TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 Prof. Dr. Michael Wolf Daniel Stilck rança Stefan Huber Zentralübung TECHNISCHE UNIVESITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik 4 für Physiker (Analysis 3) MA924 Z3.. Polardarstellung quadratischer Matrizen Wintersemester 26/7 Lösungsblatt 3 (28..26) Zu jeder Matrix M n n gibt es O, S n n mit O orthogonal und S symmetrisch, so dass M OS. Sei M n n. Dann ist M T M symmetrisch und positiv semidefinit, denn (M T M) T M T (M T ) T M T M und x, M T Mx Mx, Mx Mx 2 f.a. x n. Es gibt also eine ONB (b k ) aus Eigenvektoren jeweils zu den Eigenwerten λ k, so dass M T M n λ k b k b T k. k Setze S : n M T M λk b k b T k. k S ist symmetrisch, positiv semidefinit und S 2 n n n n λk λl b k b T k b n lb T l λk λl δ kl b k b T l λ k b k b T k M T M. k l k l k Ist nun S sogar invertierbar (d.h. M hat vollen ang), dann gilt für O : MS, dass O orthogonal ist, O T O (MS ) T MS S M T MS S S 2 S l, und M OS. Ist S nicht invertierbar, setzt man S : n λk b k b T k mit λ k k { falls λ k, λ k sonst. Dieses S ist per Konstruktion invertierbar und Õ : M S ist eine partielle Isometrie (ÕÕT Õ Õ), die elementar zu einer orthogonalen Matrix O erweitert werden kann, für die M OS gilt. Z3.2. Transformationssatz für Polarkoordinaten Gegeben ist die Koordinatentransformation Φ(r, φ) (r cos φ, r sin φ). Sei f : 2 stetig. Man zeige: Ist f absolut integrierbar, so gilt: 2 f(x)dx falls die iterierten Integrale existieren. 2π f(r cos φ, r sin φ)r dφ dr,

2 Die Koordinatentransformation Φ ist auf der offenen Menge 2 stetig differenzierbar. Zunächst betrachten wir die kompakte J-messbare Menge B () und suchen ein A 2, so dass B () Φ(A). Z.B. A [, ] [, 2π] erfüllt dies und ist zugleich kompakt und J-messbar. Außerdem ist N : A eine J-Nullmenge und wegen det J Φ (r, φ) r für r > ist Φ A regulär. Die Injektivität ist klar, da für (r, φ) A, sowohl r > als auch φ (, 2π) ist. Somit sind die Voraussetzungen des Transformationssatzes erfüllt, es gilt B ()Φ(A) f(x)d 2 x Transf. [,] [,2π] f(φ(r, φ)) det J Φ (r, φ) d(r, φ) ubini 2π f(r cos φ, r sin φ)rdφdr. Da f absolut integrierbar ist, gilt für jede ausschöpfende olge (A k ) des 2, dass f(x)d 2 x f(x)d 2 x 2 A k Insbesondere erhalten wir für A k B k (), dass 2 f(x)d 2 x 2π B k () k f(x)d 2 x f(r cos φ, r sin φ)rdφdr. 2π f(r cos φ, r sin φ)rdφdr Z3.3. Uneigentliche Integrale (a) Berechnen Sie das Integral von f(x, y) e y2 über A {(x, y) 2 x y}. (b) ür welche Werte von α > existiert für f : d \ {}, f(x) x, das Integral α über die Einheitskugel, f(x)d d x, d, 2, 3? x (a) A k : { x y k}, k N, ist eine für f geeignete ausschöpfende olge von A, f ist stetig und positiv, also gilt A f(x, y)d(x, y) def A k k y e y2 d(x, y) ubini dy dx e y2 k y k dy e y2 dx dy ye y2 [ 2 e y2] k 2. (b) d : ür nichtnegative unktionen auf ist absolut iemann-integrierbar dasselbe wie uneigentlich iemann-integrierbar (Analysis ). Somit ist x α dx { 2 α < für α <, für α.

3 d 2: x x α d2 x auschöpf. ubini k x k x α d2 x Transf. 2π dr rα [ k,] [,2π] { 2π 2 α für α < 2, für α 2. rd(r, φ) rα d 3: x α d3 x x auschöpf. ubini k x k r x α d3 x Transf. π dr α 2 sin θ dθ 2π [ k,] [,π] [,2π] dφ r α r2 sin θd(r, θ, φ) { 4π 3 α für α < 3, für α 3. Tutoraufgaben T3.. Gegenbeispiel zu ubini für < y < x, x 2 Sei f : [, ] 2, f(x, y) für < x < y, y 2 für x y, xy. (a) Berechnen Sie das Doppelintegral von f auf [, ] 2 für beide Integrationsreihenfolgen. (b) Was bedeutet dies für die Integrierbarkeit von f auf [, ] 2? ür welche ausschöpfende olge ergibt sich im Limes? (c) Veranschaulichen Sie das Ergebnis, in dem Sie das Integral von f ± auf [, ] 2 berechnen. (a) Man erhält dx dy f(x, y) dx x dy x 2 x dy y 2 ( x + [ y ] x ) dx und dy dx f(x, y) dy y dx( ) + y 2 y dx x 2 ( x [ y ] x ) dx. (b) Die beiden Ergebnisse sind nicht gleich. f kann also nicht (absolut) integrierbar sein auf [, ] 2. Da f unbeschränkt ist, braucht man ausschöpfende olgen. Das erste Doppelintegral ist der Grenzwert der Integrale auf der ausschöpfenden olge [ k, ] [, ], dass zweite Integral ergibt sich als Limes der Integrale auf der ausschöpfenden olge [, ] [ k, ]. Auf jeder dieser Mengen ist f eigentlich iemann-integrierbar. Es kann nur daran liegen, dass f nicht positiv ist. (c) dx dy f + (x, y) dx x dy x 2 xdx.

