Einführung in die Fourieranalysis

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1 Einführung in die Fourieranalysis Helmut Abels 27. April Einleitung Eine klassische Frage der Fourieranalysis ist, inwieweit sich eine beliebige -periodische Funktion 1 f : R R durch eine trigonometrische Reihe f(x) = a 0 + (a k cos kx + b k sin kx) (1.1) k=0 für passende Koeffizienten a 0, a k, b k R, k N, darstellen lässt. Diese Fragestellung tritt z.b. beim Lösen von Differentialgleichungen mit Hilfe eines rennung der Variablen -Verfahrens auf. Andererseits ist es eine natürliche Frage der sogenannten Signalverarbeitung, ob jedes periodische Signal bzw. ein beliebiger on durch eine unendliche Linearkombination der Grundschwingungen cos kx und sin kx dargestellt werden kann. Betrachtet man allgemeiner komplex-wertige -periodische Funktion f : R C und benutzt man die Eulersche Gleichung e ix = cosx + i sin x bzw. cosx = eix + e ix, sin x = eix e ix 2 2i so ist die Darstellung (1.1) mit a 0, a k, b k C äquivalent zu der Darstellung f(x) = k= c k e ikx (1.2) wobei c k C und 1 (a 2 k ib k ) falls k > 0, c k = a 0 falls k = 0, 1 (a 2 k + ib k ) falls k < 0. 1 Allgemein heißt f : R periodisch mit Periode L, wenn f(x + L) = f(x) für alle x R, wobei eine beliebige enge ist. Natürlich kann durch eine einfache Variablensubstitution eine beliebige L-periodische Funktion immer in eine -periodische Funktion überführt werden. 1

2 Wegen der einfacheren Struktur werden wir im Folgenden immer mit der Darstellung (1.2) arbeiten. Zum einen ist die Darstellung einer Funktion in der Form (1.2) von rein praktischem Nutzen, z.b. beim Lösen von Differentialgleichungen, denn es gilt zu mindest formal f (x) = ikc k e ikx, f (x) = ( k 2 )c k e ikx,... k= k= Das heißt Differentiation wird zurückgeführt auf eine ultiplikation der Koeffizienten c k mit ik. Damit lassen sich Differentialgleichungen auf algebraische Gleichungen für die Koeffizienten c k zurückführen. Zum anderen hat eine Darstellung der Form (1.2) eine besondere reine mathematische Bedeutung, die sich aus der besonderen Bedeutung der Funktionen e k (x) = e ikx ergibt, die wir nun erläutern. Als Erstes sei bemerkt, dass jede -periodische Funktion f : R C durch ihre Werte f(x) für x [0, ) festgelegt ist und wir f auch als Funktion f : C wobei := R/Z, d.h. die enge aller Äquivalenzklassen [x] = {y R : x y Z}. Da R mit der Addition einen kommutative Gruppe ist und Z eine normale Untergruppe ist, ist eine Gruppe bzgl. der Addition zweier Zahlen modulo. Also sind -periodische Funktionen f : R C nichts anderes als Funktionen von der Gruppe in die komplexen Zahlen C. Was ist nun die besondere Bedeutung der Funktionen e k (x) = e ixk? Die folgt aus dem folgenden Lemma: Lemma 1.1 Es sei f : C \ {0} ein stetiger Homomorphism von der additiven Gruppen (, +) in die multiplikative Gruppe (C\{0}, ). Dann gibt es genau ein k Z so, dass f(x) = e ikx für alle x. Umgekehrt ist für jedes k Z die Abbildung x e ikx ein stetiger Gruppenhomomorphismus von (, +) nach (C \ {0}, ). Beweis: Wenn f : C\{0} ein Gruppenhomomorphismus ist, dann gilt f(x+y) = f(x)f(y) und f( x) = f(x) 1 für alle x, y. Daraus folgt ( n f = f(1) m) n m für alle n N 0, m N. D.h. es gilt f(q) = a q für alle q Q, wobei a = f(1). Da f stetig ist, und Q dicht in R liegt, folgt f(x) = a x für alle x R. Aus der Periodizität folgt nun 1 = f(0) = f() = a. Dies impliziert a = e ik für ein k Z. Damit ist die erste Aussage bewiesen. Umgekehrt folgt aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass f(x) = e ixk, x, für jedes k Z einen stetigen Gruppenhomomorphismus definiert. Bemerkung 1.2 Die Funktionen e k (x) = e ixk, k Z, heißen auch Charaktere der Gruppe. 2

