Aufgaben zur Probeklausur. Aerodynamik II

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1 AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schröder Aufgaben zur Probeklausur Aerodynamik II Matr.-Nr. :... Name :... Unterschrift :... Hinweis: Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben: Klausur Aerodynamik II Fragenteil, Kompressible Strömungen, Skelett-Theorie 1

2 Integrale und Additionstheoreme Additionstheoreme sin(x±y) = sin(x) cos(y)±sin(y) cos(x) cos(x±y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin 2 (x)+cos 2 (x) = 1 sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) sin(x) = 2 sin(x/2) cos(x/2) sin 2 (x) = 1 2 (1 cos(2x)) cos 2 (x) = 1 2 (1+cos(2x)) cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) tan( x 2 ) = 1 cosx 1+cosx tan( x ) sin(x) = 1 cos(x) 2 sin(x) sin(nx) = 1 2 (cos[(n+1)x] cos[(n 1)x]) sin[(n+1)x] sin[(n 1)x] = 2 cos(nx) sin(x) 1 n sin(nϕ p) sin(nϕ) = 1 ( 4 ln 1 cos(ϕp +ϕ) ) 1 cos(ϕ p ϕ) Integrale 1 ax+b dx = 1 a ln(ax+b) x ax+b dx = x a b a 2 ln(ax+b) x 2 X dx = 1 [ 1 ] a 3 2 (X) 2b(X)+b2 ln(x) mit X = ax+b sin(ax)dx = cos(ax) a cos(ax)dx = + sin(ax) a sin 2 (ax)dx = x 2 1 4a sin(2ax) cos 2 (ax)dx = x a sin(2ax) sin 3 (ax)dx = cos3 (ax) cos(ax) 3a a cos 3 (ax)dx = sin3 (ax) 3a + sin(ax) a cos 4 (ax)dx = 3 sin(2ax) x+ + sin(4ax) 8 4a 32a sin(ax)cos(ax)dx = sin2 (ax) 2a sin(n ϕ) cos(p ϕ) = cos(n ϕ) cos(p ϕ) = sin(n ϕ) sin(p ϕ) = Glauert-Integral { /2 n = p n p { /2 n = p n p { /2 n = p n p cos(n ϕ ) cos(ϕ) cos(ϕ ) dϕ = sin(n ϕ) sin(ϕ) cos(ax) cos(bx)dx = sin[(a b)x] 2(a b) + sin[(a+b)x] 2(a+b) a b } } } 2

3 1. Aufgabe: Fragenteil (?? Punkte) 1. Nennen Sie je einen Vor- und Nachteil des Prinzips der Pfeilung und begründen Sie jeweils kurz. 2. Wie lautet die Störpotentialgleichung im Unter- und im Überschall? Welche mathematische Charakteristik besitzten diese Gleichungen? Skizzieren Sie die Strömungsverhältnisse über eine gewellte Oberfläche für Unter- und Überschallbedingungen. Erläutern Sie stichpunktartig die Unterschiede der resultierenden Kräfte und deren Gründe. 3. Erläutern Sie stichpunktartig den Transitionsvorgang in einer laminaren Grenzschicht hin zu einer vollturbulenten Strömung. Skizzieren Sie den Transitionsvorgang an einer ebenen Platte und benennen Sie explizit die relevanten Strukturen in der Strömung c p x/c Abbildung 1: Druckbeiwertverteilung eines Profils in inkompressibler Strömung 4. In Abbildung 1 ist die Druckbeiwertsverteilung einer inkompressiblen Strömung um ein Standardprofil gegeben. (a) Welcher Reynoldszahlbereich liegt vor? Begründen Sie Ihre Antwort. (b) Leiten Sie daraus qualitativ zwei geometrische Eigenschaften des Profils ab. (c) Welches Ablöseverhalten auf der Ober- und Unterseite erwarten Sie bei einer Erhöhung des Anstellwinkels? Zeichnen Sie qualitativ die Druckbeiwertverteilung für α >. (d) Zeichnen Sie den Auftriebsbeiwert c a als Funktion des Anstellwinkels α { 2 ;2 } für das vorliegende Profil für die Reynoldszahlen Re c = und Re c = Erläutern Sie kurz 5. Ein transsonisches Profil soll mit einer Machzahl von M =.8, einer Reynoldszahl von Re c = und einem Anstellwinkel von α = +3 angeströmt werden. Im Bereich von x/c =.7 ist ein Verdichtungsstoß auf der Oberseite zu erwarten. Skizzieren Sie das für eine zweidimensionale numerische Simulation erforderliche krummlinige Gitter um das Profil und markieren sie Gebiete mit markanten Strömungsphänomenen. Geben Sie mithilfe der Charakteristiken die Randbedingungen im Fernfeld und auf dem Profil an. 3

