6.2 Erzeugung von elektromagnetischen Wellen

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1 6.2. ERZEUGUNG VON ELEKTROMAGNETISCHEN WELLEN Ezeugung von elektomagnetischen Wellen In diesem Abschnitt soll die Entstehung und die Emission von elektomagnetischen Wellen beschieben weden. Die Quelle diese elektomagnetischen Welle sei eine auf einem kleinen Raum lokalisiete, oszillieende Ladungs- und Stomveteilung ρ(, t) = ρ( ) exp( iωt) j(, t) = j( ) exp( iωt) (6.26) Auch hie wid wiede die komplexe Scheibweise benutzt, damit einzelne Rechenschitte veeinfacht weden. Letztendlich inteessiet natülich nu de Realteil diese Gößen. Natülich sind auch andee Zeitabhängigkeiten denkba als die in (6.26) angenommene Oszillation mit eine konstanten Fequenz. Solche komplexeen Oszillationen können abe übe die Fouieentwicklung stets als Übelageung von den hamonischen Oszillationen aus (6.26) dagestellt weden. Realisieung solche lokalisieten Quellen sind z.b. Antennen fü Radiowellen ode abe auch einzelne Atome und Moleküle, die ja elektomagnetische Wellen in Fom von Licht, Röntgenstahlung ode auch in andeen Fequenzbeeichen emittieen können. Zu Bescheibung de elektomagnetischen Felde, die duch die oszillieenden Ladungsund Stomveteilungen ezeugt weden, betachten wi zunächst die elektomagnetischen Potenziale A(, t) und Φ(, t). Dabei wollen wi diese Potenziale in de Loentzeichung betachten, was bedeutet, dass div µ dφ A + ε 0 0 dt = 0 (6.27) efüllt sein muss und fü das Potenzial Φ(, t) die Diffeenzialgleichung ( ε 0 Φ + ) dφ = ρ, (6.28) c 2 dt gilt. Dies ist eine Wellengleichung fü das Potenzial Φ alledings mit eine Inhomogenität ρ. Aus de Diskussion de homogenen Wellengleichung wissen wi, dass beliebige Funktionen eine Lösung diese Gleichung liefen, die nicht unabhängig vom Ot und de Zeit t abhängen sonden nu von de Lineakombination Φ(ct ). (6.29) Nun inteessiet uns eine lokalisiete Ladungs- und Stomveteilung. Das bedeutet, wenn wi in hineichendem Abstand von diese Quelle sind, wid die Ladungsdichte gleich null sein und wi können fü diesen Beeich die homogene Fom de Wellengleichung (6.28) vebunden mit de Eigenschaft (6.29) annehmen. Bei oszillieenden Ladungsveteilungen können wi aussedem annehmen, dass nicht die Gesamtladung oszilliet, das wüde ja de Ladungsehaltung widespechen, sonden nu die äumliche Veteilung. Weit weg von de Ladungsveteilung sollte das elektomagnetische Feld duch die zeitlich oszillieende Dipolkomponente de Ladungsveteilung beschieben sein. Wi betachten deshalb noch

2 220 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN einmal das Potenzial, das duch eine statische Dipolveteilung am Koodinatenuspung d ezeugt wid Φ stat ( ) = 4πε 0 d = ε 0 N, (6.30) mit N = d 4π. Wi vesuchen jetzt dieses Egebnis fü das Potenzial im statischen Fall zu eweiten auf den zeitabhängigen Fall, bei dem wi eine oszillieende Dipolquelle de Fom d(t) = d 0 exp( iωt) = d 0 exp( ikct), (6.3) am Koodinatenuspung ansetzen. Unsee Übelegungen zu (6.28) haben uns dazu gefüht, im Falle de zeitabhängigen Quellen ein Potenzial de Fom (6.29) zu betachten. Wenn wi diese Übelegung auf das Potenzial übetagen, so liegt es nahe, den statischen Ansatz zu veallgemeinen auf die Fom Φ(, t) = d(ct = ct ) = ε 0 N(, t). (6.32) Dies bedeutet, dass das Potenzial am Ot zu Zeit t dem Potenzial des Dipols zu Zeit t = t /c entspicht. Dies ist natülich kein Beweis dafü, dass die Fom des Potenzials koekt ist. Dazu müssen wi dieses Egebnis in (6.28) einsetzen und diese Gleichung veifizieen, eine Rechnung, die wi uns an diese Stelle espaen wollen. Wi sehen abe, dass die Lösung im Genzfall ω 0 das ichtige Egebnis des elektostatischen Dipols liefet. Ausgehend von diesem Ausduck fü das Potenzial können wi abe auch das Vektopotenzial bestimmen. Wi betachten dazu die Gleichung (6.27) de Loentzeichung in de Fom A dφ = µ 0 ε 0 dt = µ 0 dn (6.33) dt wobei wi bei dem Übegang zu zweiten Zeile die Dastellung von Φ aus (6.32) übenommen haben. Aus diese Gleichung egibt sich als mögliche Lösung fü A A = µ 0 d N dt. (6.34) Zuück zu Beechnung des Potenzials Φ nach (6.32). Unte Benutzung de Poduktegel fü die Ableitungen im Opeato egibt sich [ ] Φ(, t) = d + d. (6.35)

