Magnetostatik. Magnetfeld eines Leiters

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1 Magnetostatik 1. Pemanentmagnete 2. Magnetfeld stationäe Stöme i. Elektomagnetismus Phänomenologie ii. Magnetische Fluss mpeesches Gesetz iii. Feldbeechnungen mit mpeschen Gesetz i. Das Vektopotenzial. Biot-Saatsches Gesetz und nwendungen 3. Käfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld 4. Mateie im Magnetfeld Magnetfeld eines Leites Stom 1

2 Magnetfeld des elektischen Stomes Stomduchflossene Leite B N S Magnetnadel Stomduchflossene Leite ist on einem Magnetfeld umgeben Feldlinien: konzentische Keise Wenn de abgespeizte Daumen de echten Hand in die technische Stomichtung zeigt, so gibt die Richtung de andeen Finge die Richtung des Magnetfeldes an. Feldbeechnung in de Elektostatik Wie kann aus eine ogegebenen Ladungseteilung das elektische Feld beechnet weden? Supepositionspinzip Übelageung de Felde de Teilladungen, imme möglich, abe mathematisch aufwändig bis unmöglich Gauß sche Satz Feld duch Hüllfläche, gilt imme, abe Feldbeechnung nu fü nodnungen mit Symmetien möglich Feldbeechung aus Potenzial Übelageung de Potenziale de Teilladungen und Bildung des Gadienten, fü beliebige nodnungen mit endlichem ufwand lösba (Lösung de Poissongleichung) 2

3 Magnetische Fluss Fakt: Stom ist Usache des magnetischen Feldes Magnetfeld eines Leites: konzentische Keise Fage: Wie goß ist das Magnetfeld? nleihe Elektostatik: Ladungen Usache on E-Feld Satz on Gauss zu Feldbeechnung Elektische Fluss Φel = Ed =Q / ε Magnetische Fluss duch eine Φm = B d Maß fü nzahl de Feldlinien duch eine Magnetische Fluss Fü Feldbeechnungen Fluss duch geschlossene B d =? Magnetische Feldlinien sind geschlossen Egal wie ich wähle Bd 3

4 Bd Bd V Magnetische Monopole? dib dv dib = Satz on Gauß Mathematische Fomulieung de expeimentellen Beobachtung, dass keine magnetischen Monopole existieen N und S kommen imme nu gemeinsam o ds mpeesches Gesetz 1 Elektisches Feld = konseaties Kaftfeld Eds = beit zu Veschiebung eine Ladung längs eines geschlossenen Weg = st das Magnetfeld auch ein konseaties Feld? Stom beit = Fds Kaft F B pop. zu Feldstäke B beit längs geschlossene Kue (Keis um Leite = Feldlinie) = Fds = k Bds weil B = konst und B ds Magnetisches Feld ist kein konseaties Kaftfeld!! 4

5 mpeesches Gesetz 2 Expeimentell gefunden: Bei einem geschlossenen Umlauf ist das Linienintegal de magnetischen Fehlstäke gleich dem umfassten Stom. Fü n-fachen Umlauf de n-fache Stom ds ds Bds = ds = µ B mpeesches Gesetz (klassisch) N fach Hds = Mit modene magnetischen Feldstäke Bds = µ Bds = Nµ Diffeenzielle Fom des mpeeschen Gesetzes 1 ntegale Fom des mpeeschen Gestzes Stom = Bds = µ = µ jd ntegal übe Stomdichte jd Bds = Einneung Elektostatik: diffeenzielle Fom fü Feldbeechnungen oft besse geeignet: integale Fom Ed = Q / ε Umfomung mit Gauß schen ntegalsatz µ diffeenzielle Fom die = ρ / ε Kann ich eine ähnliche Fomulieung fü das Magnetfeld finden? 5

6 Mathematik Wiedeholung Keuzpodukt zweie Vektoen Keuzpodukt mit Nabla Opeato: Rotation Diffeenzielle Fom des mpeeschen Gesetzes 2 B Magnetfeld Geschlossene Kue Fü mpeesches Gesetz Fage: Wie goß ist das Ringintegal? Γ c = Bds =? ds B Ring kann in Teile zelegt weden Vozugsweise Quadate mit Γ q Kue F Γ c = Γqi = i i quadat Bds 6

