Eigenschwingungen einer Pfeife

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1 Eigenshwingungen einer Pfeife Die Pfeife einer Orgel bringt einen Ton hervor, weil die Luftmoleküle sih in ihrem Innern hin- und herbewegen und dabei örtlih Verdihtungen und Verdünnungen der Luft erzeugen Diese dringen nah Außen und gelangen als Shallwellen an unser Ohr Die Anzahl der Hin- und Herbewegungen oder Shwingungen pro Sekunde, genannt Frequenz, bestimmt die Tonhöhe Je größer die Frequenz, desto höher ist der Ton Frequenzen misst man in der Einheit Hertz, 1 Hertz (1 Hz entspriht genau einer Shwingung pro Sekunde Eine 8 Fuß lange Pfeife beispielsweise ertönt mit 65,41 Hz In der Musik bezeihnet man die zugehörige Tonhöhe als C ( groß C Was die Physik der (Orgel-Pfeife anbetrifft, beshränken wir uns darauf, die Frequenzen zu berehnen, die eine Pfeife gegebener Länge hervorbringt Das lässt sih auf Shulniveau tun wem das zu simpel oder bekannt ist, überspringe die nahfolgende Theorie Ein kurzer Blik in den Gerthsen [Ger 2] oder ein ähnlihes Werk kann aber niht shaden Die berehneten Frequenzen vergleihen wir dann mit dem Ergebnis eines Experiments Auh dieses geht niht über das Niveau eines Shulphysikkurses hinaus Zunähst mahen wir uns ein vereinfahtes Modell der Pfeife: ein ohr, dessen beide Enden offen sind Eine normale Orgelpfeife ist zwar dem Augenshein nah nur an einem der beiden Enden offen das andere Ende, durh das sie angeblasen wird, wirkt aber wie ein offenes Ende Wir starten unsere Theorie mit der Annahme, dass an den Enden des ohres der Dihte- und Drukuntershied zur Außenluft Null sein muss Daher gibt es dort keine Bewegung der Luftmoleküle Die Shwingung hat, wie man sagt, an den beiden Enden der Pfeife einen Knoten 1 In der Mitte der Pfeife ist die Shwingung dagegen am heftigsten, die Shwingungsweite der Luftmoleküle am größten Hier befindet sih, physikalish gesprohen, ein Shwingungsbauh Von den Enden aus steigt die Shwingungsweite zur Mitte hin kontinuierlih an anfangs shnell, in der Nähe der Mitte langsamer Theoretish ergibt sih eine sinusförmige Verteilung der Shwingungsweite, und zwar so, dass zwishen den Enden der Pfeife genau eine halbe Sinuswelle Platz hat Zudem zeigt sih, dass diese Verteilung der Shwingungsweite seine Form und Lage niht verändert Es handelt sih, wie man sagt, um eine stehende Welle 2 Die Wellenlänge dieser stehenden Welle ist, da sie nur zur Hälfte in die Länge der Pfeife passt, das Zweifahe der Pfeifenlänge Bezeihnet man die Pfeifenlänge mit L, die Wellenlänge der stehenden Welle mit, gilt also (1 2 Nun ist die Wellenlänge über die Beziehung (2 f mit der Frequenz f des akustish hörbaren Tons verknüpf ( = Shallgeshwindigkeit Setzt man = 2L aus Gl (1 in Gl (2 ein, folgt (3 f 2L Dies ist die Frequenz des Grundtons der Pfeife Weitere Töne, genannt Obertöne, sind allerdings der Theorie nah auh möglih Sie entsprehen Shwingungsmustern mit Knoten niht nur an den Enden der Pfeife, sondern auh im Innern des ohrs Bei genau einem Shwingungsknoten in der Mitte wäre die Wellenlänge gleih der Pfeifenlänge, die Frequenz daher doppelt so hoh wie die des Grundtons Zwei Knoten würden die Pfeifenlänge dritteln, so dass die Wellenlänge ein Drittel der Grundwellenlänge ist Die Frequenz ist dann das Dreifahe der Grundtonfrequenz, usw Die Oberton-Frequenzen f n sind damit ganzzahlige Vielfahe der Frequenz in Gl (3, also gegeben durh (4 f n ( n 1,2,3, 2L 1

