Klausur zum Fach Mathematik 1 Teil 1

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1 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Mathematik Teil Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keintaschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am 0.0. statt. Ggf. notwendige mündliche Ergänzungsprüfungen finden am 3.0. statt. Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen habe,unddassalle7aufgaben(aufgabe-aufgabe7)ingutleserlichemdruckvorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ Σ 2 B. Σ Max Ist Note:

2 Aufgabe (maximal 6, minimal 0 Punkte) Kreuzen Sie jeweils an, welche Funktion den nebenstehenden Funktionsgraf erzeugt. (Die Koordinatenachsen führen jeweils durch (0, 0); die Skalierungen der y-achse sind unterschiedlich.) Jedes richtige Kreuz zählt + Punkt, jedes falsche Punkt; kein Eintrag zählt 0 Punkte. Sie brauchen Ihre Angaben nicht zu begründen. a) f(x) = e x f(x) = e x f(x) = e x f(x) = e x b) f(x) = (x 2) 2 x (x+2) f(x) = (x 2) x 2 (x+2) f(x) = (x 2) x (x+2) 2 f(x) = (x 2) x 2 (x+2) 2 c) f(x) = x+2 + x f(x) = x+2 x 2 f(x) = x+2 + x 2 f(x) = x+2 x 2

3 d) f(x) = sin(2x) f(x) = sin ( 2 x) f(x) = 2sin(x) f(x) = 2 sin(x) e) f(x) = cosh(x 2) f(x) = cosh(2 x) f(x) = (coshx) 2 f(x) = 2 coshx f) f(x) = x sinx f(x) = x sin x f(x) = x sinx f(x) = x sin x

4 Aufgabe 2 (3+2 = 5 Punkte) Ein Springbrunnen in einem See spritzt von einem.25m hohen Sockel aus in einem 45 o -Winkel so, dass das Wasser noch einen Meter höher steigt (s. Skizze). 45 m.25m a) Zeichnen Sie in die Skizze ein Koordinatensystem und geben Sie eine funktionale Beschreibung des Strahls (als Parabel modelliert) entsprechend Ihrem Koordinatensystem. b) In welchem Abstand zum Sockel trifft der Strahl in das Becken?

5 Aufgabe 3 (2+2 = 4 Punkte) Geben Sie Werte x R an, für die die jeweilige Gleichung erfüllt ist. a) e 2x 3 e x = 4. b) log 2 (8x)+log 2 x =.

6 Aufgabe 4 (6 Punkte) Betrachtet werden die folgenden drei Teilmengen von C: M = {z C z = 2}, M 2 = {z = r e j π 4 r R 0 }, M 3 = {z = +bj b R}. a) Zeichnen Sie M, M 2 und M 3 in das Koordinatensystem ein. j b) Geben Sie die Elemente der Schnittmengen M M 2, M M 3 und M 2 M 3 an (egal, ob in Polar- oder kartesischer Darstellung).

7 Aufgabe 5 (6 Punkte) Geben Sie die folgenden Grenzwerte (in R {, }) an. (Sie brauchen Ihre Angabe nicht zu begründen.) n 3 2n+ a) lim n (n+2) (2 n) = b) lim n (2n+) 2 (n ) (n+5) = n 3 c) lim n 3 = n n 2 2 n d) lim n (n+) 3 = n e) lim n f) lim n n k= n k= k = n = g) lim n n ( ) k 2 k= = h) lim n n k=0 3 k = x i) lim x lnx = j) lim x 0+ x lnx = k) lim x 0+ e x = l) lim x 0 e x =

8 Aufgabe 6 (4,5 = 6 Punkte) Skizzieren Sie in den Koordinatensystemen jeweils einen Funktionsgraf zu einer Funktion f :] 2;2[ R mit den beschriebenen Eigenschaften. a) f (x) > 0 für x ] 2;2[ und f (x) < 0 für x ] 2;0[ und f (x) > 0 für x ]0;2[. f 2 2 b) f (x) < 0 für x ] 2;2[ und f (x) < 0 für x ] 2;0[ und f (x) > 0 für x ]0;2[. f 2 2 c) f (x) < 0 für x ] 2; [ und f (x) = 0 für x ] ;[ und f (x) > 0 für x ];2[. f 2 2 d) f (x) < 0 für x ] 2; [ und f (x) = 0 für x ] ;[ und f (x) > 0 für x ];2[. f 2 2

9 Aufgabe 7 (4++2 = 7 Punkte) Sei f(x) = ln(+sinx). a) Berechnen Sie die ersten drei Ableitungen von f. Vereinfachen Sie die entsprechenden Ausdrücke falls möglich. b) Zeigen Sie, dass das dritte Taylorpolynom von f in x 0 = 0 ist. T 3;0 (x) = x 2 x2 + 6 x3 c) Bestimmen Sie lim x 0 f(x) sinx x 2. (Tipp: Sie können die Information von b) nutzen.)

