Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht. 1 Sinus und Kosinus am Einheitskreis

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1 Seite Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht II Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht Sinus und Kosinus am Einheitskreis S. 36 a) P 3 ) β = 50 S. 38 Man zeihnet einen Einheitskreis (z. B. mit der Einheit 0 m) und liest die - zw. -Koordinate der Punkte P α auf dem Einheitskreis a. a) ) ) d) e) f) α sin α 0,6 0,97 0, 0, 0,57 0,57 os α 0,97 0,6 0,9 0,9 0,8 0,8 t 3 a) 0,30 ) 0,793 ) 0,8 d) 0,70 e) 0,766 f) 0,350 a) sin 0 = 0; sin 90 = ; sin 80 = 0; sin 70 = ) os 0 = ; os 90 = 0; os 80 = ; os 70 = 0 t 5 a) α 5,0 ; α 65,0 ) α,3 ; α 335,7 ) α 53,3 ; α 86,7 d) α 7,3 ; α 87,7 e) α 08,6 ; α 33, f) α 9,9 ; α 65, S a) 90 < α < 80 ) 70 < α < 360 ) 80 < α < 70 α 7 Aus = 360 folgt α =,6, also P( 0, 0,9). 8 a) sin 35 = sin 5 = sin 7 6 = sin 0 = sin 30 = os 3 = os 0 = os 60 = sin 7 = sin 35 = sin 5 = os 35 = os 5 = ) sin α = für α = 90 sin α = 0 für α = 0 ; α = 80 sin α = für α = 70 sin α = für α = 5 ; α = 35 os α = 3 für α = 50 ; α = 0 os α = 0 für α = 90 ; α = 70 os α = für α = 0 os α = für α = 0 ; α = 0 p 9 a) falsh, da sin α ) falsh, da os 0 = os 60 = 0,5 ) wahr, da os = os 0 = os 0 3 d) falsh, da = 0,68 ein Winkel im I. Quadranten mit positivem sin-wert ist 5 e) falsh, da sin 5 + os 5 = sin 5 + os 35 = sin 5 os 5 = = 0 f) wahr, da sin 3 + os 5 3 = sin 60 + os 300 e) Individuelle Lösungen = sin 60 + os 60 = 3 + = sin α 0 a) Das Vorzeihen ergit sih jeweils aus dem Quotienten (z.b. im III. Quadranten os α Zähler < 0, Nenner > 0): I. Quadrant: +; II. Quadrant: ; III. Quadrant: +; IV. Quadrant: sin 60 ) tan 60 = = 3 = os 60 3 ) tan,5,; tan 3,5 0,653; tan = tan 98,6,83; tan 0,65, d) ε 6,9 ; ε 96,9 Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

2 Seite 39 Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht gw a) Leikon, Internet ) Für P: os 30 = P = 3; sin 30 = P = Für Q: r =,5 +,5 3 r = 5,5 = Da Q < 0 und Q < 0 gilt 80 < φ < 70 ; os φ = φ = 60 φ = 0 5 ) φ 9 ; r 5,5km; φ 3 ; r 6,5km; φ 3 36 ; r 3 3,5km r P os φ = 3,6; sin φ =, P (3,6,) Entsprehend: P (,3,9); P 3 (,9,0) a) / = ± ) = 0; = 3 r P Der Sinussatz S. 0 a) Maa meint: Da α =,5 β ist, muss a =,5 sein. Sie maht folgenden Fehler: Zwar liegt in jedem Dreiek dem größeren Winkel die längere Seite gegenüer, aer Winkelgrößen und Seitenlängen sind niht proportional. ) e = sin α,sm a ) a = sin 6,8 sm, wie angegeen β oder: + = os α+a os β 8,sm = AB, wie angegeen S. m Z.B.: C ABC: α = 0 ; β = 5 ; γ = 5 ; a =,06m; =,3m; = 5,00 C sin α = s in 0,06 m a 0,5 = sin β sin 5,3m α = 50 C α = 30 sin α sin 0,06 m a = 0, = sin 5 5,00m α = 0 sin γ C α = 0 sin β sin 5,3 m = 0,86 = sin γ sin 5 5,00m A B Analog lässt sih der Sinussatz für die Dreieke ABC, ABC und ABC estätigen. a 3 a) +a sin α a = ; +a sin α = ; sin 80 α γ = sin 80 α γ ) = sin 80 α γ sin γ sin γ sin γ a ) +a sin α +γ = a d) = ; = ; = sin 80 α γ sin γ wα sin 80 α γ sin α +γ sin α +γ a sin α sin α sin80 α γ a e) = ; = ; = sin80 α γ wα sinγ wα sin γ ntm Ergänzend zum Lösungssalat sind die ürigen Stüke angegeen. Es git jeweils eine Lösung, da der in Klammern angeführte Kongruenzsatz zutrifft. a) α 7,9 ; γ 6, ; 5,36 m (SsW) ) α 9,8 ; β 35, ; 8,33 m (SsW) ) β 38,8 ; γ 3, ;, m (SsW) d) γ 99,6 ; 6,86m;,8 m (SWW) e) γ 3,7 ; α,8 ; a 3,70 dm (SsW) f) α 66 ; a 7,99 m; 5,63 m (SWW) sin α a sin α w α 5 γ 79 sin β sin γ 85,5m Breite: h = sin α 55m C γ α A h = 96 m β B Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

