Stahlbau Grundlagen. Der Grenzzustand der Stabilität: Einzelstab- und Systemknicken. Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka
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- Heinz Hofer
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1 Stahlbau Grundlagen Der Grenzzustand der Stabilität: Einzelstab- und Systemkniken Pro. Dr.-Ing. Ue E. Dorka
2 Einührung Eine Dahsheibe ird zum statishen System mit asten Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau
3 Einührung Ein mögliher Grenzzustand ist Einzelstabkniken Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 3
4 Einührung Beobahtung im Versuh Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 4
5 Elastishes Einzelstabkniken Einührungsbeispiel: starrer Stab mit Dreheder Stabilität ist Gleihgeiht im ahbarzustand!! Annahmen der elastishen Stabilitätstheorie in der Baustatik: Geometrie: sin os tan ( ϕ) ϕ ( ϕ) ( ϕ) ϕ Werksto: linear elastish: σ E Gleihgeiht: Formulierung am System im ahbarzustand: v ist sehr klein und unbestimmt Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 5
6 Elastishes Einzelstabkniken Einührungsbeispiel: Starrer Stab mit Dreheder Geometrie: Werksto: v ϕ M ϕ ϕ ϕ l GGW im ahbarzustand: M v M ϕ ϕ ( l ) ϕ. ösung (Triviallösung):. ösung (Kniklast): ϕ ϕ l r Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 6
7 Elastishes Einzelstabkniken Kniklast der Kragstütze (Eulerall ) Gleihgeiht im ahbarzustand: M ( x) M( x) Elastizitätstheorie: M '' ( x) EI EI '' + Homogene DG II. Ordnung. Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 7
8 Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 8 ösung der homogenen DG: Eigenert: ösungsansatz: Einarbeitung der Randbedingungen: Elastishes Einzelstabkniken EI '' + EI '' + + x os C x sin C x sin C x os C x os C x sin C '' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) os C sin C sin C C '
9 Elastishes Einzelstabkniken sin ( ) ot os ( ) ( ). ösung (Triviallösung): C sin ( ). ösung ür Knikbedingung: ot Kniklast: Kniklänge: ( ) ; ; ;... π EI Kniklängenbeiert: π 3 π r 5 π EI π 4 EI π l r r r β l π β hier: β, Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 9 EI
10 Elastishes Einzelstabkniken - Knikormen x x C sin + C os mit : C, C sin ( ) sin sin Variable x ( ) Knikorm.Knikorm.Knikorm 3.Knikorm r, EI π ( ) r, maßgebend, da kleinste Kniklast! r, r, EI π (,66 ),66 r,3 r,3 EI π (,4 ),4 Hineis: Knikormen sind Shingungsormen sehr ähnlih, da diese ebenalls Eigenormen einer DG. Ordnung sind. Shingungen kann man sih meist gut vorstellen, deshalb auh Knikormen! Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau
11 Die Eulerälle des Knikens Der Kniklängenbeiert β gestattet es, ein konkret vorliegendes Knikproblem au das Knikproblem eines Ersatzstabes zurükzuühren. Als Ersatzstab ird der Eulerall herangezogen, bei dem β, ist, also l r. r l r l r ot Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau Roik []
12 Elastishes Systemkniken - rihtungstreue Systeme Beispiel: Hallenrahmen Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau
13 Elastishes Systemkniken - rihtungstreue Systeme Antimetrish Symmetrish Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 3
14 Elastishes Systemkniken - rihtungstreue Systeme. Knikorm - antimetrish Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 4
15 Elastishes Systemkniken - rihtungstreue Systeme. Knikorm - antimetrish. Knikorm - symmetrish ormalkratverormungen bei Biegegliedern erden hier vernahlässigt, da sie viel kleiner als die Biegeverormungen sind. Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 5
