Zusatzkapitel zur Vorlesung Mathematische Modellierung WS 2011/12

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1 Zusatzkapitel zur Vorlesung Mathematishe Modellierung WS 20/2 Vorlesung vom A A. Das Hindernisproblem Motivation und Modellierung Anwendungsbeispiel: Filtration Ein Gemish, das getrennt werden soll, läuft durh eine durhlässige Membran, den Filter (i.a. aus Papier oder Textilgewebe). Durh dessen Porgengröße, werden bestimmte Partikel durhgelassen, andere niht. Die Membran hat bestimmte Elastizitätseigenshaften, die sih aber mit der Zeit ändern können, weil sih zum Beispiel die Poren mit Partikeln zusetzen oder weil die Mebran nah häufiger Nutzung an Elastizität verliert. Dabei ist die Membran in vielen Fällen über ein Teller-förmiges Hindernis gespannt. Um zu verhindern, dass der Filter reißt oder überdehnt wird, ist es wihtig die Deformation der Membran bestimmen zu können. Dieses Problem soll nun mathematish modelliert werden. Die allgemeine Fragestellung lautet also wie folgt: eine aus untershiedlihen Materialien bestehende elastishe Membran wird über ein Hindernis gespannt. Wie ist die Position der Membran ohne Wirkung äußerer Kräfte und wie verändert sie sih bei Krafteinwirkung? Wir betrahten zur Vereinfahung den d-fall (z.b. eine über einen Steg gespannte Gitarrensaite). Sei dazu u : [a, b] R die gesuhte Verformung (um welhe Distanz wird der Punkt x aus der Ruhelage in y-rihtung abgelenkt). Zunähst shauen wir uns Gleihungen ohne Hindernis an: Wir definieren die Dehnung ε als Ableitung der Verformung, das heißt ε(x) = x u(x). Nah dem Hookeshen Gesetz ist die Spannung σ (die Kraft pro Flähe) proportional zur Dehnung ε, insbesondere gilt σ(x) = Eε(x), wobei E eine materialabhängige Elastizitätskonstante (das Elastizitätsmodul) bezeihnet. Nah dem Satz von Cauhy über die Existenz des Spannungstensor gilt nun (für den d-fall): b(x) = σ(x),

2 wobei b die Kraftdihte im Material beshreibt. Sei nun [, d] [a, b] ein beliebiges Teilintervall. Dann gilt mit dem Satz von Gauss: b = σ = σ. Hierbei beshreibt b die Oberflähenkraft. Diese Kraft entspriht nah dem 3. Newtonshen Gesetz einer wirkenden Gegenkraft(dihte) f, die beispielsweise durh den Partikelstrom oder auh durh die eigene Masse der Membran erzeugt wird (also das was die Deformation verursaht). Also insgesamt: f = b = σ = (Eε) = (Eu ). Da das Intervall [, d] beliebig war und da die Membran an den Enden fest eingespannt ist, erhalten wir somit: (Eu ) = f in [a, b], u(a) = u(b) = 0. Wenn nun noh ein Hindernis dazu kommt, durh das nun eine weitere zusätzlihe Kraft auf die Membran wirkt, so erhalten wir als letzte Bediningung: u(x) g(x) für x [a, b], wobei g 0 die Position des Hindernisses beshreibt. A.2 Das Hindernisproblem in d Wir betrahten zunähst eine mathematishe Beshreibung des Problems in einer Raumdimension. Die formale Formulierung lautet dabei wie folgt: Problem A.. Sei eine Hindernisfunktion g C 0 [a, b], g 0 gegeben. Finde u C 2 [a, b] mit (Eu ) = f in [a, b], u(a) = u(b) = 0 und u(x) g(x) für x [a, b]. 2

