Übungen zur Einführung in die Physikalischen Rechenmethoden II WS 2009/10, VO+UE Univ. Prof. Dr. Christoph Dellago

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1 Übungen zur Einführung in die Physikalischen Rechenmethoden II WS 009/0, 606 VO+UE Univ Prof Dr Christoph Dellago ) Berechnen Sie cos (06) ohne Verwendung der Winkelfunktionen des Taschenrechners auf 4 Dezimalen genau Anleitung: Entwickeln Sie cos x an der Stelle x = 0 in eine Reihe und berechnen Sie cos 06 mittels einer bis zum 3 Grad entwickelten Reihe Schätzen Sie mittels des Restgliedes den maximal möglichen Fehler ab Falls der Fehler zu groß ist, nehmen Sie das nächste Glied der Reihe dazu x ) Entwickeln Sie e an der Stelle x = 0 in eine Taylorreihe 3) Beweisen Sie + x + x mittels Taylorreihenentwicklung für x << 4) Welchen Fehler begeht man, wenn man + x durch + 8 x ersetzt, falls x= 0? 5) Begründen Sie, warum Sie beim Sinus für kleine Winkel auch den Wert des Winkels verwenden können Gibt es eine entsprechende Regel auch für den Kosinus oder Tangens? 6) Stellen Sie tan x durch e-funktionen mit komplexen Zahlen dar 7) Formen Sie den folgenden Ausdruck so um, dass keine komplexen Zahlen mehr vorhanden sind: ix y ( ) e ix e ix i eix y + e ( ) 8) Wie ergibt sich aus der komplexen Zahl z und der komplex konjugierten Zahl z* der Real- und Imaginärteil von z? 9) Beweisen Sie ( z + z ) * = z * + z * und ( z z ) * = z * z * 5 0) Berechnen Sie alle 5-ten Wurzeln von 3: z= 3 ) Verwenden Sie die Eulersche Formel um zu zeigen, dass gilt: a) sin(3ϕ) = 3sinϕ 4 sin 3 ϕ, b) cos(3ϕ) = 4 cos 3 ϕ 3cosϕ ) Bestimmen Sie sämtliche reellen und imaginären Lösungen der folgenden Gleichungen: a) x 3 x + 4 x 4 = 0 b) x 4 x 3 = 0 3) Die in einem Kondensator vorhandene Ladung Q ist eine Funktion der Zeit: Q( t ) = Q 0 ( e it + e it ) Berechnen Sie den durch den Kondensator fließenden Strom I ( t ) = dq(t) / dt 4) Das Volumen eines Würfels soll eine Genauigkeit von mindestens 3% aufweisen Wie groß darf die relative Messungenauigkeit der Kantenlänge a maximal sein? 5) Berechnen Sie folgende Differentiale: a) d ( x 3 + 3x 7) b) d ( e inx ) c) d ( x ) - -

2 6) Berechnen Sie d ( sin α cos α ) und überprüfen Sie durch Nachrechnen mit dem Taschenrechner für α = 66 und dα = 3 7) Die Schwingungsdauer T eines Pendels kann man aus der Länge L zu T = π L g errechnen, wobei g=98 ms - die Erdbeschleunigung ist Welchen Fehler erwartet man für die Schwingungsdauer T, falls die Länge L nur mit einer Genauigkeit von 005% bekannt ist, dh L=0 ±00005 m? 8) Wie groß ist der Fehler (in %), wenn man statt (+h) n die einfache Näherungsformel + nh verwendet, für n = 5 und h = 0007 und 0 9) Wie stark ändert sich f ( x,y ) wenn sich x um 03 und y um 07 ändert: a) f ( x,y ) = x 4 8y x = 3, y = 0 b) f ( x,y ) = x 3 + y x = 0, y = 0 0) Die Auswertung einer umfangreichen Messreihe, bestehend aus n=00 Einzelmessungen, ergab für die Masse eines Körpers einen Mittelwert m = 05 g mit einer Standardabweichung der Einzelmessung von s m = 3 g Die Messwerte sind normalverteilt (a) Wieviele Messwerte dürfen wir zwischen 03 g und 08 g erwarten? (b) Wieviele Messwerte sollten oberhalb 0 g liegen? ) Bei Parallelschaltung von Widerständen ist der Gesamtwiderstand R gegeben durch R = R R R + R, wobei R und R die parallel geschalteten Widerstände sind Berechnen Sie den maximalen Fehler des Gesamtwiderstandes, falls R = 4700 ±50Ω R = 6800 ± 00Ω und ) Ein Balken von 5 m Länge wird durch zwei 0 m lange Seile gehalten, die an Wänden 5 m voneinander entfernt aufgehängt sind Um wieviel ändert sich die Höhe des Balkens über dem Boden, wenn die Länge der Seile um 0 cm verkürzt wird? 3) Berechnen Sie grad x + y + z und zeichnen Sie das Feld 4) Beweisen Sie, dass ein Gradientenfeld grad u( x,y,z ) wirbelfrei ist, d h rot(grad u)=0 5) Beweisen Sie, dass div (rot V ) = 0 wobei V = V ( x, y,z ) - -