3 Nun erzeugt jeder Gruppenhomomorphismus f : C\{0} einen eindimensionalen Raum V = span(f) = {af : a C}, der translationsinvariant ist, d.h. für alle f V, h, ist τ h f V mit (τ h f)(x) = f(x + h), x. D.h. die Fourierreihendarstellung (1.2) ergibt eine Zerlegung von f in seine Anteile in die translationsinvarianten Räume V k = span(e ikx ), k Z. it Hilfe dieser Basis lassen sich translationsinvariante Operationen wie die Ableitung f f diagonalisieren. Hierbei heißt eine Operation A, die auf passenden -periodische Funktionen wirkt, translationsinvariant, falls A mit allen ranslationen τ h, h, kommutiert, d.h. τ h (Af) = A(τ h f) für alle h und -periodischen Funktionen für die A definiert ist. Im Fall der Operation f f entspricht der Abbildung (c k ) k Z (ikc k ) k Z auf Seite der Fourierkoeffizienten c k. Hierbei sind ik gewissermaßen die Eigenwerte der Differentation und e k die zugehörigen Eigenfunktionen bzw. Eigenvektoren. an kann zeigen, dass jede passende translationsinvariante Operation A einer Abbildung (c k ) k Z (m k c k ) k Z für gewisse m k C für k Z auf Seite der Fourierkoeffizienten entspricht. Um all diese formalen Betrachtungen rigoros zu behandeln, stellt sich allerdings zuerst die Frage für welche -periodischen Funktionen f eine Fourierreihendarstellung (1.2) existiert, was die Koeffizienten c k sind, in welchem Sinn die Reihe in der Darstellung konvergiert und ob die Darstellung eindeutig ist. Schließlich sei noch bemerkt, dass R ebenfalls eine Gruppe bezüglich der Addition ist. Allerdings ist R kein kompakter topologischer Raum im Gegensatz zu. Außerdem ist die enge der stetigen und beschränkten Homomorphismen f : (R, +) (C \ {0}, ) überabzählbar und gegeben durch die Funktionen e ξ (x) = e iξx für beliebiges ξ R. Eine entsprechende Darstellung von nicht -periodischen Funktionen f : R C ist f(x) = e ixξ g(ξ) dξ (1.3) R für eine passende Funktion g: R C. Wiederum stellt sich die Frage nach Existenz einer solchen Funktion g, wie man diese gewinnt, ob sie eindeutig ist und in welchem Sinn die Darstellung (1.3) zu verstehen ist. Statt R kann man auch R n betrachten und man kann auch durch n ersetzen. Die Formeln und Aussagen ändern sich dadurch nur wenig. Bemerkungen über allgemeine Harmonischen Analysis: Eine Fourierreihe der Form (1.2) existiert allgemein für passende Funktionen f : G C, sofern G eine kom- 3

