im Fall einer Longitudinalwelle angeregt wird und die sich in die positive x-richtung eines Koordinatensystems ausbreitet.

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1 Name: Datum: Harmonishe Wellen - Mathematishe eshreibung Da eine Welle sowohl eine räumlihe als auh eine zeitlihe Änderung eines physikalishen Systems darstellt, ist sowohl ihre graphishe Darstellung als auh ihre mathematishe eshreibung shwierig Ziel der folgenden Überlegungen ist die Herleitung einer Funktion, die für jeden beliebigen Ort x die Auslenkung des dort befindlihen Oszillators zu jedem beliebigen Zeitpunkt t beshreibt Wir betrahten dazu eine Harmonishe Welle, die durh eine Harmonishe Shwingung der Form y(t) = ŷ im Fall einer ransversalwelle bzw ξ ( t) = ξˆ im Fall einer Longitudinalwelle angeregt wird und die sih in die positive x-rihtung eines Koordinatensystems ausbreitet 1 eshreibung an einem festen Ort Im ersten Shritt der Überlegungen wählt man einen beliebigen, aber festen Ort x auf der x-ahse und beobahtet über einen gewissen Zeitraum die Auslenkung y(x ; t) bzw ξ ( x ;t) des an diesem Ort befindlihen Oszillator Dabei kann man die folgenden eobahtungen mahen: Arbeitsauftrag: ollziehe die folgenden eobahtungen anhand der hier aufgeführten JAA-Applets nah: ransverse raveling Wave (Fu-Kwun Hwang): Entstehung von ransversalwellen ransverse Waves (Surendranath Reddy): Entstehung von ransversalwellen ransverse Wave (Surendranath Reddy): Entstehung einer ransversalwelle durh einen Harmonishen Oszillator a) Der beobahtete Oszillator führt eine harmonishe Shwingung aus b) Die Amplitude der harmonishen Shwingung des Oszillators stimmt mit der Amplitude ŷ (bzw ξˆ ) des Erregers überein Dies maht folgende Definition sinnvoll: Die Amplitude einer Welle ist die für alle Oszillatoren gleihe und mit der Amplitude der anregenden Shwingung übereinstimmende Amplitude der einzelnen Oszillatoren Das Formelzeihen für die Amplitude ist ŷ bzw ξˆ, die Einheit der Amplitude ist abhängig von den physikalishen Eigenshaften des Systems ) Die Shwingungsdauer (und damit auh die Kreisfrequenz und die Frequenz) der harmonishen Shwingung des Oszillators stimmt mit der Shwingungsdauer (bzw der Kreisfrequenz ω und der Frequenz f ) des Erregers überein Dies maht folgende Definitionen sinnvoll: Die Shwingungsdauer ( Zeitperiode ) einer Welle ist der für alle Oszillatoren gleihe und mit der Shwingungsdauer der anregenden Shwingung übereinstimmende kleinste zeitlihe Abstand zwishen zwei gleihen ewegungszuständen der einzelnen Oszillatoren Das Formelze ihen für die Shwingungsdauer ist, die Einheit der Shwingungsdauer: [ ] = 1s Die Kreisfrequenz ( zeitlihe Geshwindigkeit ) einer Welle ist die für alle Oszillatoren gleihe und mit der Kreisfrequenz der anregenden Shwingung übereinstimmende Kreisfrequenz der einzelnen Oszillatoren 1 Das Formelzeihen für die Kreisfrequenz ist ω, die Einheit der Kreisfrequenz: [ ω ] = s 2003 homas Unkelbah Seite 1 von 6