3 Seite 3 Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht nt 6 Der gegeene Winkel liegt jeweils der kleineren Seite gegenüer, so dass der SsW-Satz niht anwendar ist. Die Lösung ist daher niht eindeutig. a) β 6,7 ; γ 80,3 ; 5,67m β 5,3 ; γ 9,7 ;,85m ) γ 8, ; α 68,8 ; a 7,83m γ 98,8 ; α 5, ; a 6,5m ) α 5, ; β 95, ; 0,83m α 8,6 ; β 7,9 ; 3,35m d) β 73, ; α 56,8 ; a 6,m β 06,8 ; α 3, ; a,88m p 7 a) Lösung: β = 90 ; γ = 60 ; 5,0m ) Es ergit sih sin β = 5 6 >, also keine Lösung. ) Lösungen: γ 5,8 ; β 88, ; 7,00m ) Lösungen: γ 8, ; β,8 ;,3m d) Es ergit sih sin γ = >, also keine Lösung. e) Lösung: γ 0 ; 8,m f) Individuelle Lösungen v 8 a) Es gehören zusammen: 0,69m; β 8,7 ; γ,8 n 8 a) Es gehören zusammen:,69m; β 5,3 ; γ 9, Begründung: ist die kleinste Seite im Dreiek, daher muss für den Gegenwinkel γ γ < α gelten, also γ,8. Wegen der Winkelsumme im Dreiek muss β 8,7 sein. (Entsprehend kann ausgehend von als größter Seite im Dreiek argumentiert werden.) ) P = =! 9 a sin α sin α a a sin α a sin β a) = = tan α = ; = sin α = ; = sin β = sin 90 α os α a sin α sin α sin α ) = = = sin γ sin 80 α sin α 0 a) δ = 08 Man zeihnet z. B. die Parallele zu AD durh C und rehnet im ABC mit AB = a. γ 6,6 γ = α+γ 36,6 β = 3, ; d,89m ) δ = 0 ; γ = 75 Aus dem Hilfsdreiek ABC (vgl. a)) ergit sih d,70m,,59m. Dreiek ABD: BD = sin δ mit δ = ADB Dreiek ADC: sin DC α = sin 80 δ Da sin 80 δ = sin δ ist, gilt: BD = DC zw. BD =. DC Die Winkelhalierende teilt die Gegenseite im Verhältnis der anliegenden Seiten. S. 3 γ sin β a) = sin γ AB sin 80 β sin β = AB = sin β α AB h sin β α 88,m β h = sin α 66,35m α β A B h ) tan α = ; tan β = h +AB tan α +AB = tan β tan α AB = tan β tanα 9,57m h = tan β 66,35m,85 3 a) AB = km =,km; β = LBA = 96 +9,6 = 5,6 γ = ALB = 3, sin β AB sin γ sin α AL = 7,089km; α = LAB = 8 63 = ; BL = 7,83km ) d = BL os(8 9,6 ),78km sin α AB sin γ Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

