Aufgaben zu Kapitel 22

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1 Aufgaben zu Kapitel Aufgaben zu Kapitel Verständnisfragen Aufgabe. Gegeben sind kartesische Tensoren r ij k, s ij und t ij. Welche der folgenden Größen sind koordinateninvariant? s ii, s ij t jk, s ij t ji, r ijj, s ij t jk s ki Aufgabe. Warum verschwindet das doppelt-verjüngende Produkt s ij a ij, wenn der Tensor s ij symmetrisch und der Tensor a ij alternierend ist? Was ist s ij a ji? Aufgabe.3 Warum sind die Symmetrie und die Antisymmetrie eines kartesischen Tensors t ij zweiter Stufe koordinateninvariante Eigenschaften? Aufgabe.4 Beweisen Sie die folgende Aussage: Sind die Vektoren mit Komponenten a i, b i und c i linear unabhängig im R 3 und ist der Vektor v i darstellbar als die Linearkombination v i = αa i + βb i + γc i, so gilt für den ersten Koeffizienten α = ε ij k v i b j c k /ε ij k a i b j c k. Wie lauten die analogen Ausdrücke für β und γ? Aufgabe.5 Wie lautet das Quadrat a) des Rotationstensors t ik sowie b) jenes des Drehtensors d ij? Rechenaufgaben Aufgabe.6 Berechnen Sie im R 3 die nachstehend angeführten Ausdrücke, die alle das Kronecker-Delta enthalten: δ ii, δ ij δ jk, δ ij δ ji, δ ij δ jk δ ki. Aufgabe.7 Zerlegen Sie den Tensor t ij mit (t ij ) = in seinen symmetrischen Anteil s ij und seinen alternierenden Anteil a ij und berechnen Sie den Vektor d j = ε ij kt ik. Aufgabe.8 Berechnen Sie für den zyklischen Basiswechsel von B = (b, b, b 3 ) zu B = (b, b 3, b ) die Einträge a i j und ai j und überprüfen Sie dies beim kovarianten Metriktensor g ij. Aufgabe.9 Neben der kanonischen Basis (e, e, e 3 ) des R 3 sei B eine weitere Basis mit b =, b = 0, b 3 =. Berechnen Sie die Vektoren b, b und b 3 der Dualbasis B, den kovarianten Metriktensor g ij, den kontravarianten Metriktensor g ij durch Invertieren der Matrix (g ij ) und überprüfen Sie die Gleichung (.8). Aufgabe.0 Wir wechseln von der Basis B = (b, b, b 3 ) mit dem kovarianten Metriktensor (g ij ) = diag (,, ) zur Basis B = (b, b, b 3 ) mit b = b, b = b + b, b 3 = b + b + b 3. Wie sehen die neuen Komponenten t ij des Tensors t ij mit (t ij ) = aus? Berechnen Sie ferner die neuen Komponenten t i j, und zwar einerseits im neuen Koordinatensystem durch Hinaufziehen, andererseits aus den zugehörigen alten Komponenten nach dem jeweiligen Transformationsgesetz. Aufgabe. Wie ändert sich der symmetrische Tensor. Stufe (t ij ) = λ λ λ 3 wenn die zugrunde liegende orthonormierte Basis B um die x 3 -Achse durch 60 nach B verdreht wird?, Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