2 Die Frequenz einer Welle ist der für alle Oszillatoren gleihe und mit der Frequenz der anregenden Shwingung übereinstimmende Kehrwert der Shwingungsdauer der einzelnen Oszillatoren 1 Das Formelzeihen für die Frequenz ist f, die Einheit der Frequenz: [ f] = = 1Hz (1 HERZ) s Für den Zusammenhang zwishen der Kreisfrequenz ω, der Shwingungsdauer und der Frequenz f einer Harmonishen Welle gilt demnah wie bei einer Harmonishen Shwingung: ω = = f d) Die Auslenkung des Oszillators ist wenn er sih niht zufällig an ganz bestimmten Orten befindet gegenüber der Auslenkung des Erregers zeitlih versetzt, dh phasenvershoben Die Größe ϕ dieser Phasenvershiebung ist abhängig von dem Ort x des Systems, an dem sih der betrahtete Oszillator befindet, dh ϕ = ϕ( x ) Mit diesen eobahtungen und Definitionen können wird die Auslenkung eines an einem beliebigen, aber festen Ort x des Systems befindlihen Oszillators vorläufig beshreiben: Für eine Harmonishe Welle, die durh eine Harmonishe Shwingung der Form y(t) = ŷ im Fall einer ransversalwelle bzw ξ ( t) = ξˆ im Fall einer Longitudinalwelle angeregt wird und die sih in die positive x-rihtung eines Koordinatensystems ausbreitet, kann die Auslenkung y(x ; t) bzw ξ ( x ;t) eines an einem beliebigen, aber festen Ort x des Systems befindlihen Oszillators beshrieben werden durh die Funktion y(x ;t) = ŷ sin( ωt ϕ(x )) bzw ξ x ; t) = ξˆ sin( ωt ϕ(x )) ( Arbeitsaufträge: Starte das JAA-Applet von Peter Krahmer Setze dort f(x,t)= 3*sin(pi*t-pi/2) und beobahte das erhalten der horizontalen Linie Erläutere, was durh das zeitlihe erhalten dieser Linie beshrieben wird estimme Amplitude, Shwingungsdauer, Kreisfrequenz und Frequenz des erhaltens der dargestellten Shwingung sowie die Phasenvershiebung gegenüber einer normalen Sinusshwingung erändere die relevanten Größen im Funktionsterm, beobahte insbesondere die eränderungen des zeitlihen erhaltens der horizontalen Linie und dokumentiere deine eobahtungen 2003 homas Unkelbah Seite 2 von 6

3 2 eshreibung zu einem festen Zeitpunkt Im zweiten Shritt der Überlegungen wählt man einen beliebigen, aber festen Zeitpunkt t und beobahtet zu diesem Zeitpunkt gewissermaßen als Momentaufnahme den räumlihen Zustand des physikalishen Systems, dh die Auslenkungen y(x;t ) bzw ξ ( x; t ) aller Oszillatoren in Abhängigkeit von ihrem Ort x Dabei kann man die folgenden eobahtungen mahen: Arbeitsauftrag: ollziehe die folgenden eobahtungen anhand des hier aufgeführten JAA-Applets nah: ransverse Waves (Surendranath Reddy): Entstehung von ransversalwellen a) Die Momentaufnahme der Welle entspriht dem Graph einer Sinusfunktion b) Die Amplitude des Graphen stimmt mit der Amplitude ŷ bzw ξˆ des Erregers überein Dies rehtfertigt nahträglih die im ersten Shritt gemahte Definition der Amplitude einer Welle ) Die räumlihe Form des Graphen maht zwei weitere Definitionen sinnvoll: Die Wellenlänge ( Raumperiode ) einer Welle ist der kleinste räumlihe Abstand zweier Oszillatoren mit gleihem Shwingungszustand z der räumlihe Abstand von einem Wellenberg bis zum nähsten oder von einem Wellental zum nähsten Das Formelzeihen für die Wellenlänge ist ( Lambda ), die Einheit der Wellenlänge: [ ] = 1m Die Wellenzahl ( räumlihe Geshwindigkeit ) einer Welle ist die