4 mutative, kompakte topologische Gruppe ist. 2 Hierbei müssen allerdings die Charaktere e ixk, k Z, der Gruppe durch die Charaktere der Gruppe G ersetzt werden. Ist G nicht kompakt, müssen ähnlich wie im Fall G = R diskrete Reihen durch passende Integrale ersetzt werden. Beispiele für allgemeiner topologische Gruppen sind: 1. Jede endliche Gruppe G mit der diskreten opologie. 2. R \ {0} mit der ultiplikation als Gruppenoperation und der opologie des R. 3. Z n mit der Addition als Gruppenoperation und der diskreten opologie. 4. atrizengruppen wie z.b: GL(n) = { A R n n : det A 0 }, SL(n) = { A R n n : det A > 0 }, O(n) = { A R n n : deta = 1 }, SO(n) = { A R n n : det A = 1 }. Die Gruppenoperation ist jeweils die atrixmultiplikation und die opologie, die vom R n n induzierte opologie. Allgemeiner ist jede sogenannte Lie- Gruppe eine topologische Gruppe. Im ersten und letzten Fall sind die Gruppen allerdings nicht immer kommutativ, was die heorie etwas komplizierter gestaltet. Allgemein kann man die Harmonische Analysis als die Analysis auf topologischen Gruppen bezeichnen. Im Folgenden werden wir uns allerdings auf die Gruppen bzw. n und R n beschränken. Indirekt werden wir auch Z n mit behandeln, da die Fourierkoeffizienten von Funktionen f : n C als Funktionen ˆf : Z n C angesehen werden können. Z n wird auch duale Gruppe von n genannt, da die enge der Charaktere e k (x) = e ik x, k Z n, mit Z n identifiziert werden kann. In diesem Sinn ist die duale Gruppe von R n wieder der R n, da die stetigen, beschränkten Homomorphismen f : R n C \ {0} gerade von der Form f(x) = e ix ξ für ein ξ R n sind. 2 Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe G, die gleichzeitig ein topologischer Raum ist und deren Gruppenoperationen stetig bezüglich dieser opologie ist. Die Gruppe G heißt kompakt, wenn G ein kompakter topologischer Raum ist. 4

5 2 Einige Grundlagen 2.1 Lebesgue-Integral und L p -Räume Wir setzen Grundkenntnisse aus der heorie des Lebesgue-Integrals bzw. der aßtheorie voraus. Wir wiederholen hier nur kurz die für uns wichtigsten Fakten und behandeln ein paar für uns nützliche Anwendungen. Zur Erinnerung: Es sei R n eine messbare enge. Dann heißt f : R Lebesgue-integrierbar oder kurz integierbar falls f messbar ist und f(x) dx <. (2.1) Hierbei deutet dx Integration bezüglich des Lebesgueschen aßes, welches wir im Folgenden immer zu Grunde legen werden. Außerdem sei bemerkt, dass f 0 messbar ist, falls f messbar ist. Für jede nicht negative, messbare Funktion g: [0, ] ist das Integral g(x)dx immer wohldefiniert, allerdings möglicherweise unendlich. Falls (2.1) gilt, dann sind f + := max{f, 0} und f : max{ f, 0} nicht-negative Funktionen mit endlichem Integral und f(x) dx := f + (x) dx f (x) dx ist wohldefiniert. Allgemeiner ist f : C Lebesgue-integrierbar genau dann, wenn Re f und Im f Lebesgue-integrierbar sind. Dann setzen wir f(x)dx := Ref(x)dx + i Im f(x)dx. Den Raum der Lebesgue-integierbaren Funktionen f : C bezeichnen wir mit L 1 (). Dies ist eine linearer Vektorraum, der durch f 1 := f(x) dx R n normiert werden kann. Außerdem ist L 1 () vollständige bezüglich der Norm. 1, falls Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden, indentifiziert werden. Ein für ist grundlegender Satz ist: Satz 2.1 (Lebesguescher Satz über majorisierte Konvergenz) Es sei f k L 1 (), k N, eine Folge so, dass lim f k(x) = f(x) f.ü., k f k (x) g(x) f.ü., 5