4 Seite 3 5 Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht AC sin β sin β a) = AC = AB 338,5m; h = AC tan γ 09,7m AB sin 80 α β sin α+β Der Winkel δ wurde ei dieser Rehnung niht enutzt. sin α ) BC = sin α +β AB 373,39m; h = BC tan δ 09,5m Die geringe Differenz zwishen den eiden Ergenissen ist auf Messfehler zurükzuführen. Bei großer Differenz könnte man der Messung niht mehr trauen. 5 a) h = h+ab mit h = sin β AM h = sin β AM + AB AM AR sin MRA = sin AMR mit MRA = 80 α AMR = 80 α β MRA = α β AB sin 80 α AR = 586,8m AM = AR 8685,8m h 665,7m sin α sin α β 6 möglihe Lösungen: a) ) a ) 3s+ d) a+a 3 3 Der Kosinussatz S. a) Für α = 90 ist BC = +. ) Es gilt: = os α und h = sin α. BC = +h = os α + sin α = os α+ os α+ sin α i ij = os α+ S. 5 v In jedem Dreiek ist das Quadrat einer Seitenlänge gleih der Summe der Quadrate der eiden anderen Seitenlängen vermindert um das Doppelte des Produkts aus diesen eiden Seitenlängen und dem Kosinus des von ihnen eingeshlossenen Winkels. Da os 90 = 0, ist der Satz des Pthagoras ein Spezialfall des Kosinussatzes, denn für rehtwinklige Dreieke mit γ = 90 erhält man =a +. n 3 Außer ei Teilaufgae f) kann aufgrund der Angaen die Eindeutigkeit der Lösung gefolgert werden. Der zutreffende Kongruenzsatz ist jeweils in Klammern angegeen. a) α, ; β 55,8 ; γ 8,8 (SSS) ) a,58m; α 70,9 ; γ 9, (SWS) ) α 3,8 ; β 38, ;,0 m (SsW) d) α 6, ; β 7,7 ; γ, (SSS) e) 73,08m; α 37,6 ; β 6,9 (SWS) f) α,8 ; a 3,m; β 6, ; γ 77 (Es git noh ein stumpfwinkliges Dreiek mit α 38, ; a = 8,88m; β 9,8 ; γ,0.) g) a 7,m; β 3, ; γ 5,9 (SWS) n a) os α = = = s α 75,5 (= β) γ 9,0 Alle Dreieke mit s = sind nah dem WW-Satz ähnlih. ) = s ( os γ) zw. 0 = s os α ) Aus ) folgt: s = s 5,m oder s = s 5,m ( osγ) i hi = f gi os α d) = s os α 6,55 m oder: = s ( osγ) 6,55m Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

5 Seite 6 Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht S. 6 5 a) C = AB = 5,5 ABC ist gleihshenklig-rehtwinklig. p = AC = 7 +7 = 7 9,90; α = 5 β a = BC =, = 05 7,6 7 A B B tan β= β= 77,9 β= 0, ; γ= 3,9,5 A = 5,5 7 = 9,5 ) a = BC = = 3 5 6,7 = AC = + =,83 C = AB = + 5 = 6,0 A Mit dem Kosinussatz ergit sih: os α = α 83,7 8 B 3 os β = β,8 ; γ 7,5 05 h a = sin β,68 A = h a a 9 ) Individuelle Lösungen 6 C Man erehnet z.b. das rehtwinklige ABS mit BAS = α. Dann ist e =,3m os 37 e 6,87m f f D B S =,3m sin 37 f 5,8m e α Anmerkung: e ergit sih auh mit dem Kosinussatz, auf das gleihshenklige Anmerkung: ABC mit β = 06 (analog f) angewendet. A 7 = e + f e f a = e + f e f os (80 8 d = = 5,5m; = a = 0,m o s 8 5,5m ) 0,m 8 a) ABC: e = a + a os β e,6m ACD: e = +d d os δ δ 9,9 ABC: sin β sin α = e α 0, ACD: sin δ sin α = e α 7,5 α = α +α 67,6 ; γ = 360 (α+β+δ) 07,5 ) ABD: f = a +d ad os α α 7, d sin α sin β = f β 0, BCD: f = + os γ γ 9,9 sin γ sin β = f β 36,7 β = β + β 57, ; δ = 360 (α+β+γ) 35,9 9 a) Untershied der Fläheninhalte: a + = a +a + a os β = aa os β 6,50m 6,50m Prozentualer Untershied: m 0,05,5% ) Die Fläheninhalte sind gleih, wenn gilt: a a os β = 0 a os β = 0 os β = a = 7 β = 5,3 Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

