Optimale Portfolioentscheidung unter Risiko

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1 unte Risiko Bei de Bildung eines Investmentpotolios stehen dem ET zahleiche Finanztitel zu Veügung. e küntige Peis eines Finanztitels und dementspechend auch die küntige Rendite des Finanztitels sind zum Zeitpunkt de Potoliobildung in de Regel nicht bekannt. Ist wenigstens die Wahscheinlichkeitsveteilung von dem küntigen Peis eines Finanztitels bekannt, so stellt e eine Zuallsvaiable (Lotteie da. Zieht man mindestens einen solchen Finanztitel in ein Potolio hinein, stellt de küntige Peis des gesamten Potolios [und demspechend auch seine Rendite] eine Zuallsvaiable (Lotteie da. 1

2 unte Risiko ie Entscheidung übe die Anteile de einzelnen zu Veügung stehenden Finanztitel in dem Potolio, in welches ein ET sein Vemögen investiet, beeinlusst also entspechend die Höhe von seinem Endvemögen. Basieend au seinen subjektiven Päeenzen bzw. Entscheidungs- Kiteien kann jede ET die Zusammensetzung des Potolios so wählen, dass seine eigenen Wetigkeiten am besten eüllt sind bzw. sein Nutzen maimiet wid. Eine solche optimale Potoliozusammensetzung weden wi nun an einem veeinachten Model basieend au den von uns bespochenen Entscheidungskiteien (EK, EVK, ENK suchen! 2

3 unte Risiko Angenommen, es gibt einen iskanten und einen isikolosen Finanztitel au dem Makt. ie [einache] Rendite von dem isikolosen Titel betägt, die von dem iskanten Titel ist eine Zuallsvaiable mit ichteunktion (. e ET veügt übe ein Anangsvemögen w 0, welches e zwischen die beiden Finanztitel auteilt. en Anteil im iskanten Finanztitel bezeichnen wi mit α. ementspechend betägt de Anteil im isikolosen Titel den Wet 1-α. 3

4 unte Risiko ie Höhe des Endvemögens w olgendemaßen scheiben: von dem ET lässt sich dahe w = w α 1+ + w (1 α(1 + ( 0 0 ies lässt sich umomen in w = w 1+ + w α( ( 0 0 abei entspicht de Ausduck w 0 α dem Ausduck a in de Gleichung (9.4 au Seite 119 im Buch Risk von Eeckhoudt & Gollie. 4

5 [EWK] Als Estes nehmen wi an, de ET oientiet sich nach dem EWK und will dahe den Ewatungswet von seinem Endvemögen maimieen: Ma α { Ε( w = w (1 + + w α[ Ε( ]} 0 ie este Ableitung de Zielunktion nach de Entscheidungs- Vaiable α egibt: Ε ( w α = w 0 0 [ Ε( ] 5

6 [EWK] ies ist oensichtlich eine Konstante, d.h. de Anstieg von de Zielunktion nach α ist konstant. ahe muss man olgende Fälle untescheiden: Ε Ε Ε ( > 0 Ε( > ( < 0 Ε( < ( = 0 Ε( = Falls E( > : e Anstieg von E(w nach α stets positiv, d.h. es ist optimal den Wet von α so hoch wie möglich zu wählen. Falls es ü α keine obee Schanke gibt, dann gilt: * α = 6

7 [EWK] Falls es ü α eine obee Schanke u gibt, so gilt entspechend: * α = u In dem Spezialall, wo das sog. shot selling ganz untesagt wäe, d.h. 0 α 1, d.h. u = 1, wüde entspechend gelten: α * =1 as Egebnis ist natülich ganz intuitiv, denn ein isikoneutale ET, de sich ausschließlich nach dem EW entscheidet, investiet optimaleweise sein ganzes Vemögen in den Finanztitel mit de höchsten ewateten Rendite! 7

8 [EWK] In dem zweiten Fall, alls also E( <, ist de Anstieg von E(w nach α stets negativ, d.h. es ist optimal den Wet von α so klein wie möglich zu wählen. Falls es ü α keine untee Schanke gibt, dann gilt: * α * α = Falls es ü α eine untee Schanke l gibt, so gilt entspechend: In dem Spezialall, wo das sog. shot selling ganz untesagt wäe, d.h. 0 α 1, d.h. l = 0, wüde entspechend gelten: = l α * = 0 8

9 [EWK] In dem ditten Fall, alls also E( =, ist de Anstieg von E(w nach α gleich Null, d.h. de Wet de Zielunktion ist ganz unabhängig von eine Ändeung von α. In diesem Fall wäe de ET oensichtlich indieent zwischen de Investition jede Geldeinheit von seinem Vemögen in den iskanten ode den isikolosen Finanztitel. Entspechend wäe hie also jede Wet von α optimal. 9

10 [EVK] Als Zweites nehmen wi an, de ET oientiet sich nach dem EVK. Zu Veeinachung nehmen wi wiedeum die olgende lineae Fom von dem EVK an: V ( w = Ε( w kva( w ementspechend steht de ET bei seine Investitions- Entscheidung vo dem olgenden Optimieungspoblem: Ma α { ( (1 [ ( ] ( } 2 2 V w = w + + w α Ε kw α Va