6 für ein g L 1 (). Dann ist f L 1 () und es gilt f k (x) dx = f(x) dx. lim k Satz 2.2 (Satz von Fubini) Es sei f L 1 ( N) wobei R k, N R l, k, l N, messbare engen sind. Dann ist f(x,.) L 1 (N) für fast alle x, es ist x f(x, y)dy N L1 (). Außerdem gilt ( ) f(x, y) d(x, y) = f(x, y) dy dx. (2.2) N Umgekehrt, falls f(x,.) L 1 (N) für fast alle x ist und x f(x, y)dy N L 1 () ist, dann ist f L 1 ( N) und (2.2) gilt. Wir werden auch die Substitutionsformel benötigen, allerdings nur in dem einfachen Spezialfall f(ax + b) det A dx = R n f(y)dy R n für alle f L 1 (R n ), b R n und A R n n mit det A 0. Schließlich werden wir noch die Räume L p (), 1 p, verwenden, die aus allen messbaren Funktionen f : C bestehen so, dass { ( f L p () = f(x) p dx ) 1 p falls p <, ess sup x f(x) falls p =. endlich ist. All diese Räume sind Banachräume, sofern Funktionen, bis auf eine Nullmenge übereinstimmen, identifiziert werden. Darüber hinaus ist auf L 2 () ein Skalarprodukt definiert als (f, g) L 2 () = f(x)g(x) dx, f, g L 2 (), d.h. es gilt mit H = L 2 () (f + h, g) H = (f, g) H + (h, g) H N (λf, g) H (f, g) H = λ(f, g) H = (f, λg) H = (g, f) H sowie (f, f) H 0, (f, f) H = 0 f = 0. Allgemein nennt man einen Vektorraum H einen Hilbertraum, wenn es eine Abbildung (.,.) H : H H C gibt, die die voranstehenden Axiome erfüllt und H mit der Norm f H = (f, f) 1 2 H 6

7 ein Banachraum (d.h. vollständig) ist. Somit ist L 2 () ein Hilbertraum. In der heorie der Fourierreihen und der Fouriertransformation wird das L 2 -Skalarprodukt eine fundamentale Rolle spielen. Schließlich sind die kleinen L p -Räume l p (Z n ) definiert als die enge aller komplexwertigen Folgen (a k ) k Z sodass { ( (a k ) k Z l p (Z n ) = k Z a k p) 1 p sup k Z n a k falls 1 p < falls p = endlich ist. Eine der wichtigsten Ungleichung für die L p -Räume ist die Höldersche Ungleichung fg L 1 () f L p () g L p () für alle f L p (), g L p (), wobei 1 p, p die Gleichung 1 = 1 p + 1 p (2.3) erfüllen. Hierbei verwenden wir die Konvention 1 = 0. Im Folgenden werden wir für gegebenes 1 p mit p den Exponenten bezeichnen, der (2.3) erfüllt. Dann ist p = p falls 1 p < und p 1 p = 1 falls p =. Entsprechend gilt für die l p (Z n )-Räume: (a k b k ) k Z n l 1 (Z n ) (a k) k Z l p (Z n ) (b k) k Z l p (Z n ) für alle (a k ) k Z n l p (Z n ), (b k ) k Z n l p (Z n ), wobei 1 p, p und (2.3) gilt. 2.2 Lineare Operatoren auf Banachräumen Es seien X, Y zwei Banachräume. Dann bezeichnet L(X, Y ) den Vektorraum aller linear Abbildingen A: X Y die beschränkt sind, d.h. es gibt eine Konstante C > 0 so, dass Ax Y C x X für alle x X. Für A L(X, Y ) definieren wir die Operatornorm Dann gilt A L(X,Y ) = sup Ax Y. x X =1 Ax Y A L(X,Y ) x X für alle x X. Des Weiteren setzen wir L(X) = L(X, Y ). 7

8 Bemerkung 2.3 Jede beschränkte lineare Abbildung A: X Y ist stetig, denn es gilt: Ax n Ax Y A L(X,Y ) x n x X n 0 für jede Folge (x n ) n N mit x n n x in X. Es gilt auch die Umkehrung, dass jede stetige lineare Abbildung A: X Y beschränkt ist. (Siehe z.b. [Alt85, Lemma 3.1].) Definition 2.4 Ist A k L(X, Y ), k N, eine Folge linearer Operatoren so sagen wir A k konvergiert stark gegen A L(X, Y ), falls lim A kx = Ax für alle x X. k Proposition 2.5 Es sei A k L(X, Y ), k N, eine Folge linearer Operatoren. Dann konvergiert A k stark gegen A, falls 1. sup k N A k L(X,Y ) <. 2. lim k A k x = Ax für alle x D, wobei D eine dichte eilmenge von X ist. (D.h. D = X.) Beweis: Der Beweis ist ein typischer ε -Beweis. Um Konvergenz von A 3 kf für f X zu zeigen wählen wir ein f D mit f f X ε wobei 3 = max(sup A k L(X,Y ), A L(X,Y ) ). k N Da A k f k Af gibt es ein N N so, dass A k f Af Y ε 3 Damit erhalten wir für alle k N. A k f Af Y A k (f f ) Y + A k f Af Y + A(f f ) Y A k L(X,Y ) f f X + ε 3 + A L(X,Y ) f f X ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. für alle k N. Da ε > 0 beliebig war, folgt A k f k Af. 8

