Musterlösungen. Theoretische Physik I: Klassische Mechanik

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1 Blatt Mustelösungen Theoetische Physik I: Klassische Mechanik Pof. D. G. Albe MSc Nenad Balanesković Das Zwei-Köpe-Poblem. Zeigen Sie, dass fü die PotentialfunktionU x x ) gilt mit = x x. x U x x ) = x x x U x x ) = x x du) du) ) ) x U x x ) = U x x x x ) +x y x y ) +x z x z ) ) x x U x x x x ) +x y x y ) +x z x z ) ) x y U x x x x ) +x y x y ) +x z x z ) ) x z x x x x ) / = x y x y ) / du) x y x y ) / 3) mit x i = x ix,x iy,x iz ) un = x x = x x x x ) +x y x y ) +x z x z ).. Bestimmen Sie die Relativbewegung zweie Massenpunkte m und m unte dem Einfluss eines konsevativen Zentalkaftfeldes mit Potential wobeit) = x t) x t). U) = α,α > 0), 4) a) Betachten Sie zunächst den Fall goße Relativehimpulse L, d. h. L /) > α. Ist die Bewegung gebunden ode ungebunden? Bestimmen Sie die Bahnkuve t) und die Bahn de Relativbewegung. Das effektive Potential U eff ) = U) + L wobei L = L ) ist in diesem Fall imme positiv und somit ist auch die EnegieE de Relativbewegung imme positiv. Die Bewegung ist dahe ungebunden und es gibt einen minimalen Abstand min de duch E = U eff min ) bestimmt ist. Wi setzen 0 = min = α+ L ) und integieen E t t 0 = = 0 E α+ L)) E 0 0 5)

2 siehe z. B. Bonstein Tabelle unbestimmte Integale Gleichung )) und ehalten = E 0 6) t) = Nun bestimmen wi nochϕt) und setzen dabei z. B. ϕ 0 = 0, E t t 0) ) ϕ ϕ 0 = t dt L t 0 t ) = t dt L t 0 Et t 0 ) +0 8) siehe z. B. Bonstein Tabelle unbestimmte Integale Gleichung 57)) = L E/ t t 0 ) ) E/ actan. 9) E 0 0 Damit ist die Bahnkuve de Relativbewegung t) = t) cosϕt)), t) sinϕt)), 0) bestimmt. Lösen wi 9) nach t t 0 ) auf, können wi das Egebnis in t) einsetzen und ehalten die Bahn als Funktion vonϕ): ϕ) = 0 cos ϕ ). 0) α/l Die Bahn nähet sich dahe füϕ ± π / α/l eine Geaden. De Winkelϕändet sich dabei um ϕ = π / α. L b) Betachten Sie den Fall kleine RelativehimpulseL, d. h. L /) < α. Ist die Bewegung gebunden ode ungebunden? Bestimmen Sie t). Wie lange benötigen die beiden Massenpunkte, um aus eine beliebigen Relativposition heaus das Peizentum zu eeichen? Diskutieen Sie die Dynamik insbesondee nahe dem Peizentum. Das effektive Potential U eff ) = U) + L wobei L = L ) ist in diesem Fall imme negativ und somit kann die EnegieE de Relativbewegung positiv ode negativ sein. Wi betachten zunächst den FallE > 0 diebewegung ist ungebunden) und integieen von 0 bis < 0, wobei wi die Abküzunga = α L) vewenden weden, E t t 0 = 0 E +α L )) = E ) 0 +a z. B. Bonstein 93)) = E +a 0 +a ) )

