Analytische Geometrie

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Josef Fischer
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1 Analytishe Geometrie Analytishe Geometrie Übungsaufgaben Geraden Oberstufe Alexander Shwarz Oktober 205

2 Analytishe Geometrie Aufgabe : a) Der Punkt R(-/b/) liegt auf der Geraden g: x = + r. Bestimme b und. b) Bestimme a und b so, dass der Punkt R(4/5/b) auf der Geraden g: x = + r a liegt. Aufgabe 2: Gegeben ist das Dreiek ABC mit A(2//0), B(-/0/) und C(0//4). Bestimme die Gleihungen der drei Geraden, die auf der Seite AB bzw. auf der Seite BC bzw. auf der Seite AC liegen. Aufgabe : Untersuhe, wie die Geraden g, h und k zueinander liegen. Sofern sie sih shneiden, gib den Shnittpunkt an. g: x = 2 + r h: x = 4 + r k: 4 x = + r 6 6 Aufgabe 4: a) Gib Werte für a, b,, d an, so dass die Geraden g und h parallel, aber niht identish sind. 0 g: x = a + r h: x = + s b 4 2 b) Gib Werte für a, b,, d an, so dass die Geraden g und h windshief sind. g: x = 0 + r h: b x = 0 + s a Aufgabe 5: Um einen Tunnel zu bauen, beginnen zwei Bautrupps von den Enden aus gleihzeitig zu 4 graben. Trupp A gräbt von A(-0,4/,6/,6) aus in Rihtung des Vektors, Trupp B gräbt 4 von B(/-/2) aus in Rihtung. a) Zeige, dass sih die beiden Bohrtrupps niht treffen werden. b) Als Trupp B am Punkt P(,4/-0,7/2,) angekommen ist, bemerken sie ihren Irrtum. In welhe Rihtung muss Trupp B nun weitergraben, wenn sih die beiden Trupps im Punkt T(,6/0,6/2,6) treffen sollen? ) Muss Trupp A ebenfalls irgendwann eine Rihtungsänderung vornehmen? 2

3 Analytishe Geometrie Aufgabe : a) Punktprobe von R: b = + r Aus der.zeile folgt: = 2 + 2r r =,5 Aus der 2.Zeile folgt: b = 4,5 =,5 Aus der.zeile folgt: = 0 +,5 =,5 4 b) Punktprobe von R: 5 = + r b Aus der.zeile folgt: 4 = + r r = Aus der 2.Zeile folgt: 5 = + a a = 4 Aus der.zeile folgt: b = + 2 = Lösungen Aufgabe 2: Gerade auf AB : g: Gerade auf BC : g: x = + r x = 0 + r Gerade auf AC : g: 2 x = + r 2 4 Aufgabe : Lage der Geraden g und k: Die Rihtungsvektoren der beiden Geraden sind Vielfahe: 2 = 6. Die Geraden sind daher entweder identish oder eht parallel. 4 Kontrolle, ob der Punkt P(/2/0), der auf g liegt, auh auf k liegt: 2 = + r 6 6 Aus der.zeile folgt r = -,5 und aus der 2.Zeile r =. 6 Damit liegt P niht auf der Geraden k. Die Geraden g und k sind eht parallel. Lage der Geraden g und h: Die Rihtungsvektoren der beiden Geraden sind keine Vielfahe. Daher shneiden sih g und h oder sie sind windshief zueinander.

4 Analytishe Geometrie Prüfung durh Gleihsetzen: 2 + r = 4 + s r = + s 2 + r = 4 + s 0 + r = 6 + 2s Aus der.zeile folgt: r = 2 s (*) Einsetzen in 2.Zeile: 2 + ( 2 s) = 4 + s 4 9s = 4 + s s = 0 Aus (*) folgt dann r = -2 Prüfung mit Zeile : 0 + ( 2) = ist eine wahre Aussage Die Geraden g und h shneiden sih. Einsetzen von s = 0 in die Gerade h ergibt den Shnittpunkt S(/-4/-6). Lage der Geraden h und k: Die Rihtungsvektoren der beiden Geraden sind keine Vielfahe. Daher shneiden sih h und k oder sie sind windshief zueinander. Prüfung durh Gleihsetzen: 4 + r 6 = 4 + s r = + s 6r = 4 + s 6 6r = 6 + 2s Aus der.zeile folgt: r = 0,5 +,5s (*) Einsetzen in 2.Zeile: 6( 0,5 +,5s) = 4 + s 6 9s = 4 + s s = Aus (*) folgt dann r = Prüfung mit Zeile : 6 6 = ist eine falshe Aussage Die Geraden h und k sind windshief zueinander. Aufgabe 4: a) g und h sind parallel, wenn die Rihtungsvektoren Vielfahe zueinander sind: k = Aus Zeile : k = 2; aus Zeile 2: = 6 ; aus Zeile : d = 8. 4 a und b müssen so gewählt werden, dass der Punkt P(2/a/b) niht auf der Geraden h liegt. Für die Wahl von a und b gibt es viele Lösungsmöglihkeiten: 0 a = + s b 2 Aus Zeile folgt s =. Damit der Punkt niht auf der Geraden h liegt muss aus Zeile 2 folgen: a + 6. Damit der Punkt niht auf der Geraden h liegt, muss aus Zeile folgen: b Es dürfen für a und b alle Zahlenwerte gewählt werden, nur niht a = 7 und b = 6. 4

5 Analytishe Geometrie b) Der Rihtungsvektor der Geraden h darf kein Vielfahes vom Rihtungsvektor von g sein. Es gibt unendlih viele Möglihkeiten für die Werte von b, und d. Beispielsweise wäre möglih b =, = 0 und d = 0. Der Wert a muss so gewählt werden, dass beim Gleihsetzen der Geraden keine Lösung existiert. 0 + s 0 = 0 + r 0 a Aus der.zeile folgt, dass a niht 2 sein darf. Ansonsten sind alle Zahlenwerte für a möglih. Aufgabe 5: 0,4 4 a) Tunnelgerade Trupp A: g: x =,6 + r,6 4 Tunnelgerade Trupp B: h: x = + s 2 Kontrolle, ob die Geraden g und h sih shneiden: Die Geraden haben keine Vielfahen Rihtungsvektoren, daher shneiden sih die Geraden oder sie sind zueinander windshief. Prüfung durh Gleihsetzen: 0, 4 4 4,6 + r = + s,6 2 0,4 + 4r = + 4s,6 r = + s,6 r = 2 + s Aus der 2.Zeile folgt: r = 2,6 s (*) Einsetzen in.zeile: 0,4 + 4(2,6 s) = + 4s 0 2s = + 4s s = 0,475 Aus (*) folgt dann r =,2875 Prüfung mit Zeile :,6,2875 = 2 + 0,475 ist eine falshe Aussage Die Geraden g und h sind windshief zueinander. 0,2 b) Trupp B muss in Rihtung PT =, weiter bohren. 0,5 ) Kontrolle, ob der Punkt T(,6/0,6/2,6) auf der Geraden g liegt:,6 0, 4 4 0,6 =,6 + r 2,6,6 Alle Zeilen haben die Lösung r =. Da der Punkt T auf der Bohrgeraden des Trupps A liegt, muss Trupp A keine Rihtungsänderung vornehmen. 5

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