6 Seite 6 7 Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht n 0 a) Die Raumdiagonalen halieren sih gegenseitig und sind alle gleih lang. AS = BS = d AB = d + d d d os α Mit d = AB + BC +AE folgt: BC os α = +AE AB 0,73 α 00,0 Aus BC = d + d d d os ε folgt entsprehend os ε = 0,339 ε 70, ) Unter Verwendung des Ergenisses von a) ergit sih os ε = 3 a ε 70,5 3 h AB +AE BC AB + BC +AE a) sin α = α,8 a = + os α a 3,m h sin β = a β 6, γ = 80 (α+β) 77 h a ) sin β = β 3,7 C = w β + β w β os 73,3m AB + BC +AE a w β sin β sin α = α 3, γ = 80 (α+β), sin β sin α = 07,6m; a = 7,5m sin γ sin γ A h a w β B a) s = r +r r os α s 6,88m s α ) sin = r α 0,7 ) s = r +r r os α = r ( os α) s = r ( osα) Üerprüfung z. B. mit α = 0 s = 0; α = 60 s = r; α = 80 s = r 3 a) Seitenflähe BCS: h = B S a = m Seitenflähe ASD: h = A S a = 5m Neigungswinkel ε der Seitenflähe BCS: h = a +h ah os ε ε 05, Neigungswinkel ε der Seitenflähe ASD: h = a +h ah os ε ε,8 Pramidenhöhe h: h = h sin ε 5,5m Neigungswinkel ε 3 der Seitenflähe ABS (gilt aus Smmetriegründen auh für CDS): h tan ε 3 = ε 3 69,9 a A ε h D h 3 h S ε 3 ε B h α α C n ) h 3 = h + a 5,8m Oerfläheninhalt: O = a + a (h 3 +h + h ) 66,0m Volumen: V = 3 a h 9,09m 3 a) γ,0 ; β 3,0 ; 0,5m ) sin α,3383 > es eistiert kein Dreiek ) β = 90 ;,5km d) γ = 90 ; α = 60 ; a 6,06m S. 7 5 v = v S hi ff+ v St v Strömung römung vs hi ff vst römung os5 7,3 Knoten sin α = sin 5 v α =,3 Das Shiff weiht durh die Strömung um,3 von seinem Kurs a. α v Shiff v 5 v Strömung Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

7 Seite 7 Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht 6 ABP: APB = γ = 80 α β = 8,9 (36,0 ) sin β AP = sin γ AB 83,63m (,59m) ABQ: AQB = δ = 80 α β = 6,5 (3,5 ) sin β AQ = AB 398,6m (9,3m) AQP: PQ = AP +AQ AP AQ os(α α ) PQ 65,08m (0,5m) 7 PQ = km sin δ AQP: α = 80 γ δ = 76 ( ) AP = PQ 0,606km (0,70km) PBQ: β = 80 γ δ = 53 (37 ) BP = PQ,7km (,65km) ABP: AB = AP +BP AP BP os(γ γ ) AB 0,75km (,5km) AB PQ = PQ,396km (,80km) ag + Möglihe Öffnung der Aufgae: Projektvorshlag am Rand w 8 a) Die Stoßweite l wird gemessen als Entfernung zwishen dem ersten Eindruk der Kugel am Boden und dem inneren Rand des Stoßkreises, woei das Maßand üer den Kreismittelpunkt geführt werden muss. Die Stoßrihtung durh den Kreismittelpunkt ist ideal, da so tatsählihe und gewertete Stoßweite gleih sind, andernfalls ist die gewertete Weite immer geringer als die tatsählihe. r sin(80 α) γ ) sin γ = r+ l γ,0 µ 9,0 α l sin µ = r+ l 0,0m Um AB sin(80 α) l sin δ sin α sin δ sin β 3,0 ist die gewertete Weite geringer als die tatsählihe. 9 S Aus Smmetriegründen gilt: A = A Sektor M ; α A M M S + A Sektor M ; α µ r α M α M M M S: M S = M S +M M M S M M os α M S sin α α 9, sin α α 3,6 Höhe durh M : h = M M sin α 3,60m α A = r r h + r 30,95m 360 M S α 360 n 0 Für den Winkel α gilt nah dem Kosinussatz: + = a +a + + aa + + os α os α = + + Analog: os β = ; os γ = a+ + a) α = 5 ; β 55,6 ; γ 6,9 ) os α + os β + os a γ = + + = a + + a + + a + + a a a+ + a) β = α = 5, da eide Shenkel eider Winkel jeweils senkreht aufeinander stehen. K = D +D D D os β = ( os β) D D = K os β 63N ) D = K: K = K +K K K os β os β = α = β = 60 D = K: K = K +K K K os β os β = 7 8 α = β = 9 Die Teildreieke sind rehtwinklig, also gilt: α+β = 90. Zwishen den Winkeln β liegt also nohmals ein Winkel β. 3β = 80, also β = 60 und α = 30. Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