7 Diffeenzielle Fom des mpeeschen Gesetzes 3 Ringintegal fü diffeenziell kleines Quadat quadat quadat des Quadats Entspicht z-komponente on ot B Diffeenzielle Fom des mpeeschen Gesetzes 4 quadat Bds = ( ) Bds = quadat Bds = ( ) B d Bds Bds = µ B d ( B) d = µ B = µ j ot B = µ j jd bzw. Diffeenzielles Quadat ntegal übe = Summe übe Quadate Stoke sche ntegalsatz mpeesches Gesetz Stoke und Stomdichtedefinition mpeesches Gesetz in diffeenzielle Fom: Rotation eines Magnetfeldes ist gleich de lokalen Stomdichte 7

8 n einem Wibelfeld gilt: Wibelfeld - Quellenfeld Feld bildet Wibel um Quelle heum, d.h. Feldlinien sind geschlossene Kuen (keine Quellen und Senken) beit längs eine geschlossenen Kue ungleich null Rotation eines Vektofeldes Maß fü die Stäke de Wibel n einem Quellenfeld gilt: Feld geht on Quelle aus, d.h. Feldlinien beginnen und/ode enden bei Quellen des Feldes beit längs eine geschlossenen Kue ist null Diegenz eines Vektofeldes Maß fü die Stäke de Quellen Hat das elektostatische Feld Wibel? Definition eines konseatien Kaftfeldes Eds = Eds = ( E) d = ( ot E) d = Stoke sche ntegalsatz ot E Wibeldichte = ltenatie Übepüfung Quellenfeld als Gadient eines Potenzials dastellba E = gadϕ Wie goß ist die Wibelstäke (Beechnung on ot) ot E = ot ( gadϕ) = ϕ Keuzpodukt paallele Vektoen = Elektostatisches Feld hat keine Wibel! llgemein: jedes Feld, das als Gadient eines skalaen Potenzials dagestellt weden kann ist wibelfei 8

9 Elektostatik Magnetostatik Wibeldichte Magnetfeld B = µ j bzw. ot B = µ j Elektisches Feld E = bzw. ot E = Quelldichte B = bzw. di B = E = ρ / ε bzw. di E = ρ / ε Magnetfeld: Quellenfeies Wibelfeld (Statisches) elektisches Feld: Wibelfeies Quellenfeld Fü > ein = B( ) = µ 2π B- Feld eines geaden Leites ds B Fü < ein = B( ) = µ 2 π ( / ) 2 2 Homogene Leite mit Radius Von Stom duchflossen Feldlinien keisfömig B auf Keis konstant B ds B( ) ds = 2π B( ) = µ ein ein eingeschlossene Stom B 1 9

10 Magnetfeld eine Spule Magnetfeld eine Spule Expeimentelle Egebnisse homogenes Feld im nneen an Enden diegentes Feld zwischen den Windungen weitgehende Kompensation im ußenaum eschwindet das Feld (sofen Spule lang) Feld hat seh einfache Konfiguation: Beechnung mit mpeeschen Gesetz möglich! 1

11 L Magnetfeld eine Spule 1 2 Spule N Windungen Länge L mpeesche Vekettungssatz Rechteckfömige ntegationsweg ( ) : 2 3 : 3 4 : B ds B ds B ds Bs Bs Bs = BL = = B 3 4 : B ds Bs3 4 = B ds = BL = µ N N B = µ Magnetfeld im nneen eine Spule L Exakte Feldbeechnungen Spulen Feld eine langen dünnen Spule: innen homogen außen enachlässigba Feld eine kuzen dicke Spule: innen inhomogen außen nicht enachlässigba 11

12 Ringspule Zylindespule zu Ring gebogen B Windungszahl N Symmetie B( ) = B( ) eϕ B ( ) ds = 2π B( ) () µ = µ N µ N = 2 π B Magnetfeld im nneen nicht homogen mpeeschen Gesetz: B eschwindet außen mpeesches Gesetz Gültigkeit /nwendungen mpeesches Gesetz nu gültig, wenn keine zeitlich eändelichen E-Felde inoliet B +Q -Q Zwei geladene Kugeln ebunden: Ladungsaustausch Magnetfeld nicht mit G beechenba (Maxwell sche Eweiteung) Leiteschleife ntegationsweg mpeesches Gesetz gültig, be Symmetie nicht auseichend fü Beechnung : nu fü nodnungen mit hohen Gad an Symmetie 12