Stahlbau Grundlagen. Das elastische Biegetorsionsproblem 2. Ordnung dünnwandiger Stäbe. Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka

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1 Stahlbau Grundlagen Das elastische Biegetorsionsproblem. Ordnung dünnwandiger Stäbe Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka

2 Leitbauwerk Halle Hallenrahmen als Haupttragsstem mit Lasten Ein möglicher Grenustand ist das Biegedrillknicken

3 Einführender Versuch Der Träger weicht plötlich aus und verdreht sich unter vertikaler Biegung: Er drillknickt. Daran beteiligt ist die sogenannte Wölbkrafttorsion. 3

4 Illustration der Wölbkrafttorsion Normalkraft P/4 P P/4 Biegung um -Achse P/4 P/4 Biegung um -Achse P/4 Wölbkrafttorsion P/4 P/4 Verdrehung und Verwölbung P/4 4

5 Schnittgrößenkombination und Normalspannungen Normalspannung: N x ω σ x = + + ω A I I Iω 5

6 Kinematik der Faser Geometrie und Beeichnung an einem allgemeinen dünnwandigen Querschnitt Schubmittelpunkt S Schwerpunkt da infiniteseminales Flächenenelement u Verschiebung des Flächenelements in x-richtung v Verschiebung des Flächenelements in -Richtung w Verschiebung des Flächenelements in -Richtung ϑ Verdrehung um den Schubmittelpunkt 6

7 Gleichgewicht am verformten Sstem Ausgangsustand an einem beliebigen Querschnitt ohne Verformung Schubmittelpunkt S Schwerpunkt da infiniteseminales Flächenenelement u Verschiebung des Flächenelements in x-richtung v Verschiebung des Flächenelements in -Richtung w Verschiebung des Flächenelements in -Richtung ϑ Verdrehung um den Schubmittelpunkt 7

8 Gleichgewicht am verformten Sstem Abtriebskräfte an der Faser aus Verschiebung in - Richtung dp ( ) F = = σ da v + σ da v + dv dp el = σ da v el Abtriebskräfte an der Faser aus Verschiebung in - Richtung dp ( ) F = = σ da w + σ da w + dw dp el = σ da w el Abtriebskräfte an der Faser um den Schubmittelpunkt ( ) ( ) ( ) ( ) = = σ da v + σ da w dm el x A A T dm = σ da v w T A A 8

9 Gleichgewicht am verformten Sstem Abtriebskräfte am Querschnitt Integration der elastischen Abtriebskräfte: el el p = dp = v σ da ( ) = σ v ϑ da A ( ) ( ) v = v ϑ w = w + ϑ el el p = dp = w σ da ( ) = σ w + ϑ da A ( ) ( ) (( ) ( ) ) ( ) ( ) el el m = = σ T dmt v w da = σ v w + ϑ da 9

10 Gleichgewicht am verformten Sstem Erseten von σ durch Schnittgrößen und Integration über den Querschnitt liefert die elastischen Abtriebskräfte: el p ( = N( x w ) ϑ ) ( + ( ) el p ϑ) = N v + ϑ + ϑ el p = ( ϑ N w ) + ( ϑ) el m = N v + N w + v + w ( ) ( ) ( ) ( ) T ϑ N i + r + ω r r mit folgenden Querschnittswerten: A = r = + ( ) ( ) ( ) ω 1 i = r da = ip + + J = da A A r = r da r = r da r = ω r da ω I I Iω A da J J ω = da A = ω da A 1

11 Gleichgewicht am verformten Sstem Zusätliche Abtriebskräfte am verformten Stab aus äußeren Lasten: Zusätliche Komponentenmomente infolge Verdrehung: p p Komp. Komp. = p ϑ = p ϑ Klein! II = + ϑ = ϑ II Klein! Komp. m = p ϑ p ϑ T p p 11

12 Gleichgewicht am verformten Sstem Einarbeitung der Abtriebskräfte in die Bestimmungsgleichungen für Biegung und Torsion: Biegung in -Richtung: el EI v = p + p = p + N v + ϑ ϑ Biegung in -Richtung: ( ) ( ) el EI w = p + p = p + ( ϑ N w ) ( ϑ) Torsion: el komp EI ω ϑ GIT ϑ = mt + mt = ( N v ) ( N w ) ( v ) ( w ) ( ) ω ϑ N + + x i r ϑ ϑ r r p ω p p p 1