8 Seite 8 5 Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht Trigonometrishe Funktionen S. 8 a) ) Pos. 3 n 30m 5m 5m 5m 30 h in m 0 0 O t in s 0 30 a) sin O 3 os ) sin 3 = 0,7; os( 00 ) = 0,; sin = 0,7; os 5 = 0,7; sin 00 = 0,6; sin(,5) = 0,6; os 8,7 = 0,7; sin 3 = 0,9 3 a) 0 ) 0 ) d) e) f) 0,5 g) 3 h) 3 i) k) l) 0 m) S. 5 Individuelle Lösungen; z. B. Sonnenstand im Tages-/Jahreslauf, Ee und Flut, Lihtwellen, Sinustöne, Motorkolen, Turine. Es sollte ehte Periodizität vorliegen; z. B. ein Temperaturverlauf üer mehrere Tage ist ungeeignet. t 5 a) 0,995 ) 0,0859 ) 0,9397 d) 0,7985 e) 0,599 f) 0,939 g) 0,85 h) 0,7089 i) 0,8090 k) 0,990 l) 0, Periode T 0,035s nw 7 a) 7 8 s ) Individuelle Lösungen; Herzrhthmusstörungen sind am Ausleien einer regelmäßigen Periode zu erkennen. 8 a) = 3 ; = ) = 7 ; = ; 3 = ; = 7 ) = 7 ; 6 = 5 ; 6 3 = 5 6 ; = 7 6 d) = 5 ; 6 = ; 6 3 = 7 ; 6 = 6 9 a) Die Funktion h ist periodish, wenn sih das Fahrrad mit konstanter Geshwindigkeit fortewegt. ) Z.B. h h ma ap h min Höhe des Reifens ) Individuelle Lösungen t Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

9 Seite 5 5 Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht pt 0 a) sin 5 sin +, sin 3 sin 0,7 ) os os 3 +3,5 os ) os 3 os( 5 0,6 os 6 os 6 = 3 0,9 d) sin 753 sin( sin 30 0,5 e) sin 5 sin 7 sin 3 sin 3 3 0,9 f) os 300 os os 0 os ,9 g) Individuelle Lösungen t a),;,9 ) 0,89; 5,39 ),66; 3,6 d) keine Lösung, da sin> e),6; 5,6 f),75;,5 g) keine Lösung, da os> h) 3,73; 5,70 t a),05+k ; 5,+k kz ) 0,6+k ;,50+k kz ),07+k ; 5,35+k kz d),77+k ;,5+k kz os a) a) a) 0,5 d) O d) d) 0, ) ) ) sin 0,6 ) ) O ) ) 0,8 S. 5 3 a) Z.B. ;, 0;, ; 0+ ) Z.B. ;, 3 ; 3, ; ) Z.B. 0; 0, ; 0, 3 ; 3 d) Z.B. 0; 0, ; 8, ; 3 6 e) Z.B. ; 0, 3; 7, 5 ; 3 f) Z.B. 0; 0, ; 3, 3 ; v a) Die Gleihung hat keine Lösung, da stets sin und os ist und für kein r sin = os = gilt. ) Die Gleihung hat keine Lösung, da für kein r sin = o gilt. s vn 5 f ist eine lineare Funktion; ihr Graph ist eine Gerade. Mit f( 0) = und f (0) = 3 ergit sih W f = [ 3; ]. Für g gilt sin, also W g = [ ; ]. h ist eine quadratishe Funktion; ihr Graph ist eine nah oen geöffnete Parael. Es ist 0, + = 0,( 5), also liegt der Sheitel ei (5 ). Größter Funktionswert im gegeenen Intervall ist h ( 0) =, also W h = [ ; ]. k ist eine gerohenrationale Funktion; ihr Graph ist smmetrish zur -Ahse. Der größte Funktionswert ist k (0) =. Da k( 0) = k (0) = 0, ist W k = [0,; ] O G f G g O G h O 3 5 G k O 3 5 Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

