Versuchsprotokoll von Thomas Bauer, Patrick Fritzsch. Münster, den

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1 M3 Elastizität Versuchsprotokoll von Thomas Bauer, Patrick Fritzsch Münster, den

2 INHALTSVERZEICHNIS 1. Einleitung. Theoretische Grundlagen.1 Das Hooksche Gesetz. Die elastische Biegung.3 Die elastische Torsion. Torsionsschwingungen 3. Versuchsaufbau 3.1 Zubehör 3. Versuchsdurchführung. Meßdurchführung.1 Ausmessung der Metallstäbe. Messungen des Torsionspendels und der Kreisscheibe.3 Messung des Torsionspendels und der Hantel 5. Meßauswertung 5.1 Berechnung des Elastizitätsmoduls Messing 5.1. Eisen Aluminium 5. Das Schubmodul des Torsionsdrahtes 5.3 Berechnung des rücktreibenden Direktionsmomentes D und der Trägheitsmomente beider Hantelscheiben 6. Diskussion 7. Anlagen Original Meßprotokoll

3 1. Einleitung Körper können sich durch äußere Kräfte auf verschiedene Weise verformen, da sie nicht vollkommenen starr sind. Wird nach Einwirken einer äußeren Kraft der Ausgangszustand wieder eingenommen, so ist die Verformung reversibel und man spricht von einer elastischen Verformung. Man unterscheidet verschiedene Arten elastischer Deformation eines Körpers, z.b. die Biegung und die Torsion, die im Versuch am Festkörper untersucht werden sollen.

4 . Theoretische Grundlagen.1 Das HOOKEsche Gesetz In der Elastizitätstheorie gilt im allgemeinen das Hookesche Gesetz in der folgenden Form: (Spannung) = (Materialkonstante) (Deformationsparameter) Zwischen der durch Krafteinwirkung entstandenen Spannung und der Änderung aus dem Ursprungszustands (dem Deformationsparameter) wird ein linearer Zusammenhang angenommen. Dies gilt natürlich immer nur bei geringen Verformungen, da bei größeren Kräften meistens die Verformung nicht mehr elastisch ist. Im allgemeinen kommt es also darauf an, welche Kraft die Deformation hervorruft. Zieht man einen Körper auseinander, gilt: σ = E ε, mit der Zugspannung σ, dem Elastizitätsmodul E und der relativen Längenänderung ε = L / L. Zieht man an einem Stab, so erfährt er außerdem durch die Längenänderung eine Änderung des Querabmessers R (i.a. der Radius). Darum definiert man die Querkontraktionszahl µ (oder Poisson-Zahl) aus dem Verhältnis von relativer Änderung des Querabmessers zur relativen Längenänderung: µ R = L R L Bei einer elastischen Scherung des Körpers gilt: τ = G α, dabei ist τ die Schubspannung, α der Scherwinkel und die Proportionalitätskonstante G heißt Schubmodul. Die relative Verformung eines elastischen Körpers wird durch Kräfte auf dessen Fläche verursacht. Dies entspricht einem Druck p, für den folgender Zusammenhang besteht: V p = K V Auch dies stellt ein Hookesches Gesetz dar, in dem die Volumenspannung p proportional zur relativen Volumendeformation ist. K nennt man das Kompressionsmodul.

5 . Die elastische Biegung Ein Stab mit zu vernachlässigendem Eigengewicht ist an einer Seite fest eingespannt. Greift nun am anderen Ende eine Kraft F wie in Abbildung 1 an, so biegt sich der Stab und ruft im Abstand z von der Einspannstelle das Drehmoment M = ( L z) F hervor, dabei bezeichnet L die Länge des Stabes. In dieser Form ist also das Drehmoment M an der Einspannstelle Null und am freien Ende maximal. R bezeichnet den lokalen Krümmungsradius. Die relative Längenänderung beträgt: dl ε = dz Abbildung 1: Biegung eines eingespannten elastischen Stabes Hier ist dl die Strecke, um die eine Faser der Dicke dy im Abstand y von der Stabachse (Symmetrieachse) gedehnt ist. Für die infinitesimale Winkeländerung liest man ab: dl dz d ϕ = = oder y R dl dz = ε = Für die elastische Zugspannung in der betrachteten y R Abbildung : Biegung eines kleinen Stabausschnittes Faser erhält man somit: y σ = E R Für die Spannungen aller Fasern in einer Querschnittsfläche soll gelten (1) Das Flächenintegral über die Querschnittsfläche hat keine Komponente in Richtung der Stabachse. () Die inneren Spannungen liefern ein Drehmoment, welches vom Betrag her gleich dem äußeren Drehmoment ist. Dies führt auf folgende Formel: E R I = M = ( L z) F I bezeichnet das Flächenträgheitsmoment, für das gilt: I = y da

