B Figuren und Körper

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Gundi Esser
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1 B Figuen und Köpe 1 Keis und Keisteile Ein Keis mit dem Rdius ht den Flächen inhlt A = p 2 und den Umfng U = 2p. Die Keiszhl p = 3,14159 ist eine itionle Zhl. Als Nähe ungswete fü p benutzt mn oftmls p < 3,14 ode p < 3 } 1 7. Bei einem Keisusschnitt (Keissekto) b mit dem Mittelpunkts winkel und dem Rdius gelten: α Flächeninhlt: A = p 2 Bogenlänge: b = 2p }} 360 }} 360 Beispiele Beechne den Flächeninhlt und den Umfng de beiden guen Figuen. Lösung Die linke Figu besteht us einem goßen Hlbkeis vom Rdius g = 4,00 m und zwei kleinen Hlbkeisen vom Rdius k = 2,00 m. Dmit egeben sich 8,00 m 108 8,00 m A = } 1 2 p 2 g + 2 } 1 2 p 2 k = } 1 2 p 2 g + p 2 k = } 1 2 p (4,00 m)2 + p (2,00 m) 2 < 37,70 m 2 und U = } 1 2 2p g + 2 } 1 2 2p k = p g + 2p k = p 4,00 m + 2p 2,00 m = 8,00 pm < 25,13 m. Die echte Figu ist ein Keisusschnitt mit dem Mittelpunktswinkel = 108 und dem Rdius = 4,00 m. Dmit betägt A = p 2 }} 360 = p (4,00 m)2 }} = p (4,00 m)2 0,3 < 15,08 m 2. Die Rndlinie de Figu besteht us zwei Stecken de Länge = 4,00 m und 108º einem Keisbogen de Länge b = 2p }} = 2p 4,00 m }} < 7,54 m º De Umfng de Figu betägt dmit U = 2 + b < 2 4,00 m + 7,54 m = 15,54 m. 16

2 1 Keis und Keisteile 1. Tge die fehlenden Gößen des Keises in die Tbelle ein. Rdius Duchmesse d Flächeninhlt A Umfng U ) 6,80 m b) 8,8 cm Aufgben c) 22,9 dm 2 2. Tge die fehlenden Gößen des Keisusschnitts in die Tbelle ein. Rdius Mittel punktswinkel ) 4,60 cm 72 Flächen inhlt A Bogen länge b b) 5,50 m 4,80 m c) 3,20 dm 14,3 dm 2 3. ) Ein Keising ht einen Innendius von = 3,00 dm und einen Außendius von R = 4,50 dm. Beechne den Flächeninhlt des Keisings. b) Ein Keising mit eine Beite von 1,0 cm ht einen Flächen inhlt von 110 cm 2. Beechne den inneen und den äußeen Rdius des Keisings. R Beite 4. Auf welches Vielfche wächst de Flächeninhlt eines Keises, wenn mn den Keisdius ) vedoppelt, b) vedeifcht, c) hlbiet? 5. Die Sonne wid wähend eines Jhes (365,25 Tge) von de Ede umundet. Die Ede bewegt sich dbei nnähend uf eine Keisbhn mit einem Rdius von etw 1, km. Welchen Weg legt die Ede dbei ) po Jh, b) po Tg, c) po Sekunde zuück? 6. Dücke den Flächeninhlt und den Umfng eines Keises mithilfe des Duchmesses d us. 7. De Edumfng m Äquto betägt ungefäh km. Beechne dmit den Eddius näheungsweise. 8. Zeige, dss die vie guen Möndchen zusmmen denselben Flächeninhlt hben wie ds fbige Qudt. 17