13 DGL-Sstem des elast. Biegetorsionsproblems. Ordn. p = + ( ϑ) ( + ϑ EI v N v ) ( ) ( ) p = + ϑ ϑ EI w N w m = ω ϑ ϑ ( ) + ( T EI GIT N v N w ) + + v + w + p ϑ + p ϑ ( ) ( ) p p ( N i ) r r ω r ϑ + + Kann man mit Hilfe der FE-ethode diskretisieren (approximieren) und für allg. Fälle lösen. Wir besprechen hier einige für die Praxis wichtige Fälle ω 13

14 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 1 Doppelt smmetrische Querschnitte unter konst. N: Beispiel 1: I Profil Beispiel : Winkelkreu Einfach smmetrischer Querschnitt unter konst. N: Beispiel: gleichschenkliger Winkel 3 Beliebiger Querschnitt unter Normalkraft: Beispiel: ungleichschenkliger Winkel 4 Doppelt smmetrischer Querschnitt unter konst. (Endmomente): Beispiel: I - Profil 5 Doppelt smmetrischer Querschnitt unter konst. mit Drehbettung 6 Doppelt smmetrischer Querschnitt unter linearem und konst. N 14

15 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 1) Doppelt smmetrischer Querschnitt unter konst. Normalkraft: N = konst. = = + ( ϑ) ( + ϑ ) EI v N v = p p = p = m = T EI w + ( ϑ) N ( w ϑ ) = p EIω ϑ GI ( ) ( T ϑ N v + N w ) + ( v ) + ( w ) ϑ ( N i + + ω ) r + r r ω + p ϑ + p ϑ = m P P T 15

16 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 1) Doppelt smmetrischer Querschnitt unter konst. Normalkraft: N = konst. = p = = p = m = T EI v + N v = entkoppelt: EI w + N w = EI ω ϑ N r + GI ϑ T = Resultat: - alle drei Gleichungen sind entkoppelt - drei homogene Probleme - Lösungen sind die elementaren Eulerlasten N cr, = EI π l N cr, = EI π l 1 π Ncr, ϑ = EIω + GI r l T 16

17 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 1) Doppelt smmetrischer Querschnitt unter konst. Normalkraft: N = konst. = p = = p = m = T EI v + N v = entkoppelt: EI w + N w = EI ω ϑ N r + GI ϑ T = Resultat: - alle drei Gleichungen sind entkoppelt - drei homogene Probleme - Lösungen sind die elementaren Eulerlasten N cr, = EI π l N cr, = EI π l 1 π Ncr, ϑ = EIω + GI r l T 17

18 Für die Praxis wichtige Sonderfälle ) Einfach smmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt: N = konst. = N = konst. = + ( ϑ) ( + ϑ ) EI v N v = p p = p = m = T EI w + ( ϑ) N ( w ϑ ) = p EIω ϑ GI ( ) ( T ϑ N v + N w ) + ( v ) + ( w ) ϑ ( N i + + ω ) r + r r ω + p ϑ + p ϑ = m P P T 18

19 Für die Praxis wichtige Sonderfälle ) Einfach smmetrischer Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt: N = konst. = N = konst. p = = p = m = T EI v + N v = entkoppelt: EI w + N w = EI ω ϑ N r + GI ϑ T = Resultat: - alle drei Gleichungen sind entkoppelt - drei homogene Probleme - Lösungen sind die elementaren Eulerlasten N cr, = EI π l N cr, = EI π l 1 π Ncr, ϑ = EIω + GI r l T 19

20 Für die Praxis wichtige Sonderfälle ) Einfach smmetrischer Querschnitt mit entrischer Normalkraft: N = konst. = = + ( ϑ) ( + ϑ ) EI v N v = p p = p = m = T EI w + ( ϑ) N ( w ϑ ) = p EIω ϑ GI ( ) ( T ϑ N v + N w ) + ( v ) + ( w ) ϑ ( N i + + ω ) r + r r ω + p ϑ + p ϑ = m P P T

21 Für die Praxis wichtige Sonderfälle ) Einfach smmetrischer Querschnitt mit entrischer Normalkraft: N = konst. = p = = p = m = T EI v + N v + N ϑ = entkoppelt: EI w + N w = Resultat: - alle Gleichungen homogen -eine Gleichungen ist entkoppelt, daher reines Biegeknicken um -Achse - gekoppeltes Drillknicken um x- und -Achse EI ω ϑ N r + GIT ϑ + N v = 1

22 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 3) Beliebiger Querschnitt unter entrischer Normalkraft: N = konst. = N b = konst. a = b = = N a = konst. p = p = m = T EI v + N v N b ϑ = ( ) EI w + N w + N a ϑ = ( ) EIω ϑ N ( i + + ) + ϑ b r a r GI T N ( b ) + ( ) v Nx a w =