6 Um die maximale Auslenkung in y-richtung zu ermitteln, werden Methoden aus der Differentialgeometrie herangezogen und man erhält schließlich für die Auslenkung in Abhängigkeit von Abstand z von der Einspannvorrichtung: h( z) = F z ( L I E 3 z ) 6 Die maximale Auslenkung des Stabes ist im Abstand z=l und es ergibt sich: h( L) = F I E 3 L 3 Spezielle Flächenträgheitsmomente sind: (1) Kreis: () Rechteck: πd I = 6 3 ab I = 1 d ist der Kreisdurchmesser, a die Breite und b die Höhe des Rechtecks, welches man als senkrechten Schnitt zur Stabachse erhält..3 Die elastische Torsion Hier ist ein zylindrischer dünner Stab (Draht) mit dem Radius R und der Länge L oben fest eingespannt. Am unteren Ende wird er durch ein wirkendes Drehmoment M = RF um seine Achse mit dem Winkel ϕ gedreht. Hier ist die Schubspannung in dem Hohlzylinder aus Abbildung 3 proportional zum Scherwinkel (s.o.): τ = Gα Aus den Abbildungen ergibt sich dann: τ ϕ r = G L Auch hier muß ein inneres Drehmoment dem äußeren entgegen Abbildung 3: Torsion eines Zylinders

7 wirken, womit gilt: M = r τ da Dies führt auf folgende Abhängigkeit des Torsionswinkels von der Stabgeometrie und dem äußeren Drehmoment: πgr M = ϕ = Dϕ L. Torsionsschwingungen Läßt man den eben behandelten tordierten Stab los, so führt dieser sogenannte Torsionsschwingungen aus. Die Bewegungsgleichung lautet dann: d ϕ πgr J + ϕ = 0 D ( D = ) dt L mit dem Trägheitsmoment J des Systems und dem rücktreibenden Direktionsmoment D des Stabes. Durch allgemeine Lösungsmethoden für solch eine Differentialgleichung erhält man für die Periodendauer der Torsionsschwingung: T = π J D Aus der Periodendauer läßt sich somit das Schubmodul G über folgende Formel bestimmen: 8πLJ G = R T Die Berechnung des Trägheitsmomentes erfolgt wie immer über J = ( r δ x x dm ij ij i j ) (i,j=1,,3). Dabei ist der Steinersche Satz zu beachten. Er besagt, daß bei einer Drehung um eine zur Schwerpunktsachse S parallele Achse A mit dem Abstand a das Trägheitsmoment J A die Summe des Trägheitsmomentes um die Schwerpunktsachse J S und der Verschiebung a m ist: J A = J S + a m Für einen zusammengesetzten Körper (z.b. Hantel) ist das Trägheitsmoment wiederum die Summe der Trägheitsmomente seiner einzelnen Teile bezüglich der gleichen Achse.

8 3. Versuchsaufbau 3.1 Zubehör - 1 Biegeapparatur mit Metallstäben - 1 Gewichtssatz - 1 Torsionsdraht mit anhängender Zylindrischen Scheibe - 1 Stahlbandmaß - 1 Mikrometerschraube (Ganghöhe 0,5mm) - 1 Schraubenzieher - 1 Stoppuhr 3. Versuchsdurchführung 3..1 Zuerst ist für die vier verschiedenen Stäbe die jeweilige Durchbiegung für fünf unterschiedliche Massen zu bestimmen. Zur Berechnung des Flächenträgheitsmomentes sind des weiteren die Ausmessungen der Stäbe zu ermitteln. 3.. Beim Torsionspendel mit der angehängten Zylinderscheibe ist dreimal die Dauer von drei Schwingungsperioden nach einer Auslenkung von 180 zu messen. Am Torsionsdraht ist des weiteren an drei verschiedenen Stellen der Durchmesser fünfmal zu messen und an der Scheibe alle zur Bestimmung des Trägheitsmomentes wichtigen Größen Auch für die Hantel werden die Ausmessungen zur Bestimmung des Trägheitsmomentes ermittelt. Wie bei der zylindrischen Scheibe wird nach Auslenkung von 180 aus der Ruhelage die Dauer für drei Schwingungen gemessen. Dies erfolgt jeweils für die fünf verschiedenen Stellungen der Hantelscheiben und einmal ohne sie.

