Friedrich U. Mathiak. Baudynamik. Einführung und Grundlagen

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1 rierih U. Mathiak Bauynaik Einführung un Grunlagen

2 Bauynaik Einführung un Grunlagen rierih U. Mathiak Das Werk, einshließlih aller seiner Teile, ist urheberrehtlih geshützt. Jee Verwertung außerhalb er engen Grenzen es Urheberrehtsgesetzes ist ohne Zustiung es Autors unzulässig un strafbar. Dies gilt insbesonere für Verielfältigungen, Übersetzungen, Mikroerfilungen un ie Einspeiherung un Verarbeitung in elektronishen Systeen.. Auflage Neubranenburg ahhohshule Neubranenburg Prof. Dr.-Ing. rierih U. Mathiak ahbereih: Bauingenieur- un Veressungswesen Postanshrift: ahhohshule Neubranenburg Sekretariat BV Broaer Straße D-79 Neubranenburg Tel.: (395) 5693-()-3

3 INHALTSVERZEIHNIS I INHALTSVERZEIHNIS LITERATURVERZEIHNIS EINLEITUNG -. Lasten i Bauingenieurwesen -.. Haronishe Lasten -3.. Perioishe Lasten Transiente Lasten Ipulsförige Belastungen -3 DIE KINEMATIK DES PUNKTES -. Allgeeines -. Die Geshwinigkeit -.3 Die Bogenlänge -3.4 Die Beshleunigung -6.5 Geshwinigkeit un Beshleunigung eines Punktes in ershieenen Koorinatensysteen Zeitabhängige Basissystee Kartesishe Koorinaten Zylinerkoorinaten Natürlihe Koorinaten (Begleitenes Dreibein) -.6 reiheitsgrae Definition Der frei i Rau beweglihe Punkt Der auf einer lähe beweglihe Punkt Der auf einer Kure beweglihe Punkt Der starre Körper Der eforierbare Körper -8.7 Die Bewegung es starren Körpers -8.8 Ebene Bewegungen -.8. Definition -.8. Kreisbewegung eines Punktes Rotation eines starren Körpers u eine feste Ahse Translation eines starren Körpers Allgeeine ebene Bewegung eines starren Körpers Satz o Moentanzentru -7.9 Die Kineatik er Relatibewegung eines Punktes -3 3 GRUNDLAGEN DER KINETIK 3-3. Allgeeines 3-3. Newtons Gesetze Massenoente.ten Graes Transforation hinsihtlih paralleler Ahsen (Satz on Steiner) Transforation hinsihtlih gerehter Ahsen Beispiele zur Berehnung on Massenträgheitsoenten Der Ipuls Der Drehipuls oer Drall Der Arbeits- un Energiebegriff Allgeeines Die Arbeit einer Kraft Die Arbeit eines Kräftepaares it e Moent M Das Potential einer Kraft Das Potential einer Gewihtskraft Das Potential einer eerkraft Kinetishe Energie Leistung KINETIK DER STARREN KÖRPER 4-4. Allgeeines 4-4. Der Shwerpunktsatz Drallsatz 4-3