23 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 3) Beliebiger Querschnitt unter entrischer Normalkraft: N = konst. = N b = konst. a = b = = N a = konst. p = p = m = T EI v + N v + N ϑ = EI w + N w N ϑ = EI ω ϑ N i + GIT ϑ + N v N w = Resultat: - vollständige Kopplung - homogenes Problem 3

24 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 3) Beliebiger Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt: N = konst. = N b = konst. = N a = konst. p = p = m = T Wirkt N im Schubmittelpunkt, so folgt: a = und b = EI v + N v N b ϑ = ( => ) ( => ) EI w + N w + N a ϑ = ( ) EI ω ϑ N i + b r + a r + GIT ϑ N b v + N a w = ( ) => ( ) 4

25 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 3) Beliebiger Querschnitt mit Normalkraft im Schubmittelpunkt: N = konst. = N b = konst. = N a = konst. p = p = m = T Resultat: - alle drei Gleichungen sind entkoppelt - drei homogene Probleme - Lösungen sind die elementaren Eulerlasten Wirkt N im Schubmittelpunkt, so folgt: a = und b = ω EI v + N v = entkoppelt: EI w + N w = EI ϑ N r + GI ϑ T = N cr, = EI π l N cr, = EI π l 1 π Ncr, ϑ = EIω + GI r l T 5

26 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 4) Doppelt smmetrischer Querschnitt unter konst. (Endmomente): N = = = konst. p = p = m = T EI v + ( ϑ) N ( v + ϑ ) = p EI + ( ϑ) ( ϑ w N w ) = p EIω ϑ GI ( ) ( T ϑ N v + N w ) + ( v ) + ( w ) ϑ ( N i + + ω ) r + r r ω + p ϑ + p ϑ = m P P T 6

27 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 4) Doppelt smmetrischer Querschnitt unter konst. (Endmomente): N = = = konst. p = p = m = T EI v + ϑ = entkoppelt: EI w = Kritisches oment (früher Kippmoment genannt): EI ϑ GI ϑ + v r ϑ = ω T π EI r ω + r I = ± +,cr c mit c = l GI l T I E π 7

28 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 5) Doppelt smmetrischer Querschnitt unter konst. mit Drehbettung: DGL-Sstem für einfachsmmetrischen Querschnitt N = = = konst. p = p = mt = ω EI v + ϑ = EI w = EI ϑ GI ϑ + v + c ϑ = T ϑ,cr l G l Iω + IT + cϑ π π EI π E = ζ G l I 8

29 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 6) Doppelt smmetrischer Querschnitt unter linearem und konst. N: N T ω = p = p = m = = = EI v + ( ϑ) N ( v + ϑ ) = p N EI + ( ϑ) ( ϑ w N w ) = p EIω ϑ GI ( ) ( T ϑ N v + N w ) + ( v ) + ( w ) ϑ ( N i + + ω ) r + r r ω + p ϑ + p ϑ = m P P T 9

30 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 6) Doppelt smmetrischer Querschnitt unter linearem und konst. N: N = p = p = m = = = T ω N EI ( ) ( v + ϑ N v + ϑ ) = EI w N w = EIω ϑ GI T ϑ N v + ( v ) ϑ ( + ) N i = 3

31 Für die Praxis wichtige Sonderfälle 6) Doppelt smmetrischer Querschnitt unter linearem und konst. N: N N 31

32 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN Der Nachweis wird als Interaktion geführt: und 3

33 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN Der Nachweis wird als Interaktion geführt: und Einachsige Biegung 33

34 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN Der Nachweis wird als Interaktion geführt: und Einachsige Biegung und Normalkraft = 34

35 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN Der Nachweis wird als Interaktion geführt: und Zweiachsige Biegung und Normalkraft 35

36 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN omente aus Verschiebung der Querschnittsachsen,Ed und,ed : uss nur für Klasse 4 Querschnitte ermittelt werden! Verschiebung der maßgebenden Hauptachse unter reiner Druckbeanspruchung nach 6...5(4) 3. Abminderungsbeiwert für Biegedrillknicken χ LT : 36

37 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment π EI ( ) k I k L G I w t = C C C L kw I π EI ( ) ( ) cr g g E Elastiitätsmodul (E=1.N/mm²) G Schubmodul (G=8.77N/mm²) I Trägheitsmoment um die schwache Achse I t Torsionsträgheitsmoment I w Wölbwiderstandsmoment L Trägerlänge wischen seitlicher Stütung k, k w Knicklängenbeiwerte g Abstand des Lastangriffspunktes um Schubmittelpunkt C 1,C Koeffiienten 37