3 6.2. ERZEUGUNG VON ELEKTROMAGNETISCHEN WELLEN 22 Zu Beechnung von d benutzen wi die Kettenegel d 0 exp( ik(ct )) = ik d 0 exp( ik(ct )) ( ê ) = ikê d, (6.36) wobei ê wie üblich den Einheitsvekto in Richtung des Beobachtungspunktes bezeichnet. Damit egibt sich [ Φ(, t) = ik d ] d +. (6.37) 2 3 Damit und nach eine etwas längeen Rechnung egibt sich fü E(, t) = Φ d dt A = e (i(k ωt)) { [(k) 2 + ik ] d0 [ (k) 2 + 3ik 3 ] ( } d 3 0 ê )ê (6.38). Bei unseen Übelegungen spielen dei Längenskalen eine Rolle. Da ist einmal die Ausdehnung de Quelle, die z.b. duch einen Radius de Göße δ chaakteisiet sein soll. Die zweite Längenskala ist de Abstand des Beobachtungspunktes von de Quelle. Nehmen wi an, dass die Quelle sich im Koodinatenuspung befindet, so ist diese Abstand identisch mit dem Betag des Vektos. Die ditte Längenskala ist die Wellenlänge λ de elektomagnetischen Welle, die mit de Wellenzahl k ode auch de Winkelfequenz ω veknüpft ist λ = 2π k = 2πc ω Wi nehmen an, dass die Ausdehnung de Quelle seh klein ist gegenübe den beiden andeen Längen und untescheiden dann Nahbeeich: δ λ Fenbeeich: δ λ (6.39) Wi wollen uns hie das Feld im Fenbeeich ansehen fü den also gilt k = 2π λ so dass man in (6.38) die Teme popotional zu k und zu gegenübe den quadatischen Temen popotional zu (k) 2 venachlässigen kann. Damit egibt sich E(, t) = k2 exp(i(k ωt)) { d0 ( d } 0 ê )ê. (6.40) Im Folgenden positionieen wi das Koodinatensystem so, dass de Dipolvekto d 0 = d 0 ê z in z-richtung oientiet ist und damit de Otsvekto des Beobachtes mit de z-achse den Winkel θ bildet (Bezeichnung wie bei den Kugelkoodinaten), so dass d 0 ê = cos θ

4 222 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Daaus egibt sich E(, t) = k2 d 0 exp(i(k ωt)) = k2 d 0 exp(i(k ωt)) 0 0 sin θ cosθ cosθ cosϕ cos θ sin ϕ sin θ sin θ cosϕ sin θ sin ϕ cosθ = k2 d 0 exp(i(k ωt)) { sin θê θ }. (6.4) Dieses elektische Feld, das auch häufig als elektisches Feld eines Hetz schen Dipols (in de Fenfeldnäheung) bezeichnet wid besitzt also die folgenden Eigenschaften: Es handelt sich um eine Kugelwelle, die adial vom Punkt des oszillieenden Dipols im Koodinatenuspung nach aussen läuft. Dies wid duch den Fakto exp(i(k ωt)) zum Ausduck gebacht. De Wellenzahlvekto am Beobachtungsot zeigt also adial in Richtung ê nach aussen und besitzt den Betag k. Das elektische Feld ist in Richtung des Einheitsvektos ê θ, einem de Basisvektoen de Kugelkoodinaten, polaisiet. Da ê θ, senkecht zu Richtung des Vektos ê und damit senkecht zum Wellenzahlvekto k steht, haben wi es mit eine tansvesal polaisieten Welle zu tun, was ja auch fü elektomagnetische Wellen gegeben sein muss. Die Amplitude des elektischen Feldes ist popotional zu sin θ und hängt damit von de Ausbeitungsichtung ab. Sie ist identisch null in Richtung de z-achse, also in Richtung des Dipols und damit am Beispiel de Stabantenne in Richtung des Stabes. Die Amplitude ist maximal in de xy-ebene, also bei Ausbeitung senkecht zum Dipol. Die Amplitude ist popotional zu Wellenzahl zum Quadat, de Fakto k 2 in (6.4). Die abgestahlte Enegie wid duch den Pointing-Vekto beschieben. Diese zeigt im Fall de elektomagnetischen Wellen in Richtung des Wellenvektos k, also in Ausbeitungsichtung, und ist popotional zum Quadat de Amplitude des elektischen Feldes. Damit egibt sich als Funktion de Richtung die Abstahlchaakteistik eines Dipolstahles, wie sie in Abb. 6.3 dagestellt ist. Es ist aussedem inteessant festzustellen, dass die abgestahlte Enegie popotional zu k 4 ω 4 λ 4 ist. Kuzwelliges Licht wid also mit gößee Intensität abgestahlt und auch absobiet, beziehungsweise gesteut. Diese Mechanismus de sogenannten Rayleigh Steuung gilt fü Sende, Absobe ode Steuzenten, die klein sind gegenübe de Wellenlänge λ, wie das ja hie angenommen wude (siehe (6.39). Dementspechend ist z.b. die Eindingtiefe von Sonnenlicht in unsee Atmosphäe l 60 λ 4

5 6.2. ERZEUGUNG VON ELEKTROMAGNETISCHEN WELLEN Abbildung 6.3: Abstahlung eines elektischen Dipols. Dagestellt ist ein Ausschnitt aus eine Fläche, auf de die abgestahlte Enegie konstant ist. mit λ angegeben in µm und l in Kilomete. Dies bedeutet l 4 km fü violettes Licht (λ 0.4 µm) und 65 km fü otes Licht (λ 0.8 µm). Da die dichte Atmosphäe etwa 8 km hoch ist, wid tagsübe bei steilem Sonnenstand vo allem blaues Licht gesteut, was zu de blauen Fabe des Himmels füht. Bei auf- und untegehende Sonne ist de Weg des Lichtes duch die Atmosphäe entspechend länge, so dass auch otes Licht gesteut wid (Abendot).