9 3 Fourierreihen 3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften Im Folgenden sei = R/Z. Wir werden mit dem Intervall [0, ) identifizieren und jede Funktion f : [0, ) = C mit seiner periodischen Fortsetzung f : R C identifizieren. Dementsprechend ist f : C stetig bzw. differenzierbar, falls f : R C stetig bzw. differenzierbar ist. Entsprechend ist f : C messbar, falls f : R C messbar ist und wir definieren L p () = {f : C messbar : f L p () < } wobei ( ) 1 1 f(x) f L p () = p p dx falls 1 p <, 0 ess sup x f(x) falls p =. an bemerke den zusätzlichen Normierungsfaktor 1 im Gegensatz zur Definition von L p ([0, )), p <, der im Folgenden nützlich sein wird. Definition 3.1 Für f L 1 () definieren wir die Fourierkoeffizienten ˆf k ˆf(k), k Z, durch ˆf(k) = 1 e ikx f(x) dx für alle k Z. 0 Die Fourierreihe von f ist die (formale) Reihe ˆf(k)e ikx, x [0, ). (3.1) k Z Bemerkung 3.2 Für allgemeines f L 1 () ist erstmal nicht klar in welchem Sinn die Reihe (3.1) konvergiert. Außerdem ist offen, ob im Fall von Konvergenz, die Reihe in (3.1) gegen f konvergiert. Bemerkung 3.3 Die Funktionen e k (x) := e ikx, k Z, x [0, ), die sogenannten Charaktere der periodischen Gruppe bilden ein orthonormal System bezüglich des Skalarprodukts (f, g) L 2 () := 1 f(x)g(x) dx, 0 denn es gilt (e k, e j ) L 2 () = 1 { e i(k j) x 1 falls k j = 0 dx = 0 0 falls k j 0. it dieser Notation gilt ˆf(k) = (f, e k ) L 2 (). 9

10 Übung 1 Es sei f(x) = k N a ke ikx ein trigonometrisches Polynom der Ordnung N mit Koeffizienten a k C. Zeige, dass { a k falls k n, ˆf(k) = 0 sonst. Insbesondere konvergiert die Fourierreihe von f absolut und gleichmäßig gegen f. Übung 2 Es sei f L 1 () so, dass ( ˆf(k)) k Z l 1 (Z). Zeige, dass die Fourierreihe ˆf(k)e ikx von f gegen eine gleichmäßig stetige Funktion g: C konvergiert. k Z Einige elementare Eigenschaften der Abbildung f ( ˆf k ) k Z sind im folgenden Lemmata zusammengefasst: Lemma 3.4 Es seien f, g L 1 () und α C. Dann gilt 1. sup k Z ˆf(k) f L 1 (). 2. f + g(k) = ˆf(k) + ĝ(k) für alle k Z. 3. αf(k) = α ˆf(k) für alle k Z. 4. Falls g(x) := f(x) für alle x, so gilt ĝ(k) = ˆf( k) für alle k Z. Insbesondere ist F : L 1 () l (Z) definiert durch F[f] = ( ˆf k ) k Z eine lineare beschränkte Abbildung mit F L(L 1 (),l (Z)) 1. Beweis: Direkt aus der Definition von ˆf(k) folgt ˆf(k) 1 f(x) dx = f L 1 () da e ixk = 1 für alle x, k Z. Die zweite und dritte Aussage folgen direkt aus der Linearität des Integrals. Schließlich gilt ˆf(k) = 1 e ixk f(x) dx = 1 e ixk f(x) dx = ĝ( k) für alle k Z. Daraus folgt die vierte Aussage. Die letzte Aussage ergibt sich aus den vorangehenden Aussagen. Lemma 3.5 Es seien f, g L 1 (). Dann gilt 10