Anzahl von Wellenlängen pro Entfernung m Das Formelzeihen für die Wellenzahl ist k, die Einheit der Wellenzahl: 1 [ k] = m Für den Zusammenhang zwishen der Wellenzahl k und der Wellenlänge gilt demnah: k = d) Die Momentanaufnahme der Welle ist wenn sie niht zufällig zu ganz bestimmten Zeitpunkten aufgenommen wird gegenüber dem Graph einer normalen Sinusfunktion räumlih vershoben Die Größe d dieser ershiebung ist abhängig von dem Zeitpunkt t, zu dem die Momentanaufnahme der Welle aufgenommen wird, dh d = d(t ) Mit diesen eobahtungen und Definitionen können wird die Momentanaufnahme einer Welle zu einem beliebigen, aber festen Zeitpunkt t vorläufig beshreiben: Für eine Harmonishe Welle, die durh eine Harmonishe Shwingung der Form y(t) = ŷ im Fall einer ransversalwelle bzw ξ ( t) = ξˆ im Fall einer Longitudinalwelle angeregt wird und die sih in die positive x-rihtung eines Koordinatensystems ausbreitet, kann die Momentaufnahme y(x;t ) bzw ξ ( x; t ) zu einem beliebigen, aber festen Zeitpunkt t beshrieben werden durh die Funktion y(x; t 2003 homas Unkelbah Seite 3 von 6 ) = ŷ sin( d(t ) k x) bzw ξ x; t ) = ξˆ sin( d(x ) k x) (

4 Arbeitsaufträge: Starte das JAA-Applet von Peter Krahmer Setze dort f(x,t)= 3*sin(pi-pi/2*x) und beobahte den entstehenden Graphen Erläutere, was durh den Graphen beshrieben wird estimme Amplitude, Wellenlänge und Wellenzahl des dargestellten Graphen sowie die Phasenvershiebung gegenüber dem Graphen einer normalen Sinusfunktion erändere die relevanten Größen im Funktionsterm, beobahte insbesondere die eränderungen des Graphen und dokumentiere deine eobahtungen 2003 homas Unkelbah Seite 4 von 6

5 3 Zusammenhang zwishen der Ausbreitungsgeshwindigkeit, der Periode und der Wellenlänge Im dritten Shritt der Überlegungen wird nun zusätzlih die Ausbreitungsgeshwindigkeit mit einbezogen Die Ausbreitungsgeshwindigkeit, die Periode und die Wellenlänge einer Welle hängen in einfaher Weise zusammen: Während ein maximal ausgelenkter Oszillator in der Zeit eine volle Shwingung ausführt, er also über die minimale Auslenkung wieder in die maximale Auslenkung übergeht, sind über ihn ausgehend von einem Wellenberg ein Wellental wieder ein Wellenberg hinweggelaufen Die Welle ist also in der Zeit genau um die Streke vorangekommen Daher können wir entsprehend der ewegungsgesetze der gleihförmigen ewegung die Ausbreitungsgeshwindigkeit angeben als x = = = f t Die Ausbreitungsgeshwindigkeit einer Welle ist also gleih dem Quotienten aus Wellenlänge und Shwingungsdauer bzw dem Produkt aus Wellenlänge und Frequenz f Allerdings muss man sih klarmahen, dass sih eigentlih die Wellenlänge aus der Ausbreitungsgeshwindigkeit, die eine Eigenshaft des Systems ist, und der Shwingungsdauer bzw der Frequenz f, die Eigenshaften des Erregers sind, ergibt Sinnvoller wäre demnah eher eine Formulierung des Zusammenhangs in der Form = = f Weiter ergibt sih mit ω k = = = die ebenfalls nützlihe eziehung ω k = Arbeitsaufträge: ollziehe die obenstehenden Überlegungen anhand der hier aufgeführten JAA-Applets nah: Wellenmodell (Peter Krahmer): ua Entstehung von ransversalwellen; Zusammenhang Frequenz - Ausbreitungsgeshwindigkeit - Wellenlänge Wavelength and Period (Andrew Duffy): Wellenlänge und Periodendauer bei ransversalwellen Wave Speed (Andrew Duffy): Ausbreitungsgeshwindigkeit bei ransversalwellen Frequeny, Wavelength, and eloity (Andrew Duffy): Frequenz, Wellenlänge und Ausbreitungsgeshwindigkeit bei ransversalwellen 2003 homas Unkelbah Seite 5 von 6