38 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment bei Gabellagerung: π EI Iw L G It = C1 + + C C L I π EI Randbedingung: k = k w = 1 ( ) ( ) cr g g Elastisches kritisches Biegedrillknickmoment bei linearem omentenverlauf oder im Schubmittelpunkt angreifender Querbelastung: cr π EI Iw L G I = C1 + L I π EI t Randbedingung: C * g = 38

39 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN Komponenten von cr : Ermittlung von g : h/ g ist der Abstand des Lastangriffspunktes um Schubmittelpunkt g ist im allgemeinen Fall positiv, wenn die Lastenvon ihrem Angriffspunkt in Richtung Schubmittelpunkt wirken. Wölbwiderstandsmoment I w : I w ( ) I h t = f h t f 4 Querschnittshöhe Flanschdicke 39

40 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN Knicklängenbeiwerte k und k w : Der Faktor k beieht sich auf die Verdrehung der Enden in der Draufsicht. Er entspricht dem Verhältnis der Knicklänge ur Sstemlänge eines Druckgliedes. Der Wert k sollte nicht geringer als 1, angenommen werden, außer wenn ein Wert kleiner als 1, gerechtfertigt werden kann. Der Faktor k w beieht sich auf die Verwölbungder Trägerenden. Sind keine Vorkehrungen ur Verhinderung der Verwölbunggetroffen worden, ist k w mit 1, anuseten. 4

41 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN Koeffiienten C 1, C : C 1 und C sind Koeffiienten, die von der Belastung und von den Lagerungsbedingungen an den Enden abhängen. 1. reine Endmomentenbelastung: 41

42 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN Bauteil mit Querbelastung: 4

43 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN Bauteil mit Endmomenten und Querbelastung: Parameter: ψ Verhältnis der omentenverteilung µ Verhältnis des omentes infolge Querlast um maximalen Endmoment Fall a) Endmomente mit einer gleichmäßig verteilten Last µ = q L 8 Fall b) Endmomente mit einer Last in Feldmitte µ = F L 4 Voreichenregelung von µ: µ > wenn und die Querlast(q oder F), jeweils für sich betrachtet, den Träger in die gleiche Richtung biegen µ < ansonsten 43

44 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN µ > Endmomente und gleichmäßig verteilte Last Faktor C 1 44

45 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN µ < Endmomente und gleichmäßig verteilte Last Faktor C 1 45

46 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN µ > Endmomente und gleichmäßig verteilte Last Faktor C 46

47 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN µ < Endmomente und gleichmäßig verteilte Last Faktor C 47

48 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN µ > Endmomente und Einellast in Feldmitte Faktor C 1 48

49 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN µ < Endmomente und Einellast in Feldmitte Faktor C 1 49

50 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN µ > Endmomente und Einellast in Feldmitte Faktor C 5

51 Biegedrillknicknachweis nach DIN EN µ < Endmomente und Einellast in Feldmitte Faktor C 51

52 Zusammenfassung Das allgemeine Biegetorsionsdifferentialgleichungssstem nach Theorie II. Ordnung ist in seiner allgemeinen Form komplex: i.a. drei gekoppelte DGL außerdem haben unächst alle drei DGLs nichtkonstante Koeffiienten, was die Lösung des Sstems weiter erschwert Schon bei einfachen baupraktischen Sstemen treten mehrere Schnittgrößen auf, dadurch ist innerhalb des DGL-Sstems eine Interaktion u berücksichtigen Für die Praxis wichtige Fälle es treten nur entkoppelte Gleichungen auf, wenn die Normalkraft im Schubmittelpunkt angreift und keine weitere Biegung vorliegt. In den entkoppelten Gleichungen fallen dann die elementaren EULERlasten ab Normatives Ersatstabverfahren Relativ handliches Nachweisformat Bei Schnittgrößeninteraktionen ist das Nachweisformat auf den ersten Blick entkoppelt, was die Handhabung erleichtert. Die Kopplung ist jedoch über die Beiwerte erfaßt. Im Hinblick auf den Nachweis liegt die wesentliche Hürde in der Ermittlung der kritischen Lasten cr => analog um Biegeknicken 5

53 Schrifttum [1] Roik Vorlesungen über Stahlbau Verlag Ernst und Sohn,., überarbeitete Auflage, 1983 [] DIN EN Beuth Verlag [3] Petersen Stahlbau Vieweg, 3. Auflage, 1 [4] Petersen Statik und Stabilität der Baukonstruktionen Vieweg,., durchgesehene Auflage,