Inhaltsverzeichnis. 1 Einleitung... 1

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität KonditioneinesProblems ElementareBeispiele Bemessen,Normen RelativeundAbsoluteKondition Relative Konditionszahlen skalarwertiger Probleme Operatornormen, Konditionszahlen linearer Abbildungen Rundungsfehler und Gleitpunktarithmetik Zahlendarstellungen Rundung, Maschinengenauigkeit Gleitpunktarithmetik und Fehlerverstärkung bei elementarenrechenoperationen StabilitäteinesAlgorithmus Übungen Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren Vorbemerkungen,Beispiele Kondition und Störungssätze Zeilenskalierung Wiemanesnichtmachensollte Dreiecksmatrizen, Rückwärtseinsetzen Gauß-Elimination, LR-Zerlegung Gauß-Elimination mit Spaltenpivotisierung Numerische Durchführung der LR-Zerlegung und Implementierungshinweise Einige Anwendungen der LR-Zerlegung Cholesky-Zerlegung Bandmatrizen... 88

2 XIV Inhaltsverzeichnis 3.8 Stabilitätsanalyse bei der LR- und Cholesky-Zerlegung QR-Zerlegung Givens-Rotationen Householder-Transformationen Übungen Lineare Ausgleichsrechnung Einleitung DaslineareAusgleichsproblem Kondition des linearen Ausgleichsproblems Numerische Lösung des linearen Ausgleichsproblems LösungderNormalgleichungen Lösung über QR-Zerlegung Zum statistischen Hintergrund lineare Regression* Orthogonale Projektion auf einen Teilraum Singulärwertzerlegung (SVD) und Pseudoinverse Berechnung von Singulärwerten Rangbestimmung Einige Anwendungshintergründe dersvd Übungen Nichtlineare Gleichungssysteme, iterative Lösungsverfahren Vorbemerkungen Kondition des Nullstellenproblems einer skalaren Gleichung Fixpunktiteration Konvergenzordnung und Fehlerschätzung Berechnung von Nullstellen von skalaren Gleichungen Bisektion DasNewton-Verfahren Newton-ähnlicheVerfahren Zusammenfassende Hinweise zu den Methoden für skalaregleichungen Das Newton-Verfahren fürsysteme Grundlagen des Newton-Verfahrens Hinweise zur praktischen Durchführung des Newton-Verfahrens Berechnung von Nullstellen von Polynomen Übungen Nichtlineare Ausgleichsrechnung Problemstellung DasGauß-Newton-Verfahren Analyse der Gauß-Newton-Methode Das gedämpfte Gauß-Newton-Verfahren Levenberg-Marquardt-Verfahren...222

3 Inhaltsverzeichnis XV 6.4 Übungen Berechnung von Eigenwerten Einleitung Einige theoretische Grundlagen Eigenwertabschätzungen Kondition des Eigenwertproblems Vektoriteration InverseVektoriteration QR-Verfahren DieUnterraumiteration QR-Algorithmus Praktische Durchführung des QR-Algorithmus Übungen Interpolation Vorbemerkungen Lagrange-Interpolationsaufgabe fürpolynome Existenz und Eindeutigkeit der Lagrange-Polynominterpolation Auswertung des Interpolationspolynoms an einer oderwenigenstellen Darstellung des Interpolationspolynoms mittels der Potenzform Darstellung des Interpolationspolynoms mittels der NewtonschenInterpolationsformel Restglieddarstellung Fehleranalyse Hermite-Interpolation NumerischeDifferentiation Grenzen der Polynominterpolation Beispiel einer Splineinterpolation Trigonometrische Interpolation Schnelle Fourier- Transformation Fourier-Reihen Trigonometrische Interpolation und diskrete Fourier-Transformation Schnelle Fourier-Transformation (Fast Fourier TransformFFT) Übungen Splinefunktionen Splineräume und Approximationsgüte B-Splines B-Splines als Basis fürdensplineraum Rechnen mit Linearkombinationen von B-Splines

4 XVI Inhaltsverzeichnis StabilitätderB-Spline-Basis Splineinterpolation Datenfit SmoothingSplines Übungen Numerische Integration Einleitung Newton-Cotes-Formeln Gauß-Quadratur ExtrapolationundRomberg-Quadratur ZweidimensionaleIntegrale Transformation von Integralen Integration über dem Einheitsquadrat Integration überdemeinheitsdreieck Übungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Einführung Reduktion auf ein System 1. Ordnung Einige theoretische Grundlagen EinfacheEinschrittverfahren Fehlerbetrachtungen für Einschrittverfahren Lokaler Abbruchfehler und Konsistenz Zusammenhang zwischen Konsistenz und Konvergenz Praktische Bedeutung der Konvergenzordnung Extrapolation Runge-Kutta-Einschrittverfahren ExpliziteRK-Verfahren Implizite RK-Verfahren Schrittweitensteuerung bei Einschrittverfahren Mehrschrittverfahren Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren Adams-Bashforth-Verfahren Adams-Moulton-Verfahren Prädiktor-Korrektor-Verfahren Konvergenz von linearen Mehrschrittverfahren SteifeSysteme Einleitung Stabilitätsintervalle Stabilitätsgebiete: A-Stabilität Rückwärtsdifferenzenmethoden Zusammenfassende Bemerkungen Übungen...449

5 Inhaltsverzeichnis XVII 12 Partielle Differentialgleichungen ProblemstellungundPrototypen Korrekt gestellte Probleme Kondition Differenzenverfahren für elliptische Randwertaufgaben Diskretisierung der Poisson-Gleichung Diskretisierung einer Konvektions-Diffusionsgleichung Fourieranalyse Diskretisierungsfehleranalyse Stabilität und Konsistenz Finite-Elemente-Methode für elliptische Randwertaufgaben Schwache Formulierung eines elliptischen Randwertproblems Satz von Lax-Milgram und Galerkin-Diskretisierung Korrektgestelltheit der schwachen Formulierung elliptischer Randwertprobleme Galerkin-Diskretisierung mit Finite-Elemente-Räumen Diskretisierungsfehleranalyse A-posteriori Fehlerschranken und Adaptivität Matrix-Vektor Darstellung des diskreten Problems Finite-Volumen-Methode für elliptische Randwertaufgaben Finite-Volumen Methode mit Voronoi-Kontrollvolumina Finite-Volumen Methode mit einem dualen Gitter Fazit:VergleichderMethoden Diskretisierung parabolischer Anfangs-Randwertaufgaben Übungen Große dünnbesetzte lineare Gleichungssysteme, iterative Lösungsverfahren Beispiele großer dünnbesetzter Gleichungssysteme EigenschaftenvonSteifigkeitsmatrizen LineareIterationsverfahren Einleitung Das Jacobi-Verfahren Das Gauß-Seidel-Verfahren SOR-Verfahren Die Methode der konjugierten Gradienten Vorkonditionierung Zusammenfassende Bemerkungen Übungen Numerische Simulationen: Vom Pendel bis zum Airbus Taktmechanismus Datenfit EinMasse-FederSystem...596

6 XVIII Inhaltsverzeichnis 14.4 Wärmeleitung Komplexere Beispiele numerischer Simulationen Inverses Wärmeleitproblem in einem welligenrieselfilm Inkompressible Strömung in einer Blutpumpe Kompressible Strömung um einen Flugzeugflügel Übungen Literaturverzeichnis Sachverzeichnis...629

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