3 Um möglihst allgemein Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung des Hindernisproblems zeigen und betrahten zu können, definieren wir zunähst eine geeignete zugehörige Shwahe Lösung: Definition A.2 (Shwahe Lösung des Hindernisproblems in d). Sei M g := {v H,2 (a, b) v g H (a, b), v(x) g(x) für alle x [a, b]} und J : H,2 (a, b) R gegeben durh J(v) := ( 2 E u 2 fu). Dann heißt u M g Shwahe Lösung, wenn gilt: J(u) = min J(v). Proposition A.3. Sei u shwahe Lösung des Hindernisproblems in d und sei E differenzierbar, dann gilt im klassishen Sinne (Eu ) = f auf jedem offenen Teilintervall (, d) [a, b] auf dem u > g ist, also auf dem u niht das Hindernis g berührt. Beweis. Sei u eine Lösung und es gelte auf (, d): u > g. Dann existiert für jedes φ C0 (, d) ein ɛ 0, so dass für alle ɛ (0, ɛ 0 ), u + ɛφ M g gilt. Wir setzen nun ( ) F (ɛ) := 2 E (u + ɛφ ) 2 (u + ɛφ) f. Da F (0) = J(u) und J(u) = min J(v) hat F in ɛ = 0 ein Minimum und damit F (0) = 0. Also, da F (ɛ) = (Eu + ɛeφ ) φ fφ erhalten wir: 0 = Eu φ fφ = also mit dem Hauptsatz der Variationsrehnung: (Eu ) φ fφ (Eu ) = f auf (, d). φ C 0 (, d), Beahte den Spezialfall f = 0 und E =onst. Dann gilt (u ) = 0 auf (, d), also ist u auf den Bereihen linear, auf denen u niht am Hindernis anliegt. 3

4 A.3 Das allgemeine elliptishe Hindernisproblem Der folgende Satz garantiert die Existenz und Eindeutigkeit einer shwahen Lösung des Hindernisproblems im R n. Eine Shwahe Lösung definieren wir dabei analog zum d-fall über die Minimierung eines Funktionals J. Satz A.4. Sei R n offen, beshränkt und zusammenhängend mit Lipshitz-Rand. Weiter sei das lineare Funktional J gegeben durh: J(v) := 2 A(x) v(x) v(x) + f(x)v(x) dx für v H,2 (), wobei f L 2 () und A (L ()) n n mit A(x)ξ ξ α ξ 2 für alle x und ξ R n, wobei α > 0 eine Konstante ist. Dann existiert für jedes g H,2 () mit g 0 f.ü. und für jede zugehörige Menge M g mit genau eine Lösung u M g mit M g := {v H,2 () v g H (), v g f.ü. in } J(u) = inf J(v). Bemerkung: Wir definieren H () := C 0 () H (). Bemerkung A.5. Ist u klassishe Lösung, d.h. ist u C 0 () C 2 (), dann löst u auh das folgende klassishe Problem: A.4 (A u) = f in, u = 0 auf, u(x) g(x) für alle x. Beweis von Eindeutigkeit und Existenz einer Lösung Bevor wir uns dem eigentlihen Beweis von Satz A.4 zuwenden können, benötigen wir noh ein paar Definitionen und Sätze aus der Funktionalanalysis. Zunähst der Trennungssatz: 4

5 Satz A.6 (Trennungsatz). Sei X ein normierter Raum über R, M X sei abgeshlossen und konvex und x 0 X\M. Dann gibt es ein x X und ein α R mit x (x) α x M und x (x 0 ) > α. Definition der Shwahen Konvergenz: Definition A.7 (Shwahe Konvergenz). Sei X vollständiger Vektorraum und X der zugehörige Dualraum. Eine Folge (x k ) k N in X heißt shwah konvergent gegen x X für k (wir shreiben x k x) wenn gilt x (x k ) x (x) für alle x X. Beshränkte Folgen in Hilberträumen besitzen shwah-konvergente Teilfolgen: Satz A.8. In jedem Hilbertraum X ist die abgeshlossene Einheitskugel B (0) X folgenkompakt. X shwah Wir beginnen nun den Beweis von Satz A.4 mit dem folgenden Lemma: Lemma A.9. Seien die Voraussetzungen von Satz A.4 erfüllt, dann existiert eine Konstante C > 0 so dass für alle v M g gilt: Beweis. Sei v M g beliebig. Zunähst gilt: Also J(v) C v 2 L 2 () C. v L2 () = v g + g L2 () v g L 2 () + g L 2 () P oinaré Ungl. C p v g L2 () + g L2 () C p v + C p g L2 () + g L2 (). v L 2 () C p v + C p g L 2 () + g L 2 (). () Damit gilt J(v) = A v v + fv 2 2 α v 2 f v Cauhy Shwarz 2 α v 2 f L 2 () v L 2 () = 2 α v 2 L 2 () f L 2 () v L2 () () 2 α v 2 L 2 () f L 2 ()(C p v + C p g L2 () + g L2 ()) Y oung Ungleihung 2 α v 2 L 2 () C p 2ɛ f 2 L 2 () ɛc p 2 v 2 L 2 () f L 2 ()(C p g L2 () + g L2 ()) C v 2 L 2 () C 2, 5

