17 Die Fourier-Transformation

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1 7 Die Fourier-Transformation 7. Motivation. Für eine l -periodische Funktion f L loc (R) ist die Funktion y f(ly) -periodisch und hat eine Fourier-Entwicklung f(ly) c k e iky. Mit x = ly ergibt sich daraus die Entwicklung f(x) k= k= c k e i k l x () nach den Frequenzen { k l k Z} mit den Koeffizienten c k = Mit g l (ξ) := π π f(ly) e iky dy = l πl πl f(x) e ixξ dx folgt f(x) ergibt sich eine Fourier-Entwicklung oder periodischer Funktionen πl πl f(x) e i k l x dx, k Z. (2) g l l( k) l ei k l x, und mit l Spektralzerlegung nicht notwendig k= f(x) R g(ξ) eixξ dξ (3) nach allen Frequenzen ξ R mit den Amplituden g(ξ) = R f(x) e ixξ dx. (4) Zur Vereinfachung der Formeln wird im folgenden in (4) als Vorfaktor gewählt, und zur Abkürzung sei dx := d n x := () n 2 d n x. (5) 7.2 Definition. Für f L (R n ) wird die Fourier-Transformierte durch Ff(ξ) := f(ξ) := R n f(x) e i x,ξ d n x, ξ R n, (6) definiert. Die Abbildung F : f f heißt Fourier-Transformation. 7.3 Beispiele und Bemerkungen. a) Für f L (R n ) ist f beschränkt mit f sup () n 2 f L. Aus dem Satz über majorisierte Konvergenz folgt sofort die Stetigkeit von f auf R n. b) Für die charakteristische Funktion χ := χ (,) von (, ) gilt χ(ξ) = e ixξ dx = insbesondere also χ L (R). c) Für die Funktion f(x) := e x gilt e ixξ = e iξ e iξ iξ = 2 iξ π f(ξ) = R e x e ixξ dx = 0 e x (e ixξ + e ixξ ) dx = ( e x(+iξ) + e x( iξ) iξ +iξ ) 0 = 2 π. +ξ 2 d) Für f L (R n ) gilt aufgrund der Transformationsformel sinξ ξ, F(τ a f)(ξ) = e i a,ξ (Ff)(ξ), ξ R n, a R n, (7) F(f( x λ ))(ξ) = λn (Ff)(λξ), ξ R n, λ > 0. (8)

2 e) Der Gauß-Kern oder Wärmeleitungskern G C (R n (0, )) ist gegeben durch G(x, t) := (t) n 2 exp ( x 2 2t ), x Rn, t > 0. (9) Durch Differentiation nach ξ erhält man die Formel R e x 2 /4α e ixξ dx = 2 πα e α ξ2 für ξ R und α > 0 ; für die Funktion f(x) := e x 2 / 2 auf R n ergibt sich daraus f(ξ) = R n e x 2 / 2 e i x,ξ d n x = n R e x2 /2 e ixξ n k dx = k= k= e ξ2 k/ 2, also FG = G. (0) Es ist (G t ) ist eine Dirac-Familie für t 0 +, und aus (8) (0) folgt FG t (ξ) = () n t ξ 2 2 exp ( ) = t n 2 G / t (ξ), ξ R n, t > 0. () 2 f) Für f, g L (R n ) sind f,ĝ stetig und beschränkt, also fg und fĝ integrierbar. Der Satz von Fubini liefert R n f(x) ĝ(x) dn x = R n f(x) R n g(y) e i y,x d n y d n x = R n R n f(x) e i y,x d n xg(y) d n y, also R n f(x) ĝ(x) dn x = R n f(x) g(x) d n x. (2) 7.4 Theorem (Fourier-Umkehrformel). Es sei f L (R n ), so daß auch f L (R n ) ist. Dann gilt f(x) = R n f(ξ) e i x,ξ d n ξ für fast alle x R n. (3) Beweis. Für g t := FG t gilt Fg t = G t nach (). Mit (7) und (2) folgt f(ξ) R e i x,ξ g t (ξ) dξ = n R τ n x f(ξ) g t (ξ) dξ = R τ n xf(ξ)ĝt (ξ) dξ = R f(x + ξ) n Gt (ξ) dξ = R n f(x ξ) Gt (ξ) dξ = (f G t )(x). Für t 0 + strebt die linke Seite für alle x R n nach dem Satz über majorisierte Konvergenz gegen R n f(ξ) e i x,ξ d n ξ, und nach Theorem 5.8 gilt f G t f in L (R n ), da (G t ) eine Dirac-Familie für t 0 ist. Es folgt (f G t k )(x) f(x) fast überall für eine geeignete Folge t k 0, und daraus ergibt sich (3). 7.5 Beispiele und Bemerkungen. a) Die in (3) auftretende lineare Abbildung ˇF : g ˇFg(x) := R n g(ξ) ei x,ξ d n ξ, x R n, (4) bildet (wie F ) L -Funktionen in stetige beschränkte Funktionen ab. Eine Funktion f L (R n ) mit f L (R n ) muß also fast überall mit einer stetigen Funktion übereinstimmen, und (3) gilt in allen Stetigkeitspunkten von f. Offenbar hat man ˇFf(x) = (Ff)( x), und (3) impliziert F 2 f = ˇf sowie F 4 f = f.