16 Elastishes Systemkniken - rihtungstreue Systeme Beispiel: Hallenrahmen ormalkratreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer ormalkrat lassen sih in vielen Fällen durh Rotations- oder Translationsedern ersetzen. Vereinahtes System zur Berehnung der. Knikorm Federermittlung ür vorliegendes Beispiel z.b. mit Arbeitsgleihung: ϕ EI ϕ MM dx ϕ EI ( M ) dx b 3 EIR b ϕ EIR 3 3 EIR ϕ b M Roik [] Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 6
17 Elastishes Systemkniken - rihtungstreue Systeme Beispiel: Hallenrahmen ormalkratreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer ormalkrat lassen sih in vielen Fällen durh Rotations- oder Translationsedern ersetzen. Vereinahtes System zur Berehnung der. Knikorm Federermittlung ür vorliegendes Beispiel z.b. mit Arbeitsgleihung: ϕ EI ϕ MM dx ϕ EI ( M ) M dx b EI b ϕ R EIR EIR ϕ b Roik [] Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 7
18 Elastishes Systemkniken - rihtungstreue Systeme Typishe Knikormen und Rükührung au Einzelstäbe mit Endedern bei Rahmen: Die meisten üblihen Stabtragerke lassen sih au den Einzelstab mit Endedern zurükühren, der somit als Grundsystem ür das Systemkniken angesehen erden kann. Für seine Grundälle gibt es analytishe ösungen. Roik [] Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 8
19 Elastishes Systemkniken - rihtungstreue Systeme ösung ür den Grundall mit Dreheder unten, Wegeder oben: GGW am unteren Teilsystem: H : M : Q M x ϕ ϕ Elastizitätstheorie: M EI '' Inhomogene DG II. Ordnung: Allgemeiner ösungsansatz: EI Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 9 '' + x + ϕ ϕ '' '''' '''''' C sin( α x) + C os( α x) M( x) M ( x) M ( x) M ( x)... mit : α α α α C homogener ösungsteil sin ( α x) + C os( α x) + ( ) M x partikular ösungsteil als Taylorreihenentiklung x + ϕ ϕ EI
20 Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 4 Unbekannte erordern 4 Randbedingungen: Elastishes Systemkniken - rihtungstreue Systeme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : M 4. C C : 3. os C sin C :. C C :. ' + ϕ + ϕ + α α ϕ ϕ + + α + α ϕ ϕ ϕ ϕ ( ) ( ) EI EI Abkürzungen : C C os sin A 3 α ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Homogene ösung: Knikbedingung: Kniklängenbeiert : ür Eulerall ( ) A det ( ) ϕ ϕ + tan π β
![Petersen [4] Damit ird das Grundsystem ür das Systemkniken durh den Eulerall](/docs-images/60/45153714/images/21-2.png "ersetzt und der Eulerall zum generellen Ersatzstab. Pro. Dr.-Ing.")
21 Elastishes Systemkniken rihtungstreue Systeme Die ihtigsten Grundälle indet man graish aubereitet in Diagrammen zur Ermittlung von β, zum Beispiel:.. 3. Petersen [4] Damit ird das Grundsystem ür das Systemkniken durh den Eulerall ersetzt und der Eulerall zum generellen Ersatzstab. Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau
22 Elastishes Systemkniken - Poltreue Systeme Bei bestimmten Systemen treten im ahbarzustand systembedingte zusätzlihe Abtriebskräte au, elhe die Kniklast beeinlussen. verkleinert Abtrieb steigert Kniklast steigert Abtrieb verringert Kniklast Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau
23 Elastishes Systemkniken - Poltreue Systeme Beispiel: ängsandverband der Halle Ermittlung der Abtriebskrat H stab,i unteres ager Bei mehreren zu stabilisierenden Stützen Fi HStab,res HStab,i Fi Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 3 M H Stab,i : F i F H i i i Stab,i i i
24 Elastishes Systemkniken - Poltreue Systeme Beispiel: ängsandverband der Halle Grundall Beispiel: Aussteiung der ängsand durh biegesteien Rahmen Pol änge a der Pendelstütze: P a mit P + P H Fi i a P P Fi i Grundall Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 4