3 und schließlich t) = Das Teilchen fällt also nach de endlichen Zeit t t 0 = E0 +α L E ) E t t 0)+ 0 +a a. 3) ) α L aus de Relativposition 0 ins Zentum. Umϕt) zu bestimmen, ist es diesmal günstigeϕ) und damit ϕt) = ϕt)) zu bestimmen. ϕ ϕ 0 = L = 0 E α+ L) L E 4) 0 5) +a z. B. Bonstein 96)) = L E a ln a+ ) +a 0 a+. 6) 0 +a Wi setzen 0 =,ϕ 0 = 0 und ehalten somit als Funktion vonϕ, ϕ) = a sinh ϕ ) α/l. 7) Wi sehen nun, dass die Relativbewegung das Zentum bei = 0 spialfömig unendlich oft umundetϕ ). Wi betachten nun den Fall E < 0 die Bewegung ist gebunden) und integieen von 0 = max = α+ L) bis < E 0, t t 0 = 0 E α+ L )) = E ) z. B. Bonstein 65)) = ) ) 0 0, 9) E so dass t) = 0 E t t 0). 0) Daan sehen wi, dass das fiktive Teilchen nach de endlichen Zeit t t 0 = 0 E ins Zentum fällt. Wi bestimmen nochϕ), ϕ ϕ 0 = L E 0 +0 ) 3

4 z. B. Bonstein 68)) = L 0 + ln +0 E 0 ), ) so dass wi schließlichϕ) ehalten ϕ 0 = 0), ϕ) = cosh ϕ ) α/l. 3) 0 Wi sehen nun, dass das fiktive Teilchen wiede spialfömig ins Zentum fällt und dabei das Zentum unendlich oft umundetϕ ). 3. Zeigen Sie, dass beim Keplepoblem mit Potentialfeld U) = α,α > 0), 4) gilt: a) De Lenz-Runge Vekto A = v L+U) 5) mit Relativehimpuls L ist eine Ehaltungsgöße. Wi beechnen die zeitliche Ändeung vonat), At) = v L+ v L+ du) +U) dt = a v)+ v v v)+ v a)+ du) +U) = a v) a ) v + du) +U) = du) du) du) + v + +U) ) du) = +U) = 0 iffu) = α/. 6) Anmekung zu 6): De zweite Summand de zweiten Zeile veschwindet automatisch, wähend de itte Summand de zweiten Zeile Null wid wegen a. b) Relativehimpuls und Lenz-Runge Vekto sind othogonal, d. h. L A = 0. L A = L v L)+U) L = 0, 7) da L v L) = v L L) = 0 und L = v) = 0. c) De Betag des Lenz-Runge Vektos ist bestimmt duch A = L / E +α. 8) 4

5 Wi beechnen A = A, A A = v L) v L)+ v L)U) +U) v L)+U ) [wi nutzen v L) v L) = v L v L)) = L v = L v ] = L v + U) L v)+α = L v + U) L +α = L E +α = α + L E α ) = α ε. d) Die Bahn des Keplepoblems ist gegeben duch = p +εcosϕ 9) 30) mit p = L /α), ε = A /α und A = A cosϕ. Diskutieen Sie die Fom diese Bahnen. Nach Definition ist de Winkel zwischen A und gleich ϕ. Indem wi diesen Winkel nun explizit beechnen, A = v L) α = L / α, und das Egebnis gleichacosϕ setzen, ehalten wi die Bahn = p +εcosϕ 3) 3) wobei p = L /α) und ε = A /α, siehe 9). Fü ε < E < 0 ehalten wi eine Ellipse geschlossene Bahn), fü ε = E = 0 ehalten wi eine Paabel und fü ε > E > 0 ehalten wi eine Hypebel. 5