10 Seite 5 Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht vn 6 a) Möglihe Lösungen: Quadratishe Funktionen, deren Graph (Parael) smmetrish zur -Ahse ist und durh die Punkte P ( ) und P () zw. P ( ) und P ( ) geht mit dem Sheitel (0 ) zw. (0). = (Parael nah oen geöffnet) = + (Parael nah unten geöffnet) = Weitere Lösungen ergeen sih, wenn man in die Funktionsgleihung = a ++ O die Koordinaten von P und P (zw. P und = + P ) einsetzt und für a, oder einen elieigen Wert wählt. Es ergit sih z.b. für a = : = +, für = 5: = ) Entsprehend wie ei a) findet man z. B.: = ; = +; = + = + O = 7 a) Mithilfe der Skizze der Graphen = sin und = os in einem Koordinatensstem lassen sih folgende Lösungen estimmen: 7 ; 3 ; 3 ; 5 ) Mithilfe der Skizze der Graphen = sin und = os in einem Koordinatensstem lassen sih folgende Lösungen estimmen: 5 ; ; 3 3 ; 7 m 8 a) p 0,3 0,3 p sin p O 0,5 0,5 os p ) sin gültig für 0,3<<0,3. os gültig für 0,5<<0,5. 9 a) (sin+os) = sin + sin os+os = + sin os ) sin os = (sin +os ) (sin os ) = (sin os ) (sin os ) = sin os m 0 a) p 0,6 O 0,6 os p Es ergit sih 0,6. ) Es ergit sih 0,6 (genauer 0,635). Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

11 Seite 5 56 Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht vm a) Das gele Flähenstük ist näherungsweise ein Dreiek mit g = und h = os =. Also: A g = = 8 ) Der Fläheninhalt A sin zwishen der Sinuskurve und der -Ahse in [0; ] ist gleih dem Fläheninhalt A os der Kosinuskurve und der -Ahse in ; 3. Grünes Flähenstük ( Wurst ): A W = (A sin A g ),9 P( unrauhare Shrauen ) = ,% 5 Die allgemeine Sinusfunktion S. 53 m a) Individuelle Lösungen; a eeinflusst eine Strekung in -Rihtung, eine Strekung in -Rihtung, eine Vershieung in -Rihtung. ) Roter Graph: =,5 sin, da ähnlih der Sinuskurve und Nullstellen wie ei = sin (0; ; ) Shwarzer Graph: = sin, da der Funktionswert des shwarzen Graphen an einer Stelle dem Funktionswert der Sinusfunktion ei gleiht. Blauer Graph: = ( ), Parael mit Sheitel ( ) S. 55 t a),73; (,3;,99;,60) ) 0,8; (0,3; 0,68; 0,50) ),68; ( 0,85;,36; ) d) 0,8; (0,8;,8;,30) 3 Ansatz: = a sin+ Amplitude: a =,5 Periode: = 3, = 5 8 Vershieung: = 0,5 (Vershieung nah rehts) 5 = =,5 sin S. 56 a) ) ) d) e) f) Amplitude,5 0,5 3 Periode a) ) O O ) O d) O e) f) O 3 O Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