4 II INHALTSVERZEIHNIS 5 Der ARBEITSSATZ ÜR STARRE KÖRPER 5-5. Energiesatz für Shwerekräfte 5-6 Die LAGRANGESHEN BEWEGUNGSGLEIHUNGEN 6-7 SHWINGUNGEN 7-7. Definitionen 7-7. Darstellung on Shwingungsorgängen Das Ausshlag-Zeit-Diagra Phasenkuren un Phasenporträt Einteilung er Shwingungen Haronishe Shwingungen Überlagerung haronisher Shwingungen Moulierte Shwingungen 7-8 REIE SHWINGUNGEN MIT EINEM REIHEITSGRAD 8-8. Der ungeäpfte Einassenshwinger Angenäherte Berüksihtigung er eerasse Darstellung er Lösung in er Phasenebene Energiebeziehungen Kontinuierlihe Systee un ihre äquialenten Einassenshwinger Der geäpfte Einassenshwinger ERZWUNGENE SHWINGUNGEN MIT EINEM REIHEITSGRAD 9-9. Erzwungene ungeäpfte Shwingungen Die Vergrößerungsfunktion Erzwungene geäpfte Shwingungen 9- SPEZIELLE SYSTEM-ERREGUNGEN -. Ranerregung einer Masse über eer un Däpfer -. Ranerregung einer Masse über en ußpunkt on eer un Däpfer, ußpunkterregung -6.3 elerregung on eer un Däpfer urh eine Unwuht -.4 Erregung urh eine Sprungfunktion -3.5 Erregung urh eine Stoßfunktion -8.6 Der ieale Rehtekstoß - ERREGUNG DURH NIHTHARMONISHE PERIODISHE KRÄTE - NIHTPERIODISHE ERREGERKRÄTE -. Darstellung es Stoßes urh ie Dirashe δ- unktion -. Allgeeine Erregerfunktionen -4 3 SHWINGUNGSISOLIERUNG VON GEBÄUDEN UND MASHINEN 3-3. Aktie Entstörung 3-3. Passie Entstörung Isolierung on Stößen GEKOPPELTE SHWINGUNGEN MIT SPEZIELL ZWEI REIHEITSGRADEN 4-4. reie ungeäpfte Shwingungen 4-5 GEKOPPELTE SHWINGUNGEN MIT N REIHEITSGRADEN 5-5. Allgeeines 5-5. reie ungeäpfte Shwingungen Entkopplung er Bewegungsgleihungen Das spezielle Eigenwertproble Erzwungene ungeäpfte Shwingungen DAS TRANSVERSAL SHWINGENDE SEIL 6-6. Die Bewegungsgleihung es Seils 6-6. Die 'Alebertshe Lösung es transersal shwingenen Seils Die Prouktlösung es transersal shwingenen Seils 6-

5 INHALTSVERZEIHNIS III 7 LONGITUDINALSHWINGUNGEN VON STÄBEN 7-7. Die 'Alebertshe Lösung es longituinal shwingenen Stabes Die Prouktlösung er Bewegungsgleihung DER TRANSVERSAL SHWINGENDE BALKEN 8-8. Die Prouktlösung er Bewegungsgleihung 8-4 MATHEMATISHER ANHANG A KOMPLEXE ZAHLEN A. Aition kopleer Zahlen 3 A. Multiplikation kopleer Zahlen 3 A.3 Diision kopleer Zahlen 4 B REHENREGELN ÜR MATRIZEN 9 B. Die inerse Matri 5 B. Deterinanten 9 LINEARE GLEIHUNGSSYSTEME 3 D OURIERREIHEN 3 E INTEGRALTRANSORMATIONEN 33 E. Die ourier-transforation 34 E. Die Laplae-Transforation 36 E.. Laplae-Transforationen on Ableitungen 4 INDEX DEUTSH-ENGLISH; ENGLISH-DEUTSH

6 8-8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra 8. Der ungeäpfte Einassenshwinger Wir betrahten as in Abb. 8- skizzierte shwingungsfähige Syste, as aus einer linearen eer it er eersteifigkeit un einer Masse besteht, on er wir annehen, aß sie reibungsfrei gelagert ist (µ ). Die Lagekoorinate s beshreibt ie horizontale Auslenkung es Shwerpunktes er Masse. ür s sei ie eer entspannt. Das Syste besitzt nur einen reiheitsgra, ie Koorinate s. Abb. 8- Der ungeäpfte Einassenshwinger U en Shwerpunktsatz anwenen zu können, uß ie Masse koplett freigeshnitten weren. Der Shwerpunktsatz in - Rihtung liefert: && && S S + && + S S S S un it er Abkürzung

7 8-8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra folgt Gl. 8- & + Gl. 8- S S In Gl. 8- heißt Eigenkreisfrequenz es ungeäpften Systes. Gl. 8- entspriht einer linearen gewöhnlihen hoogenen Differentialgleihung. Ornung it konstanten Koeffizienten. ür iesen Typ eistiert in er Matheatik eine abgeshlossene Theorie. I Zusaenhang it linearen Differentialgleihungen gilt as Superpositionsprinzip, welhes besagt, aß bei Kenntnis zweier linear unabhängiger Lösungen ( s, un s, ) er Differentialgleihung auh jee Linearkobination s s, + s, it beliebigen Konstanten (hier, ) Lösung on Gl. 8- ist. Wie urh Differentiation leiht nahgewiesen weren kann, ist S (t) sin t + os t A os( t - ϕ) Gl. 8-3 Lösung on Gl. 8-. Einalige Differentiation on Gl. 8-3 nah t liefert ie Geshwinigkeit & (t) ost - sin t -Asin( t - ϕ) Gl. 8-4 S Die beien noh freien Konstanten, (oer A, ϕ) weren aus en Anfangswerten es Systes bestit. Wir lösen also ein Anfangswertproble (AWP). Es sei: (t ) S & (t ) S fi fi Dait erhalten wir ie ollstänige Lösung unseres Probles: S(t) sin t + ost & (t) ost - sin t S Gl. 8-5 Die Auswertung er Bewegungsgleihung für ie Auslenkung A os( t - ϕ) un ie Geshwinigkeit & -Asin( t - ϕ) it A.5, s - un ϕ π / 4 zeigt Abb. 8-. s s