2 Aufgaben zu Kapitel Aufgabe. Berechnen Sie den Projektionstensor n ij zum Einheitsvektor n = (,, ) T und zerlegen Sie 6 den Vektor v = (,, ) T in zwei orthogonale Komponenten v und v, wobei v zu n parallel ist. Aufgabe.3 Die eigentlich orthogonale Matrix (d ij ) = 3 bestimmt einen Drehtensor. Berechnen Sie die Drehachse d und den auf die Orientierung von d abgestimmten Drehwinkel ϕ mit 0 ϕ<360. Aufgabe.4 Berechnen Sie die Werte ε ij k ε ij l und ε ij k ε ij k. Aufgabe.5 Sind e i die Komponenten eines Einheitsvektors und v i jene eines beliebigen Vektors des R 3, so gilt die Identität v i = v j e j e i + ε ij k e j ε klm v l e m. Begründen Sie diese Identität. Was bedeutet sie in Vektorform? Aufgabe.6 Beweisen Sie die Grassmann-Identität von Seite 645 u (v w) = (u w)v (u v)w unter Benutzung der Tensordarstellung (.) von Vektorprodukten. Anwendungsprobleme Aufgabe.7 Bestimmen Sie bei dem gegebenen Spannungstensor σ τ xτ S = τ σ yτ xτ yτ σ mit σ als Normalspannung und τ als Schubspannung die Konstanten x,y R derart, dass der Spannungsvektor auf der zu (,, ) T orthogonalen Ebene verschwindet. Aufgabe.8 In einem Punkt des Armes am abgebildeten Kran sind die durch die Last hervorgerufenen Dehnungs- und Gleitungsgrößen bezüglich des angegebenen Koordinatensystems bekannt: ε = , ε = , ε 3 = , γ = ,γ 3 = ,γ 3 = Bestimmen Sie die Hauptdehnungen und die Hauptdehnungsrichtungen des zugehörigen Verzerrungstensors V. x x x 3 Abbildung.4 Die Last verursacht eine Verzerrung im Träger des Kranes. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

3 Hinweise zu Kapitel 3 Hinweise zu Kapitel Verständnisfragen Aufgabe. Beachten Sie die Definition eines kartesischen Tensors auf Seite 740. Aufgabe. Es ist s ij = s ji und a ij = a ji. Aufgabe.3 Vergleichen Sie das Transformationsverhalten von t ij mit jenem von t ji. Aufgabe.4 Beachten Sie die Cramer sche Regel auf Seite 55 sowie die Formel (.). Aufgabe.5 Mit dem Quadrat ist die zweifache Anwendung gemeint. Beachten Sie die Formeln (.3) und (.6) oder auch die geometrische Bedeutung dieser Tensoren, dargestellt in den Abbildungen. und.3. In (.3) ist d =ω, in (.6) d = vorausgesetzt. Rechenaufgaben Aufgabe.6 In den Summen läuft jeder Summationsindex von bis 3. Aufgabe.7 Beachten Sie die Seite 74 sowie (.4). Aufgabe.8 B T B = (a i j ) und BT B = (a i j ). Aufgabe.9 Im Sinne der Bemerkung auf Seite 739 wird hier der Dualraum V mit dem Vektorraum V = R 3 identifiziert. Aufgabe.0 Die Transformation der Tensorkomponenten wird übersichtlicher, wenn sie in Matrizenschreibweise erfolgt. Aufgabe. Die B-Koordinaten der verdrehten Vektoren b j legen die a i j fest. Aufgabe. Beachten Sie die Seite 74 sowie die Abbildung.. Aufgabe.3 Beachten Sie die Spur und den alternierenden Anteil des Drehtensors. Aufgabe.4 Verwenden Sie die Gleichung (.5). Aufgabe.5 Verwenden Sie die Gleichung (.5). Aufgabe.6 Verwenden Sie die Gleichung (.5). Anwendungsprobleme Aufgabe.7 Beachten Sie die Erklärungen auf der Seite 744. Aufgabe.8 Beachten Sie die Anwendung auf Seite 745. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

4 4 Lösungen zu Kapitel Lösungen zu Kapitel Verständnisfragen Aufgabe. Koordinateninvariant sind s ii, s ij t ji und s ij t jk s ki. Aufgabe. s ij a ji = s ij a ij = s ij a ij = 0. Aufgabe.3 t ij =±t ji t ij =±t ji. Aufgabe.4 Es ist β = ε ij k a i v j c k /ε ij k a i b j c k und γ = ε ij k a i b j v k /ε ij k a i b j c k. Aufgabe.5 t ik t km = d i d m ω δ im. Das Quadrat des Drehtensors ist jener zum doppelten Drehwinkel, also ausführlich d ij d jk = d i d k ( cos ϕ) + δ ik cos ϕ ε ikl d l sin ϕ. Rechenaufgaben Aufgabe.6 δ ii = δ ij δ ji = δ ij δ jk δ ki = 3, δ ij δ jk = δ ik. Aufgabe.7 Es ist und d j = 4 3. Aufgabe.8 (s ij ) = , (a ij ) = (a i j ) = , (a i j ) = Aufgabe.9 g = g, g = g 3, g 3 = g, g = g 33, g 3 = g 3, g 33 = g. b = 0, b =, b 3 =. 0 (g ij ) = 3 0 0, (g ij ) = Aufgabe.0 (t ij ) = , (t i j ) = Aufgabe. (t ij ) = 4 λ + 3λ 3( λ + λ ) 0 3( λ + λ ) 3λ + λ λ 3 Aufgabe. Aufgabe.3 n ij =, v =, v = d = 0, cos ϕ = 3, ϕ = Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