12 Seite 56 Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht m 5 a) Amplitude: ; Periode: ; Vershieung um nah links; Nullstellen: k = k, also ; ; 3 p p p ) Amplitude: ; Periode: ; Vershieung um nah rehts; Nullstellen: k = k+, also ; 0; ; ) Amplitude: ; Periode: ; keine Vershieung; Nullstellen: keine, da f() > 0 für alle p 5 3 p p d) Amplitude: 3 ; Periode: ; Vershieung um 3 nah rehts; Nullstellen: k = 3k+ 6, also 3 ; 6 ; ; 3 5 ; 6 ; 3 6 p p p p p p e) Amplitude: ; Periode: ; keine Vershieung; Nullstellen: keine, da f() < 0 für alle p 3 p p f) Amplitude: ; Periode: ; Vershieung um 3 nah links; Nullstellen: k = 6k, 3 also 3 ; 3 p p p 6 Üerlandleitung: t 0000 sin00 t = 0000 sin s 0, 0s t Bundesahnstrom: t 5000 sin s t = 5000 sin 0, 0 t 6s 7 a) t 3ost = 3sint+ Amplitude: 3; Periode: ; Vershieung: (nah links) ) t os 5 t+0, = sin t+0,+ 5 Amplitude: ; Periode: = 5; Vershieung: = 5 + (nah links) ) t os t = sin t Amplitude: ; Periode: = ; Vershieung: = (nah rehts) 8 a) sin = sin = ; sin 3 = 3; sin 0,886 ) Für = 6 und = 5 ist der Funktionswert 0 6 für = ist der Funktionswert ; für,0 und, ist der Funktionswert. ) ist der größte und 3 der kleinste Funktionswert. Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

13 Seite Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht v 9 a) Es ist sin ( +) = sin [ ( )] = sin( ), d. h. für die Graphen: Die Sinuskurve ist um nah rehts zu vershieen und dann an der -Ahse zu O spiegeln. Es ergit sih sin sin ( ) wieder die Sinuskurve. d.h.vershieung der Sinuskurve um nah rehts. ) Es ist sin = sin = sin, d. h. für die Graphen: Die Sinuskurve ist um nah rehts zu vershieen und dann an der -Ahse zu spiegeln. Es ergit sih die Kosinuskurve. O os sin sin d.h.vershieung der Sinuskurve um nah rehts. pm 0 a) Shwarzer Graph: = sin Grüner Graph: = 3 sin Roter Graph: = 3 sin ( ) Blauer Graph: = 3 sin ) Individuelle Lösungen O sin g: sin( ) + O sin 3 f: sin Graph von f: Sinuskurve um in negative -Rihtung vershoen. 3 Graph von g: Sinuskurve um 3 in positive -Rihtung vershoen. Wegen W = [ 3; 3] ist die Amplitude a = 3. Lösungen sind z.b. = 3sin; = 3 sin ( ); = 3 sin S a) = m sin t s ) = A für t = +k 8 s, kz = 0 für t = +k s, kz ) m ( m; 63m;, m) d) t = 3 8 +k 7 s, kz t = +k s, kz oder t = +k s, kz v a) Die Tidenkurve für Büsum kommt dem Augenshein nah einer Sinuskurve nahe, während der fast lineare Afall der Tidenkurve für Hamurg niht zur Sinuskurve passt. ) Man legt zwekmäßig das Koordinatensstem mit Zeit- und Höhenahse so, dass der Nullpunkt der Zeitahse ei 6 Stunden vor Hohwasser liegt und auf der Höhenahse zugleih in der Mitte zwishen Niedrigwasser (0,0 m) und Hohwasser (3,6 m). Für den Ansatz h (t) = a sin( t + ) edeutet dies: Die Amplitude ist a =,8 m. Die hale Periode ergit sih aus dem Astand der Nullstellen (= Shnittpunkte der Kurve mit der Zeitahse) zu 7 h, also = h zw. = 7. h Entsprehend der Grafik muss für die Vershieung gelten: =,5h zw. = 5 h 5 Näherungsfunktion: h (t) =,8 sin t 7 h h Für t =,5 h; 6h; 9,5 h stimmen Funktions- und Messwerte üerein. Z.B. h(0),6 m Messwert:,8m h() 0,0 m Messwert: 0,8m Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

