Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 1. Klausur Sommersemester

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1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 1. Klausur Sommersemester BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienfach: Name des Tutors: Unterschrift der/des Studierenden: Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 13 Seiten. Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt Summe 90 Note

2 Aufgabe 1: Folgen (15 Punkte) 1. Kreuzen Sie für die folgenden Aussagen an, ob sie als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Ein richtig gesetztes Kreuz zählt 1 Punkt, ein falsch oder ein nicht gesetztes Kreuz zählt 0 Punkte. a) Eine Folge ist konvergent, wenn sie monoton ist. b) Eine Folge ist monoton, wenn sie konvergent ist. c) Eine Folge ist unbeschränkt, wenn sie divergiert. d) Eine Folge divergiert, wenn sie unbeschränkt ist. e) Da ein Häufungspunkt dem Grenzwert einer konvergenten Teilfolge entspricht, stellt er immer auch eine (obere oder untere) Schranke der Gesamtfolge dar. Wahr Falsch a) b) c) d) e) 2. Begründen Sie jeweils kurz Ihre Anworten aus 1. und geben Sie im Falle einer falschen Aussage ein geeignetes Gegenbeispiel an. 3. Konstruieren Sie eine Folge in expliziter Darstellung, die nach unten beschränkt, divergent und monoton wachsend, jedoch nicht streng monoton wachsend ist. 2

3 Aufgabe 1: Folgen (15 Punkte) 3

4 Aufgabe 2: Differentialrechnung in R (15 Punkte) a) Gegeben sei die Funktion f : R R, x 2 a für x 1 x f(x) = x 2 4x 1 für 1 < x 1 x 3 3bx + c für x > 1 mit a, b, c R. Bestimmen Sie die Parameter a, b und c so, dass f eine stetige und differenzierbare Funktion darstellt. b) Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert, sofern er existiert: lim x 0 1 x 1 sin(x) x 4

5 Aufgabe 2: Differentialrechnung in R (15 Punkte) 5

6 Aufgabe 3: Approximationsverfahren (15 Punkte) Gegeben sei die Funktion f : R R mit f(x) = x 3 3x 2 + x 1. a) Berechnen Sie unter Verwendung des Newton-Verfahrens eine Nullstelle von f(x) auf vier Iterationen genau. Verwenden Sie hierbei x 0 = 1 als Startwert. Welches Szenario tritt hier auf? b) Berechnen Sie unter Verwendung des Newton-Verfahrens eine Nullstelle von f(x) auf vier Iterationen und fünf Nachkommastellen genau. Verwenden Sie dabei x 0 = 2, 5 als Startwert. c) Skizzieren Sie in der Graphik die Vorgehensweise des Newton-Verfahrens von x 0 bis zur Bestimmung von x 2 für die Aufgabenteile a) und b). y x 2 3 d) Weshalb kann im Newton-Verfahren keine stationäre Stelle von f(x) als Startwert x 0 verwendet werden? 1 6

7 Aufgabe 3: Approximationsverfahren (15 Punkte) 7

8 Aufgabe 4: Integralrechnung in R (15 Punkte) Berechnen Sie die folgenden bestimmten und unbestimmten Riemann-Integrale: a) 3 2 ( ) 1 x 1 + x dx b) x 2 e 2 x dx c) (1 + x 2 ) e x dx 8

9 Aufgabe 4: Integralrechnung in R (15 Punkte) 9

10 Aufgabe 5: Differentialrechnung im R p (15 Punkte) 1. Kreuzen Sie für die folgenden Aussagen an, ob sie als wahr oder falsch zu beurteilen sind. Ein richtig gesetztes Kreuz zählt 1 Punkt, ein falsch oder ein nicht gesetztes Kreuz zählt 0 Punkte. a) Eine stetige und partiell differenzierbare Funktion ist stetig partiell differenzierbar. b) Eine differenzierbare Funktion ist stets total differenzierbar. c) Partielle Ableitungen stellen das Analogon zum gewöhnlichen Ableitungsbegriff für eine Funktion einer reellen Variablen dar. d) Eine einmal partiell differenzierbare Funktion ist auch zweimal partiell differenzierbar. e) Existiert für eine Funktion die Hesse-Matrix, dann existiert auch ihr Gradient. Wahr Falsch a) b) c) d) e) 2. Gegeben sei die Funktion f : D R (x, y, z) f(x, y, z) := 3x 2 ln(y) + 4x 3 z 2 y 2 z 3 mit D := {(x, y, z) R 3 y > 0}. Bestimmen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix von f. Bestimmen Sie zudem die Tangentialhyperebene von f an der Stelle (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 1, 1). 10

11 Aufgabe 5: Differentialrechnung im R p (15 Punkte) 11

12 Aufgabe 6: Optimierung im R p (15 Punkte) Eine Ackerfläche wird mit Getreide bestellt. Zuvor wird Kunstdünger der Sorte 1 in x 1 Mengeneinheiten und Kunstdünger der Sorte 2 in x 2 Mengeneinheiten ausgestreut. Aus langjähriger Erfahrung weiß der Landwirt, dass der Ertrag in Abhängigkeit von der Düngung bei normalen Wetterbedingungen durch die Funktion beschrieben wird. f(x 1, x 2 ) = x 2 1 2x x 1 x 2 + 7x x a) Bestimmen Sie x 1 und x 2 derart, dass der Landwirt einen maximalen Ertrag erzielt. Wie hoch ist dieser maximal erreichbare Ertrag? Handelt es sich hierbei um das globale Maximum von f(x 1, x 2 )? Begründen Sie Ihre Antwort kurz. b) Wie ändert sich näherungsweise der Ertrag, wenn der Landwirt den Düngereinsatz von (x 1, x 2 ) = (6, 6) auf (6, 5) ändert? Verwenden Sie zu dieser näherungsweisen Bestimmung der Ertragsänderung das totale Differential. Vergleichen Sie diese Näherung zudem mit dem exakten Änderungswert. 12

13 Aufgabe 6: Optimierung im R p (15 Punkte) 13