25 Der poltreue Ersatzstab Ableitung der Knikbedingung Pol Biegemomente im ahbarzustand: ( ) r + x + a a M x R Elastizitätstheorie: α '' EI + α ösungsansatz: C sin α a M EI x + α ''' + a R r ( ) ( ) r α x + C α + + os x x a a R Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 5
26 Der poltreue Ersatzstab Ableitung der Knikbedingung Pol Randbedingungen: Gl.: ( ) Gl. : ' ( ) Gl.3 : ' ( ) sin A ( α ) os( α ) + a a α R r C C Knikbedingung mit: α β π tan ( ) a + R r Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 6
27 Der poltreue Ersatzstab Die Knikbedingung lässt sih in Abhängigkeit der ängenverhältnisse a / l r graphish darstellen: Erhöhung von r Geährliher Bereih! Abminderung von r Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 7
28 Elastishes Systemkniken - Poltreue Systeme Beispiel ür geährlihen Bereih poltreu: Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 8
29 Elastishes Systemkniken - Poltreue Systeme Beispiel ür geährlihen Bereih poltreu: Abshätzung der rihtungstreuen Kniklänge mit Grundall (poltreue Kniklänge des Rahmens): R r : m m a R r 3 β : 3, β 4, P m! r R r Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 9
30 Inelastishes Kniken mehanisher Hintergrund shlanke Stütze r r shlanke Stütze r Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 3
31 Inelastishes Kniken mehanisher Hintergrund shlanke Stütze r r r shlanke Stütze r Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 3
32 Inelastishes Kniken mehanisher Hintergrund mittelshlanke Stütze mittelshlanke Stütze shlanke Stütze r Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 3
33 Inelastishes Kniken mehanisher Hintergrund mittelshlanke Stütze mittelshlanke Stütze shlanke Stütze r Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 33
34 Inelastishes Kniken mehanisher Hintergrund gedrungene Stütze gedrungene Stütze mittelshlanke Stütze shlanke Stütze r Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 34
35 Inelastishes Kniken mehanisher Hintergrund gedrungene Stütze gedrungene Stütze mittelshlanke Stütze shlanke Stütze r Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 35
36 Inelastishes Kniken mehanisher Hintergrund r r shlanke Stütze r mittelshlanke Stütze r gedrungene Stütze gedrungene Stütze mittelshlanke Stütze shlanke Stütze Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 36
37 Ersatzstabverahren ormierte Knikspannungskurven nah DI E (6.3.) DI E (Bild 6.4) ormierte Größen: κ λ mit : i λ pl I A π pl r i λ E y Abminderungsaktor bez. Shlankheitsgrad Trägheitsradius Bezugsshlankheitsgrad Zuordnung der Quershnittormen zu den Knikspannungskurven nah DI E (6.3..) Ablesung oder aus DI ormelmäßig Tab. 6. Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 37
38 Ersatzstabverahren Reine ormalkrat Ablau des Verahrens. Ermittlung der Kniklänge r β. Festlegung der maßgeblihen Knikspannungskurve und Ermittlung des Abminderungsaktors χ χ λ pl r i λ λ 3. aheis: Ed χ A e y γ m, A e A ür Quershnittsklasse -3 Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 38
39 Reerenzen [] Roik Vorlesungen über Stahlbau Verlag Ernst und Sohn,. überarbeitete Aulage, 983 [] DI E 993--: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten Beuth Verlag, 5 [3] Petersen Stahlbau Vieeg, 3. Aulage, [4] Petersen Statik und Stabilität der Baukonstruktionen Vieeg,., durhgesehene Aulage, 98 [5] indner und Gietzelt - Zeiahsige Biegung und ängskrat ein ergänzter Bemessungsvorshlag Stahlbau 9/985 [6] Roik und Kindmann - Das Ersatzstabverahren Eine aheisorm ür den eineldrigen Stab bei planmäßig einahsiger Biegung mit Drukkrat Stahlbau /98 [7] Roik und Kindmann - Das Ersatzstabverahren Tragsiherheitsnaheise ür Staberke bei einahsiger Biegung und ormalkrat Stahlbau 5/98 Pro. Dr.-Ing. Dorka Fahgebiet Stahl- & Verbundbau 39
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