2 Die Zahl n nummeriert die möglihen Obertöne (einshließlih Grundton, die auh Harmonishe genannt werden Den Grundton bezeihnet man als 1 Harmonishe, den ersten Oberton (doppelte Frequenz als 2 Harmonishe, usw Die Frequenzen der Harmonishen heißen auh Eigenfrequenzen Abbildung 1 Versuhsanordnung Der Shallpegel wird mit der Shaltung am rehten Ende des ohres gemessen (Mikrophon, Verstärker, Gleihrihter, Integrator und Voltmeter Gleihung (4 lässt sih experimentell mit einfahen Mitteln nahprüfen: Wir benutzen als Pfeifenmodell ein Papprohr von 3,5 m Durhmesser, das wir an einem Ende mit dem Ton eines Lautsprehers anblasen Der Lautspreher befindet sih in Verlängerung der ohrahse etwa 5 m vom Ende der Pfeife entfernt Er ist an einen NF-Sinusgenerator angeshlossen, dessen Frequenz variiert wird Eine shematishe Darstellung der Messanordnung zeigt Abbildung 1 Abbildung 2 Eigenfrequenzen der ersten 1 Harmonishen einer Pfeife der Länge L = 1,416 m Trifft man beim Durhstimmen des NF-Generators auf eine Frequenz, die durh Gl (4 gegeben ist, shwingt die Luft im ohr mit und der Ton wird lauter Das lässt sih nah Gehör feststellen oder objektiv mit einem Shallpegelmesser nahweisen In Abbildung 1 besteht der Pegelmesser aus einem Mikrophon, einem NF-Verstärker und einem Gleihrihter mit nahfolgendem Tiefpass, 2

3 dessen Ausgangsspannung mit einem Voltmeter gemessen wird Die Frequenzen, bei denen der Pegelmesser einen erhöhten Ausshlag zeigt, sind die Frequenzen f n der Harmonishen In Tabelle 1 sind diese für ein ohr der Länge L = 1,416 m aufgelistet Trägt man f n als Funktion von n auf, liegen die Messpunkte, wie nah Gl (4 erwartet, auf einer Geraden durh den Nullpunkt Das zeigt Abbildung 2 Tabelle 1 Eigenfrequenzen (Frequenzen der Harmonishen f n einer beiderseits offenen Pfeife der Länge L = 1,416 m mit dem ohrradius =,175 m Mit n ist die Nummer der Harmonishen bezeihnet n f n /Hz 118,9 236,4 354, Nah Gl (4 könnte man bei bekanntem L aus der Steigung /(2L der Geraden in Abbildung 2 die Shallgeshwindigkeit (in Luft bestimmen Dem steht jedoh im Wege, dass der Drukausgleih an den Enden der Pfeife niht genau am and des ohres erfolgt, sondern weiter draußen Erst diese Tatsahe ermögliht es im Übrigen, dass überhaupt Shall abgestrahlt wird Denn würde die Shwingung der Luftmoleküle im Innern des ohrs abrupt an dessen Enden zum Erliegen kommen, könnten die Moleküle im Außenraum niht mitgerissen werden und die Shallshwingung nah draußen übertragen Insofern ist das Übershwappen der Shwingung in den Außenraum Voraussetzung für die Funktion der Pfeife (siehe auh Anmerkung 1 Man berüksihtigt dieses Übershwappen, indem man die Länge L in Gl (4 durh eine effektive Länge L ersetzt, die größer ist als L Die ehnung zeigt, dass die Vergrößerung der ohrlänge proportional ist zum adius der ohrquershnittflähe Es gilt (5 L Der Faktor heißt Endkorrektur und wurde für unsere hier vorliegenden andbedingungen zum ersten Mal von Levine und Shwinger [LevSh 48] berehnet 3 Da unsere Endkorrektur an beiden Enden anzubringen ist, ist in Gl (5 mit dem Faktor 2 versehen Levine und Shwinger erhielten für adien, die klein sind gegenüber der Wellenlänge, den Wert =,6133 Die Voraussetzung << ist in unserem Fall erfüllt, da der adius = 1,75 m beträgt und die Wellenlänge von der Größenordnung 1 m ist Einen genauen Wert für die Shallgeshwindigkeit erhält man nur, wenn die Endkorrektur berüksihtigt wird Durh Messungen an ohren mit vershiedenen Werten für /L sollte es möglih sein, sowohl als auh zu bestimmen In unserem Fall wurde bei konstantem (= 1,75 m die Länge L variiert 4 Gemessen wurden jeweils die Frequenzen f n der ersten 8 Harmonishen Das Beispiel der Tabelle 1 und Abbildung 2 zeigt sogar die ersten 1 Harmonishen Zur Auswertung der Daten überlegen wir folgendes: Ersetzt man in Gl (4 die Länge L durh die effektive Länge L nah Gl (5, erhält man (6 f n ( n 1,2,3, 2 Das heißt, die Steigung der Geraden durh die Messpunkte der Abbildung 1 (und durh die Punkte der übrigen Messungen sollte sein f (7 n 2 Daraus folgt, dass die mit 2L multiplizierte Steigung einen Term ergibt, der für kleine /L mit der Steigung 2 gegen die Shallgeshwindigkeit gehen sollte Es ist nämlih 3