11 1. Für h sei (τ h f)(x) f h (x) = f(x + τ) für alle x die ranslation von f um h. Dann gilt τ h f(k) = e ihk ˆf(k) für alle k Z. 2. Ist f : C eine stetig differenzierbare Funktion, so gilt f (k) = ik ˆf(k) für alle k Z. Beweis: it Hilfe der Substitutionsregel ergibt sich direkt τ h f(k) = 1 0 e ixk f(x + h) dx = 1 0 e i(x h)k f(x) dx = e ihk ˆf(k) für alle k Z. Schließlich berechnet man mit Hilfe von partieller Integration, dass f (k) = 1 0 e ixk f (x) dx = 1 0 f(x) d ( ) e ixk dx = ik dx ˆf(k), wobei die Randterme wegfallen, da der Integrand -periodisch ist. Bemerkung 3.6 Alle Abbildungen im letzten Lemma sind translationsinvariant, d.h. sie kommutieren mit der ranslationsabbildung τ z für alle z. Genauer: τ z (τ h f))(x) = f(x + h + z) = τ h (τ z f)) (3.2) (τ z (f ))(x) = f (x + z) = (τ z f) (x) (3.3) für alle x und passenden f, g. Das Lemma zeigt, dass die Fouriertransformation f ( ˆf k ) k Z diese Operationen Af = τ h f bzw. Af = f auf einfache ultiplikationsoperatoren überführt, d.h. es gilt wobei m k = e ihk bzw. m k = ik gilt. Âf(k) = m k ˆf(k) für alle k Z, Eine weitere wichtige translationsinvariante Operation ist die Faltung zweier Funktionen, welche durch f g(x) = 1 0 f(x y)g(y) dy, x, für f, g L 1 () definiert wird. Hierbei ist für fast alle x der Integrand f(x y)g(y) L 1 () bezüglich y, was aus dem Satz von Fubini folgt. 11

12 Bemerkung 3.7 Im Fall, dass f(x) = χ h [ h/2,h/2], wobei χ die charakteristische Funktion einer enge bezeichnet, haben wir f g(x) = 1 h x+h/2 x h/2 g(y) dy für alle x. D.h. f g(x) ist der ittelwert der Funktionswerte von g im Intervall [x h/2, x+h/2]. Im Allgemeinen kann man f g(x) als ein gewichtetes ittel von g um den Punkt x bezüglich der Gewichtsfunktion f auffassen. Lemma 3.8 Für alle f L 1 (), g L p () mit 1 p ist f g L p () und es gilt f g L p () f L 1 () g L p (). (3.4) Außerdem gilt f g(k) = ˆf(k)ĝ(k) für alle k Z. (3.5) Beweis: Da L p () L 1 () ist y f(x y)g(y) L 1 () für fast alle x wegen des Satzes von Fubini. Für diese x gilt: f g(x) 1 f(x y) g(y) dy = f(x y) 1 1 p f(x y) p g(y) dy ( )1 ( ) 1 1 f(x y) g(y) p p 1 p dy f(x y) dy ( )1 1 f(x y) g(y) p p 1 dy f p L 1 () wobei wir die Höldersche Ungleichung fg L 1 () f L p () g, 1 = 1+ 1 verwendet p p haben. Daraus folgt f g p L p () 1 f(x y) g(y) p p p dy dx f 4π 2 L 1 () 1 f(z) dz g(y) p dy f p 1 4π 2 L 1 () = f p L 1 () g p L p (), was (3.4) beweist. Für die letzte Aussage berechnet wir direkt mit Hilfe vom Satz von Fubini und der Substitutionsregel f g(k) = 1 e ikx f(x y)g(y) dydx 4π 2 = 1 e ik(x y) f(x y) dxe iky g(y) dy 4π 2 = 1 e ikz f(z) dx 1 e iky g(y) dy = ˆf(k)ĝ(k) für alle k Z. 12