8 8-3 Abb. 8- Der ungeäpfte Einassenshwinger Shwingungsauer T: T π π Gl. 8-6 Eigenfrequenz f: f T π Gl. 8-7 Aplitue A: A + + Gl. 8-8 Nullphasenwinkel ϕ: tan ϕ fi ϕ artan Gl. 8-9 Die Shwingungsauer T un ie requenz f hängen nur on en Systewerten, niht aber on en Anfangsbeingungen ab. Aus iese Grune wir f auh Eigenfrequenz genannt. Steht ie Masse unter Eigengewiht, ann ist wie folgt zu erfahren. Wir betrahten azu en Einassenshwinger nah Abb. 8-3 it einer asselosen eer in ertikaler Lage. Die

9 8-4 8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra eer sei bei entspannt. Die Enasse it er Gewihtskraft G g führt bei quasistatisher Aufbringung er Last zu er ausgelenkten Gleihgewihtslage G g st Gl. 8- Abb. 8-3 eer-masse-syste unter Eigengewiht U en Shwerpunktsatz anwenen zu können, uß freigeshnitten weren. && + g && + && + G + g g un it erhalten wir zunähst & Gl. 8- & + g Diese inhoogene DGL ersuhen wir urh ie Koorinatentransforation st + Gl. 8- ˆ in eine hoogene DGL entsprehen Gl. 8- zu überführen. Unter Beahtung on & & ˆ folgt aus Gl. 8- it Gl. 8- & ˆ & un

10 8-5 && ˆ + ( + ˆ ) g & ˆ + st ˆ g st g g un ait ˆ & + ˆ & Gl. 8-3 was Gl. 8- entspriht. Dait erhalten wir folgenen Satz: Bei Bezugnahe er Shwingung auf ie statishe Ruhelage entfällt er Einfluß es Eigengewihtes. Abb. 8-4 Haronishe Shwingung u ie statishe Ruhelage Mit ˆ(t) sin t + os t ˆ(t) & os t - sin t führt ie Masse Shwingungen u ie statishe Ruhelage st aus. Die Konstanten errehnen sih wieer aus en Anfangsbeingungen. Von besonere Interesse ist noh ie eerkraft [ + ˆ (t)] [ + sin t + ost] (t) (t) st st Gl. 8-4 Sie nit an en Ukehrpunkten on ˆ (t) etreale Werte an. Wir z.b. ie Masse bei entspannter eer ( ) ohne Anfangsgeshwinigkeit ( ) losgelassen, so gelten ie Anfangsbeingungen

11 8-6 8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra un ait nah Gl. 8-4 ˆ () ˆ & () st st (t) [ + ˆ (t)] [ - os t] [ - ost] G[ - os t] st st st st Hinweis: Die eerkräfte shwanken also zwishen en Werten (t) st G. Sie wahsen ait i ynaishen all auf en oppelten Wert er statishen Belastung. An ieser Stelle zeigt sih besoners eutlih er Untershie zwishen statisher un ynaisher Beanspruhung. Wir wollen noh eine für praktishe Anwenungen wihtige Näherungsforel herleiten. Dazu wir Gl. 8- it Gl. 8- ufort un ait st g g g fi f π π st st g Gl. 8-5 Abb. 8-5 Eigenfrequenz in Abhängigkeit on er statishen Auslenkung