4 Das gleiche Ergebnis erhält man für f. Das Volumen unter dem positiven Teil von f ist also unendlich groß, genau wie das Volumen über dem negativen Teil. Beim Versuch zu berechnen hängt das Ergebnis davon ab in welcher eihenfolge man aufsummiert. Aus Symmetriegründen (f ist antisymmetrisch bezüglich der Diagonalen, f(x, y) f(y, x)) würde man erwarten, dass das Integral Null ergeben sollte, aber das ist ungefähr so gut begründet wie die Behauptung das der Grenzwert der olge ( ) k aus Symmetriegründen Null ist. T3.2. Trägheitsmoment der Kugel Man berechne das Trägheitsmoment einer Kugel mit adius bezüglich der z-achse, I zz (x 2 + y 2 )d(x, y, z). B () r sin θ cos φ Parametrisierung durch Kugelkoordinaten: Φ(r, θ, φ) r sin θ sin φ wobei, wie bekannt, det DΦ(r, θ, φ) r 2 sin θ. r cos θ Integrationsbereich: B () Φ([, ] [, π] [, 2π] ) N : A ist J-Nullmenge und Φ }{{} ist auf A A \ A injektiv und regulär. Integrand: f Φ(r, θ, φ) (r sin θ cos φ) 2 + (r sin θ sin φ) 2 r 2 sin 2 θ. Somit ist I zz ubini T3.3. Transformationssatz B () 2π dφ :A f(x, y, z)dxdydz Transf.f. π sin 3 θdθ A r 2 sin 2 θ r 2 sin θ dφdθdr r 4 dr 2π π5. Wenden Sie jeweils den Transformationssatz aus der Vorlesung an, um die folgenden Integrale zu berechnen. Man wähle geeignete ausschöpfende olgen. (a) x 2 dx, Transformation g : ( π 2, π 2 ) (, ), g(u) sin u. (b) [,] (+x 2 ) 2 dx, Transformation g(t) tan t.

5 (c) vol(b) mit B {(x, y) 2 x y2 4 } direkt und mit der Transformation g : + 2, g(u, v) (u 2 v 2, 2uv). (a) g ist Diffeomorphismus, det J g (u) g (u) cos u für u ( π 2, π 2 ). A k [ π 2 + k, π 2 k ] ist ausschöpfende olge von [ π 2, π 2 ] und g(a n) ist ausschöpfende olge von [, ]. Somit gilt x 2 dx x 2 dx Transf. g(u) 2 det J g (u) du [,] g(a k ) π 2 k π 2 + k A k sin 2 u cos u du π 2 π 2 cos 2 u du π 2. (b) g eingeschränkt auf ( π 2, π 2 ) ist Diffeomorphismus, det J g(u) g (u) cos 2 u. A k [ π 2 + k, π 2 k ] ist ausschöpfende olge von [ π 2, π 2 ] und g(a n) ist ausschöpfende olge von. Somit gilt (c) direkt: ( + x 2 dx ) 2 vol(b) B g(a k ) π 2 k π 2 + k d 2 x 2 2 dy Transf. ( + x 2 dx ) 2 A k du cos 2 u( + sin2 u cos 2 )2 u y2 4 + y2 4 dx 2 2 π 2 π 2 ( + g(u) 2 ) 2 det J g(u) du cos 2 u du π 2. (2 y )dy Die angegebenen Transformation ist ein Diffeomorphismus. Anschaulich ist das klar, da die Quadratfunktion die komplexe Halbebene mit e(z) > bijektiv auf die geschlitzte komplexe Ebene C\ abbildet. Beweis durch Angabe der Umkehrfunktion: x x g (x, y) (e( x + iy), Im( x + iy) 2 + y 2 + x, sgn(y) 2 + y 2 x. 2 2 Die Jacobi-Determinante ist ( det J g (u, v) 2u det 2v ) 2v 4(u 2 + v 2 ). 2u Außerdem ist, siehe Zeichnung, B g(a) mit A (, ] [, ]. Da der and von A und g(a) jeweils eine Nullmenge ist, gilt B d 2 x g(a) d 2 x ( ) A det J g (u, v) dudv 4 du dv(u 2 + v 2 ) 4( ) 6 3. Der Zwischenschritt über die ausschöpfende olge A k [ k, ] [, ], für die auch g(a k ) eine ausschöpfende olge von B ist, wurde bei ( ) weggelassen.