9 . Meßdurchführung.1 Ausmessung der Metallstäbe Messing: eckiger Stab Breite a (mm),97,97,98,97,97,96,97,97,95,96,95,97,97,96,95 Mittelwert (mm),96 empirische Standardabweichung (mm) 0,01 absolute Meßungenauigkeit (mm) ~0 relative Meßungenauigkeit 0,05% Auslenkung h max des flachkantliegenden, eckigen Messingstabes Masse m (g) h max (mm) 5 (1 ± 1) 10 ( ± 1) 15 (3 ± 1) 0 ( ± 1) 50 (11 ± 1) Messing: eckiger Stab Dicke b (mm) 1,96 1,95 1,9 1,9 1,95 1,95 1,95 1,93 1,9 1,95 1,95 1,95 1,93 1,96 1,96 Mittelwert (mm) 1,95 empirische Standardabweichung (mm) 0,01 absolute Meßungenauigkeit (mm) ~0 relative Meßungenauigkeit 0,13% Auslenkung h max des hochkantliegenden eckigen Messingstabes Masse m (g) h max (mm) 50 (1 ± 1) 70 ( ± 1) 100 (3 ± 1) 150 (5 ± 1) 170 (6 ± 1) Länge des eckigen Messingstabes: L = (95 ± 1)mm = 95 (1 ± 0,3%)mm Messing: runder Stab Durchmesser d (mm),90,89,89,88,90,88,89,88,88,90,89,89,89,88,88 Mittelwert (mm),89 empirische Standardabweichung (mm) 0,01 absolute Meßungenauigkeit (mm) ~0 relative Meßungenauigkeit 0,07% Auslenkung h max des runden Messingstabes Masse m (g) h max (mm) 5 (1 ± 1) 10 ( ± 1) 0 ( ± 1) 30 (6 ± 1) 50 (9 ± 1) Länge des runden Messingstabes: L=(89 ± 1)mm = 89 (1 ± 0,35%)mm Eisen: runder Stab Durchmesser d (mm),9,9,91,91,90,9,89,91,88,90,90,90,89,87,89 Mittelwert (mm),90 empirische Standardabweichung (mm) 0,01 absolute Meßungenauigkeit (mm) ~0 relative Meßungenauigkeit 0,1% Auslenkung h max des runden Eisenstabes Masse m (g) h max (mm) 10 (1 ± 1) 0 ( ± 1) 50 (5 ± 1) 70 (7 ± 1) 100 (10 ± 1) Länge des runden Eisenstabes: L=(9 ± 1)mm = 9 (1 ± 0,3%)mm

10 Eisen: runder Stab Durchmesser d (mm),9,91,93,91,91,9,89,93,90,89,9,90,90,90,91 Mittelwert (mm),91 empirische Standardabweichung (mm) 0,01 absolute Meßungenauigkeit (mm) ~0 relative Meßungenauigkeit 0,1% Auslenkung h max des runden Aluminiumstabes Masse m (g) h max (mm) 5 (1 ± 1) 10 (3 ± 1) 0 (5 ± 1) 35 (8 ± 1) 50 (13 ± 1) Länge des runden Aluminiumstabes: L=(93 ± 1)mm = 93 (1 ± 0,3%)mm. Messungen des Torsionspendels und der Kreisscheibe Torsionsdraht: Durchmesser d (mm) 0,9 0,9 0,50 0,9 0,9 0,8 0,9 0,9 0,9 0,9 0,8 0,50 0,9 0,9 0,50 Mittelwert (mm) 0,9 empirische Standardabweichung (mm) 0,01 absolute Meßungenauigkeit (mm) ~0 relative Meßungenauigkeit 0,3% Länge des Torsionsdrahtes: L=(1780 ± 1)mm = 1780 (1 ± 0,06%)mm Radius R z (cm) der Kreisscheibe 7,35 7,35 7,35 7,0 7,35 Mittelwert (cm) 7,36 empirische Standardabweichung (cm) 0,0 absolute Meßungenauigkeit (cm) 0,01 relative Meßungenauigkeit 0,15% Masse der Scheibe m z =68g Schwingungsdauer des Torsionspendels mit der Scheibe 1.Messung für drei Schwingungsdauern, 3T 0 (s) 97,13.Messung für drei Schwingungsdauern, 3T 0 (s) 97,3 3.Messung für drei Schwingungsdauern, 3T 0 (s) 96,0 Mittelwert von 3T 0 (s) 96,95 empirische Standardabweichung (s) 0,9 absolute Meßungenauigkeit (s) 0,3 relative Meßungenauigkeit 0,35% T 0 = 3,3(1 ± 0,35%)s = (3,3 ± 0,11)s.3 Messungen des Torsionspendels und der Hantel