12 8-7 Dait haben wir eine einfahe Abshätzung für ie erste Eigenfrequenz eines Einassenshwingers bei Kenntnis er statishen Durhsenkung gewonnen, wenn ie Shwingung in Kraftrihtung erfolgt. Aus Gl. 8-5 folgt weiter it g 98 s - un st in [] g 5 f» [s - ] Gl. 8-6 π st st Beispiel: 8- ür en beiseitig rehbar gelagerte Stahlträger IPE 36 it er Einzelasse in Balkenitte wir näherungsweise ie. Eigenfrequenz gesuht. Geg.: E N/, I yy 67 4, Lösung: Die statishe Auslenkung ist: l 5,, 5 kg 3 3 Gl st w( l ), EI 48, Aus Gl. 8-6 oer Abb. 8-5 folgt: f» 8,8s.37 yy Abb. 8-6 Träger auf zwei Stützen it Einzelasse in elitte 8.. Energiebeziehungen ür ie ungeäpften freien Shwingungen gilt er Satz on er Erhaltung er ehanishen Energie: E + U konst, a währen es Bewegungsorganges e Syste weer Energie zugeführt noh entzogen wir. ür as eer-masse-syste gilt: E & U Gl. 8-7 Unter Beahtung on

13 8-8 8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra (t) A os( t - ϕ) (t) & -Asin( t - ϕ) folgt ann E U A A sin ( t - ϕ) os ( t - ϕ) A sin ( t - ϕ) Gl. 8-8 un ait + U A E konst. Gl. 8-9 E Die obige Gleihung läßt sih anshaulih arstellen (Abb. 8-7), wenn wir ie potentielle Energie U als unktion on auftragen. Das ist eine quaratishe Parabel it e Sheitelpunkt bei. Die Shnittpunkte er Parabel it er Parallelen zur -Ahse i Abstan E liefern ie Werte für ie Aplitue A, ie aus en Anfangsbeingungen zu eritteln ist. Die Auslenkungen bewegen sih i Bereih A A. Aus ieser Darstellung lassen sih zu jee -Wert ie Werte für ie potentielle un ie kinetishe Energie ablesen. Abb. 8-7: Energiehaushalt eines Einassenshwinger Übrigens hätten wir ie Bewegungsgleihung es ungeäpften Einassenshwingers auh it Hilfe es Energieerhaltungssatzes in er ifferentiellen or, also

14 8-9 E & + U & irekt herleiten können. Dazu ist es niht erforerlih, as Syste zu zershneien, wie ies bei er Anwenung es Shwerpunktsatzes unabingbar ist. Unter Beahtung on Gl. 8-9 erhalten wir urh Differentiation naht er Zeit t E& &&& U& & un ait: E & + U& &&& + & ( & & + ). Mit & (t) für alle t erbleibt ie bereits bekannte Differentialgleihung es ungeäpften Einassenshwingers: && Angenäherte Berüksihtigung er eerasse Bei en bisherigen Berehnungen wure ie eerasse gegenüber er Einzelasse ernahlässigt. Der ehler ist ann gering, wenn << ist. In en folgenen Untersuhungen soll näherungsweise er Einfluß er eerasse auf ie Eigenkreisfrequenz erittelt weren. Abb. 8-8 Berüksihtigung er eerasse bei er Berehnung er Eigenkreisfrequenz

15 8-8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra U hier eine Abshätzung i integralen Mittel orzunehen, bietet sih ie Energieethoe an. Ausgangspunkt für unsere Untersuhungen ist er Energieerhaltungssatz in er or & Gl. 8- E + U & Die Koorinate (t) bezeihnet ie Auslenkung er Masse aus er entspannten eerlage un a ie Masse a eerene befestigt ist enah auh ie Auslenkung es eerenpunktes. ür ie Auslenkung u(ξ,t) es Masseneleentes er eer ist ein geeigneter Vershiebungsansatz zu wählen, er niht nur on er betrahteten Stelle ξ, sonern auh noh on er Zeit t abhängt. Wir hierfür er Näherungsansatz in Prouktfor u( ξ, t) (t) h( ξ) u(t, ξ ) (t) & h( ξ) & Gl. 8- geaht, ann kann über ie Verteilungsfunktion h(ξ) noh erfügt weren. Die kinetishe Energie es Systes setzt sih aus kinetisher Energie er Masse un kinetisher Energie er eer it en Masseneleenten zusaen. E [& + u& ( ) ] Gl. 8- Berüksihtigung on Gl. 8- liefert & E [ + h ( ξ)] ( ) Gl. 8-3 Das Potential U wir aus e Potential er eerkraft un e Potential er Gewihtskraft gebilet U U + U G g Gl. 8-4 Aus e Energieerhaltungsatz folgt ann oer ugeornet E& + U& & && + h ( ξ) + & g& ( )