13 Übung 3 Zeige, dass die Faltung kommutativ, assoziativ und distributiv ist, d.h. es gilt f g(x) = g f(x) (f g) h(x) = f (g h)(x) f (g + h) = f g + f h für alle x und f, g, h L 1 (). Außerdem gilt für alle f, g L 1 () τ h (f g) = (τ h f) g = f (τ h g) für alle h. Insbesondere kommutiert also die Abbildung g f g mit den ranslationen τ h, h. it Hilfe der Faltung lassen sich die Partialsummen einer Fourierreihe S N f(x) := ˆf k e ikx (3.6) darstellen. k N Lemma 3.9 Für alle k Z und f L 1 () gilt ˆf k e ikx = f e k für alle x wobei e k (x) = e ikx für alle x. Beweis: Direkt aus der Definition von f e k und der Kommutativität der Faltung folgt f e k (x) = e k f(x) = 1 e ik(x y) f(y) dy = e ikx ˆf(k) für alle k Z. Folgerung 3.10 Für alle f L 1 () und N N 0 gilt wobei S N f(x) = D N f(x) für alle x, (3.7) D N (x) = k N Beweis: Aus Lemma 3.9 folgt sofort (3.7) mit D N (x) = e ikx = sin(n + 1)x 2 sin x. (3.8) 2 13 k N e ikx.

14 it Hilfe der geometrischen Summe berechnet man nun für alle N N 0 und x. D N (x) = e inx 2N k=0 = ei(n+1 2 )x e i(n+1 2 )x e i x 2 e i x 2 e ikx = e inx1 e i(2n+1)x 1 e ix = sin(n )x sin x 2 Bemerkung 3.11 Es stellt sich die Frage ob und in welchem Sinn S N f für N gegen f konvergiert. Die Antwort auf diese scheinbare einfache Frage ist aber sehr komplex. Für allgemeines f L 1 () konvergiert im Allgemeinen S N f(x) nicht gegen f für N fast überall und auch nicht in der L 1 -Norm. Insbesondere kann man zeigen, dass lim N D N L 1 () =. Deswegen kann ein Beweis von Konvergenz von S N f in L p () mit Hilfe von (3.4) und Proposition 2.5 nicht funktionieren. Ersetzt man allerdings L 1 () durch L 2 () oder L p () für ein 1 < p <, so gilt lim N S N f = f in L p (), falls f L p (). Dieses Resultat wird im Fall p 2 allerdings einige tiefliegende ethoden der Harmonischen Analysis benutzen und werden wir erst sehr viel später beweisen können. Sehr viel besser als die Partialsummen S N f verhalten sich aber die Fejérschen ittel von S N f, die wir im folgenden Abschnitt behandeln. 3.2 Fejér-ittel In diesem Abschnitt werden wir Konvergenzresultate für die sogenannten Fejér-ittel der Partialsummen S N f (σ N f)(x) = 1 N N ( S N f(x) = 1 k ) ˆf(k)e ikx (3.9) N + 1 N + 1 j=0 j= N beweisen. D.h. σ N f ist das arithmetische ittel von S 0 f,...,s N f. Es sei bemerkt, dass σ N f konvergiert, falls S N f konvergiert, aber nicht umgekehrt. 3 Proposition 3.12 Es seien f L 1 (), N N 0 und σ N f wie in (3.9) definiert. Dann gilt σ N f(x) = K N f(x) für fast alle x, (3.10) wobei K N (x) = N k= N ( 1 k ) ( e ikx = 1 sin N+1 N + 1 N + 1 sin x 2 2 x ) 2. (3.11) 3 Allgemein gilt: Ist (a n ) n N0 eine konvergente Folge in einem Banachraum X, so konvergiert auch b n = 1 n n+1 k=0 a n. Die Umkehrung ist im Allgemeinen aber falsch, da z.b. a n = ( 1) n nicht konvergiert, aber b n = 1 n n+1 k=0 ( 1)k eine Nullfolge ist. 14