EC3 Seminar Teil 7 1/6 Stabilitätstheorie Beispiele

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Hansl Kraus
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1 EC3 Seminar Teil 7 1/6 Aufgabe 1 F cr??? IPE 160, S355 6 m HEA 140, S355 4 m Für den dargestellten Halbrahmen ist die kritische Last F cr nach EN zu berechnen. Ausweichen senkrecht zur Darstellungsebene sei ausgeschlossen. Lösung Aufgabe 1 Folgende Arbeitsschritte sind abzuarbeiten bzw. als Nachweise aufzuschreiben: - Einordnung des Profils in eine Knicklinie - Berechnung der Länge des Ersatzstabes (Knicklängenbeiwert) - Bestimmung des Schlankheitsgrades (bezogene Schlankeit) - Berechnung der kritischen Last Schwerpunkt stellt die Berechnung des Knicklängenbeiwertes dar. Hier sind die Diagramme nach Petersen anzuwenden. Es gelten folgende Grundwerte für die Profile und das Material: E = kn cm, I y, HEA 140 = cm 4, A HEA 140 = 31,4 cm I y, IPE 160 = 869 cm 4, A IPE 160 = 0,1 cm i y, HEA 140 = I y A = = 5,73 cm 31,4 1. Einordnen des Profils in eine Knicklinie t f und t w sind jeweils kleiner als 40 mm. Gemäß Aufgabenstellung (Bild und Hinweis) HTW FB Wilhelminenhofstraße 75a 1459 Berlin - Seite 1

2 EC3 Seminar Teil 7 /6 erfolgt das Ausweichen (Knicken) um die starke Achse. Das Verhältnis führt i.v. mit diesen Randbedingungen zur Einordnung in die h b = 18 = 0,914 < 1, 140 Knicklinie b. Berechnung der Länge des Ersatzstabes (Knicklängenbeiwert) Der Ersatzstab entsteht, wenn der horizontale Stab aus dem System herausgelöst wird. Das System ist seitlich verschieblich. Daher entfällt eine Wegfeder am oberen Auflager. Die biegesteife Ecke führt zu einer Drehbehinderung am oberen Auflager, deren Größe durch eine Drehfeder simuliert wird, deren Wert sich aus dem (entfallenden) Riegel ergibt. Der Fall entspricht gemäß Skript dem Rahmenstab, der am Ende gelenkig aufgelagert ist. Damit ist: C ϕ = 3 E I l mit den Werten des Riegels C ϕ = = ,5 kncm Die Auswertung kann wahlweise mit dem Petersen-Fall I oder V erfolgen (Gemeint sind die Petersen-Diagramme lt. Skript). Entsprechende hier nicht vorhandene Werte für weitere Federn sind zu Null zu setzen. Beide Vorgehensweisen führen zum selben Ergebnis. Vorliegend wird mit Diagramm V gearbeitet. Zu bestimmen ist der Wert γ mit den Kennwerten für den Knickstab: C ϕ L E I y, HEA 140 = = 3,796 Damit liegt die maßgebliche Kurve etwa in der Mitte zwischen den angegebenen Kurven für,0 und 5,0. Abzulesen ist für den Wert δ = 0, da die Wegfeder k w = 0 ist. Es gilt: β =,50 L cr = β L =,5 6 m = 15 m 3. Bestimmung des Schlankheitsgrades (bezogene Schlankeit) λ 1 = 76,1 (S355) λ = L cr i y, HEA 140 λ 1 = ,73 76,1 = 3,44 Ablesen im Diagramm (ungenau!) liefert: HTW FB Wilhelminenhofstraße 75a 1459 Berlin - Seite

3 EC3 Seminar Teil 7 3/6 χ = 0,1 Da die Linien für λ = 3,44 kaum noch ablesbar sind, MUSS die Entscheidung lauten, den Wert für χ zu berechnen: Φ = 0,5 [1 + α (λ 0,) + λ ] mit α = 0,34 wg. Knicklinie b Φ = 0,5 [1 + 0,34 (3,44 0,) + 3,44 ] = 6,968 χ = 1 Φ + Φ λ = 1 6, ,968 3,44 = 0, Berechnung der kritischen Last N b, Rd = χ A f 0, mm 355 N y mm M1 1,1 Die kritische Last F cr entspricht N b, Rd. = N = 78,03 kn HTW FB Wilhelminenhofstraße 75a 1459 Berlin - Seite 3