4 2. Aufgabe: Kompressible Strömungen (17 Punkte) Ein einfacher Keil mit einem Öffnungswinkel ǫ = 1 und der Länge l wird unter dem Anstellwinkel α = und einer Machzahl M I = 3. angeströmt. M I = 3.,p I y Bereich I Bereich II Bereich III ǫ x l Übertragen Sie den Keil in ihr Lösungsblatt und zeichnen Sie 1. das sich darstellende Stoßsystem am Keil qualtitativ ein. 2. das sich darstellende Stoßsystem im Fernfeld oberhalb des Keils ein. Welche Aussage kann mit Hilfe des Crocco schen Wirbelsatzes in diesem Bereich getroffen werden? 3. Zeichnen Sie qualtitativ den Druckverlauf über der Oberseite des Keils für den Bereich I und II. 4. Ermitteln Sie mithilfe der Stoßpolaren und angegebenen Isentropenbeziehungen die Machzahl M II und das Druckverhältnis p II /p I. 5. Erläutern Sie warum der Widerstandsbeiwert c D aus derdruckbeiwertsbeziehung c p = ± 2ǫ für M 2 I 1 diesen Keil nicht hergeleitet werden kann. 6. Zeichnen Sie unter Annahme einer reibungsbehafteten Strömung qualtitativ das Stoßsystem am Keil und im Nachlauf. 7. Zeichnen Sie qualitativ den Hodographen für die reibungsbehaftete Strömung für eine Stromlinie welche bei S I (,) beginnt und bei S III (+,) endet. Hinweis: Grad Bogenmaß

5 ν [ ] Prandtl Meyer Winkel Machzahl M Abbildung 2: Prandtl-Meyer-Winkel ν über Machzahl M 1 Machzahlverhältnis über senkrechten Verdichtungsstoß.9 Machzahl, M Machzahl, M 1 Abbildung 3: Machzahlverhältnis M 1 zu M 2 über einen senkrechten Verdichtungsstoß Druckverhältnisse Druckverhältnis p 1 /p 1, isentr. Beziehung p /p, Druckverh. senkr. Stoß Machzahl, M Abbildung 4: Druckverhältnisse über senkrechten Verdichtungsstoß und isentropes Druckverhältnis über der Machzahl M 5

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7 3. Aufgabe: Skelett-Theorie (?? Punkte) Gesucht ist der Zusammenhang zwischen Skelettgeometrie und Druckverteilung eines unter dem Winkel α angestellten Klappenprofils. Die Skelettlinie ist gegeben: 1. Unter welchen Annahmen hinsichtlich Geometrie und Anströmung ist die Skelett-Theorie anwendbar? 2. Wie lautet die kinematische Randbedingung auf der Skelettlinie, so dass diese eine Stromlinie beschreibt? 3. Wie lautet die Gleichung der Skelettlinie für das oben dargestellte Flossen-Klappen-Problem? 4. Bestimmen Sie die dimensionlosen Beiwerte für den Differenzdruck c p und den Auftrieb c l. Ermitteln Sie hierfür die notwendigen Koeffizienten A i der 1. und 2. Birnbaum-Ackermannschen Normalverteilung. 5. Skizzieren Sie qualitativ c l über α und den Momentenbeiwert um die Nase c m,nase über α für das Profil mit und ohne Klappe. Gegeben: Anströmgeschwindigkeit u, Anstellwinkel α, X K =.75l, η K, Sehnenlänge l Hinweis: ( γ(ϕ) = 2U A tan ϕ N ) 2 + A n sin(nϕ) w a (ϕ) = w U = A N A n cos(nϕ) 7