14 Seite Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht tm 5 a) Die Shnittpunkte der Graphen = sin und = 0,5 liegen ei,5; 0; 3,5. ) Die Shnittpunkte der Graphen = os( ) und = 0,5 liegen ei,3;,; 3 3,6. a 6 a) Zurükgelegter Weg in s: 0 0,8 60 m 0,8m ) Shwingungsdauer (= Periode): 6 s, also = = 6 s 3 s Shwingungsgleihung: (t) = 0,8 m sin 3 t s ) Shwingungsgleihung für den Shatten am Boden: (t) = 0,8 m os 3 t s zw. in m Wand t in s O Boden 7 a) Annahmen: Zlinderradius r Zlinder = r Kugel Zlinderhöhe h Zlinder = 6 r Kugel 3 V 3 = Kugel 3 r3 Kugel = 3 VZlinder r Kugel 6r Kugel 3 des Zlindervolumens leien also leer. ) 3 O Kugel = rkugel M Zlinder = r Kugel 6r Kugel = rkugel Die Kugeloerflähen und der Mantel haen den gleihen Fläheinhalt. 8 P( 50,5)G f : 0,5 = 5m 3 m = 0,7 also = 0,7 3 Shnittstelle mit der -Ahse: 7 0; Shnittstelle mit der -Ahse: 0 3 Thema: Spiralen als Funktion S. 58 a) a = : a = : Der Windungsastand leit üer den gesamten Definitionsereih konstant. ) Sind P (aφφ) und P (a (φ+)φ+) zwei Punkte auf derselen Halgeraden, dann gilt für den Astand d = a (φ+) a φ = a ) a =, also r(φ) = φ d) z 00 z 3 Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN

15 Seite 59 6 Lösungen vorläufig Trigonometrie aus geometrisher und funktionaler Siht S. 59 v a) und ): Erhöht man den Grad von r (und a), etrahtet also die durh r h (φ) = a h φ definierten Kurven, so liegen die Windungen mit größerer Entfernung vom Zentrum immer dihter eieinander. Da der Grad in ) größer als der in a) ist, gilt folgende Zuordnung: a) Form (), ) Form () ) Da r (φ) eine streng monoton fallende Funktion ist, verlaufen die Spiralen von außen nah innen. Das Zentrum wird in immer enger werdenden Windungen umrundet, jedoh nie erreiht. Nähert sih die Größe des Winkels φ dem Wert 0, so zeigen die Spiralen ein asmptotishes Verhalten. Dies erfüllt Form (3). d) Erhöht man den Grad in φ, so wird der Astand der aufeinanderfolgenden Windungen immer größer. Dies erfüllt Form (). pm 3 Individuelle Lösungen ag Projektvorshlag: Individuelle Lösungen Thema: Üerlagerung von Shwingungen S. 60 m Periode Amplitude a) 5 ) 5 ) d),97 e) niht periodish f) 0 m a) Ton a: T = s; 0 f :t sin 880 s t Ton is: T = s; 5 50 f :t sin 00 s t ) Ton e: T = s; 6 60 f: t sin 30 s t m 3 a) Die Funktionenfolge nähert sih einer Dreiekslinie an. ) Die Funktionenfolge nähert sih einer Sägezahnlinie an. S. 6 f (t) = a sin( t+); f (t) = a sin( t+) (f +f )(t) = f (t) + f (t) = (a +a ) sin( t+) 5 a) sin( t+ )+sin( t+ ) = sin os sin( t+ )+sin( t+ ) = sin + t+ + os t+ ) a sin(t+ )+a sin(t+ ) = a sint+ + os mit os = = konstant a sin(t+ )+a sin(t+ ) = a sin t+ mit a= aos und = + ( + ) t+( + ) 6 a) f (t) = sin, 95 t os 0, 05 t os( 0,05 t) f (t) os( 0,05 t) = os(0,05 t) ) Bei einer Shweung nimmt man einen Heulton wahr, dessen Lautstärke ständig anund ashwillt. 7 Bis auf die Summenfunktion in e) sind alle periodish. ( ) t+( ) Ernst Klett Verlag GmH, Stuttgart Lamaher Shweizer, Ausgae Baern, Alle Rehte vorehalten. Lösungen und Materialien Klasse 0 ISBN