6 4. Hausaufgabe : Dynamik im Zentalpotential Bestimmen Sie die Relativbewegung zweie Massenpunkte m und m unte dem Einfluss eines konsevativen Zentalkaftfeldes mit Potential wobeit) = x t) x t). U) = α β,α > 0,β > 0), 33) a) Unte welchen Bedingungen gibt es ungebundene bzw. gebundene Bewegung? Aus dem angegebenen PotentialU ) egibt sich das effektive PotentialV eff ) de Fom V eff ) = U )+ p ϕ = α β + p ϕ, 34) wobei p ϕ > 0 angenommen wid. Abb. und illustieen mögliche Bewegungsabläufe eines Teilchens im effektiven Potenzial. De Abb. entnehmen wi, dass imv eff ) fü p ϕ β) 0 keine gebundene Bewegung existiet. Stattdessen teten lediglich Steuungen des Teilchens am Umkehpunkt u auf, de wiedeum selbst von de TeilchenenegieE > 0 abhängt Pozess i) im Bild). Je höhe die Enegie des einfallenden Teilchens, desto stäke nähet sich u dem Divegenzwet u = 0 des V eff ), ohne diesen genau eeichen zu können. Die Teilchenenegie muss im Falle eines epulsiven Coulomb-Potentials stets stikt positiv sein. In Abb. Fall p ϕ β ) < 0) fällt de enegetische Pozess ii) auf, de jedoch den von außen auf das effektive Potential einfallenden Teilchen aufgund de Coulombschen Repulsivität nicht vollständig zugänglich ist. Lediglich Teilchen mit eine Enegie E 3, die höhe als de dem Maximum V eff max ) des effektiven Potentials entspechende Enegiewet E ist Pozess iii) im Bild),können in den Beeich 0 < n einfallen, ohne jedoch das Steuzentum zu eeichen, denn dies wid geade duch die Coulombsche Abstoßung vehindet. Andeeseits titt auch unte de Annahme p ϕ β ) < 0 de konventionelle Rücksteupozess i) auf. Mit wachsende Enegie nähet sich de Umkehpunkt u des Rücksteupozesses i) de Abszisse max des V eff )-Maximums. In Abb. existiet aufgund de Coulombschen Abstoßung keine gebundene Bewegung. In Abb. existiet nu im Beeich 0 < n eine gebundene Bewegung. b) Bestimmen und untesuchen Sie die Bahnfomen de Relativbewegung fü beliebige Anfangsbedingungen. Welche Fom hat de zeitliche Velauf die Bahnkuve)t) de Bahnen? Wi fühen eine kuze Kuvendiskussion des effektiven Potentials V eff ) in Abb. und duch: i. Fall p ϕ β ) < 0 aus Abb. : A. Das effektive Potenzial hat eine Nullstelle n = β p ϕ ), d.h. V α eff n ) = 0 mit n > 0. B. Die Fodeung dv eff)! = 0 füht auf das Maximum max = β p ϕ ) > 0 des α effektiven Potentials, wobei gilt n = max. C. Aus V eff u ) = E egeben sich Umkehpunkte u/ = α ± α β p ϕ ), E 4E E von denen nu de este die Bedingung u max > 0, aus de sich wiedeum eine untee Schanke fü max egibt: max α > 0. E 6

7 ii. Fall p ϕ β) 0 aus Abb. : Die Umkehpunkte des effektiven Potentials haben die Fom u/ = α ± α + p ϕ β) > 0, von denen nu de este die stikte Positivität E 4E E efüllt. Wählt man p ϕ β) = 0, dann wikt nu das abstoßende Coulomb-Potential und man hat die Einschänkung u = α > 0. Aus diese Einschänkung wid deutlich, E dass de Umkehpunkt auch deswegen nicht Null weden kann, da im Genzfall u = 0 die EnegieE des einfallenden Teilchens unendlich weden müsste. Abbildung : Bewegungsablauf eines Teilchens im effektiven PotentialV eff ) fü p ϕ β) 0. Abbildung : Bewegungsablauf eines Teilchens im effektiven PotentialV eff ) fü p ϕ β) < 0. 7

