Baustatik III SS Platten

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1 Baustatik III SS Platten 3.1 Scheiben und Platten 3. Annahmen der Kirchhoffschen Platentheorie 3.3 Schnittgrößen in Platten 3.4 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten Einfeldplatten Einachsig gespannte Platten Zweiachsig gespannte Platten Drillfreie Platten (MARCUS-Verfahren, Tabellen nach STIGLAT/WIPPEL) Drillsteife Platten (CZERNY-Tafeln, Tabellen nach HAHN) Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte (Einzugsflächen- Verfahren) 3.4. Durchlaufende Platten (Verfahren nach Pieper/Martens)

2 Sceiben: Voraussetzungen Voraussetzungen: Dicke viel kleiner als die Seitenlängen Lasten wirken parallel zur Scheibenebene Keine Verkrümmung der Scheibenebene!

3 Platten: Voraussetzungen Voraussetzungen: Dicke viel kleiner als die Seitenlängen Lasten wirken quer zur Plattenebene Verkrümmung der Plattenebene!

4 Scheiben Annahme: h σ τ σ = τ τ z z = =0 z τ σ σ τ,, 0 Ebener Spannungszustand (ESZ) z σ

5 Scheiben Annahme: Alle Spannungskomponenten sind konstant über h=t, da h sehr klein ist! h σ τ Spannungen τ σ z

6 Scheibenkräfte Scheiben Normalkräfte in -Richtung: n = σ h Normalkräfte in -Richtung: n = σ h Schubkräfte: n = σ h = τ h ( wobei n = n, da τ = τ ) h n n n n z

7 Platten Spannungen Plattenmittelebene h z τ z τ z σ τ τ σ Normalspannungen: σ, Schubspannungen: τ = τ, τ, τ σ z z

8 Platten Schnittgrößen Plattenmittelebene h z m m m m q q m m Biegemomente:, m = m Drillmoment: Querkräfte: q, q

9 3. Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie Die Durchbiegung w der Platte (Verschiebung in z-richtung) ist unabhängig von z: w = w(,), d.h.: alle Punkte P auf der Normalen besitzen die gleiche Durchbiegung w(,). Es gilt die Normalenhpothese: Die Normalen bleiben nach der Deformation weiterhin senkrecht (orthogonal) zur Plattenmittelebene! P w z P Normale

10 3. Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie w γ w(, ) = w(, ) ε Z = = 0 z z = γ = z 0 ( Schubverzerrung) Daher werden die Kirchhoffschen Platten auch als schubstarre Platten bezeichnet. Die Normalspannung senkrecht zur Plattenmittelebene ist vernachlässigbar, d.h. σ = 0 (Ebener Spannungszustand) z

11 3.3 Schnittgrößen in Platten Spannungen Plattenmittelebene h z τ z τ z σ τ τ σ Normalspannungen: σ, Schubspannungen: τ = τ, τ, τ σ z z

12 3.3 Schnittgrößen in Platten Schnittgrößen Plattenmittelebene h z m m m m q q m m Biegemomente:, m = m Drillmoment: Querkräfte: q, q

13 3.3 Schnittgrößen in Platten Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungen: Biegemomente: h h z = z = h h m = σ z dz wobei: m = m h m = σ z dz wobei: m = m h z h

14 3.3 Schnittgrößen in Platten Drillmoment m h = τ z dz ( ) m = m h Querkräfte q q h = τ dz z (q = resultierende Kraft von τ z ) h h = τ dz z (q = resultierende Kraft von τ z ) h

15 3.3 Schnittgrößen in Platten Hauptmomente: m, m, m m, m Hauptmomente 1 ( ) m 1, m + m m m = ± + m m m tan ϕ = ( ) m m m m m m ϕ m 1

16 3.3 Schnittgrößen in Platten Bemerkungen: Die Hauptmomente und die Hauptrichtungen können auch mit dem Mohrschen Kreis bestimmt werden. Vorgehensweise zur Konstruktion des Mohrschen Kreises: Siehe Mohrscher Spannungskreis oder Mohrscher Dehnungskreis!