3 b) Aus Beispiel 7.3c) erhält man die Umkehrformel π eixξ +ξ 2 dξ = π c) Für f, g L (R n ) gilt cos xξ +ξ 2 dξ = e x, x R. (5) F(f g) = () n 2 ( f ĝ). (6) d) Für den Gauß-Kern aus (9) gilt F(G t G τ ) = F(G t+τ ) aufgrund von (), und Theorem 7.4 liefert G t G τ = G t+τ für t, τ > 0. (7) e) Für χ = χ (,) gilt (χ χ)(x) = (2 x ) + = max {0, 2 x } ; aus (6) und Beispiel 7.3b) folgt also F((2 x ) + )(ξ) = 8 π (sinξ ξ )2. Theorem 7.4 liefert somit 2 π (sin ξ ξ )2 e ixξ dξ = 2 π (sinξ ξ )2 cosxξ dξ = (2 x ) + für x R, und für x = 0 ergibt sich insbesondere (sinξ ξ )2 dξ = π. (8) 7.6 Definition. Eine Funktion ψ : R n C heißt schnell fallend, Notation: ψ S(R n ), falls gilt: k N 0 : ψ k := sup α k sup ( + x ) k α ψ(x) <. (9) x R n Offenbar gilt D(R n ) S(R n ), und auch die Gauß-Kerne G t aus (9) sind schnell fallend für t > 0. Mit den Normen aus (9) ist S(R n ) ein ein Fréchetraum, und aufgrund der Leibniz-Regel auch eine Funktionenalgebra. 7.7 Satz. Die Fourier-Transformation F ist ein linearer Isomorphismus von S(R n ) auf S(R n ) mit F = ˇF = F 3. Für ψ S(R n ) gilt F(D j ψ)(ξ) = ξ j ψ(ξ), ξ R n, und (20) F(x j ψ)(ξ) = D j ψ(ξ), ξ R n. (2) Die Fourier-Transformation vertauscht also die Differentiation nach einer Variablen mit der Multiplikation mit der entsprechenden Variablen. Man hat die folgende Variante des Riemann-Lebesgue Lemmas: 7.8 Satz. Für f L (R n ) gilt lim ξ 7.9 Satz. Es ist D(R n ) dicht in S(R n ). f(ξ) = Temperierte Distributionen. a) Der Raum S (R n ) aller stetigen Linearformen auf S(R n ) heißt Raum der temperierten Distributionen auf R n. b) Man hat offenbar die stetigen Einbettungen D(R n ) S(R n ) E(R n ), wobei