8 Die Paameteabhängigkeit de Bahnen egibt sich aus de Definition ϕ) = ± p ϕ [ ] = ± E V ) p ϕ ), E α + β p ϕ p ϕ p ϕ aus de sich duch Substitutionu = / die Relation du ϕu) = au bu+c, 35) ) aufstellen lässt, mit a := β, b := α und c := E. Die Gl.35) füht auf zwei p ϕ p ϕ p ϕ Lösungen abhängig vom Vozeichen des Vofaktos a: i. Falla 0 Abb. ): Wi untesuchen die Diskiminante = 4ac b. Es gilt: b 4ac = α ) 4a p ϕ ) E p ϕ = 4 α 4βE) p 4 ϕ + 8E p ϕ, da 6 βe + 8E = β 8E + 8E > 0, womit feststeht a > 0 < 0. Fü p 4 ϕ p ϕ p ϕ p ϕ p ϕ a > 0 < 0 füht Gl.35) auf die Lösung: dx Ax +Bx+C = A accosh > 0 ) Ax+B, A 0, < 0) 36) ii. Falla < 0 Abb. ): Fü Diskiminante gilt: < 0, womit Gl.35) auf die Lösung dx Ax +Bx+C = ) Ax+B accos, A < 0, < 0) 37) A Dynamik de Abb. : Schauen wi uns zuest den Fall a < 0 an Abb. ), de dem Keple-Poblem mit abstoßendem Coulomb-Potential und modifiziete Dehimpulsbaiee entspicht. Mitu = /, Gl.35) und Gl.37) egibt sich die Relation [ = + )] + p cos p α ϕ ϕ p p 0 ) [ ϕ = )] + p cos p α ϕ ˆϕ p 0 ), mit ˆϕ 0 = ϕ 0 π und p = β p ϕ ) α, sodass dieϕ-dastellungϕ) de Bahn die Fom p ϕ ϕ) = +εcos p p α p ϕ ) 38) ϕ ˆϕ 0 ) annimmt. In diesem Fall ist stets ε >, da die Enegie nu positiv sein kann, E > 0, und somit sind Bahnen des gesteuten Teilchens unendliche Hypebel-Bahnen s. auch Landau/Lifschitz, Mechanik, Bd. ode Kuypes, Klassische Mechanik, Kapitel ). Das Zeitintevallt t 0 fü die Teilchenbewegung entlang infinite Hypebelbahnen ist nicht endlich, 8

9 was man mit Hilfe de Relation t t 0 = E = E = E α/e +β/e p ϕ /E) α E +d E) α + ) d α 4E }{{} :=g 39) begünden kann. Gl.39) füht duch Invetieen auf die Fom de Bahnkuvet), dieses Invetieen ist alledings im Falle de Dynamik in Abb. nicht möglich, da das -Integal auf de echten Seite de Gl.39) tanszendentale Funktionen von geneiet, die keine Auflösung nach elauben. Dennoch kann duch Substitution α = gεcoshξ dieξ-paametedastellung E t εsinhξ +ξ εcoshξ + de Dynamik in Abb. angegeben weden, aus de deutlich wid, dass wegen de stikten Positivität de Enegie des einfallenden Teilchens E > 0) die Zeit t nicht monoton mit dem ξ-paamete wächst. Folglich existieen in Abb. keine endlichen Zeitintevalle s. auch Fließbach, Mechanik, Bd., Teil IV). Dynamik de Abb. : Nun können wi zwei Fälle untescheiden: i. Fallsa = 0, dann wid aus Gl. 35) mitu = /) die Relation ϕu) = ± die auf dieϕ-dastellung de Bahn ϕ) du = ± bu+c, 40) bu+c b u = = E α mαϕ ϕ 0) = p ϕ αp ϕ Ep ϕ mα ϕ ϕ 0 ) füht, aus de wiedeum ekennba wid, dass das Teilchen am Steuzentum vobei fliegt und dabei eine Bahn folgt, die duch die Quaik eines paabolischen Zylindes gegeben ist. Diese Bahn ist auch infinit und geht mit unbeschänkten Zeitintevallen einhe. ii. Fallsa > 0, dann bedingt Gl. 35) mitu = /) die Gl.36), aus de dieϕ-paametedastellung de Bahn ϕ) = [ εcosh p p mα p ϕ )] ϕ ˆϕ 0 ) folgt, wobei p = β p ϕ α, ˆϕ 0 = ϕ 0 π und ε := E p da weitehin E > 0). Auch dieses Mal entstehen nicht geschlossene Bahnen ε = 0: Halbkeis in negative Halbebene, 0 < ε : logaithmische Spialen), die, paametisch betachtet, keine endlichen Zeitintevallet t 0 gestatten. 9