6 Hausaufgaben H3.. Trägheitsmoment eines hyperbolischen Achtecks Das Trägheitsmoment einer läche 2 bezüglich otation um den Ursprung ist (x 2 + y 2 )dxdy Sei nun : {(x, y) 2 : x 2 y 2, 2xy }. (a) Skizzieren Sie die Menge. (b) Berechnen Sie den Schwerpunkt von. Hinweis: Symmetrie. (c) Berechnen Sie das Trägheitsmoment von bezüglich des Ursprungs. Hinweis: Koordinatentransformation u x 2 y 2, v 2xy für ein geeignetes Teilstück von. (a) wird durch 8 Hyperbeläste begrenzt..5 y x.5..5 (b) ist kompakt und Jordan-messbar. Die Integrale xdxdy und ydxdy existieren also. Wir wenden die Transformationsformel auf die Abbildung Ψ(x, y) ( x, y) an. Dann ist Ψ( ) und damit x dx dy xdxdy Ψ (x, y) det DΨ(x, y) dxdy Ψ( ) ( x)dxdy xdxdy und damit xdxdy. Analog erhält man y dx dy. Der Schwerpunkt liegt also wegen den Spiegelsymmetrien im Ursprung. (c) ür das Trägheitsmoment von wählen wir die Koordinatentransformation Φ(x, y) (x 2 y 2, 2xy). Wir berechnen nun das Trägheitsmoment von + : ( + ) 2 mit Hilfe der Transformationsformel für Φ, wobei Φ( + ) (, ) [, ], und ( ) 2x 2y det DΦ(x, y) det 4(x 2 + y 2 ). 2y 2x

7 (x 2 + y 2 ) dx dy + (x 2 + y 2 ) Φ (u,v) det DΦ (u, v) dudv Φ( + ) det DΦ(Φ (u, v)) det DΦ (u, v)dudv det D(Φ(Φ (u, v)))dudv 2 4. Somit ist (x2 + y 2 )dxdy H3.2. Newtonsches Theorem Ein Kugelsternhaufen habe die radialsymmetrische mittlere Massendichte m(x) ρ( x ), mit ρ : + + stetig, r3 ρ(r) für r. Das Gravitationspotential ist V (x) : 3 m(y) x y d3 y, x 3. Die Masse M() innerhalb der Kugel mit adius ist M() 4π ρ(r)r 2 dr <. Das Newtonsche Theorem besagt, dass die Gravitationskraft in einem Punkt mit Abstand vom Ursprung dieselbe ist, wie die durch eine im Ursprung vereinigte Masse M() verursachte Kraft, also für x grad V (x) M() 2 (a) Berechnen Sie v() : V (,, ) mit Hilfe von Kugelkoordinaten und der den 3 ausschöpfenden olge B k {y 3 y C k }, C k [, k ] [ + k, k]. (Ergebnis: v() M() 4π ρ(r)rdr.) x. Hinweis: Man benutze θ r r cos θ r sin θ r r cos θ. (b) Aus Symmetriegründen ist V (x) V (,, x ). Zeigen Sie, dass grad V (x) M( x ) x 3 x. r sin θ cos φ (a) In Kugelkoordinaten Φ(r, θ, φ) r sin θ sin φ ist det J Φ (r, θ, φ) r 2 sin θ. r cos θ Der Nenner des Integranden von V (,, ) lautet in Kugelkoordinaten für y 3 y r sin θ cos φ r sin θ cos φ r cos θ r 2 sin 2 θ + ( r cos θ) 2 r r cos θ. Auf der angegebenen ausschöpfenden olge B k ist der Integrand iemann-integrierbar.

8 Mit der Transformationsformel erhält man ρ() V (,, ) (,, ) y d3 y 3 C k 2π 2π 2π π dr C k dθ 2π ( r π ρ(r) C k C k B k ρ() (,, ) y d3 y ρ(r)r 2 sin θ dφ r r cos θ r sin θ r r cos θ dθ ) dr [ π ρ(r)r r r cos θ] dr ρ(r)r(r + r )dr 2π 4π k 2ρ(r)r 2 dr + 2π ρ(r)r 2 dr + 4π k + k ρ(r)r dr. 2ρ(r)r dr Das zweite Integral existiert, da rρ(r) o(r 2 ), also integrierbar auf +. Somit ist v() M() 4π ρ(r)rdr (b) Die Kettenregel ergibt Wegen M () 4πρ() 2 gilt grad V (x) grad v( x ) v ( x ) x x. v () M () + M() 2 + 4πρ() M() 2 und man erhält grad V (x) M( x ) x 3 x, was in der Tat der Gravitationskraft eines Massenpunktes im Ursprung mit Masse M( x ) entspricht.