e 2 -Richtung gebildet, erhält man den Gleichungssatz im zweidimensionalen Fall Für eine erweiterte dreidimensionale Betrachtung ergibt sich das Kräftegleichgewicht am Oberflächenelement mit dem Normalenvektor n = n 1 n 2 n 3 T und dem Spannungsvektor an der Oberfläche t = t 1 t 2 t 3 T 55

30 2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN Neumann-Randbedingungen In Tensornotation kann das Kräftegleichgewicht am Spannung- oder Neumann-Rand Ω σ kompakt in der Cauchy Gleichung geschrieben werden bzw. in Indexnotation 56

31 2.3 ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN Anfangsbedingungen Dynamische Problemstellungen erfordern neben den Randbedingungen auch die Kenntnis eines Anfangszustands zur Zeit t = t 0 des deformierbaren Körpers. Dieser Zustand ist eindeutig durch die Deformation beschreibenden partiellen Differentialgleichungen und eines der beiden Felder der Verschiebungen u(x, t) oder der Beschleunigungen u(x, t) charakterisiert Durch die spezielle Wahl der Anfangszeit t 0 = 0 gilt für die Verschiebung u 0 = 0. Die angegebenen Typen der Anfangsbedingungen schließen sich gegenseitig aus, da bei Vorgabe des Verschiebungsfelds für t = t 0 das Beschleunigungsfeld aus der Auswertung der Impulsbilanz (Folie 45) zu diesem Zeitpunkt folgt und umgekehrt. 57

32 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Grundlegende Annahmen und Klassifizierung Konstitutive Gleichungen im klassischen Sinn setzen voraus, dass eine Beziehung zwischen Kräften und Deformation beziehungsweise zwischen Spannungen und Verzerrungen ausschließlich lokal, d.h. im betrachteten materiellen Punkt, besteht. Im Rahmen dieser axiomatischen Voraussetzung gibt ein Werkstoffgesetz bei Annahme verschwindender Anfangsspannungen (σ 0 = 0) die Beziehung zwischen Spannungen σ, Verzerrungen ε, Verzerrungsraten ε, die die Geschwindigkeitsabhängigkeit des Spannungstensors beschreiben, und von internen Variablen α, die die Geschichtsabhängigkeit (Plastifizierung oder Schädigung) der Spannungen repräsentieren, an. Dieses generalisierte Materialgesetz beinhaltet eine Vielzahl von Materialmodellen zur Beschreibung nichtlinearen Werkstoffverhaltens unter Berücksichtigung mikrostruktureller Schädigung, bleibenden plastischen Verzerrungen und zeitabhängigen Effekten. 58

33 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Grundlegende Annahmen und Klassifizierung Beschränkt man sich hingegen auf die Modellierung reversibler, zeitunabhängiger, elastischer Prozesse, kann der Spannungszustand allein aufgrund des Verzerrungszustands bestimmt werden, wobei sich im unverformten Zustand des Körpers der Spannungstensor zum Nulltensor ergibt. Weiterhin soll angenommen werden, dass das Material homogen und die Materialeigenschaften richtungsunabhängig sind. Die letzte Einschränkung charakterisiert ein isotropes Materialmodell. Ist diese Eigenschaft nicht gegeben, handelt es sich um ein anisotropes Materialmodell. Materialien mit einem ausgeprägtem anisotropem Verhalten sind z.b. Faserverbundwerkstoffe, Holz, bewehrter Beton oder auch gewalzte Stähle. Diese Werkstoffe weisen zumeist extreme Unterschiede bei Belastungen längs oder quer zur Faserrichtung beziehungsweise Kristallorientierung auf. Es sei bemerkt, dass sich die vorgenommene Beschränkung auf isotrope Materialmodelle lediglich auf die Formulierung des Materialgesetzes in den folgenden Abschnitten, nicht aber auf die grundsätzliche Formulierung linearer finiter Elemente auswirkt. 59