5 Lösungen zu Kapitel 5 Aufgabe.4 ε ij k ε ij l = δ kl, ε ij k ε ij k = 6. Aufgabe.5 v = (v e) e + e (v e). Aufgabe.6 Anwendungsprobleme Aufgabe.7 Entweder x = y = und σ = τ = 0 oder σ = τ = 0 und x,y beliebig. Aufgabe.8 Die Hauptdehnungen sind und zweimal 0 und sie erfolgen in den Richtungen von h = 4 3, h = 0 3 0, h 3 = Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

6 6 Lösungswege zu Kapitel Lösungswege zu Kapitel Verständnisfragen Aufgabe. s ii ist ein Tensor 0. Stufe, also ein Skalar und damit koordinateninvariant. Es ist dies die Spur der Matrix (s ij ). r ik = s ij t jk ist ein Tensor. Stufe und damit nicht koordinateninvariant. Hingegen ist s ij t ji = r ii invariant und zwar die Spur des Matrizenproduktes (s ij )(t jk ). r ijj ist ein Tensor. Stufe, während s ij t jk s ki wieder ein Skalar ist, und zwar die Spur des Matrizenproduktes (s ij )(t jk )(s kl ). Aufgabe. Wenn wir in s ij a ij die beiden Summationsindizes i und j vertauschen, so entsteht Also ist t = 0. Zugleich ist s ij a ji = s ij a ij = t = 0. t = s ij a ij = s ji a ji = s ij a ij = t. Aufgabe.3 Nach der Definition kartesischer Tensoren auf Seite 740 ist t ij = a ik a jl t kl. Damit ist t ji = a jk a il t kl und nach Vertauschung der Summationsindizes k und l weiter t ji = a jl a ik t lk. Demnach gilt: t kl = t lk t ij = a ik a jl t kl = a ik a jl t lk = t ji t kl = t lk t ij = a ik a jl t kl = a ik a jl t lk = t ji Aufgabe.4 v i = αa i + βb i + γc i für i =,, 3 stellt ein System von drei linearen Gleichungen für die drei Unbekannten α, β und γ dar. Wegen der geforderten linearen Unabhängigkeit der Vektoren a = a i, b = b i und c = c i hat die Koeffizientenmatrix ((abc)) den Rang 3. Wir können die Lösungen nach der Cramer schen Regel angeben als Quotienten von Determinanten. So ist bei v = v i z. B. α = det(v, b, c)/ det(a, b, c). Nun übertragen wir die auftretenden Spatprodukte nach (.) mithilfe des Epsilon-Tensors in die Tensorschreibweise. Aufgabe.5 a) Aus t ik = ε ij k d j und d j d j = ω folgt mit der Formel (.5) t ik t km = ε ij k d j ε klm d l = ε kij ε klm d j d l = (δ il δ jm δ im δ jl )d j d l = d i d m δ im ω = ω ( d i d m δ im ), sofern wir d = ω d = d i setzen. Nach Abbildung. ist dies gleich dem mit ω multiplizierten Tensor der Normalprojektion auf die zu d orthogonale Ebene E. b) Das Quadrat des Drehtensors mit der Achse d zum Drehwinkel ϕ ist natürlich jener zum Drehwinkel ϕ. Wir bestätigen dies durch die folgende Rechnung, in der wir mehrfach d i d i = sowie ε jkm d j d m = 0 nutzen: d ij d jk = ( d i d j ( cos ϕ) + δ ij cos ϕ ε ij l d l sin ϕ ) ( dj d k ( cos ϕ) + δ jk cos ϕ ε jkm d m sin ϕ ) = d i d j d j d k ( cos ϕ) + d i d k ( cos ϕ)cos ϕ ε jkm d i d j d m ( cos ϕ)sin ϕ + d i d k cos ϕ( cos ϕ) + δ ik cos ϕ ε ikm d m sin ϕ cos ϕ ε ij l d j d k d l ( cos ϕ)sin ϕ ε ikl d l sin ϕ cos ϕ + ε ij l ε jkm d l d m sin ϕ Mithilfe der Summenformel (.5) folgt ε ij l ε jkm = (δ ik δ lm δ im δ lk ) und daher ( d ij d jk = d i d k ( cos ϕ) + ( cos ϕ)cos ϕ ) ε ikl d l sin ϕ cos ϕ + δ ik cos ϕ δ ik sin ϕ + d i d k sin ϕ ) = d i d k (( cos ϕ)( + cos ϕ) + sin ϕ + δ ik (cos ϕ sin ϕ) ε ikl d l sin ϕ cos ϕ = d i d k ( cos ϕ) + δ ik cos ϕ ε ikl d l sin ϕ. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