4 (8 fn L L Tabelle 2 zeigt die Messergebnisse und die daraus folgenden Größen 2L ( f n / Die in der Tabelle aufgeführten Werte von 2L ( f n / wurden als Funktion des Verhältnisses /L Tabelle 2 Die Steigung ( f n / der Ausgleihsgeraden durh die Messpunkte f n als Funktion der Nummer n der Harmonishen (Abbildung 2 zeigt die Punkte für L = 1,416 m In Spalte 4 ist die Größe 2L ( f n / aufgelistet, die nah Gl (8 zur Auswertung benutzt wurde (siehe Text Die Länge L des ohr wurde variiert, der adius der Quershnittsflähe des ohrs war konstant =,175 m Länge L /m /L ( f n //Hz 2L ( f n //m/s,352, ,66 2,29 323,6 1,61,74, ,8,33 333,81,47 1,57, ,84,34 335,79,72 1,416, ,42,13 338,2,37 aufgetragen Abbildung 3 zeigt das Ergebnis An die Messpunkte wurde eine Kurve gemäß Gl (8 angepasst ( 2 /Freiheitsgrad = 1,19 Ihre Extrapolation für /L ergab als Shallgeshwindigkeit = 342,9,7 m/s Dieser Wert stimmt innerhalb der Fehlergrenzen mit Abbildung 3 Messung der Shallgeshwindigkeit und der Endkorrektur Ergebnis: = 342,9,7 m/s, =,57,6 dem überein, den man für eine Umgebungstemperatur von 2 C theoretish berehnet Die Formel für die Shallgeshwindigkeit in einem (idealen Gas lautet T (9, M wobei = 1,42 der Adiabatenexponent für ein zweiatomiges Gas 5, = 8,3145 J/(mol K die universelle Gaskonstante und M =,2896 kg/mol die Molmasse der Luft ist Für eine 4

5 Temperatur von 2 C, entsprehend T = 293,15 K erhält man mit diesen Zahlenwerten als Shallgeshwindigkeit = 343,5 m/s Für die Endkorrektur ergab das Experiment =,57,6, in sehr guter Übereinstimmung mit dem von Levine und Shwinger berehneten Faktor,6133 Die Genauigkeit des experimentellen Wertes beträgt in etwa 1%, für ein Shulexperiment kein shlehtes Ergebnis Anmerkungen 1 Shon hier der Hinweis, dass diese Annahme physikalish fragwürdig ist Denn sie impliziert, dass die Luftmoleküle außerhalb der Pfeife von der Shwingung in ihrem Innern in keiner Weise mitgerissen werden Das heißt, die Pfeife würde keinerlei Shall abstrahlen siehe die Diskussion weiter unten 2 Eine stehende Welle entsteht durh die Überlagerung zweier gegenläufiger Wellen gleiher Frequenz und Amplitude In der Pfeife wird eine einlaufende Welle am Ende des ohrs reflektiert, läuft zurük und wird am gegenüber liegenden Ende wiederum reflektiert usw so bilden sih die beiden gegenläufigen Wellen 3 Für eine Pfeife, die in einer unendlih ausgedehnten Wand (in einem unendlih ausgedehnten Flansh endet, so dass der Shall nur in einen Halbraum abgestrahlt wird, ergibt sih nah Lord ayleigh [ay 77] als Korrekturfaktor =,82 Levine und Shwinger [LevSh 48] berehneten den Faktor für eine Öffnung, die frei in den gesamten, unbegrenzten Außenraum übergeht, also für eine Geometrie, die der ealität (und damit unseren andbedingungen näher kommt 4 Der Durhmesser des Lautsprehers (Abbildung 1 sollte groß sein gegenüber dem des ohres, zumindest aber größer als der des ohres Dann kann man davon ausgehen, dass die Pfeife in etwa durh ebene (Shall-Wellen angeregt wird Diese andbedingung liegt den ehnungen von Levine und Shwinger [LevSh 48] zugrunde, die ein Shallfeld voraussetzen, das im Innern der Pfeife aus gegenläufigen ebenen Wellen besteht Der Lautspreher hatte einen Durhmesser von 5 m, so dass der ohrdurhmesser 2 = 3,5 m die genannte Bedingung gerade erfüllt Somit wären größere ohrradien niht sinnvoll gewesen Papprohre mit kleineren adien hätten sih niht gut zu Shwingungen anregen lassen zumindest in unserer Versuhsanordnung Deshalb wurde im Experiment niht, sondern L variiert 5 Der Adiabatenexponent ist bekanntlih der Quotient der (molaren spezifishen Wärmen, also = C p /C v Literatur Ger 2 Gerthsen, Physik, 21 Auflage, (22, Kapitel 443 LevSh 48 Levine, H und J Shwinger: Phys ev 73, 383 (1948 ay 77 Lord ayleigh: oy So Trans 161, 77 (187; Phil Mag 3, 456 (1877 5