11 [EVK] ie este Ableitung de Zielunktion nach de Entscheidungs- Vaiable α egibt: V ( w α = w 2 [ Ε( ] 2kw Va( α 0 0 Setzt man den Ausduck gleich Null, so ehält man den optimalen Anteil im iskanten Finanztitel, α*: * α = ( Ε kw Va( 2 0 amit de entspechende Etemwet tatsächlich ein Maimum ist, muss k > 0 gelten! 11

12 [EVK] as Egebnis scheint ganz plausibel zu sein! Falls sich die ieenz zwischen E( und ehöht, ehöht sich auch de optimale Anteil im iskanten Titel. Je höhe die ieenz, um so attaktive wid de iskante Titel gegenübe dem isikolosen Titel (alls die Vaianz von dem iskanten Titel konstant bleibt! Nehmen wi an, E( >, was im Gunde eine ganz plausible Annahme ist. In diesem Fall ist es oensichtlich, dass eine Ehöhung von dem Gad de Risikoavesion k sowie eine Ehöhung von de Vaianz de iskanten Rendite Va( eine Veingeung von α* veusacht. 12

13 Als ittes nehmen wi an, de ET oientiet sich nach dem ENK. E vesucht also seinen ewateten Nutzen E[(w ] zu maimieen: Ma α { Ε[ ( w ] = Ε[ ( w 1+ + w α( ]} E( α = Ε ( 0 0 ie entspechenden notwendigen Bedingungen ü das Optimum (Maimum lauten: [ ( w w ( ] 0 = 0 2 [ ( w w ( ] < 0 2 E( 2 = Ε 2 0 α 13

14 ie zweite Bedingung wid oensichtlich imme dann eüllt sein, wenn es sich um einen isikoavesen ET handelt, < 0. m die eakte Lösung von α* basieend au de esten Optimalitätsbedingung zu emitteln, muss man gundsätzlich eine konkete Fom de Nutzenunktion annehmen. m dies vozubeugen und eine möglichst allgemeine astellung des Poblems zu ehalten, veingen wi nun die Kompleität, indem wi eine veeinachte Fom von de Lotteie annehmen. Konket sei die Rendite von dem iskanten Finanztitel duch eine diskete Lotteie mit zwei Ausgängen beschieben. 14

15 Sei die iskante Rendite also duch olgende Lotteie gegeben: i p( i p 1-p Es gibt also zwei mögliche Ausgänge, = own und = p, von de iskanten Rendite und dahe auch zwei entspechende Zustände ü den Wet des Endvemögens. Ein Zustand i, bezeichnet mit Z i, sei deiniet als: Z = w i = i 15

16 Konket lassen sich also die beiden Zustände (Ausgänge des Endvemögens olgendemaßen scheiben: Z = w = w 1+ + w α( = ( 0 0 Z = w = w 1+ + w α( = ( 0 0 Bezüglich de Ausgänge und weden olgende zwei plausible Annahmen getoen: < < und Ε( > 16

17 a es nu zwei Zustände gibt, lassen Sie sich leicht in einem iagamm dastellen. Au de -Achse stellen wi den Zustand Z Endvemögen im Fall, dass =. Au de y-achse stellen wi den Zustand Z Endvemögen im Fall, dass =. da, d.h. das da, d.h. das 17

18 150 Z 100 A B 50 Z

19 ie Geade AB epäsentiet den zulässigen Beeich von dem bestehenden Optimieungspoblem. abei entspicht de Punkt A de Situation α = 0, und de Punkt B de Situation α = 1. Man kann zeigen, dass bei de Vaiieung von α die entspechenden Ausgänge genau die Geade AB bilden. ie Geade AB lässt sich olgendemaßen scheiben: Z = Z + w (

20 Außedem wissen wi, dass ü jeden Wet α = c Folgendes gilt: Z ( α = c = w 0 (1 + + w c( 0 Z ( α = c = w 0 (1 + + w c( 0 Setzt man die beiden Wete Z und Z, bei einem beliebigen Wet α = c, in die Gleichung de Geade AB ein, sieht man, dass die Gleichung eüllt ist, d.h. die möglichen Wetepaae, die man duch die Vaiieung von α ehält, liegen alle genau au de Geade AB. ie Geade AB entspicht also dem zulässigen Beeich! 20

21 m die optimale Lösung α* gaphisch zu emitteln, ist es im zweidimensionalen Fall besondes günstig die Niveaulinien de Zielunktion (hie epäsentiet duch den ewateten Nutzen zu zeichnen. a die zweite de notwendigen Bedingungen eine konkave Nutzenunktion velangt, damit das Maimieungspoblem eine eindeutige Lösung hat, nehmen wi hie zuest eine konkave Nutzenunktion an, d.h. < 0. Späte weden wi uns gaisch übelegen, wo die optimale Lösung bei eine lineaen bzw. eine konveen Nutzenunktion liegen mag, und dies anschließend entspechend intepetieen! 21

