Einführung zu P01 Elastostatik

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Alfred Melsbach
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1 Praktikum Simulationssoftware (SiSo) Einführung zu P01 Elastostatik Ulrich Simon, rank Niemeyer, Martin Pietsch Ulmer Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen (UZWR)

2 Statik starrer Körper Wiederholung aus TM Kraft, Moment Schnittprinzip, reikörperbild reiheitsgrade und Bindungen Statisches Gleichgewicht

3 Verschiedene Schnittkräfte und -momente Seil: m m Balken in 2D: Q N M M N Q KB Balken in 3D: y z x Q z Q y M z N M x M y

4 Verschiedene Schnittkräfte und -momente Punktkontakt in 3D: Gelenk in 2D: Tangentialebene T y T x P N z y x Q N N Q Schnitt durch beliebigen Körper in 3D: η ξ ΔA σ(ξ,η)

5 reiheitsgrade reiheitsgrad(e) [degree(s) of reedom, DO]: = Prinzipielle Bewegungsmöglichkeiten Objekt reiheitsgrade f Bewegungsarten Punktmasse in 2D 2 2 Translationen Punktmasse in 3D 3 3 Translationen Starrer Körper in 2D 3 2 Transl., 1 Rotation Starrer Körper in 3D 6 3 Transl., 3 Rotation n starre Körper in 2D n x 3 n starre Körper in 3D n x 6

6 Verschiedene Bindungen und Auflager Resultierender reiheitsgrad f bei Systemen von n starren Körpern [rigid bodies] mit b (lin. unabh.) Bindungen [constraints]: f = 3n b (in 2D) f = 6n b (in 3D) A) este Einspannung (2D): (A) M N Q b A = 3 B) estes drehbares Lager (2D): B x C) Verschiebbares drehbares Lager (2D): (B) (C) B y C b B = 2 b C = 1

7 Verschiedene Bindungen und Auflager D) Seil / Pendelstütze: (D 1 ) (D 2 ) b D1 = 1 b D2 = 1 E) Lager in 3D: (E 1 ) (E 2 ) b E1 = 3 b E2 = 1

8 Statische Bestimmtheit System ist statisch DO f = 3n b Erklärung Beispiele unbestimmt > 0 System gehört in die Dynamik bestimmt = 0 überbestimmt < 0 Auflagerreaktionen können berechnet werden Auflagerreaktionen können nur berechnet werden, wenn Balken verformbar angenommen wird.

9 Statische Bestimmtheit Auflösung System ist statisch DO f = 3n b Erklärung Beispiele unbestimmt > 0 System gehört in die Dynamik bestimmt = 0 Statik: Auflagerreaktionen können berechnet werden überbestimmt < 0 Statik: Auflagerreaktionen können nur berechnet werden, wenn Balken verformbar angenommen wird.

10 Beispiele (2D) zur statischen Bestimmtheit Quelle: Keine Panik vor Mechanik

11 Beispiele (2D) zur statischen Bestimmtheit Quelle: Keine Panik vor Mechanik

12 Beispiele (2D) zur statischen Bestimmtheit Auflösung Quelle: Keine Panik vor Mechanik

13 Beispiele (2D) zur statischen Bestimmtheit Auflösung Quelle: Keine Panik vor Mechanik

14 Elastostatik / estigkeitslehre Wiederholung Spannung, Dehnung Werkstoffgesetze Einfache Lastfälle

15 Die Spannung [stress] 500 N otos: Lutz Dürselen Zum Merken: Spannung = verschmierte Schnittkraft, Spannung = Kraft pro läche oder = /A

16 Normal- und Schubspannungen 1 P 2 P 1 Zugstab Schnitt 1: mit Normalspannung 1 Zum Merken: Erst Schnitt festlegen, dann kann man die Spannung berechnen

17 Allgemeiner (3D) Spannungszustand in einem Punkt P des Körpers: 3 Spannungskomponenten in einem Schnitt (Normalsp., 2x Schubsp.) x 3 Schnitte (z.b. frontal, sagittal, transversal) = 9 Spannungskomponenten, die den vollständigen 3d Spannungszustand in einem Punkt im Körper kennzeichnen. 6 Komponenten davon sind unabhängig ( Gleichheit der Schubsp. ) xx yx zx xy yy zy xz yz zz Der Spannungstensor

18 Symmetrie des Spannungstensors Boltzmann-Kontinuum: Nur Volumenkräfte (f x und f y ), keine Volumenmomente Gleichheit einander zugeordneter Schubspannungen σ yy y σ xx τ xy τ yx f y C τ yx f x τ xy σ xx xx. sym xy. yy xz yz zz x σ yy

19 Allgemeiner (3D) Spannungszustand... Sechs Komponenten auch im Ansys-Postprozessor Der Spannungstensor

Invarianten sind besonders schlaue Mischungen, da unabhängig vom

20 Allgemeiner (3D) Spannungszustand... Problem: Ein Buntes Bild zeigt nur eine Komponente. Welche soll man nehmen? Man kann Mischungen von Komponenten verwenden. Invarianten sind besonders schlaue Mischungen, da unabhängig vom Koordinatensystem, z.b.: Hauptspannungen, Von-Mises-Spannung, Hydrostatischer Spannungsanteil, Oktaeder-Schubspannung,... Mises 2 xx 2 yy 2 zz xx yy xx zz yy zz 3 2 xy 3 2 xz 3 2 yz

21 Allg. 3D Dehnungszustand Infinitesimales Element: y 0 y 0 +y 0 z x z 0 +z x 0 +x unverformt (spannungsfrei) verformt (Spannungen an allen Oberflächen)

22 Allg. 3D Dehnungszustand Definitionen: Universelle Dehnungsdefinition: xx xy ij lim x x, lim y yy zz 0 x y y z 0, xz 1 2,, yz u u, i, j { x, y, } i, j j, i z 1 2 lim 0 z z 0 xx xy xz xy yy yz xz yz zz Der Dehnungstensor Zum Merken: 6 Dehnungskomponenten: 3 relative Längenänderungen und 3 Winkeländerungen.

23 Verschiebung vs. Dehnung am Beispiel Kallus Verschiebung, vertikal Dehnung, vertikal

24 Werkstoffgesetze... verknüpfen Spannungen und Dehnungen miteinander ortsetzung folgt

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