3 B Figuen und Köpe 9. Zeichne die Figuen im Mßstb 2 : 1 b. Beechne dnch jeweils Umfng und Flächeninhlt de von di gezeichneten (vegößeten) Figuen. ) b) c) 10. Beechne den Umfng und den Flächeninhlt de guen Figuen. ) b) 4,00 dm 10,0 cm 4,00 dm 4,00 dm 11. Die Zhl p knn mn näheungsweise mit de Monte-Clo-Methode bestim men. Dzu denken wi uns ein Qudt mit de Seitenlänge 1, in ds ein Vietel keis mit dem Flächeninhlt A = } p 4 einbeschieben wude. Wi lssen in Gednken 1000 Regentopfen whllos veteilt uf ds Qudt egnen. Wenn nun z. B. 779 Topfen den Vietelkeis teffen, gilt 779 }} 1000 < A Vietelkeis }}}} = A Qudt p } 4 } 1 = } p 4. 1 (x y) y 0 x 1 Dmit egibt sich lso 0,779 < } p und somit 4 0,779 = 3,116 < p. 4 De Aufteffpunkt eines Regentopfens ht die Koo dinten (x y). Lndet de Topfen im Innen ode uf dem Rnd des Vietelkeises, gilt x 2 + y 2 # 1. Nun sollst du es nicht meh egnen lssen, sonden di m PC 1000 Pe von Zuflls zhlen mit 0 # x # 1 und 0 # y # 1 usgeben und zählen lssen, bei wie vielen diese Pe die Vietelkeis- Bedingung x 2 + y 2 # 1 efüllt ist. Bestimme dmit p näheungsweise. 18

4 2 Keiszylinde Ein Keiszylinde (ode kuz: Zylinde) ht ls Gund- bzw. Deckfläche zwei pllele und konguente Keise; de Abstnd de zugehöigen pllelen Ebenen ist die Höhe des Zylindes. Volumen = Gundfläche Höhe V = G h = p 2 h Obeflächeninhlt = 2 Gundfläche + Mntelfläche O = 2G + M = 2p 2 + M Ein gede Zylinde besitzt ls Mntel ein Rechteck mit den Mßen 2p h. Dmit betägt: O = 2p 2 + 2p h = 2p( + h) Ds Volumen und de Obeflächeninhlt des bgebildeten geden Zylindes weden beechnet. 5,0 cm Beispiel Es sind = 2,5 cm und h = 4,0 cm. V = p 2 h = p (2,5 cm) 2 4,0 cm = 25p cm 3 < 78,5 cm 3 O = 2p( + h) = 2p 2,5 cm (2,5 cm + 4,0 cm) = 32,5p cm 2 < 102,1 cm 2 4,0 cm 12. Zeichne ein Netz des Zylindes us dem obigen Beispiel. Aufgben 13. Egänze die Tbelle, in de es um gede Keiszylinde geht. ) b) c) d) Rdius 2,0 cm 5,0 cm Höhe h 3,0 cm 3,5 dm 16,0 m Mntelfläche M 22,0 dm 2 Obeflächeninhlt O 377,0 cm 2 Volumen V 3217,0 m Beechne ds Volumen und die Obefläche des Rings. ) i = 4,0 cm, = 6,0 cm, h = 1,0 cm b) i = 1,2 cm, = 1,8 cm, h = 0,8 cm h i 19

5 B Figuen und Köpe 3 Keiskegel Ein Keiskegel (ode kuz: Kegel) ht eine Spitze S und ls Gundfläche einen Keis. Jede Stecke von einem Punkt de Keislinie zu Spitze heißt Mntellinie. De Abstnd de Spitze von de Gund ebene ist die Höhe des Kegels. Volumen = } 1 3 Gundfläche Höhe V = } 1 3 G h = } 1 3 p2 h Obeflächeninhlt = Gundfläche + Mntelfläche O = G + M = p 2 + M Ein gede Kegel besitzt ls Mntel einen Keisusschnitt mit M = ps, wobei s die Länge de Mntellinie ist. Dnn gilt: O = p 2 + ps = p( + s). Beispiel Wi beechnen ds Volumen und den Obeflächeninhlt des bgebildeten geden Kegels mit den Mßen h = 4,0 cm und = 3,0 cm. h S s Lösung V = } 1 3 p2 h = } 1 3 p 36 cm3 = 12p cm 3 < 37,7 cm 3 Um den Obeflächeninhlt O zu bestimmen, müssen wi zuest s beechnen. Dzu vewenden wi den Stz des Pythgos: s = Ï } 2 + h 2 = 5,0 cm. O = p( + s) = p 3,0 cm (3,0 cm + 5,0 cm) = 24p cm 2 < 75,4 cm 2 Aufgben 15. Betchte noch einml den Kegel us dem Beispiel. Sein Mntel ist ein Keisusschnitt mit dem Mittelpunktswinkel. ) Beechne. b) Zeichne ein Netz des Kegels. 16. Egänze die Tbelle, in de es um gede Keiskegel geht. ) b) c) d) Rdius 2,0 cm 5,0 dm 3,5 m 3,0 cm Höhe h 3,0 cm Mntellinie s 13,0 dm Obeflächeninhlt O 91,5 cm 2 Volumen V 82,1 m 3 20