7 Lösungswege zu Kapitel 7 Rechenaufgaben Aufgabe.6 δ ii = δ + δ + δ 33 = 3. Notwendig dafür, dass ein Summand in δ ij δ jk nicht verschwindet, ist j = k. Somit ist δ ij δ jk = δ ik. Das zeigt auch die Matrizenschreibweise, denn (δ ij δ jk ) = (δ ij )(δ jk ) = E 3 E 3 = E 3 = (δ ik ). Somit ist δ ij δ ji = δ ii = 3 und weiter auch (δ ij δ jk )δ ki = δ ik δ ki = δ ii = 3. Aufgabe.7 Wir setzen M = (t ij ). Dann ist M ± M T = ± , daher und (s ij ) = (t ij + t ji ) = (a ij ) = (t ij t ji ) = d j ist der zur schiefsymmetrischen Matrix (a ij ) gehörige Vektor, also d j = (4, 3, ) T. Dies bestätigt auch die Rechnung: d j = ε ij kt ik = ε 3t 3 + ε 3 t 3 ε 3 t 3 + ε 3 t 3 ε 3 t + ε 3 t = = Zur Kontrolle könnte auch die Gleichung d j = ε ij kt ik = ε ij ka ik verwendet werden. Aufgabe.8 Wir beachten die Transformationsgleichungen b j = aj i b i in (.) sowie umgekehrt b j = a i j b i oder auch die Tatsache, dass in den Spalten der Transformationsmatrix B T B die B-Koordinaten der Vektoren aus B stehen, kurz BT B = (( B b, B b, B b 3 )) und analog B T B = (( B b, B b, B b 3 )). Beachten Sie die jeweilige Gleichheit der linken unteren Indizes. Wegen b = b, b = b 3, b 3 = b ist nun (a i j ) = BT B = Umgekehrt führen b = b 3, b = b, b 3 = b zur inversen Matrix (aj i ) = B T B = Der kovariante Metriktensor erfüllt die Transformationsgleichungen g ij = a k i al j g kl. Dies ergibt im vorliegenden Fall wegen der vielen Nullen in den Transformationsmatrizen g = a k al g kl = g, g = a k al g kl = g 3, g 3 = a k al 3 g kl = g, g = a k al g kl = g 33, g 3 = a k al 3 g kl = g 3, g 33 = a k 3 al 3 g kl = g. Der Rest folgt aus der Symmetrie. Aber natürlich sind die Komponenten des Metriktensors bezüglich B auch direkt als Skalarprodukte g ij = b i b j zu berechnen. Aufgabe.9 Der Vektor b ist durch die Gleichungen b b =, b b = b b 3 = 0 gekennzeichnet. Somit ist b ein geeignetes Vielfaches des Vektors b b 3. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