17 Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast m = m m = m 1 pl m = m 1,6 + pl 7, m 1 m1 = m = m m + ma. m m auf der -Achse

18 Eckkräfte in der Platte Bei manchen Auflagerbedibgungen sind Eckkräfte vorhanden, die abhebend sind! Maßnahmen gegen Abheben: 1) durch Auflast in der Ecke, ) durch Verankerung, 3) durch biegesteife Verbindung der Ecke mit der Unterstützung oder benachbarter Platte. m m 1 Quelle: Prof. J. Hegger: Vorlesung Massivbau UNIVERSITÄT II, RWTH Aachen. SIEGEN

19 3.4 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten Bei komplizierten Plattengeometrien und Belastungen sind analtische Lösungen der Plattengleichung meistens aussichtslos. Vielmehr müssen Computerprogramme (z.b. Finite Elemente Methode bzw. FEM) verwendet werden. Auch Näherungslösungen oder vereinfachte Methoden in Form von Tabellen und Diagrammen können dafür eingesetzt werden Einfeldplatten b a

20 3.4.1 Einfeldplatten Einachsig gespannte Platte -achsig gespannte Platte Einfeldplatten Einachsig gespannte Platten: Lastabtragung nur in einer Richtung -achsig gespannte Platten: Lastabtragung in Richtungen

21 Einachsig gespannte Platten Einachsig gespannte Platten: Bedingung: l > l! Bei einer einachsig gespannter Platte kann ein 1m-Streifen als Balken betrachtet werden. Beispiel: konstante Flächenlast ma. ma. m = q = pa 8 pa ma. m ν m 1m Streifen a p 1m

22 Zweiachsig gespannte Platten -achsig gespannte Platten Drillfreie bzw. drillweiche Platten: m = Drillsteife Platten: m 0 0

23 -achsig gespannte Platten: Überblick Drillfreie bzw. drillweiche Platten: Marcus-Verfahren (Streifenkreuz-Verfahren, Streifenmethode, Lastaufteilungsverfahren). Tabellen nach Stiglat-Wippel Drillsteife Platten: Czern-Tafeln: 4- und 3-seitige Lagerung, konstante und dreiecksförmige Belastung. Hahn: 3-seitige Lagerung, Linienlast am freien Rand. Bruckner: 4- und 3-seitige Lagerung, Punkt- und Linienlasten. Stiglat und Wippel, Pucher, Bittner: Sonderfälle.

24 -achsig gespannte Platten: Überblick Literatur: Bittner, E.: Platten und Behälter. Springer-Verlag, Wien/New York, Bruckner, H.: Elastische Platten. Vieweg & Sohn, Braunschweig, Hahn, J.: Durchlaufträger, Rahmen, Platten und Balken auf elastische Bettung. Werner-Verlag, Düsseldorf, Pucher, A.: Einflußfelder elastischer Platten. 5. Auflage, Springer-Verlag, Stiglat, K., Wippel, H.: Massive Platten. In: Beton-Kalender, Teil, Ernst & Sohn Verlag, 000, Seiten Stiglat, K, Wippel, H.: Platten. Ernst & Sohn Verlag, 3. Auflage, Czern, F.: Tafeln für Rechteckplatten. In: Beton-Kalender, Teil 1, Ernst & Sohn Verlag, 1999, Seiten

25 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren Lastaufteilung: p = p + p p p = = kp k p k + k = 1 l p 1m l 1m p l k und k sind von RB abhängig und sie sind tabelliert! p l Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast pl pl ma. m =, ma. m =, m = 0 8 8

26 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren Aus der nachfolgenden Tabelle abgelesen: l k k k l = 1 +, 1 4 = 4 4 = == 4 4 ε l + l l + l ε = l l Bemerkung: Die beiden Lastaufteilungsfaktoren können aus der Bedingung der gleichen Durchbiegung der beiden Streifen in der Plattenmitte (Kompatibilitätsbedingung) bestimmt werden. Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast

27 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren p 1m 1m l f l p p f f f pl 5 pl =, f = 384EI 384EI = f pl = pl 4 4 p + p = p p = l 4 p, l l k p = 4 l 4 4 l + l k p

28 Drillfreie Platten: Streifenkreuz- Verfahren Bautabelle Schneider

29 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel Alle 4 Ränder gelenkig gelagert Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 000.

30 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel Alle 4 Ränder eingespannt Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 000.