6 wobei C = α ɛcp 2 und C 2 = Cp 2ɛ f 2 L 2 () + f L 2 ()(C p g L 2 () + g L 2 ()). Wir können jetzt mit dem Hauptbeweis beginnen: Hauptbeweis. Nah Lemma A.9 gilt: J(v) C v 2 L 2 () C C. Also ist J nah unten beshränkt auf M g und es gilt: d := inf J(v) R. Wir können also eine Minimalfolge in (u k ) k N in M g wählen, mit J(u k ) k d = inf J(v). Damit ist J(u k ) beshränkt und damit auh u k L2 (), denn nah nah Lemma A.9 gilt Mit () ist damit auh u k L 2 () beshränkt: u k L2 () C + C 2 J(u k ) C. u k L2 () C p u k L2 () + C p g L2 () + g L2 () C. Also ist (u k ) k N eine beshränkte Folge in H,2 (). Wir können demnah Theorem A.8 anwenden. u H,2 () eine Teilfolge (u kl ) l N von (u k ) k N mit Es bleiben zwei Dinge zu zeigen:. u M g 2. J(u) = inf J(v). u kl u in H,2 (). Wir zeigen zunähst u M g. M g ist offensihtlih konvex und auh abgeshlossen, denn sei v k eine Folge in M g, die stark in H,2 () gegen ein v konvergiert, dann gilt: v k g v g H (), denn der H () ist per Definition abgeshlossen. v g fast überall in, denn aus v k v in L 2 () folgt, dass eine Teilfolge von v k existiert, die punktweise fast überall gegen v konvergiert. Also v(x) = lim l v kl (x) g(x) f.ü. Da M g also konvex und abgeshlossen, folgt mit dem Trennungssatz (bzw. einer Folgerung daraus, siehe Übungsaufgabe 2 auf Blatt 06), dass M g shwah abgeshlossen ist. Also ist der Shwahe Grenzwert jeder Folge in M g wieder in M g. Also u M g. Als nähstes zeigen wir J(u) = inf J(v). Dazu überzeugen wir uns als erstes davon, dass die folgenden beiden Eigenshaften gelten: u kl f uf und A u kl u A u u. (2) 6

7 Exemplarish zeigen wir nur die 2. Eigenshaft. Dazu definieren wir: L(v) := A v u für v H,2 (). L ist ein stetiges, lineares Funktional, denn L(v) = A v u A L v L 2 () u L 2 () C(A, u) v H,2 (). Also L (H,2 ()). Nah Definition von shwaher Konvergenz folgt damit: A u kl u = L(u kl ) L(u) = A u u. Damit können wir jetzt endlih J(u) = inf J(v) zeigen: J(u kl ) = 2 A u k l u kl + fu kl = 2 A (u + u k l u) (u + u kl u) + fu kl = A u u + A (u kl u) (u kl u) + A u (u kl u) + A (u kl u) u + 2 A u u + A u (u kl u) + A (u kl u) u + fu kl 2 (2) A u u + fu = J(u). 2 Also Also: was die Existenz einer Lösung beweist. inf J(v) = d = lim J(u kl ) J(u) u Mg inf J(v). l J(u) = inf J(v), Für die Eindeutigkeit der Lösung, siehe Übungsaufgabe 3 auf Blatt 06. fu kl 7