8 1. Aufgabe: Fragenteil 1. Vorteil: Reduzierung der kritischen Machzahl. Höhere Reisefluggeschwindigkeiten möglich ohne das ein Überschallgebiet auf der Oberseite des Flügels auftritt. Nachteil: Reduzierung des Auftriebs, da Reduzierung des minimalen Druckbeiwerts. 2. Potentialgleichung im Unter- und im Überschall: Unterschall: ( 1 M 2 ) ϕxx +ϕ yy elliptische DGL. (analog: Laplace-Gleichung) Unterschall: ( M 2 1 ) ϕ xx ϕ yy hyperbolische DGL (analog: Wellengleichung) Abbildung 5: Kräfteverteilung entlang einer gewellten Oberläche für M < 1 und M > 1 Davon ausgehend, dass die Oberfläche mit y sin(αx) verhält, geht die Druckverteilung im Unterschall in Phase mit y, i.e. c p = sin(αx). Die Druckverteilung im Unterschall hingegen verhält sich Phasenverschoben zu y, also c p = cos(αx). Damit erhält man für den Fall im Überschall eine resultierende Kraft in x-richtung, welche als Wellenwiderstand definiert ist. 3. Transitionsvorgang in einer Grenzschicht: In einer anfangs laminare Strömung existiert ein breites Spektrum an instationären Störungen in v i und p, je nach äußeren Bedingungen (z.b Turbulenzgrad). Ein schmales Frequenzband, in welchem Wellenzahl und Wellenlänge u. a. von der Verdrängungsdicke und Reynoldszahl abhängen, führt zu einer Anfachung der zwei-dimensionalen Instablität der Strömung, den sog. Tollmien-Schlichting Wellen. Stromab davon bilden sich sog. Λ-Strukturen, bzw. deren Untergattungen, die im weiteren Verlauf auseinanderbrechen. Es bilden sich darauf turbulente Flecken, die im weiteren Verlauf zu voll ausgebildeter Turbulenz sich ausbilden. 4. Druckbeiwertsverteilung einer inkompressiblen Strömung um ein Standardprofil. (a) Es liegt eine Reynoldszahl Re c < Erkennbar ist dies an der ausgedehnten Ablöseblase und dem Umschlag zu turbulenter Strömung nahe der Hinterkante. (b) Es handelt sich um ein symmetrisches Profil. Das Ablöseverhalten und die minimalen c p -Werte lassen darauf schließen, dass es kein dünnes Profil (z.b. NACA8, NACA12) sein kann, sondern dicker sein muss (z.b. NACA24). 8

9 Abbildung 6: Schematische Darstellung des Umschlags von laminarer und turbulenter Strömung (c) Die Ablösung wird auf der Oberseite stromaufwärts und auf der Unterseite stromabwärts wandern c p x/c Abbildung 7: Druckbeiwertverteilung eines Profils in inkompressibler Strömung bei α = Re=5 1 6 Re= c a α Abbildung 8: Auftriebsbeiwertverteilung als Funktion des Anstellwinkels für zwei Reynoldszahlen. (d) 9

10 5. Das für die Numerische Simulation erforderliche krummlinige Gitter: Profilnase Stoß Grenzschicht Nachlauf Die Betrachtung der Charakteristiken an Ein- und Ausströmrändern zeigt: Für die Randbedingungen an Ein- und Austritt gilt dann: AB,BD: ρ = ρ =, u = u, v = v vorgeben; p = p extrapol aus dem Feld extrapoliert. CD,BD: p = p vorgeben; ρ = ρ extrapol =, u = u extrapol, v = v extrapol aus dem Feld extrapolieren. 1

11 2. Aufgabe: Kompressible Strömungen 1. Stoßsystem am Keil: Schräger Stoß Expansion 2. Stoßsystem im Fernfeld: Mach sche Linie Stromlinien Schräger Stoß Expansion In diesem Bereich Drehungsbehaftete Strömung nach dem Crocco schen Wirbel- Satz. Stromlinien laufen nicht parallel zueinander. Keil 3. Druckverteilung im Bereich I und II: y p II p I x 11