31 Drillsteife Platten: Czern-Tafeln Annahme: ν = 0 gelenkig eingespannt

32 Drillsteife Platten: Czern-Tafeln Alle 4 Ränder gelenkig gelagert

35 Drillsteife Platten: Czern-Tafeln Alle 4 Ränder eingespannt

38 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn 3-seitig gelenkig gelagert

39 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn

40 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn 3-seitig eingespannt Quelle: Bautabelle Schneider

41 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn

42 Bemerkungen: Bei einigen Tabellen wird vereinfachend ν =0 angenommen (z. B. Czern-Tafeln, Bittner). Dies ist zulässig im Stahlbetonbau, mit der Ausnahme von Fahrbahnplatten. Falls die Querkontraktionszahl ν zu berücksichtigen ist, dann erfolgt die folgende Umrechnung: m ( ν ) = m ( ν = 0) + νm ( ν = 0) Drillsteife Platten m ( ν) = m ( ν = 0) + νm ( ν = 0) m q q q q ( ν) = (1 ν) m ( ν = 0) ( ν) = q( ν = 0) ( ν) = q ( ν = 0) m ( ν = 0) ( ν) = q( ν = 0) + (1 ν) m ( ν = 0) ( ν) = q( ν = 0) + (1 ν)

43 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte Die Auflager- und Eckkräfte können mit der Methode der Einzugsfläche näherungsweise bestimmt werden. Quelle: Bautabelle Schneider

44 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte: Methode der Einzugsfläche Bautabelle Schneider

45 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte Quelle: Bautabelle Schneider

46 Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte Beispiel: Czern-Tafel: m m 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast ma m ma pl = = 13,7 0,073pl m = m = 0,073pl m m m m e pl == = 35,7 pl = = 34,7 pl = = 16,3 0,08 pl 0,09 pl 0,061pl l / l = 1,5 Stiglat/Wippel: m m ma m ma pl = = 7,8 0,18 pl m = m = 0,18 pl m m m m e pl == = 0,05 pl 0 pl = = 0,05 pl 19,9 = 0 p l Marcus: pl mm = = 0,104 pl 8 m = m = 0,104 pl ma m pl mm == = 0,046 pl 8 m = m = 0,046 pl m ma m e = 0 l

47 Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte Momente Czern (drillsteif) Stiglat/Wippel (drillweich) Marcus (drillweich) m m 0,073pl 0,18 pl 0,104 pl m ma 0,073pl 0,18 pl 0,104 pl m m 0,08 pl 0,05 pl 0,046 pl m ma 0,09 pl 0,05 pl 0,046 pl m e 0,061pl 0 0 Bemerkungen: Die maimalen Feldmomente bei der drillsteifen Platte sind kleiner als bei der drillweichen Platte! Grund: Die 4 Ecken der drillsteifen Platte tragen die Last mit!

48 3.4. Durchlaufende Platten Überblick: Belastungsumordnungsverfahren (BU-Verfahren) Dieses Verfahren wird auch als Schachbrettverfahren bezeichnet. Dabei werden die Verkehrslast (veränderliche Last) schachbrettartig so umgeordnet, dass es jeweils zu ma. Feldmomenten und ma. Stützmomenten (in Betrag) führt. Voraussetzung: min. l / ma. l 0,75. Verfahren nach Pieper/Martens Voraussetzungen: q g, q (g+q)/3 (g: Eigenlast, q: Verkehrslast). Verfahren beruht auf BU-Verfahren. Verfahren liefert im Allgemeinen größere Feldmomente als BU-Verfahren (auf der sicheren Seite). Rechenaufwand wesentlich geringer als BU-Verfahren.

49 3.4. Durchlaufende Platten: BU-Verfahren Schachbrettartige Anordnung der Verkehrslast q Für ma. Feldmoment Für ma. Stützmoment (Betrag) Wände

50 3.3. Durchlaufende Platten: BU-Verfahren Anordnung der Verkehrslast q Verkehrslast : q Eigenlast : g Verkehrslast : q / Eigenlast : g + Verkehrslast : ± q /

51 3.4. Durchlaufende Platten: BU-Verfahren Bestimmung von ma. Feldmoment 1.) Belastung aller Felder durch g+q/.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/ g+ q/ ±q / In -Richtung genauso! Innenfeld g+ q/ eingespannt Innenfeld q / gelenkig Ersatzsstem für ma. Feldmoment Ersatzsstem für ma. Feldmoment

52 3.4. Durchlaufende Platten: BU-Verfahren Bestimmung von ma. Stützmoment (in Betrag) 1.) Belastung aller Felder durch g+q/.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/ g+ q/ ±q / In -Richtung wie beim ma. Feldmoment! gelenkig Innenfeld Innenfeld eingespannt Ersatzsstem für ma. Stützmoment Ersatzsstem für ma. Feldmoment