Einige grundlegende partielle Differentialgleichungen
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- Jasmin Frank
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1 Einige grundlegende partielle Differentialgleichungen H. Abels 17. Oktober 2010 H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
2 Transportgleichung Eine der einfachsten Differentialgleichungen ist: Die Lösung ist t u(t, x) a x u(t, x) = 0 u(t, x) = u 0 (x at) x, t R u(0, x) = u 0 (x) x R n. für t, x R Auch für nicht differenzierbare/unstetige Anfangswerte u 0 : R R macht die Lösung u Sinn, z.b. u 0 (x) = χ [ 0.5,0.5] (x): H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
3 Parabolische Gleichungen/Wärmeleitungsgleichung Der Prototyp der parabolischen Gleichungen ist die Wärmeleitungsgleichung t u(t, x) u(t, x) = 0 (x, t) R n (0, ) u(0, x) = u 0 (x) x R n. Die eindeutige Lösung für Anfangswert u 0 ist: u(t, x) = g t u 0 (x) = (4πt) n 2 R n 1 e x y 2 4t } {{ } =g t(x y) u 0 (y) dy Wärmeleitungskern g t für t = 0.25, 0.5, 1, 2 und n = 1 H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
4 Beispiele für Lösungen (I) Für u 0 (x) = 2 1+x 2, n = 1: H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
5 Beispiele für Lösungen (II) Für u 0 (x) = χ [ 0.5,0.5], n = 1: Im Gegensatz zur Transportgleichung ist auch für diesen unstetigen Anfangswert u(t, x) glatt in t > 0 und x R n! H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
6 Hyperbolische Gleichungen/Wellengleichung Neben der Transportgleichung ist die folgende Wellengleichung der Prototyp einer hyperbolischen partiellen Differentialgleichung: 2 t u(t, x) u(t, x) = 0 (x, t) R n (0, ) u(0, x) = f (x) x R n, t u(0, x) = g(x) x R n. Für n = 1 ist die Lösung nach D Alembert: u(x, t) = f (x t) + f (x + t) x+t x t g(y) dy H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
7 Beispiele für Lösungen (I) Für f (x) = 2 1+x 2, g(x) = 0, n = 1: H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
8 Beispiele für Lösungen (II) Für f (x) = min(0, 1 x ), f (x) = 0, n = 1: Wie bei der Transportgleichung und im Gegensatz zur Wärmeleitungsgleichung ist die Lösung u(t, x) für t > 0 genauso glatt in x wie für t = 0! H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
9 Elliptische Gleichungen/Laplace-Gleichung Der Prototyp einer elliptischen partiellen Differentialgleichung ist die Laplace-Gleichung: u(x) = 0, für alle x Ω R n. (1) Um eine eindeutige Lösung zu erhalten, muss man passende Randbedingungen wie z.b. eine Dirichlet-Randbedingung oder Neumann-Randbedingung u(x) = a(x) für alle x Ω (2) ν u(x) = a(x) für alle x Ω stellen, wobei a: Ω R eine passende Funktion ist. Die Lösungen von (1) haben ähnliche Eigenschaften wie die der Wärmeleitungsgleichungen. Insbesondere ist u C (Ω) unabhängig von der Glattheit von a! (Wird im Laufe der Vorlesung exakt bewiesen.) H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
10 Beispiele für Lösungen (I) Wählt man Ω = (0, 1) 2, n = 2, und in (2) a(x 1, x 2 ) = { χ[ 1 3, 2 3 ](x 1) falls x 2 = 1 0 sonst H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
11 Beispiele für Lösungen (II) Wählt man Ω = (0, 1) 2, n = 2, und in (2) a(x 1, x 2 ) = { χ[ 1 3, 2 3 ](x 1) falls x 2 {0, 1} 0 sonst H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
12 Erhaltungsgleichungen (I) Viele partielle Differentialgleichungen werden als Erhaltungsgleichungen hergeleitet: d v(x, t) dx = ν F (x, t) dx dt V V = div F (x, t) dx V für einen Fluss F der Größe v, wobei V Ω eine beliebige offene Menge mit V C 1 ist. Hierbei ändert sich V v(x, t) dx in der Zeit nur dadurch, dass v gemäß F durch den Rand Ω rein- bzw. rausfließt. Da V Ω beliebig ist, folgt die Erhaltungsgleichung: t v(x, t) = div F (x, t) H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
13 Erhaltungsgleichungen (II) Beschreibt nun z.b. v = u die Wärme in einem Körper Ω oder die Konzentration einer Substanz und wählt man F (x, t) = m u(x, t), m > 0, (3) so erhält man die Wärmeleitungsgleichung: t u(x, t) m u(x, t) = 0 für alle t > 0, x Ω. Die Annahme (3) entspricht z.b. dem Fourierschen Gesetz der Wärmeleitung bzw. dem Fickschen Diffusionsgesetz. Ist u(t, x) unabhängig von t (Gleichgewichtszustand), so erhält man die Laplace-Gleichung: m u(x) = 0 für alle x Ω. H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
14 Erhaltungsgleichungen (III) Beschreibt u(x, t) die Höhe einer schwingende Saite (n = 1) oder Membran (n = 2) und wählt man v(x, t) = ρ t u(x, t) und wählt man F (x, t) = u(x, t), so erhält man die Wellengleichung ρ 2 t u(x, t) u(x, t) = 0 für alle t > 0, x Ω. Die Erhaltungsgleichung beschreibt die Erhaltung vom Impuls ρ t u(t, x), wobei ρ > 0 die Massendichte der Saite bzw. Membran ist. H. Abels (U Regensburg) Grundlegende PDGLn 17. Oktober / 14
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