16 8- & [( + h ( ξ)) & + - g] ( ) Da i allgeeinen für alle Zeiten t & geforert weren uß, gilt + h ( ) & + - g Ł ( ) ł ξ Gl. 8-5 Das ist foral ieselbe Bewegungsgleihung wie Gl. 8-, allerings it + κ ; κ h ( ξ) Gl. 8-6 ( ) U as Integral in Gl. 8-5 auswerten zu können, setzen wir ξ ξ h( ξ ) u( t, ξ) (t) ( ξ l ) Gl. 8-7 l l Dait wir ie Verteilung on u(t,ξ) linear eränerlih über ie eerlänge l angenoen (Abb. 8-8). Ist ie Massenbelegung er eer in Längsrihtung konstant, ann können wir näherungsweise l ξ ξ l Gl. 8-8 setzten. Berüksihtigung on Gl. 8-8 un Gl. 8-7 liefert ( ) h ( ξ) l ξ l l ξ ξ l 3 l ξ ξ ξ 3 Gl. 8-9 un Gl. 8-5 geht shließlih über in && g Gl. 8-3 so aß wir it

17 8-8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra ˆ + 3 < Gl. 8-3 eine erste Abshätzung es Einflusses er eerasse auf ie Eigenkreisfrequenz es Einassenshwingers ornehen können. Soll also ie eerasse bei Longituinalshwingungen näherungsweise berüksihtigt weren, ann ist zur Einzelasse ein Drittel er eerasse zu aieren. Auh wenn ist, können ie obigen Beziehungen beibehalten weren, ann shwingt ie assebehaftete eer näherungsweise so, als ob ein Drittel er eerasse a Ene befestigt wäre Darstellung er Lösung in er Phasenebene Die allgeeine Lösung ieses Systes für ie Auslenkung (t) ist nah Gl. 8-3 (t) Asos( t - ϕ); (t) & (t) -Asin( t - ϕ) Abb. 8-9 Phasenkure einer Sinusshwingung Durh Quarieren un aieren erhalten wir araus A (A) + Gl. 8-3 In er Phasenebene stellt ie Shwingung eine Ellipse it en beien Halbahsen A un A (Abb. 8-9) ar. Bei haronishen Shwingungen ist ie Phasenkure geshlossen.

18 eershaltungen elastisher eern Abb. 8- Lineare eer Unter linear elastishen eern erstehen wir iealisierte ehanishe Gebile, bei enen eine angreifene Kraft eine Auslenkung s herorruft. In er eer stellt sih eine eerkraft o Betrag ein, ie er Verlängerung bzw. er Verkürzung proportional ist. Es gilt also: un wir nennen s Gl s ie lineare eerkonstante, eine für jee eer harakteristishe Größe. [ ] Masse, (Zeit) Einheitkgs N ür ie Shraubenrukfeer it Kreisquershnitt nah (Abb. 8-) gilt ohne Nahweis für ie ertikale bzw. horizontale eerkonstante G 8 i D 4 z 3 Gl. 8-34

19 8-4 8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra Abb. 8- Shraubenrukfeer DIN 89 D z L L z η z i G Drahturhesser ittlerer Winungsurhesser ertikaler eerweg er Last z eerweg quer zur eerahse in Rihtung freie Höhe er eer L - z eerhöhe unter er Last z z /z ertikale eerkonstante / horizontale eerkonstante k /k z Verhältnis er eerkonstanten ertikale Last horizontale Last Anzahl er feernen Winungen Shuboul Sin ehrere eern zusaengeshaltet, so ist es on Vorteil, iese eern zu einer resultierenen eersteifigkeit zusaenzufassen. Dabei wir zwishen Parallel- un Reihenshaltung untershieen.