4 die kleineren Funktionenräume in den größeren jeweils dicht liegen. Somit sind stetige Linearformen auf den größeren Räumen durch ihre Einschränkungen auf die kleineren eindeutig bestimmt, und man erhält die Inklusionen E (R n ) S (R n ) D (R n ). (22) c) Für p, f L p (R n ) und ψ S(R n ) gilt R f(x) ψ(x) dn x f L ψ sup für p = und f Lp ψ Lq C sup x R n ( + x ) k ψ(x) mit C q := R n( + x ) kq d n x < für kq > n und p > ; somit ist die Linearform u f gemäß (6.4) stetig auf S(R n ), und man erhält die Inklusionen L p (R n ) S (R n ). d) Für u S (R n ), ein Polynom P C[x,...,x n ] und ψ S(R n ) gilt auch D α u S (R n ), P u S (R n ) und ψ u S (R n ). Für ϕ D(R n ) ist in der Tat (D α u)(ϕ) = ( ) α u(d α ϕ), (Pu)(ϕ) = u(pϕ), (ψu)(ϕ) = u(ψϕ), und diese Linearformen sind stetig bezüglich der Topologie von S(R n ). Für f L (R n ) und ψ S(R n ) gilt nach (2) u f(ψ) = R n f(x) ψ(x) d n x = R n f(x) ψ(x) d n x = u f ( ψ). (23) Dies ermöglicht die Erweiterung der Fourier-Transformation auf temperierte Distributionen: 7. Definition. Die Fourier-Transformation F : S (R n ) S (R n ) wird erklärt durch (Fu)(ψ) := u( ψ) für ψ S(R n ). (24) 7.2 Beispiele und Bemerkungen. a) Es ist also F : S (R n ) S (R n ) die transponierte Abbildung von F : S(R n ) S(R n ) ; daher gilt weiter F 4 = I, und F : S (R n ) S (R n ) ist bijektiv mit (F u)(ψ) := u( ˇFψ) für ψ S(R n ). (25) Wegen (23) stimmen für f L (R n ) die Definitionen (6) und (24) überein. b) Für ein Polynom P C[x,...,x n ] und u S (R n ) gelten F(P(D)u) = P F(u) und F(P u) = P( D)F(u). (26) Nach (2) hat man für ψ S(R n ) in der Tat F(P(D)u)(ψ) = (P(D)u)( ψ) = u(p( D) ψ) = u( Pψ) = (Fu)(Pψ) = (P F(u))(ψ), und die andere Formel folgt genauso aus (20).

5 c) Es gelten die Aussagen F() = () n 2 δ und F(δ) = () n 2. (27) In der Tat erhält man, bei der ersten Aussage mittels (3), (F)(ψ) = ( ψ) = R n ψ(ξ) dξ = () n 2 ψ(0) = () n 2 δ(ψ), (Fδ)(ψ) = δ( ψ) = ψ(0) = R n ψ(x) dx = () n 2 (ψ). Für Polynome P ergeben sich aus (26) und (27) die Formeln F(P) = () n 2 P( D)δ und F(P(D)δ) = () n 2 P. (28) 7.3 Satz (Plancherel). Für u L 2 (R n ) gilt auch Fu L 2 (R n ), und die Fourier-Transformation F : L 2 (R n ) L 2 (R n ) ist unitär. 7.4 Beispiele und Bemerkungen. a) Es ist F L(S(R n )) eine Isometrie bezüglich der L 2 Norm ; man kann den unitären Operator F : L 2 (R n ) L 2 (R n ) also auch durch stetige Fortsetzung dieser Isometrie erhalten. b) Aus Beispiel 7.3 b) ergibt sich sofort wieder Formel (8). Analog erhält man aus Beispiel 7.3 e) (sinξ ξ )4 dξ = 2 3 π. (29) c) Für u L 2 (R n ) gilt uχ l u in L 2 (R n ) mit χ l := χ Kl (0). Nach dem Satz von Plancherel gilt dann auch F(uχ l ) Fu in L 2 (R n ), also Fu(ξ) = lim x l u(x) e i x,ξ d n x, (30) l wobei dieser Limes nicht punktweise, sondern in L 2 (R n ) zu bilden ist. 7.5 Beispiel. a) Die Hermite-Polynome werden definiert durch H n (x) := ( ) n e x2 ( d dx )n e x2, n N 0. (3) Die Hermite-Funktionen h n (x) := (2 n n! π) 2 H n (x) e x2 2 bilden ein Orthonormalsystem in L 2 (R). Dieses ist vollständig, also eine Orthonormalbasis von L 2 (R) : b) Ist f sp{h n }, so gilt f x n e x2 2 für alle n N 0. Für ξ R gilt n=m+ n! ( ixξ)n e x2 x2 x ξ 2 e 2, m N, x2 ixξ und daher e 2 = n=0 F(e x2 2 f)(ξ) = 2 n! ( ixξ)n e x 2 in L 2 (R). Es folgt R e ixξ e x 2 2 f(x) dx = n=0 ( iξ) n n! R xn e x2 2 f(x) dx = 0 für alle ξ R. Da F isometrisch ist, impliziert dies e x2 2 f(x) = 0 fast überall und somit f(x) = 0 fast überall. c) Mit Hilfe von (0) berechnet man Fh n = ( i) n h n für n N 0 ; die h n sind also Eigenfunktionen von F zu den Eigenwerten ( i) n, und man hat Fu = ( i) n u, h n h n, u L 2 (R n ). (32) n=0