4 EC3 Seminar Teil 7 4/6 Aufgabe F cr??? IPE 10, S35 8 m HEB 140, S35 Für den dargestellten Halbrahmen ist die kritische Last F cr nach EN zu berechnen. Ausweichen senkrecht zur Darstellungsebene sei ausgeschlossen. Lösung Aufgabe 3 PZ Folgende Arbeitsschritte sind abzuarbeiten bzw. als Nachweise aufzuschreiben: - Einordnung des Profils in eine Knicklinie - Berechnung der Länge des Ersatzstabes (Knicklängenbeiwert) - Bestimmung des Schlankheitsgrades (bezogene Schlankeit) - Berechnung der kritischen Last Schwerpunkt stellt die Berechnung des Knicklängenbeiwertes dar. Hier sind die Diagramme nach Petersen anzuwenden. Es gelten folgende Grundwerte für die Profile und das Material: E = kn cm, I y, HEB 140 = cm 4, A HEB 140 = 43,0 cm I y, IPE 10 = 318 cm 4, A IPE 10 = 13, cm i y, HEB 140 = I y A = = 5,93 cm 43,0 1. Einordnen des Profils in eine Knicklinie 5,5 m t f und t w sind jeweils kleiner als 40 mm. Gemäß Aufgabenstellung (Bild und Hinweis) HTW FB Wilhelminenhofstraße 75a 1459 Berlin - Seite 4

5 EC3 Seminar Teil 7 5/6 erfolgt das Ausweichen (Knicken) um die starke Achse. Das Verhältnis führt i.v. mit diesen Randbedingungen zur Einordnung in die h b = 140 = 1,0 < 1, 140 Knicklinie b. Berechnung der Länge des Ersatzstabes (Knicklängenbeiwert) Der Ersatzstab entsteht, wenn der horizontale Stab aus dem System herausgelöst wird. Das System ist seitlich unverschieblich. Daher tritt eine Wegfeder am oberen Auflager auf. Die biegesteife Ecke führt weiter zu einer Drehbehinderung am oberen Auflager, deren Größe durch eine Drehfeder simuliert wird, deren Wert sich aus dem (entfallenden) Riegel ergibt. Der Fall entspricht gemäß Skript dem Rahmenstab, der am Ende eingespannt ist. Damit ist: C ϕ = 4 E I l mit den Werten des Riegels C ϕ = = ,3 kncm k w = E A l = , 550 = 505 kn cm Die Auswertung muss nach dem Petersen-Fall II erfolgen (Gemeint sind die Petersen-Diagramme lt. Skript). Entsprechende hier nicht vorhandene Werte für weitere Federn sind zu Null zu setzen. Zu bestimmen sind die Werte γ und δ mit den Kennwerten für den Knickstab: δ = C ϕ L E I y, HEB 140 = , = 1,5 k w L 3 E I y, HEB 10 = = Wegen δ > 10 ist das Diagramm bei δ 1 = 0,013 abzulesen. β = 0,6 L cr = β L =0,6 8 m = 4,96 m 3. Bestimmung des Schlankheitsgrades (bezogene Schlankeit) λ 1 = 93,9 (S35) HTW FB Wilhelminenhofstraße 75a 1459 Berlin - Seite 5

6 EC3 Seminar Teil 7 6/6 λ = L cr i y, HEB 140 λ 1 = 496 5,93 93,9 = 0,89 Ablesen im Diagramm (ungenau!) liefert: χ = 0,1 Da die Diagramme kaum ablesbar sind, MUSS die Entscheidung lauten, den Wert für χ berechnen: zu Φ = 0,5 [1 + α (λ 0,) + λ ] mit α = 0,34 wg. Knicklinie b Φ = 0,5 [1 + 0,34 (0,89 0,) + 0,89 ] = 1,013 χ = 1 Φ + Φ λ = 1 1, ,013 0,89 = 0, Berechnung der kritischen Last N b, Rd = χ A f 0, mm 35 N y mm M1 1,1 Die kritische Last F cr entspricht N b, Rd. = N = 613,65 kn HTW FB Wilhelminenhofstraße 75a 1459 Berlin - Seite 6

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