11 Masse der Hantelachse m 1 =1,0 g l 1 =(5 ± 0,1)cm = 5 (1 ± 0,%)cm r 1 =(10,93 ± 0,01)mm = 10,93(1 ± 0,1%)mm Masse der Hantelscheibe m =308, g l =( ± 0,1)cm = (1 ± 5%)cm r =(5,0 ± 0,1)cm = 5,0(1 ± %)cm a 1 =(11,5 ± 0,1) cm a =(9, ± 0,1) cm a 3 =(6,7 ± 0,1) cm a =(, ± 0,1) cm a 5 =(,0 ± 0,1) cm = 11,5 (1 ± 0,9%) cm = 9, (1 ± 1,1%) cm = 6,7 (1 ± 1,5%) cm =, (1 ±,3%) cm =,0 (1 ± 5,0%) cm Die Messung der Schwingungsdauer nur mit der Hantelachse für drei Perioden ergibt: 3T 1 = (0,8 ± 0,5)s = 0,8(1 ± 1,%)s T 1 = 13,6(1 ± 1,%)s = (13,6 ± 0,)s Die Messung der Schwingungsdauer mit den Hantelscheiben für drei Perioden ergibt: Position a 1 : 3T 0 =(111,7 ± 0,5)s = 111,7(1 ± 0,%)s T 0 =37,(1 ± 0,%)s = (37, ± 0,)s Position a : 3T 0 =(93, ± 0,5)s = 9,(1 ± 0,5%)s T 0 =31,1(1 ± 0,5%)s = (31,1 ± 0,5)s Position a 3 : 3T 0 =(73,7 ± 0,5)s = 73,7(1 ± 0,7%)s T 0 =,6(1 ± 0,7%)s = (,6 ± 0,5)s Position a : 3T 0 =(57,8 ± 0,5)s = 57,8(1 ± 0,9%)s T 0 =19,3(1 ± 0,9%)s = (19,3 ± 0,)s Position a 5 : 3T 0 =(6,1 ± 0,5)s = 6,1(1 ± 1,1%)s T 0 =15,(1 ± 1,1%)s = (15, ± 0,)s

12 5. Meßauswertung 5.1 Berechnung des Elastizitätmodules E Es gilt: E = 3 mgl h 3 max I q Messing a) eckiger Stab, flachkant: 3 b a I Re chteck = =3,06 (1 ± 8,71%) mm 1 Aus Diagramm 1 liest man h max /m = (0,3 ± 0,05) mm/g = 0,3(1 ± 1,7%) mm/g ab. E = 119,5 x 10 9 (1 ± 31,5%) N/m = (119,5 ± 37,6) x 10 9 N/m b) eckiger Stab, hochkant: 3 a b I Re chteck = =19,86 (1 ± 5,6%) mm 1 Aus Diagramm liest man h max /m = (0,01 ± 0,016) mm/g = 0,01(1 ± 39,5%) mm/g ab. E = 10, x 10 9 (1 ± 39,5%) N/m = (10, ± 1,) x 10 9 N/m c) runder Stab: I Kreis d = π = 3,(1 ± 0,3%) mm 6 Aus Diagramm 3 liest man h max /m = (0,179 ± 0,06) mm/g = 0,179(1 ± 5,7%) mm/g ab. E = 19, x 10 9 (1 ± 7,0%) N/m = (19, ± 3,9) x 10 9 N/m Das Buch Gerthsen-Physik gibt das Elastizitätsmodul für Messing mit E=100x10 9 N/m an. Der Wert, der von uns experimentell bestimmt wurde stimmt mit diesem Wert im Rahmen der Meßungenauigkeit überein.

