Klausur Mathematik I, 1 für Studierende der Studiengänge Elektrotechnik, Informationssystemtechnik und Mechatronik Gruppe A

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Gottlob Peters
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1 Institut für Mathematische Stochastik Dresden, den.. Prof. Dr. Z. Sasvári Klausur Mathematik I, für Studierende der Studiengänge Elektrotechnik, Informationssystemtechnik und Mechatronik Gruppe A Hinweise: Die Klausur besteht aus 7 Aufgaben. Der Lösungsweg der Aufgaben ist vollständig darzustellen, d. h. durch die Angabe von Zwischenergebnissen muss der Algorithmus der Lösungsfindung ersichtlich sein.. Bestimmen Sie die Beträge und Argumente der kompleen Zahlen (a) z = ( i) ( + i) 4, (b) z mit z 5 = ( 4 + 4i), (c) z mit z =.. Gegeben sind die Ebenen E : r = + t + s und der Punkt P(,, ). E : + y z = (a) Geben sie von E eine parameterfreie Darstellung an und von E eine Parameterdarstellung. (b) Begründen Sie, dass E, E nicht parallel zueinander liegen. (c) Begründen Sie, dass der Punkt P(,, ) sowohl in E als auch in E liegt. (d) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden g beider Ebenen. (e) Beschreiben Sie in Worten (stichpunktartig, keine Rechnung!) einen weiteren Lösungsweg für die Aufgabe (d).

2 (f) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung derjenigen Geraden g, die in E liegt und g in P(,, ) senkrecht schneidet. (g) Bestimmen Sie die Parameterdarstellung derjenigen Geraden g, die auf den Geraden g und g senkrecht steht und ebenfalls durch P(,, ) geht. (h) Der Punkt Q(4,, ) liegt auf der Geraden g. Wie groß ist sein Abstand zur Ebene E? (i) g, g, g bilden ein neues rechtwinkliges Koordinatensystem mit P(,, ) als,,nullpunkt. (s. Prinzipskizze) Die Geraden (Richtungsvektoren) mögen dabei so orientiert sein, dass g die neue -Achse, g die neue y-achse und g die neue z-achse darstellen, d. h., die zugehörigen Richtungsvektoren der Geraden bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Prüfen Sie, ob Ihre Richtungsvektoren diese Forderung erfüllen! Wenn nicht, dann orientieren Sie den Richtungsvektor von g entsprechend um. Wie lauten dann in diesem neuen Koordinatensystem die (neuen) Koordinaten des Punktes Q(4,, ) aus Aufgabe (h)? Der Punkt R(,, 6) liegt in E. Bestimmen Sie seine Koordinaten im neuen Koordinatensystem. (Hinweis: s. Skizze). Ein Skiläufer will vom Punkte A(, ) zum Punkt C(, ) gelangen ( Längeneinheit = km). Es wird gefordert, dass er zunächst auf der Loipe bis zu einem noch zu bestimmenden Punkt B(, ) läuft (entlang der -Achse). Im Punkt B(, ) biegt er ab und quert das freie Gelände zwischen Loipe und Loipe geradlinig und senkrecht zur Loipe. Auf der Loipe, die entlang der Geraden y = verläuft, gelangt er zum Punkt C. Die mittlere Geschwindigkeit beträgt auf Loipe ( 6 v = c + ), im freien Gelände und auf der Loipe v = c v = c mit dem Parameter c >. An welcher Stelle ( ) muss er die Loipe verlassen, um am schnellsten von A nach C zu gelangen? Geben Sie die Fahrzeiten entlang der beiden Loipen und die gesamte Fahrzeit an. 4. Skizzieren Sie die gebrochen rationale Funktion y = f() = + 6, R\{, },

3 so dass die Eigenschaften (Nullstellen, Polstellen, Lücken, Asymptote, Etrema) erkennbar sind. Hinweis: Die Etremwerte und -stellen müssen nicht berechnet werden. 5. (a) Geben Sie alle Parameter λ R an, für die das folgende lineare Gleichungssystem nicht triviale Lösungen besitzt und geben Sie die zugehörigen Lösungen in Matrischreibweise an: λ 4 = 8 4 = 4 = = (b) Geben Sie alle nicht trivialen Lösungen aus (a) an, die zusätzlich allen folgenden Bedingungen genügen: = 4 = 4 4 = Berechnen Sie die folgenden Integrale durch Zurückführung auf Grundintegrale: (a) tan d cos (b) ( 4 ) d 7. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, falls diese eistieren: [ ] e e (a) lim arsinh (b) lim cosh (c) lim coth [ (d) lim ] 5

4 Lösungen Gruppe A. (a) ( i) = 6, ( + i) 4 = 4 4 = z =, arg(z) = π (b) z k = 5 4 =, arg(z k ) = π +π k 5, k =,,,, 4 {π, π, 7π, 5π } (c) z =, arg(z) [, π] (Einheitskreis).. (a) + y = (E ) r = + s 5 + t, s, t R (E ) (b) Normalenvektoren n und n sind nicht parallel. (c) t =, s =, s =, t = (d) Richtungsvektor a = n n = g : r = (e)... (f) Richtungsvektor a = n a = g : r = (g) g : r = + s,s R (h) d = + s + s,s R,s R (i) Q (,, ), R (, 6, ), Rechtssystem, da a a = a. (v = s t ) t = v + y v + v ( ) + (y ), ( ) y = t = const [6 + + t = = =, t () = [ + ] const t ( ) > = lokales (relatives) Minimum bei =. Randpunkte: = t : = t = const [6 + ] 4

5 = : t = [ + + ] = t const min t = const ( + ) t = const 4. f() = ( )( ) ( )( + ) = + + Restterm y K K 5. (a) λ =, (b) 4 4 = s 6 = s (a) I = tan() + C, C R (Substitution u = tan()) (b) I =. 7. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, falls diese eistieren: [ ] e e (a) lim arcosh = 4 (b) lim cosh = (c) lim coth = [ (d) lim ] 5 = e 6 Lösungen (b) bis (d) mit der Regel von de l Hospital. 5

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