Σ / 100 P

Transkript

1 0. Klausur zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaftler I Probeklausur Prof. Andreas Dreuw, Manuel Hodecker, Michael F. Herbst ungef. Beginn: ungef. Ende: Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise zur Klausur: Auf den folgenden Seiten finden Sie die Klausurfragen. Sie dürfen diese erst lesen, sobald die Klausurzeit läuft. Vervollständigen Sie auf diesem Deckblatt Name und Matrikelnummer. Die Benutzung von Formelsammlungen, Büchern, Taschenrechnern und anderen elektronischen Hilfsmitteln ist untersagt und wird als Täuschungsversuch gewertet. Sollte der Platz des Klausurbogens nicht ausreichen, bekommen Sie von uns zusätzliches Papier. Achten Sie jedoch sorgfältig darauf, dass Sie auch auf jedes zusätzliche Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer schreiben. Verdeutlichen Sie bei allen Aufgaben Ihren Lösungsweg oder begründen Sie Ihre Antworten. Name: Matrikel-Nr: Σ / 100 P

2 Aufgabe 0.1 (10 P). Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von (a) 2 + 3ı 3 + 2ı, (b) ı e (1+ı) π 4 (c) ı 5, (3 P) (4 P) (3 P) 2

3 Aufgabe 0.2 (6 P). Gegeben sei die Gleichung wobei z C. (z ı) 4 1 = 0 (a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge. (4 P) (b) Skizzieren Sie diese in der komplexen Zahlenebene. Welche geometrische Figur erkennen Sie? (2 P) 3

4 Aufgabe 0.3 (9 P). Im folgenden sind a, b R und n N. Bestimmen Sie die erste Ableitung von (x + b)n (a) f(x) = a x (2 P) (b) g(x) = a cosh(x) (3 P) (c) h(x) = e x2 x + ( x 2 + x ) 2 cos ( x 2 + x ) (4 P) 4

5 Aufgabe 0.4 (11 P). Bestimmen Sie die Grenzwerte (a) lim x 5 x 2 25 x 7 (b) cos(x 2 ) lim x π e ıx2 (2 P) (3 P) (c) (d) ln(x n ) lim x x wobei n N (3 P) lim x x = lim x 1 x (3 P) x x Hinweis: Benutzen Sie lim x ef(x) limx f(x) = e 5

6 Aufgabe 0.5 (14 P). Zeigen Sie zunächst: (a) Für alle c R gilt (3 P) ( ) 3 x 1 dx = x 2 + c 1 + x x 2 Berechnen Sie die folgenden bestimmten oder unbestimmten Integrale (b) (x 3 + 4x) ln(x) dx (3 P) (c) (d) 1 0 x x 3 dx (4 P) + 3x + 2 x dx (4 P) 4 x 2 Hinweis: Substituieren Sie θ = 4 x 2. 6

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8 Aufgabe 0.6 (24 P). Gegeben sei die reelle Funktion Bestimmen Sie von der Funktion f f(x) = x + x3 2x 2 1 (a) die Definitionsmenge, (1 P) (b) die Symmetrie (achsen- oder punktsymmetrisch, Periodizität), (1 P) (c) alle Nullstellen (falls vorhanden), (1 P) (d) alle Polstellen (falls vorhanden), (1 P) (e) die erste und zweite Ableitung, (7 P) (f) die Tangente an der Stelle x = 1 2, (4 P) (g) die lokalen Extremstellen, Bestimmen Sie jedoch nicht die zugehörigen extremalen Punkte. (5 P) (h) die Art der lokalen Extremstellen aus (g), (3 P) (i) das Integral (1 P) 2 2 f(x) dx. 8

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10 Aufgabe 0.7 (13 P). Seien die Funktionen f(x) = (x2 b 2 )(x + 2) g(x) = sin(2x)e x (x + 2a)(x + b) { t g g(x) für x π 2 (x) = 2e π (x π)(1 + π x) h(x) = t g 2 (x) für x > π gegeben, wobei a, b R. (a) Bestimmen Sie je die Nullstellen des Zählers und Nenners von f. (1 P) (b) Nehmen Sie an, dass a, b > 0. Für welche Wahl von a und b hat die Funktion f (i) genau einen Pol und zwar an x = 1, (2 P) (ii) keine Polstellen (2 P) (c) Zeigen Sie, dass t g 2 gerade der Taylorreihe zweiter Ordnung der Funktion g um die Stelle x = π entspricht. (5 P) Hinweis: Die allgemeine Form der Taylorentwicklung einer Funktion g um x 0 lautet: T g x 0 (x) = n=0 1 n! g(n) (x 0 ) (x x 0 ) n (d) Zeigen Sie, dass die erste Ableitung von h an der Stelle x = π stetig ist. Sie können ohne Beweis annehmen, dass h (x) existiert. (3 P) 10

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12 Aufgabe 0.8 (13 P). Gegeben sei die inhomogene Differentialgleichung (1 + x 2 )y = x ( y + x 2) (1) (a) Bestimmen Sie die Lösung der zu (1) gehörenden homogenen DGL. (5 P) (b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von (1). (7 P) (c) Finden Sie die bestimmte Lösung von (1) unter der Anfangsbedingung y(0) = 5.(1 P) Hinweis: Aufgabe 1.5(a) könnte hilfreich sein. 12

13 ENDE DER KLAUSUR 13