8 8 Lösungswege zu Kapitel Es gibt auch eine andere Möglichkeit zur Berechnung: Dazu bezeichnen wir die kanonische Basis hier ausnahmsweise mit B, also e i = b i. Die Dualbasis zur kanonischen Basis ist mit B identisch, d. h. b j = b j. Nun ist b i = a i j bj. Also sind die Zeilenvektoren in der Matrix (a i j ) die kanonischen Koordinaten der Vektoren bi aus der Dualbasis B. Die gegebenen B-Koordinaten der b i bestimmen die Matrix B T B = (aj i ) = 0 Invers dazu ist wegen b = (b b + b 3 ), b = b b 3 und b 3 = (b + b 3 ) BT B = (a i j ) = 0 0. Die Dualbasis zu B lautet somit b = 0, b =, b 3 = 0. Dies stimmt überein mit einer Bemerkung im Beispiel auf Seite 735. Demnach sind die kanonischen Koordinaten der b i die Zeilenvektoren in der zu B T B inversen Matrix, wobei die Spaltenvektoren in B T B die kanonischen Koordinaten der b j darstellen. Der kovariante Metriktensor von B lautet (g ij ) = (b i b j ) = Invers dazu ist (g ij ) = (b i b j ) = 8 6 = Nach (.8) sind die Vektoren der Dualbasis auch durch Hinaufziehen mithilfe des kontravarianten Metriktensors zu bestimmen, also b i = g ij b j. Wir beschränken uns auf den Fall i = :. b = g ( b + g b + g 3 b 3 = 0 + ) = 0. Aufgabe.0 Die Gleichungen b = b, b = b +b und b 3 = b +b +b 3 zusammen mit den Umkehrgleichungen b = b, b = b b und b 3 = b 3 b bestimmen die Transformationsmatrizen (a i j ) = 0, (aj i ) = Nun ist t ij = a k i al j t kl oder in Matrizenform (t ij ) = (a k i )T (t kl )(a l j ) und daher (t ij ) = = 3 0 = Aus dem gegebenen kovarianten Metriktensor g ij folgt durch Invertieren der Matrix der kontravariante Metriktensor (g ij ) = diag (,, ). Durch Hinaufziehen entsteht t i j = gik t kj. Das bedeutet in Matrizenschreibweise 0 0 (t i j ) = (gik )(t kj ) = =. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

9 Lösungswege zu Kapitel 9 Daraus berechnen wir t i j = a k i al j tk l. Dies bedeutet in Matrizenform (t i j ) = (a k i)(tk l )(al j ), also (t i j ) = = Der kovariante Metriktensor von B lautet (g ij ) = (ak i)(gkl )(a j l )T = = und ist invers zu (g ij ) = (b i b j ). Durch Hinaufziehen bezüglich der neuen Basis B entsteht 3 (t i k ) = (gij 0 )(t jk ) = = Aufgabe. Die verdrehten Basisvektoren sind b = (b + 3 b ), b = ( 3 b + b ), b 3 = b 3. Die B-Koordinaten von b j sind die a i j, die bei den Umrechnungen t ij = a k i al j t kl erforderlich sind. Nachdem der obere Index der Zeilenindex ist, ergibt dies in Matrizenschreibweise Aufgabe. Der Projektionstensor lautet (t ij ) = (a k i )T (t kl )(a l j ) = λ λ λ = λ + 3λ 3( λ + λ ) 0 3( λ + λ 4 ) 3λ + λ λ 3 (n ij ) = (n i n j ) = 6 4. Damit ist die eine Komponente von v v i = n ij v j = 6 4 =. 3 Als Differenz v = v v folgt v i = v i v i = (δ ij n i n j )v j = 4 3. Aufgabe.3 Ein Eigenvektor d zum Eigenwert der Matrix (d ij ) ist als Vektorprodukt zweier linear unabhängiger Zeilenvektoren der Matrix (d ij δ ij ) zu berechnen, also etwa d = = Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