10 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Mathematik Teil 2 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig) handbeschriebenes DinA4-Blatt, keintaschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am 0.0. statt. Ggf. notwendige mündliche Ergänzungsprüfungen finden am 3.0. statt. Mit meiner Unterschrift bestätige ich, dass ich die obigen Klausurbedingungen gelesen habe, und dass alle 8 Aufgaben (Aufgabe 8 - Aufgabe 5) in gut leserlichem Druck vorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ 2 Max Ist

11 Aufgabe 8 (2+2 = 4 Punkte) Sei f(x) = x 3 3x 2 +x+3. a) Führen Sie ausgehend von x 0 = zwei Schritte des Newton-Verfahrens zur Bestimmung einer Nullstelle von f durch. b) Führen Sie ausgehend von x 0 = einen Schritt des Newton-Verfahrens zur Bestimmung eines x mit f(x) = x durch.

12 Aufgabe 9 (4 Punkte) Bekanntlich gilt für die Länge L des Funktionsgraphen einer differenzierbaren Funktion f : [a,b] R L = b + ( f (x) ) 2 dx. a Berechnen Sie eine Approximation der Länge L zur Funktion f : [0,] R, f(x) = 2 x 3 /2 durch eine Riemannsche Zwischensumme mit einer äquidistanten Zerlegung in drei Teilintervalle und Zwischenstellen am linken Intervallrand. (Es reicht ein Ausdruck, in dem noch ein Wurzelterm auftaucht.)

13 Aufgabe 0 (2+2 = 4 Punkte) Führen Sie die angegebenen Substitutionen bei den folgenden Integralen durch. Das entstehende Integral brauchen Sie nicht weiter zu berechnen! a) Substitution x = sinu bei b) Substitution lnx = u bei 0 x2 dx, lnx dx.

14 Aufgabe ( = 8 Punkte) 2 4 Seien v = 2, v 2 =. a) Geben Sie an. v +2 v 2, v v 2, v v 2, v v 2, v b) Wie groß ist der Winkel ϕ, den v und v 2 einschließen? c) Geben Sie drei verschiedene Vektoren an, die senkrecht zu v sind. 0 d) Lässt sich u = 3 als Linearkombination aus v und v 2 darstellen? Begründen Sie Ihre Aussage!

15 Aufgabe 2 (5 Punkte) Welche Punkte auf der Geraden 2 g = { 3 +λ 0 λ R} 3 haben von den Abstand 6? 2

16 Aufgabe 3 ( = 6 Punkte) Ein Müsli-Verkäufer hat drei Müsli-Sorten, die jeweils aus Cornflakes, Haferflocken und Schokostreusel in folgender Zusammensetzung bestehen: Sorte Sorte 2 Sorte 3 Cornflakes 50% 40% 30% Haferflocken 50% 30% 60% Schokostreusel 0% 30% 0% a) Berechnen Sie durch eine Matrix-Vektor-Multiplikation, wie teuer die Rohstoffkosten für jeweils kg der drei Sorten sind, wenn kg Cornflakes 2e, kg Haferflocken e, und kg Schokostreusel 4e kosten. b) Wie kann der Verkäufer aus den Sorten 200 g Müsli bestehend aus 40% Cornflakes, 50% Haferflocken und 0% Schokostreusel herstellen?

17 Aufgabe 4 (6 Punkte) 0 4 Sei A = 0 2 mit einem Parameter d. d 2 3 Bestimmen Sie jeweils die Parameter d, so dass a) A symmetrisch ist, b) deta = 7 ist, c) A invertierbar ist, d) A 2 = ist ,2,6 0,8 e) A = 0,4 0,2 0,4 ist. 0,2 0,4 0,2 Hinweis zu d) und e): Es gibt jeweils einen derartigen Parameterwert. Sie brauchen Ihre Aussage nicht zu begründen.

18 Aufgabe 5 (3 Punkte) Gegeben sind zwei symmetrische Matrizen A,B R n n. Welche der folgenden Matrizen sind dann auch stets symmetrisch? Jedes richtige Kreuz zählt +0.5 Punkt, jedes falsche 0.5 Punkt; kein Eintrag zählt 0 Punkte. Sie brauchen Ihre Antwort nicht zu begründen. kann un- symmetrisch sein ist immer symmetrisch A 2 A B A B A A (falls existent) A+B A B