20 8-5 Abb. 8- Parallelshaltung gleihlanger eern Eine Parallelshaltung on eern liegt or, wenn ehrere elastishe eern so zusaengeshaltet weren, aß alle eern ieselbe Auslenkung s s... s n s erfahren. Dann aieren sih ihre eerkräfte i i s zur Gesatkraft s s s s s s res n i i n i i n n i i L n i res i Gl Reihenshaltung oer Hintereinanershaltung beeutet, aß ehrere eern so zusaengeshaltet weren, aß sih ihre Längenänerungen aieren. Die Gesatauslenkung ist wegen er gleihen Längskraft in allen eern Abb. 8-3 Reihenshaltung res n i i n s L

21 8-6 8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra res n i i Gl Übungsorshlag 8- ür ie skizzierten Systee sin ie resultierenen eersteifigkeiten zu eritteln 8.. Kontinuierlihe Systee un ihre äquialenten Einassenshwinger Auh elastishen Stäben un Balken als kontinuierlihe Systee können eersteifigkeiten zugeornet weren. Ist ie eigene Masse es Balkens gegenüber er abzutragenen Einzelasse (Abb. 8-4) ernahlässigbar klein, ann läßt sih ein solhes Tragsyste näherungsweise urh einen Einassenshwinger oellieren. Wir betrahten azu en Balken in Abb Der Kragträger wir a rehten Ran urh eine Einzelasse it er Gewihtskraft g belastet. Zur Erittlung er Ersatzsteifigkeit * benötigen wir ie Durhbiegung es * / f. Bei oben skizzier- Stabenes infolge. Die Ersatzsteifigkeit ergibt sih ann zu ten Kragträger it Enbelastung gilt: Bei kontinuierlihen Systeen sin Masse, Steifigkeit un Däpfung kontinuierlih erteilt. Beispiele sin Saiten, Stäbe, Balken, Platten, Sheiben un Shalen.

22 8-7 3EI yy 3 f l. Abb. 8-4 Bilung eines Ersatzsystes bei Biegebalken ür en Dehnstab nah Abb. 8-5 gilt it N f l l un er Noralkraft N EA f EA l Abb. 8-5 Ersatzsteifigkeit für en Dehnstab Übungsorshlag 8-: Eritteln Sie für as skizzierten Systee ie eersteifigkeit es äquialenten Einassenshwingers

23 8-8 8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra 8.3 Der geäpfte Einassenshwinger Bei frei shwingenen Systeen beobahten wir, aß ie Shwingungsaplituen it er Zeit abnehen. Auh bei erzwungenen Shwingungen ist äußere Arbeit zur Aufrehterhaltung einer konstanten Aplitue erforerlih. Ursahe ieser Ersheinung ist ie Dissipation ehanisher Arbeit urh Reibung er shwingenen Struktur i ugebenen Meiu, urh Reibung in Verbinungen oer Kontaktflähen un urh en Werkstoff (z. B. Stahlbeton) selbst. Bei er Werkstoffäpfung, wir untershieen zwishen er Hysterese un er plastishen Verforung es Materials. Diese or er Däpfung wir auh als innere Däpfung bezeihnet. Abb. 8-6 Einteilung er Däpfung Bewegt sih ein Körper in einer lüssigkeit oer in eine Gas, so ist ie äpfene Kraft bei hinreihen kleinen Geshwinigkeiten etwa er Geshwinigkeit proportional. An er freigeshnittenen Masse (Abb. 8-7), ie reibungsfrei gelagert sein soll (µ ), greift neben er eerkraft noh ie Däpferkraft D r& an. Die Proportionalitätskonstante r hängt on er or es Körpers un er Viskosität es en Körper ugebenen Meius ab. Als Sybol für ie Däpfung erwenen wir in Anlehnung an en Stoßäpfer eines Autos

24 8-9 einen Däpfertopf. Die Däpfung hat ie Eigenshaft, aß sie e Syste währen es Bewegungsorganges stänig Energie entzieht. Abb. 8-7 Viskos geäpfter Shwinger Nah e reishneien er Masse liefert er Shwerpunktsatz in - Rihtung: && r& && + r& + r && + & + { { δ & Gl & + δ& + oer & Gl & + D& + r δ Abklingkonstante Eigenkreisfrequenz es ungeäpften Systes δ r r D Lehrshes Däpfungsaß Hinweis: In er Rheologie wir ie Parallelshaltung on eer un Däpfer entsprehen Abb. 8-7 auh als Kelin - Moell bezeihnet. Thoas, Sir (seit 866) Willia Lor Kelin of Largs, brit. Physiker, 84-97