3 6) Berechnen Sie grad V x ( ) für: ( ) = V x x + sin x x e x y x ln x z ( ) = x y Berechnen Sie die Komponenten des Normalvektors auf die Niveaulinien im Punkt x,y 7) Gegeben ist ein skalares Feld V x,y ( ) 8) Gegeben sei das Skalarfeld A = x yz und das Vektorfeld B = (xy,y,z ) Bestimmen Sie die Rotation des Vektorfeldes C = AB 9) Bestimmen Sie die Divergenz des Ortsvektors x = ( x,y,z ) 30) Gegeben sind die Feldfunktionen f ( x,y,z ) und g( x,y,z ) Zeigen Sie, dass grad f g g + g grad f ( ) = f grad ( ) und das Vektorfeld 3) Gegeben ist die Feldfunktion f x,y,z Zeigen Sie, dass rot f ( µ )= f rot µ +(grad f ) µ µ ( x,y,z ) 3) Ist das Feld A (x,y,z) = (yz xy,xz 8yz 3 + 6x,xy y z ) wirbelfrei? 33) Zeigen Sie, dass div[ grad( V(x,y,z) )] = ΔV(x,y,z), wobei Δ = Laplaceoperator ist 34) Berechnen Sie ( x + y )dxdy und 0 x 7 3 y 0 x y 0 5 x + y dxdy x + y + z der 35) Bei einer laminaren Strömung durch eine Röhre mit rechteckigem Querschnitt stellt sich unter gewissen Umständen eine parabolische Geschwindigkeitsverteilung ein In diesem Fall ist die Geschwindigkeit v in einem beliebigen Punkt (x,y) v( x,y ) = v 0 x b y h, wobei v 0 die maximale Geschwindigkeit und b und h die halbe Breite bzw Höhe des Rohres sind Der Geschwindigkeitsvektor zeigt in die z-richtung Welche Maximalgeschwindigkeit tritt auf, wenn durch ein Rohr von m Querschnitt Liter pro Sekunde fließen? Wie unterscheidet sich die Maximalgeschwindigkeit von der mittleren Geschwindigkeit? 36) Ein in der xz-ebene und der Ebene z = h liegende Draht sendet Strahlung aus Diese hat im Abstand ρ vom Draht die Intensität I = I 0 und verläuft in Richtung des Abstandvektors ρ Berechnen Sie, welche Strahlung durch die Fläche x a, y b in der xy-ebene fließt 37) Eine punktförmige Lichtquelle strahlt Licht nach dem Gesetz I = I 0 ( ρ ist der Abstand ρ von der Lichtquelle) Wieviel Licht tritt durch eine kreisförmige Fläche vom Radius R im Abstand H? y 3x y 38) Berechnen Sie u ds mit u = 4 xy x 3 entlang der Kurve x + y = in der xy-ebene 0

4 39) A sei die Mantelfläche der Halbkugel x + y + z = 4 mit z 0 und C die kreisförmige y 3 Randkurve in der xy-ebene Berechnen Sie den Wirbelfluss des Vektorfeldes F = yz y z durch diese Fläche mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes 40) Berechnen Sie 3x y u ds mit u = x 3 y 3 0 entlang der selben Kurve wie in Beispiel 38) (,8) 4) Berechnen Sie grad F ( 0,0) d s entlang y = x 3 mit F = x y 4) Gegeben ist ein Vektorfeld B x y = y x Berechnen Sie B df Die geschlossene Fläche z ist der Würfel mit den Eckpunkten (0,0,0), (0,,0), (,0,0) (,,0) (0,0) (0,,) (,0,) (,,) y 3 43) Berechnen Sie für das Kraftfeld F x = xy mit r = y das Kurvenintegral längs des Weges z z 0 y(x) = x α (α > 0) von r 0 = 0 nach r = ) Berechnen Sie das Kurvenintegral über einen Kreis um (0,0,0) mit Radius R für das Feld F c x ( r ) = c y, wobei c x, c y und c z Konstanten sind c z x 3 45) Gegeben ist das Vektorfeld u = y 3 Berechnen Sie u df z 3 x +y +z =R 46) Lösen Sie die Differentialgleichung x y + y = 0 47) Lösen Sie die Differentialgleichung y = y x 48) Lösen Sie folgende Differentialgleichung: ( + x )( y ) y + xy ( 3 y ) = 0 49) Lösen Sie die Differentialgleichung x y y = x cos x - 4 -

5 50) Ein Wasserbehälter ist bis zur Höhe von 36 m gefüllt Aus ihm strömt Wasser aus Die in der Zeiteinheit ausfließende Wassermenge ist 0 h (/min), wobei h die Füllhöhe ist Fließt l Wassers aus, so ändert sich der Wasserspiegel um 00 m Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf des Wasserstandes beim Ausfließen des Wassers aus dem Behälter Anleitung: Im Zeitelement dt fließen 0 h dt l Wasser aus Dadurch ändert sich der Wasserspiegel um dh= Beachten Sie, dass die Wasserhöhe mit der Zeit abnimmt 5) Lösen Sie die Differentialgleichung y y x = x 3 sin x für y( π ) = 0 5) Lösen Sie die Differentialgleichung y + sin x y cos x = 0 53) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen: a) y y = 0 b) y + y = 0 c) y + y + y = 0 54) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen: a) y + 4y + 6 y + 4 y + y = 0 b) y y = 0 55) Finden Sie eine Lösung der Differentialgleichung y y = 0, die folgenden Bedingungen genügt: ( ) = 0 und y ( 0) = y 0 56) Finden Sie eine Lösung der Differentialgleichung y + y + y = 0, die folgende Bedingungen erfüllt: ( ) = 0 und y π y 0 = 57) Ein Zylinder der Masse m und der Querschnittsfläche A schwimmt mit vertikaler Achse in einer Flüssigkeit der Dichte ρ Wie groß ist die Schwingungsdauer, wenn man den Zylinder leicht niederdrückt und dann wieder frei gibt Stellen Sie die Bewegungsgleichungen des Systems auf und vernachlässigen Sie dabei die Reibung - 5 -