13 5.1. Eisen I Kreis d = π = 3,5(1 ± 0,6%) mm 6 Aus Diagramm liest man h max /m = (0,10 ± 0,01) mm/g = 0,10(1 ± 0,3%) mm/g ab. E = 30,6 x 10 9 (1 ± 1,8%) N/m = (30,6 ± 50,3) x 10 9 N/m Das Buch Gerthsen-Physik gibt das Elastizitätsmodul für Eisen mit E=30x10 9 N/m an. Der Wert, der von uns experimentell bestimmt wurde stimmt mit diesem Wert im Rahmen der Meßungenauigkeit überein Aluminium I Kreis d = π = 3,5(1 ± 0,6%) mm 6 Aus Diagramm 5 liest man h max /m = (0,5 ± 0,030) mm/g = 0,5(1 ± 11,9%) mm/g ab. E = 9,7 x 10 9 (1 ± 13,5%) N/m = (9,7 ± 1,5) x 10 9 N/m Das Buch Gerthsen-Physik gibt das Elastizitätsmodul für reines, weiches Aluminium mit E=7x10 9 N/m an. Der Wert, der von uns experimentell bestimmt wurde stimmt leider nicht mit diesem Wert im Rahmen der Meßungenauigkeit überein. Es ist jedoch unklar, ob es sich bei dem Stab im Experiment um reines Aluminium handelt. Wenn dieser Stab lediglich aus Aluminium-Legierung besteht, kann der Vergleichswert aus dem Gerthsen natürlich nicht zum Vergleich herangezogen werden. 5. Das Schubmodules des Torsionsdrahtes Das Schubmodul des Drahtes wird durch die Messungen mit der Kreisscheibe berechnet. πlmz R Es gilt: G = R T 0 z Mit den Meßwerten aus. ergibt sich das Schubmodul des Drahtes zu G = 8,8x10 9 (1 ±,%) N/m = (8,8 ±,0) x10 9 N/m Dieser Wert entspricht nach Gerthsen-Physik dem Schubmodul für Eisen (G=8,0 x10 9 N/m ).

14 5.3 Berechnung des rücktreibenden Direktionsmomentes D und der Trägheitsmomente beider Hantelscheiben In Diagramm 6 wird T gegen m a mit den Meßwerten aus.3 aufgetragen. π ( J1 + J ) π Es gilt: T = + (ma ) D D Das entspricht: y = c + m x Aus Diagramm 6 liest man für die Geradengleichung ab: y = 198, x π D = =,7 x 10 - (1 ± 7,6%) Nm = (,7 ± 0,1) x 10 - Nm Steigung Um nun die Trägheitsmomente der Hantelscheiben aus der Periodendauer zu berechnen bestimmt man zuerst das Trägheitsmoment der Hantelachse J 1. Es gilt mit den Meßwerten aus.3: T D J 1 = =1,7 x10-3 (1 ± 10,0%) g m = (1,7 ± 0,13) x10-3 kg m π Formt man die obige Gleichung für m a 0 nach J um und beachtet = J T 1 D = Steigung =, π so folgt: J 1 ( yachsenabschnitt) T1 = =,66x10-5 (1 ± 15%) kg m = (,66 ± 7,08) x10-5 kg m ( Steigung) Falls man das Trägheitsmoment J über die Maße und das Gewicht der Hantelscheibe ergibt sich: 1 1 J = m ( l + ( r1 + r )) = 6,07 x10-5 (1 ±,06%) kg m = (6,07 ± 0,5) x10-5 kg m 1

15 6. Diskussion Die Bestimmung der Elastizitätsmodule ergab weites gehend ein positives Ergebnis. Unsere berechneten Werte stimmten mit Literaturwerten überein. Die über die zwei verschiedenen berechneten Werte für die Trägheitsmomente der Hantelscheiben stimmen im Rahmen der Meßungenauigkeit überein, wobei wir auch beim Stichwort wären. Der Fehler für das graphisch ermittelte Trägheitsmoment liegt bei scheinbar unglaublichen 150%! Doch dieser Wert wurde zehn mal nachgerechnet und brachte immer wieder dieses Ergebnis. Die Messung mit dem Torsionspendel scheint also folglich nicht geeignet um das Trägheitsmoment des unten an dem Torsionsdrahtes hängenden Körpers zu bestimmen. Es ist also sinnvoller den Körper auszumessen und zu wägen, solange es sich um einen so relativ einfachen, symmetrischen Körper handelt.

16 Diagramm 1: Eckiger Messingstab, flachkant hmax (mm) Gewicht m (g)

17 Diagramm : Eckiger Messingstab, hochkant hmax (mm) Gewicht m (g)

18 Diagramm 3: runder Messingstab 1 10 hmax (mm) Gewicht m (g)

19 Diagramm : runder Eisenstab 1 10 hmax (mm) Gewicht m (g)

20 hmax (mm) Diagramm 5: runder Aluminiumstab Gewicht m (g)

21 Diagramm 6: Periodendauer der Hantel T (s) ,00 0,00 0,006 0,008 0,01 m a (m kg )