25 8-8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra Zur Erittlung er unaentallösungen on Gl ersuhen wir folgenen Ansatz (t) t e Gl er zu folgenen Ableitungen führt t t & Gl. 8-4 (t) e (t); & (t) e (t) t Einsetzen on Gl un Gl. 8-4 in Gl liefert ( + D + )e. Da t e keine Nullstelle besitzt, uß + δ + Gl. 8-4 erfüllt sein. Gl. 8-4 wir harakteristishe Gleihung genannt. Sie hat ie beien Lösungen δ ± δ δ ± D Gl. 8-4, Nah e Superpositionsprinzip für lineare Differentialgleihungen ist ann (t) e ( t t + e ) Gl ie ollstänige Lösung er Gl Die beien noh freien Konstanten un weren aus en Anfangsbeingungen erittelt. ür en all, aß ie beien Lösungen er harakteristishen Gleihung zusaenfallen, also δ ist, reiht er Ansatz nah Gl niht aus, a er nur eine Lösung (Doppelwurzel) liefert. Die ollstänige Lösung es hoogenen Systes uß aber zwei unaentallösungen it zwei beliebigen Konstanten haben, u iese an ie Anfangsbeingungen (t t ) un & (t t ) anpassen zu können. Wir bestätigen urh δt Einsetzen, aß für δ auh (t) te eine unaentallösung on Gl ist. Die ollstänige Lösung lautet ann in iese all (t) δt ( + t) e Gl Je nahe, ob ie Wurzeln er harakteristishen Gleihung reell oer kople sin, weren folgene älle untershieen:

26 8- all a: Starke Däpfung D > ür D > sin beie Wurzeln, in Gl. 8-4 reell un negati. Die Eponenten in Gl sin also für positie t negati. Dait nit ie Auslenkung it anwahsene t ab. ür sehr große t geht (t). In iese all liegt keine Shwingung or, enn (t) wir nah Gl höhstens einal Null, un zwar für e e e e t D )t ( t t > + Da ie rehte Seite it er Eponentialfunktion stetig wähst, uß < geforert weren. Die Integrationskonstanten errehnen sih aus en Anfangsbeingungen für t ) (t ) (t + + & also ; > Der Ausruk wir für < positi, so aß nur für große Beträge negatier Anfangsgeshwinigkeiten ein Nullurhgang on (t) öglih ist (Abb. 8-8). Der Zeitpunkt es Nullurhgangs ist * ln t Diese Bewegungen weren auh Kriehbewegungen genannt.

27 8-8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra Abb. 8-8 Abklingerhalten bei starker Däpfung all b: Grenzfall D Mit D gilt ie Lösung Gl Die Bestiung er Integrationskonstanten erfolgt wieer aus en Anfangsbeingungen (t ) (t & ) D + D un ait ie Lösung (t) Dt [ + ( + D )t] Gl e Auh hier geht (t) für hinreihen große t gegen Null. Die Kuren (t) haben einen ähnlihen Verlauf, wie ie in Abb In er Shwingungslehre haben iese Lösungen keine Beeutung. all : Shwahe Däpfung D < ür D < hat ie harakteristishe Gleihung Gl. 8-4 zwei koplee Wurzeln Gl. 8-46, δ ± i D δ± i In Gl wure ie Eigenkreisfrequenz es geäpften Shwingers D Gl >

28 8-3 eingeführt. I Vergleih zu ungeäpften Syste führt ie Däpfung u.a. azu, aß ie Eigenfrequenz abnit. Einsetzen on Gl in Gl liefert: (t) D ep( -δ + i D ep( -δt) ep(i e ) t + D -δt - ep( -δ - i t) + D ep( -δt) ep( -i t) [ D ep(i t) + D ep( i t) ] ) t Unter Beahtung er Eulershen orel ep( iϕ) os ϕ + isin ϕ folgt (t) e e -δt -δt [ D(ost + isin t) + D (ost - isin t) ] [(D + D )os t + i(d - D )sin t) ] oer it en neuen Konstanten (, bzw. A, ϕ) D i(d + D A osϕ - D ) Asin ϕ (t) e -δt Ae [ os t + sin t) ] -δt os( t - ϕ) Gl Die beien noh freien Konstanten un bestien wir aus en Anfangsbeingungen (t ) (t & ) ( + δ ) -δ + so aß wir als Bewegungsgesetz it A tan ϕ + δ + + Ł ł + δ + δ fi ϕ artan Gl shließlih erhalten