6 7.6 Die Wärmeleitungsgleichung. a) Fourier-Transformation der Wärmeleitungsgleichung t u(x, t) α x u(x, t) = 0 (33) bezüglich der Raum-Variablen liefert formal die gewöhnlichen Differentialgleichungen t û(ξ, t) + α ξ 2 û(ξ, t) = 0 (34) für alle Parameter ξ R n. Mit einer Anfangsbedingung u(x, 0) = A(x) û(ξ, 0) = Â(ξ) (35) hat (34) die Lösung û(ξ, t) = Â(ξ) e αt ξ 2 = () n 2 Â(ξ)Ĝ2αt (ξ), (36) und wegen (6) erhält man als Lösung von (33) und (35) u(x, t) = (G 2αt A)(x) = (4παt) n 2 x y 2 Rn exp( ) A(y) d n y. (37) 4αt b) In der Tat berechnet man leicht ( t α x ) G(x, 2αt) = 0 (38) für x R n und t > 0. Wegen G 2αt S(R n ) für t > 0 ist die Faltung in (37) für A L p (R n ), p, definiert und liefert eine Lösung u C (R n (0, )) von (33). c) Für p hat man die Lösungsoperatoren T(t) L(L p (R n )), T(t)A := G 2αt A, (39) mit T(t), und nach (7) gilt die Halbgruppeneigenschaft T(t + τ) = T(t) T(τ) für t, τ > 0. (40) Für einen Anfangswert A = G s etwa ist T(t)A = G 2αt G s = G 2αt+s eine Lösung von (33) und (35). d) Wegen G 2αt 0 und T(t) = folgt aus Abschätzungen c T(τ)A C zur Zeit τ 0 auch c T(t)A = T(t τ)t(τ)a C für alle Zeiten t τ ; insbesondere bleibt die Positivität der Temperaturverteilung stets erhalten. e) Nach Theorem 5.8 gilt T(t)A A Lp 0 für t 0 + im Fall p <. Für eine stetige beschränkte Funktion A gilt T(t)A A lokal gleichmäßig auf R n nach Bemerkung 5.9, und die durch u(x, t) := { (G 2αt A)(x), t > 0 A(x), t = 0 (4) definierte Lösung von (33) und (35) ist stetig auf R n [0, ).

7 f) Wegen T(t)A(x) G 2αt Lq A Lp ist T(t)A für festes t > 0 eine beschränkte C -Funktion in L p (R n ). Nach (36) ist für A L (R n ) das Integral R n T(t)A(x) dn x = T(t)A(0) = Â(0) = R n A(x) dn x (42) zeitlich konstant, während die Amplituden T(t)A(ξ) = Â(ξ) e αt ξ 2 aller Frequenzen ξ 0 für t exponentiell abfallen. g) Für A D(R n ) ist supp T(t)A nach (37) i.a. für t > 0 nicht kompakt. Eine zur Zeit t = 0 in K ε (0) konzentrierte Temperaturverteilung A = ρ ε 0 breitet sich also in beliebig kurzer Zeit auf ganz R n aus. Dies widerspricht den Prinzipien der Relativitätstheorie; die Wärmeleitungsgleichung (33) beschreibt also die physikalische Realität nur näherungsweise. h) Formel (37) liefert i. a. keine Lösung von (33) und (35) für t < 0. Für t > 0 ist eine solche nur unter geeigneten Wachstumsbedingungen eindeutig bestimmt.