12 4. Mit der Anströmmachzahl M I = 3. und einem Umlenkwinkel von 5 = ǫ/2 gibt mit Hilfe der Schrägstoßpolaren einen Stoßwinkel θ = 23. Die normalen Machzahl ermittelt sich aus: M I,n = M I sin(θ) }{{}.4 M I,n 1.2 aus Abb. 3 wird M II,n.8 ermittelt. Die Strömungsmachzahl M II errechnet sich aus: M II = M II,n sin(θ ǫ/2) }{{}.3 M II 2.67 aus Abb. 4 und der Machzahl normal zum Stoß M I,n ergibt sich ein Druckverhältnis p II /p i Die Beziehung c p = ± 2ǫ gilt für einen Doppelkeil. Obwohl über c M 2 p = ± ǫ der Druckbeiwert I 1 M 2 I 1 im Bereich II ermittelt werden kann, so bleibt die Rückseite des Keiles aufgrund eines Umlenkwinkels β O(ǫ) unberücksichtigt. 6. Strömungsfeld und Stoßsystem für feibungsbehaftete Strömung: y Stromlinie S x = Rezirkulationsgebiete 7. Hodograph entlang der Stromlinie S v c Stoßcharakteristik M Umlenkwinkel ǫ/2 M I = u/c M II u c Expansionscharakteristik 12

13 3. Aufgabe: Skelett-Theorie 1. Die Skelett-Theorie kann nur auf dünne Profile mit geringer Wölbung angewandt werden, um die angesetzten Linearisierungen einzuhalten. Es muss eine 2-dimensionale, inkompressible und drehungsfreie Strömung vorliegen. Ferner sind nur kleine Anstellwinkel zulässig. 2. Der kinematische Randbedingung besagt, dass entlang der (ebenen) Skelettlinie die Normalkomponenten der resultierenden Geschwindigkeitsverteilung Null ist, d. h. V,normal +w(x) =, wobei V,normal die Anströmgeschwindigkeit, w(x) die induzierte Störgeschwindigkeit und dz dx die Steigung des Profils bezeichnet. Daraus folgt, dass die Skelettlinie einer Stromlinie entspricht. Miteinbeziehung der Steigung des Profils liefert: w(x) = ( α dz dx) V Abbildung 9: Druckbeiwertverteilung eines Profils in inkompressibler Strömung 3. Flosse: Z S 1 ( X X K) = z l = Klappe: Z S 1 (X K X l) = z l = η K (X 3/4) 4. Koordinatentransformation: X = 1 2 (1+cos(ϕ)), dx = 1 2 sin(ϕ) Der Hinweis: N w a (ϕ) = A A n cos(nϕ) w a (ϕ) in die kinematische Strömungsbedingung einsetzen und integrieren: ( ) N dz (s) A A n cos(nϕ)+α dϕ = dx dϕ IntegrationdesgesamtenAusdrucksübercos(pφ)fürp =,1,...,nführtaufdieKoeffizientenA,...,A n. Dazu wird die Integration der Skelettlinie von Flosse und Klappe getrennt durchgeführt. dz ϕk dx cos(pϕ)dϕ = + dz (S) 1 dx cos(pϕ)dϕ (S) 2 dz ϕ K dx cos(pϕ)dϕ ϕk = η K cos(pϕ)dϕ 13

14 Für die rechte Seite der kinematischen Strömungsbedingung läßt sich analog schreiben Für p = lässt sich A bestimmen (α A )cos(pϕ)dϕ N A n cos(nϕ) cos(pϕ)dϕ Für p n verschwindet das Integral A = η K ϕ K +α { cos(pϕ) cos(pϕ)dϕ = 2 für n = p für n p Für p = n können die restlichen Koeffizienten bestimmt werden A n = 2 η K n sin(n ϕ K) Damit lässt sich die Zirkulationsverteilung für das Klappenprofil mit Hilfe des Additionstheorems = 1 n sin(nη K) sin(n ϕ) = 1 ( ) 4 ln 1 cos(ϕk +ϕ) 1 cos(ϕ K ϕ) aus der Formelsammlung für die unendliche Reihe allgemein angeben: ( γ(ϕ) = 2 u [ ( = 2 u [ + η K 2 ln ) ( ϕ tan 2) α+ η K ϕ α+ η K ϕ ) ( 1 cos(ϕk +ϕ) 1 cos(ϕ K ϕ) ( ϕ tan 2) ) ] + N 2η K n sin(nϕ K)sin(nϕ)] Beiwerte: Der Druckbeiwert folgt aus und damit der Auftriebsbeiwert: c p = 2 u u c p = 2 γ(ϕ) u ( = 4 [ α+ η K ϕ ) + η K 2 ln c l = (2A +A 1 ) ( 1 cos(ϕk +ϕ) 1 cos(ϕ K ϕ) = 2α+2η K (ϕ K +sin(ϕ K )) ) ] 5. 14

15 Abbildung 1: Druckbeiwertverteilung eines Profils in inkompressibler Strömung 15