6 4 eshreibung an einem beliebigem Ort und zu einem beliebigem Zeitpunkt Im vierten und letzten Shritt der Überlegungen wird nun mit Hilfe der Ausbreitungsgeshwindigkeit, die einen Zusammenhang zwishen der zeitlihen und der räumlihe eshreibung liefert, die endgültige mathematishe eshreibung der raum-zeitlihen Ausbreitung einer Welle hergeleitet Dazu muss eine Funktion angegeben werden, die für jeden beliebigen Ort x und für jeden beliebigen Zeitpunkt t die Auslenkung y bzw ξ des an diesem Ort befindlihen Oszillators angibt Diese Funktion wird demnah von den beiden ariablen x und t abhängen, dh y = y(x, t) bzw ξ = ξ(x, t) Zur Herleitung dieser Funktion betrahten wir wieder die bekannte Harmonishe Welle, die am Ort x 0 = 0 durh eine Harmonishe Shwingung der Form y(t) = ŷ bzw ξ ( t) = ξˆ angeregt wird und die sih in die positive x-rihtung eines Koordinatensystems mit der allein durh die physikalishen Eigenshaften des Systems bestimmten Ausbreitungsgeshwindigkeit ausbreitet Da sih die Welle mit der Geshwindigkeit ausbreitet, beginnt ein Oszillator, der sih an einem beliebigen Ort x in dem System befindet, erst nah einer gewissen erzögerungszeit t zu shwingen an, und zwar dann mit der Winkelgeshwindigkeit ω Diese erzögerungszeit t lässt sih nah den e- x wegungsgesetzen der gleihförmigen ewegung leiht zu t = bestimmen Die Elongation des Oszillators ist dann y(x; t) = ŷ sin( ω(t t )) = ŷ sin( ωt ωt ) bzw ξ ( x; t) = ξˆ sin( ω(t t )) ˆ = ξ sin( ωt ωt ) x x Durh die Umformung ω t = ω = = x = kx erhält man shließlih das Ergebnis: x t = ω= k= Für eine Harmonishe Welle, die am Ort x 0 = 0 durh eine Harmonishe Shwingung der Form y(t) = ŷ im Fall einer ransversalwelle bzw ξ ( t) = ξˆ im Fall einer Longitudinalwelle erregt wird und die sih mit der Ausbreitungsgeshwindigkeit in die positive x-rihtung eines Koordinatensystems ausbreitet, kann die Auslenkung y (x; t) bzw ξ (x; t) eines am Ort x befindlihen Oszillators zum Zeitpunkt t beshrieben werden durh die Funktion y(x; t) = ŷ sin( ωt kx) bzw ˆ ω ξ ( x; t) = ξ sin( ωt kx) mit k = Die eziehungen ω = und k = erlauben auh eine Darstellung in der Form t x t x y(x; t) = ŷ sin( ( )) bzw ξ (x; t) = ξˆ sin( ( )) Arbeitsaufträge: Starte das JAA-Applet von Peter Krahmer Setze dort f(x,t)= 3*sin(pi*t-pi/2*x) und beobahte die entstehende Darstellung Erläutere, was durh diese Darstellung beshrieben wird estimme Amplitude, Shwingungsdauer, Kreisfrequenz und Frequenz, Wellenlänge, Wellenzahl sowie die Ausbreitungsgeshwindigkeit der dargestellten Harmonishen Welle erändere die relevanten Größen im Funktionsterm, beobahte insbesondere die eränderungen in der Darstellung und dokumentiere deine eobahtungen 2003 homas Unkelbah Seite 6 von 6