34 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Elastische Materialmodelle Elastizität bedeutet, da der Spannungszustand nur vom momentanen Verzerrungszustand, nicht aber vom Spannungspfad abhängt. Die geforderte Wegunabhängigkeit ist dann garantiert, wenn der Spannungstensor durch Differentiation einer elastischen Potentialfunktion ψ(ε) bezüglich des Verzerrungstensors abgeleitet werden kann. Integriert man σ(ε 1 ) bis σ(ε 2 ) entlang eines beliebigen Pfads im Verzerrungsraum, erhält man eine pfadunabhängige Energiedifferenz. Ist die Deformation pfadunabhängig sind die entsprechenden Stoffgesetze hyperelastisch. 60

35 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Elastische Materialmodelle Der tangentiale Elastizitätsmodul, konstitutive Tensor oder Materialtensor C ergibt sich durch Ableitung des Spannungstensors nach dem Verzerrungstensor. Andererseits stellt der Materialtensor die lineare Abbildung des Verzerrungstensors auf den Spannungstensor dar. Infolge der Symmetrie des Spannungstensors und des Verzerrungstensors erfüllt der konstitutive Tensor die folgenden Symmetrieeigenschaften. Ist der Materialtensor C unabhängig von den Verzerrungen, d.h. es besteht ein linearer Zusammenhang von Verzerrungen und Spannungen, handelt es sich um ein physikalisch oder materiell lineares konstitutives Gesetz. Alle anderen Materialmodelle werden entsprechend durch das Attribut physikalisch oder materiell nichtlinear gekennzeichnet. 61

36 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums Im Rahmen dieser Vorlesung wollen wir uns ausschließlich auf das verallgemeinerte Hooke sche Materialgesetz konzentrieren und für die spätere Nutzung schrittweise herleiten. In diesem Fall ist die Potentialfunktion des isotropen Kontinuums als quadratische Funktion des Verzerrungstensors und der gewählten Materialparametern wie folgt postuliert. Repräsentativ wird die Darstellung der konstitutiven Gleichung mit den sogenannten Lamé- Konstanten μ und λ realisiert. 62

37 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums Der Zusammenhang der Lamé- Konstanten λ und μ zum Elastizitätsmodul E, dem Schubmodul G, der Poisson-Querkontraktionszahl ν und dem Kompressionsmodul K ist in der nebenstehende Tabelle gegeben. mit λ μ = G E ν K λ μ λ μ μ 3λ+2μ λ+μ λ E λ E 3λ+c 1 4 λ ν λ λ 1 2ν 2ν E λc 2 ν λ K λ 3 2 K λ 9K(K λ) 3K λ μ E μ E 2μ 3μ E μ ν 2μν 1 2ν λ 2 λ+μ λ μ 2λ E+3λ+c 1 E+λ+c 1 6 ν λ 3K λ μ E E 2ν 2μ μ K K 2 3 μ μ 9Kμ 3K+μ E ν Eν c 2 E K 3K 3K E 9K E ν K 3Kν 1+ν λ 1+ν 3ν K μe 3 3μ E μ 2μ 1 + ν ν 2μ 1+ν 3 1 2ν E 2 1+ν 3KE 9K E 3K 1 2ν 2 1+ν 3K 2μ 6K+2μ K E ν E 3 1 2ν E 3K E 6K K 3K 1 2ν ν K 63

38 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums Durch Ableitung des skalarwertigen Potentials nach dem Verzerrungstensor gewinnt man den Spannungstensor In der Gleichung charakterisiert 1 den zweistufigen Identitätstensor und der Term ε: 1 die Spur des linearen Verzerrungstensors ε. Der vierstufige konstitutive Tensor C wird durch erneutes Differenzieren ermittelt. mit 64

39 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums Wird im Rahmen der Entwicklung finiter Elemente die Definition der Spannungen und Verzerrungen in Vektoren verwendet, ergibt sich aus obigen Betrachtungen der lineare Zusammenhang von Kinematik und Kinetik beziehungsweise Verzerrungsvektor und Spannungsvektor in matrizieller Darstellung, wobei die Komponenten der konstitutiven Matrix C die Komponenten des Verzerrungsvektors und des Spannungsvektors in der folgenden Art verknüpfen. 65

40 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums Für den Fall des Hooke schen Materialgesetzes erhalten wir nach der Berechnung aller Komponenten den Zusammenhang 66

41 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums Nach Umformung der Materialparameter kann die konstitutive Matrix mit Hilfe des Elastizitätsmoduls E und der Poisson-Querkontraktionszahl ν beschrieben werden. 67