6 s 3 Keiskegel 17. Ein kegelfömige Messbeche ht oben einen lichten Duchmesse von 13,0 cm und eine Innenhöhe von ebenflls 13,0 cm. ) Wie goß ist ds Fssungsvemögen des Messbeches? b) Begünde, dss die Mke fü 400 ml in de Höhe x < 11,5 cm ngebcht ist. x 13,0 cm 13,0 cm 18. Ein Keisusschnitt mit einem Rdius von 7,5 cm und einem Mittelpunktswinkel von 120 wid zum Mntel eines geden Keiskegels gefomt. Beech ne fü diesen Keiskegel die Höhe h und den Rdius des Gundkeises. Bedenke, dss die Bogenlänge des Keisusschnitts dem Umfng des Gundkeises des Kegels entspicht. s h 19. Fu Andesen bstelt mit ihe fünfjähigen Tochte Sbine eine Schultüte. Dzu schneiden sie us einem goßen Stück Pppe einen Keisusschnitt mit dem Rdius 45 cm und einem Öffnungswinkel von 100 us. ) Wie hoch wid die Schultüte und wie goß wid ihe Öffnung? b) Nch dem Zusmmenkleben soll die Schultüte ußen noch bemlt weden. Wie goß ist die Außenfläche de Schultüte? c) Wie goß ist ds Fssungsvemögen de fetigen Schultüte? 20. Um wie viel Pozent wächst ds Volumen eines Kegels, wenn mn ) den Rdius beibehält und die Höhe um 20% vegößet, b) die Höhe h beibehält und den Rdius um 20% vegößet? 21. Ein echtwinkliges Deieck mit den Ktheten längen und 2 otiet einml um die küzee und einml um die län gee Kthete. Beechne die Volumin und Obe - flä chen inhlte de dbei ent stehenden Kegel. 2 21

7 B Figuen und Köpe 4 Kugeln Eine Kugel mit dem Rdius ht ds Volumen V = 4 } 3 p3 und den Obeflächeninhlt O = 4p 2. Beispiel De Obeflächeninhlt eine Kugel betägt cm 2. Wie goß sind de Rdius und ds Volumen de Kugel? Lösung Zunächst beechnen wi den Kugeldius. M O = 4p 2 2 = } O 4p = Ï } O } 4p = Ï } 2463 cm }}}} 2 ø 14,00 cm 4p 2 Dnn ds Volumen: V = } 4 3 p3 = } 4 3 p (14,00 cm)3 ø 11, cm 3 = 11,5 dm 3 Aufgben 22. Ds Volumen eine Kugel betägt cm 3. Beechne ihen Rdius und den Inhlt O ihe Obefläche. 23. Wie veänden sich ds Volumen V und de Obeflächeninhlt O eine Kugel, wenn mn ihen Rdius ) vedoppelt, b) hlbiet, c) um 10 % vegößet? 24. Ein Blumenkübel ht die Fom eine usgehöhlten Hlbkugel. E besteht us Beton mit eine Dichte von 2,4 g / m 3. De Außendius betägt R = 24 cm, de Innendius = 20 cm. ) Wie goß ist ds Fssungsvemögen des Kübels? b) De Kübel soll vo dem Füllen mit Blumenede undheum gestichen weden. Wie viele dm 2 Fläche sind zu steichen? c) Wie viel wiegt de Kübel? 25. Die menschliche Lunge enthält etw 350 Millionen Lungenbläschen mit einem Duchmesse von jeweils c. 0,250 mm. ) Wie goß ist die Obefläche lle Lungenbläschen zusmmen? b) Welchen Duchmesse müsste eine einzige Kugel besitzen, um diesen Obeflächeninhlt zu hben? 22

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