10 0 Lösungswege zu Kapitel Durch Normierung entsteht daraus Die Spur von (d ij ) ergibt d = 0. d ii = 3 ( + + ) = 5 = + cos ϕ, 3 also cos ϕ = /3, ϕ = oder ϕ = Der alternierende Anteil von d ij ist nach (.6) (d ij d ji ) = 3 = = ε ij k d k sin ϕ 0 d 3 sin ϕ d sin ϕ d 3 sin ϕ 0 d sin ϕ d sin ϕ d sin ϕ 0 Ein Vergleich der Einträge an der Stelle (, 3) ergibt d sin ϕ = sin ϕ/ = /3, also sin ϕ = /3 > 0. Damit bleibt für ϕ nur die zwischen 0 und 90 gelegene Lösung. Aufgabe.4 Aus der Gleichung (.5) folgt Bei l = k entsteht ε ij k ε ij k = δ kk = 6. ε ij k ε ij l = δ jj δ kl δ jl δ jk = 3 δ kl δ kl = δ kl. Aufgabe.5 Wir formen den letzten Term auf der rechten Seite der gegebenen Gleichung mithilfe von (.5) und der Gleichung e i e i = um:. ε ij k e j ε klm v l e m = ε ij k ε lmk e j e m v l = (δ il δ jm δ im δ jl )e j e m v l = (δ jm e j e m )v i e l e i v l = v i v j e j e i. Wir brauchen nur noch den letzten Summanden auf die linke Seite zu bringen, um die obige Identität bestätigen zu können. Gemäß (.) bedeutet diese Identität in Vektorform v = (v e) e + (e (v e)). Aufgabe.6 Wir setzen z = u (v w). In Tensorschreibweise bedeutet dies mit (.) z i = ε ij k u j ε klm v l w m. Wir formen dies wie folgt um: z i = ε kij ε klm u j v l w m = (δ il δ jm δ im δ jl )u j v l w m = (u j w j )v i (u j v j )w i. Dies ist gleichbedeutend mit z = (u w) v (u v) w. Anwendungsprobleme Aufgabe.7 Der Spannungsvektor auf der zu n = (,, ) T orthogonalen Ebene lautet σ τ xτ τ σ yτ = 0 0. xτ yτ σ 0 Dies ist äquivalent zu σ + ( + x)τ = ( + y)τ + σ = (x + y)τ + σ = 0. Bei τ = 0 bleibt als einzige Möglichkeit σ = 0, während x und y beliebig sind. Bei τ = 0 ist x = σ + τ τ = y und τ σ + τ τ + σ = 0. Aus der letzten Gleichung folgt σ τ = 0, also σ = τ und weiter x = y =. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

11 Lösungswege zu Kapitel Aufgabe.8 Wir erhalten mit den Angaben den Verzerrungstensor V = (v ij ) = wobei wir eigentlich noch jede Komponente mit dem Faktor 0 6 multiplizieren müssen. Um die Rechnungen zu vereinfachen, lassen wir diesen Faktor vorläufig weg. Wir können die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix V mithilfe des charakteristischen Polynoms ermitteln. Aber wenn wir die Matrix V etwas länger betrachten, vor allem die lineare Abhängigkeit der Spaltenvektoren, dann stellen wir fest, dass der Vektor v = (,, 3) T ein Eigenvektor ist, denn Vv = , = Damit haben wir bereits den Eigenwert 400 mit einem zugehörigen normierten Eigenvektor h = 4 3. ermittelt. Weil es eine Orthonormalbasis des R 3 aus Eigenvektoren von V geben muss, wählen wir einen zu h orthogonalen normierten Vektor h = 3 0. Dieser Vektor ist ein weiterer Eigenvektor von V, und zwar zum Eigenwert 0, wie die folgende 0 Rechnung zeigt: Vh = = Nun lautet der dritte Vektor der gesuchten Orthonormalbasis mit h 3 = h h = 40 Vh 3 = Also ist 0 ein zweifacher Eigenwert, wie auch rg V = zeigt = H = (h, h, h 3 ) ist somit eine orthonormierte Basis aus Eigenvektoren des Verzerrungstensors V. Nun berücksichtigen wir wieder den bisher vernachlässigten Faktor 0 6 : Die Hauptdehnungen sind und zweimal 0. Die Hauptdehnungsrichtungen sind durch h, h und h 3 gegeben. Wir erhalten mit der eigentlich orthogonalen Transformationsmatrix T = ((h, h, h 3 )) = T T VT, sodass also nur in der Richtung von h 3 eine positive Dehnung stattfindet. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008