42 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Isotropes, elastisches Materialverhalten des Kontinuums Zur Deformationsanalyse zweidimensionaler Kontinua sind der ebene Spannungszustand und der ebene Verzerrungszustand von Interesse. Typische Anwendungen für ebene Spannungszustände sind Tragwerke mit einer kleinen Dicke wie z.b. Membranen, Scheiben, Platten und Schalen. Der ebene Verzerrungszustand wird zumeist verwendet, wenn die Dimension in eine Richtung sehr groß ist und die Belastung in dieser Richtung unverändert ist. Sehr gebräuchlich ist der ebene Verzerrungszustand im Bereich der Geo- und Bodenmechanik. 68

43 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Ebender Spannungszustand (ESZ) Betrachtet wird ein ebenes repräsentatives Element, welches in der von den Basisvektoren e 1 und e 2 aufgespannten Ebene liegt. Im Fall des ebenen Spannungszustands wird angenommen, dass die Spannungskomponenten Annahmen σ 33, σ 13 und σ 23 verschwinden. Zudem sind die verbleibenden Spannungskomponenten in Richtung des Basisvektors e 3 konstant. Die Gleichung nach Folie 66 kann somit nur erfüllt werden, wenn folgende Bedingungen gültig sind. Folgerungen 69

44 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Ebender Spannungszustand (ESZ) Die letzte Forderung liefert die Normaldehnung ε 33 als Funktion der Normaldehnungen ε 11 und ε 22. Annahmen Somit kann die konstitutive Beziehung des dreidimensionalen Kontinuums folgendermaßen reduziert werden. Folgerungen 70

45 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Ebender Spannungszustand (ESZ) Nach Zusammenfassung linear abhängiger Terme ergibt sich das linear elastische Materialgesetz des ebenen Spannungszustands in der Form σ = C es ε. Annahmen Oder alternativ, mit den Materialkonstanten ν und E. Folgerungen 71

46 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Ebender Verzerrungszustand (EVZ) Betrachtet wird wiederum ein flaches repräsentatives Element, das in der von den Basisvektoren e 1 und e 2 aufgespannten Ebene liegt. Zur Generierung des ebenen Dehnungs- oder Verzerrungszustands wird angenommen, dass die Verzerrungskomponenten ε 33, Annahmen ε 13 und ε 23 verschwinden. Mit der dreidimensionalen konstitutiven Beziehung von Folie 66 folgt, dass die Spannungskomponenten σ 23 und σ 13 Null werden. Die Spannung σ 33 ist dagegen von Null verschieden. Folgerungen 72

47 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Ebender Verzerrungszustand (EVZ) Die Spannungskomponente σ 33 liefert keinen Beitrag zur Verzerrungsenergie oder zur inneren virtuellen Arbeit, da die konjugierte Verzerrungskomponente ε 33 nach der obigen Annahme Null ist. Aus diesem Grund kann die Spannungs-Verzerrungs-Beziehung mit nur drei Annahmen Spannungskomponenten in der Form σ = C ε dargestellt werden. Oder alternative, in den Materialkonstanten ν und E. Folgerungen 73

48 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Das klassische Hooke sche Gesetz Die eindimensionale Spannungs-Verzerrungs-Beziehung in Richtung des Basisvektors e 1, wie sie in der Balkentheorie angewendet wird, basiert auf den Annahmen womit sich der folgende Zusammenhang von Spannungen und Verzerrungen ergibt. Für die Verzerrungskomponenten ε 22 und ε 33 lässt sich eine funktionale Abhängigkeit zur Normalverzerrung ε 11 herstellen. 74

49 2.4 KONSTITUTIVE MATERIALGLEICHUNGEN Das klassische Hooke sche Gesetz Das klassische Hooke'sche Gesetz beschreibt die eindimensionale Spannungs-Verzerrungs- Beziehung des Fachwerkstabs oder einer Feder. Bemerkungen zu Anfangsverzerrungen In den totalen Verzerrungen, können auch thermische Verzerrungen enthalten sein. In diesem Fall werden die Spannungen mit den spannungsbildenden Verzerrungen, die als Funktion der thermischen und der totalen Verzerrungen bestimmt sind, und dem konstitutiven Tensor gebildet. 75