22 Wi haben hie also mit olgende Zielunktion zu tun: Ε [ w ] = p ( Z + (1 p ( Z ( aaus lässt sich de Anstieg von Z nach Z bei einem ien Wet des ewateten Nutzens Ū, in andeen Woten de Anstieg eine Niveaulinie bei E( = Ū, leicht emitteln: Z Z Ε [ ( w ] Ε( Z = Ε( Z 1 p ( Z = p ( Z = 22

23 a die este Ableitung de Nutzenunktion stets positiv ist, so ist de Anstieg de Niveaulinien stets negativ. Im Fall eine konkaven Nutzenunktion gilt weites: Falls Z = Z (dies ist nu dann de Fall, alls α = 0, d.h. das ganze Vemögen wid isikolos investiet, so ist de Anstieg de Niveaulinien gleich (1-p/p. Falls Z > Z (dies ist genau dann de Fall, alls α > 0, so ist de Anstieg de Niveaulinien höhe als (1-p/p, in andeen Woten lache allend, als bei Z = Z. Falls Z < Z (dies ist genau dann de Fall, alls α < 0, so ist de Anstieg de Niveaulinien kleine als (1-p/p, in andeen Woten steile allend, als bei Z = Z. 23

24 200 Z 150 A 100 B Z 24

25 Je höhe die Niveaulinie, um so höhe de ewatete Nutzen, dem die Punkte au de Niveaulinie entspechen. Ein ET, de also den ewateten Nutzen maimieen will, wid den Punkt von de Geade AB bzw. den diesem Punkt entspechenden Wet von α wählen, welche au de höchstmöglichen Niveaulinie liegt = den Tangentialpunkt von de entspechenden Niveaulinie an die Geade AB. Im Optimum müssen also olgende zwei Eigenschaten eüllt sein: e Punkt liegt au de Gleichung de Geade AB. e Anstieg de Niveaulinie in dem Punkt stimmt mit dem Anstieg de Geade AB übeein. 25

26 26 Z Z p p = ( ( 1 (1 0 w Z Z + + = Im Optimum muss also gelten: m eine genau Lösung ü Z bzw. Z und den entspechenden optimalen Wet α* zu emitteln, muss man die genaue Fom de Nutzenunktion kennen. Gewisse wichtige Eigenschaten von de optimalen Lösung können jedoch auch allgemein untesucht weden!

27 Als Ausgangspunkt ü diese ntesuchung schauen wi uns zuest die Situation an, wo E( = wäe. Man kann nämlich zeigen, dass in diesem speziellen Fall, de Anstieg de Geade AB Folgendes eüllt: 1 p = p In diesem speziischen Fall muss also im Optimum Folgendes gelten: 27

28 1 p p ( Z ( Z 1 p = p ies ist nu genau dann eüllt, alls ( Z = ( Z Bei eine konkaven Nutzenunktion ist dies nu dann de Fall, wenn Z = Z. In diesem speziischen Fall, wo E( =, ist also die optimale Lösung bei Z = Z, also genau im Punkt A, d.h. α* = 0. 28

29 200 Z A B Z 29

30 as Egebnis ist natülich auch ganz plausibel, denn alls de iskante Finanztitel im Ewatungswet die gleiche Rendite vespicht wie de isikolose, und zusätzlich noch Risiko in das Potolio einbingt, so wid ein isikoavese ET ( < 0 sein ganzes Vemögen in den isikolosen Finanztitel investieen, α* = 0. Falls jedoch E( >, so gilt ü den Anstieg de Geade AB: 1 p p < < 0 e Anstieg wid also höhe sein bzw. de negative Anstieg wid wenige steil sein, als bei E( =. 30

31 31 ies olgt aus: > > < ementspechend veusacht entwede eine Veingeung von ode eine Ehöhung von E( [entwede duch eine Ehöhung von ode ], ausgehend von de uspünglichen Situation E( =, imme eine Ehöhung des Anstiegs bzw. eine Veingeung des Betags von dem negativen Anstieg.

32 Z E( > E( = A 100 B B 50 Z

33 Bei E( > muss also im Optimum gelten: 1 p p < 1 p ( Z = p ( Z ies ist nu dann eüllt, wenn ( Z < ( Z Bei eine konkaven Nutzenunktion ist dies nu dann de Fall, wenn Z > Z, d.h. α* > 0. 33

34 In dem Fall, wo E( >, wid also ein isikoavese ET stets einen positiven Betag in den iskanten Finanztitel investieen. [iese Aussage ist geneell gültig!] e genaue Anteil, de optimaleweise in den iskanten Finanztitel investiet wid, hängt natülich von de konketen Fom de Nutzenunktion, sowie von dem konketen Risiko des iskanten Finanztitels ab. Heausodeung: Wie wäe die Entscheidung eines isikoneutalen ETs? Wie wäe die Entscheidung eines isikoeudigen ETs? 34