29 8-4 8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra (t) e -δt ( os t + + δ + Ł ł + δ e -δt sin os( t) t - ϕ) Gl. 8-5 Abb. 8-9 Viskos geäpfte Shwingung Ein Vergleih ieser Lösung it e Bewegungsgesetz für ie freie ungeäpfte Shwingung zeigt, aß wir Gl. 8-5 als Shwingung auffassen können, eren Aplitue it e Eponentialgesetz ep( δt) abnit. Die orliegene Bewegung wir auh pseuoperioish genannt, a i Gegensatz zur perioishen Bewegung (t + T) (t) ist. Allerings folgen zwei gleihsinnige Etrewerte nah er Shwingungsauer (Abb. 8-9) T π Gl. 8-5 Da ie Kreisfrequenz er geäpften Shwingung kleiner ist als ie Kreisfrequenz er ungeäpften Shwingung, ist ie Shwingungsauer T größer als iejenige er ungeäpften Shwingung. Die Zeitpunkte, zu enen as Bewegungsgesetz (t) Etrewerte annit, errehnen wir aus Gl Dait ie Shwingung reell wir, üssen D un D konjugiert kople gewählt weren. grieh. ψευδος Betrug, Lüge, Unwahrheit,Täushung.

30 8-5 t (t) & Ae δt [ δ os( t ϕ) + sin( t ϕ) ] un ait: tan( t ϕ) δ. Da er Tangens ie Perioe π hat, erhalten wir t t n ϕ artan δ + nπ (n,,,3 L) Zwishen zwei aufeinanerfolgenen gleihsinnigen Maia oer Minia ergeht ie Zeit (Perioe) δ δ π t n t n artan (n ) artan n + ϕ + + π ϕ + π T Dait läßt sih as Däpfungserhältnis ϑ als Quotient er Beträge zweier aufeinaner folgener Maia oer Minia wie folgt angeben (t ϑ (t ) e δ ) e δ t os( os t ϕ) [ (t + T ) ϕ] e os( os( t ϕ) e t ϕ) n δt δt n+ (t+ T ) konst. Gl. 8-5 Der natürlihe Logarithus es Däpfungserhältnisses ϑ wir nah Gauß logarithishes Dekreent genannt. (t Λ lnϑ ln (t n n+ ) πδ π ) δ δ π D D rπ ( r ) Gl Hinweis: Die Größe Λ kann leiht aus eperientellen Befunen abgeleitet weren. Ist für zwei aufeinanerfolgene Maia oer Minia as logarithishe Dekreent eperientell erittelt woren, so läßt sih ait as Lehrshe Däpfungsaß D aus δ D 4π Λ + Λ Gl berehnen. Wenn für ershieene Zeiten t asselbe Dekreent Λ geessen wir, so ist as ein Zeihen afür, aß ie Däpfung linear ist. arl rierih Gauß, Matheatiker, Astrono un Physiker, lat. ereso abnehen, zurüknehen, sih erinern, shwinen.

31 8-6 8 reie Shwingungen it eine reiheitsgra Wir können aus Gl noh as Verhältnis er Eigenkreisfrequenzen on geäpfter un ungeäpfter Shwingung bilen D + D Gl Tragen wir as Verhältnis über e Lehrshen Däpfungsaß D auf, so erhalten wir einen Viertelkreis it e Raius. Der Abb. 8- entnehen wir, aß sih bei shwah geäpften Systeen ie Eigenfrequenz on er Eigenfrequenz es ungeäpften Systes nur unerheblih untersheiet. Bei Annäherung an en Grenzfall D nit ieses Verhältnis jeoh sehr stark ab. Abb. 8- Zusaenhang zwishen e requenzerhältnis un e Lehrshen Däpfungsaß Bei shwah geäpften Systeen ist noh folgene Näherung on praktishe Interesse. Mit Gl folgt πd D Λ ln ϑ π D πd D Gl un ait bzw. (t ϑ (t n n+ D ) ep( Λ) + Λ + πd ) (t n ) (t n π (t ) n+ ) Gl Gl. 8-58

32 8-7 Baustoff D L Stahl,3...,6,..., Stahlbeton ungerissen,6...,3,4..., gerissen,...,5,6...,3 Mauerwerk,, Holzkonstruktionen,4,5 Tabelle 8- Lehrshes Däpfungsaß un logarithishes Dekreent für einige Baustoffe