d) Was ist an dieser Form des Vergleiches nicht korrekt?

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1 Im Banne de Dunklen Mateie - die ätselhafte Rotation de Galaxien - Vesion "light" fü zweistündige Astonomiekuse (übeabeitet von Hemann Hamme) Die im Kosmos vohandene Dunkle Mateie einnet an den Täge de zuweilen in Mächen und Sagen vokommenden Tankappe. So wie de unsichtba ist und dennoch agieen kann, so bleibt die Dunkle Mateie unseen Teleskopen vebogen und wikt totzdem duch ihe Gavitation. Das Agieen de Dunklen Mateie in den Galaxien wid u. a. ekennba, wenn man die Rotation de Galaxien untesucht. Abb. : Es ist übeaschend zu efahen, dass die uns vetaute Mateie nu etwa 4% des Mateieinhalts im Univesum ausmachen soll. Manche Wissenschaftle bezeichnen dahe diese Mateie als sichtbae Schaumkone auf dem Mee de unsichtbaen Mateie. (Bildquelle: Zunächst ein einfache, gobe Vegleich. Wi betachten dazu zwei Himmelköpe (z.b. unsee Sonne und einen andeen Sten unsee Milchstaße), die um das Zentum de Milchstaße keisen: a) Wie lautet das Gesetz von Hubble? b) Wie lautet das keplesche Gesetz fü die Umlaufzeiten T und die Bahnadien? c) Die Umlaufgeschwindigkeit eines Himmelsköpes um sein Zentum ist v = T U, wobei U de Umfang de Keisbahn ist. Leite damit und mit Hilfe des kepleschen Gesetzes (s. b)!) fü den Vegleich de Geschwindigkeiten v und v von zwei Himmelsköpen auf den jeweiligen Bahnen und um ein gemeinsames Zentum die folgende Beziehung he: v = v. Vegleiche mit dem Hubblegesetz. d) Was ist an diese Fom des Vegleiches nicht koekt?. Rotation des Planetensystems a) Beechne die Bahngeschwindigkeiten v de Planeten, die auf Keisbahnen um die Sonne (Tabelle!). b) Zeichne die Rotationskuven, d. h. den jeweiligen Velauf de Bahngeschwindigkeit v (Keisbahn) de Beobachte mit wachsendem Abstand von de Rotationsachse (v--diagamm, siehe unten)! c) Diskutiee ausfühlich die ehaltene Rotationskuve. Abeite insbesondee die Fomelzusammenhänge zwischen v und heaus (fü Planetensystem Käfteansatz nutzen). Tabelle Planet [AE] T [a] v Meku Venus Ede Mas Jupite Satun Uanus Neptun Pluto 0,39 0,7,5 5,0 9,54 9,9 30,07 39,48 0,4 0,65,88,86 9,44 84,0 64,79 47,9

2 3. Rotieende Milchstaße Die Sonne läuft mit eine aus Beobachtungen abgeleiteten Geschwindigkeit von etwa 00 km/s in 8,5 kpc Entfenung um das Zentum des Milchstaßensystems. Beobachtungen de sichtbaen Mateie ebachten, dass sich innehalb de Sonnenbahn etwa 50 Md Sonnenmassen befinden. ( pc = 3, m) b) Vegleiche die aus Beobachtungen abgeleitete Umlaufgeschwindigkeit mit de, die nach dem Gavitationsgesetz notwendig ist, damit die Sonne auf eine Keisbahn um die eingeschlossene Masse umläuft. c) Wie lange dauet ein galaktisches Jah? Infomation: Wie schon Newton gezeigt hat, kann die innehalb de Sonnenbahn eingeschlossene Masse als zentale Punktmasse betachtet weden. Die außehalb de Sonnenbahn befindliche Masse bleibt ohne Wikung. Geg.: Radius Sonnenbahn = 8,5 kpc Bahngeschwindigkeit de Sonne (beobachtet) v beob = 00 km s - Sichtbae Masse innehalb de Sonnenbahn M = M S Gavitationskonstante γ = 6, kg - m 3 s - pc = 3, m a = 3, s Sonnenmasse M S =, kg Ges.: Bahngeschwindigkeit de Sonne (theoetisch entspechend de sichtbaen Masse) v theo 4. Aufgabe - Rotieende Galaxie Bei de Betachtung de Rotation des Planetensystems muss fü alle umlaufenden Planeten stets nu die Sonne als Zentalmasse angenommen weden (gilt in seh gute Näheung, weil die Sonnenmasse ein Vielfaches de gesamten Planetenmasse dastellt.). Im Falle de Rotation eines Stensystems wie z. B. des Milchstaßensystems ist die zu beücksichtigende Zentalmasse jedoch nicht imme gleich. Ihe Göße bestimmt sich aus de Gesamtmasse de Mateie innehalb de jeweils betachteten Umlaufbahn eines Stens. Fü die Umlaufgeschwindigkeit eines Stens in eine Galaxie gilt also M = M() (Siehe Tabelle!) Tabelle M() [kpc] [kg] beechnet Fü ein Stensystem wude aus de Helligkeitsveteilung auf die Veteilung de beobachtbaen Masse geschlossen. (Dazu fand ein gegebenes Vehältnis zwischen Leuchtkaft und Masse Anwendung.) In de nebenstehenden Tabelle sind die Massen M(), auf die jeweils innehalb de Radien im Stensystem geschlossen wude, aufgefüht. 0,4 0,6 0, , , , , , ,9 0 39, , , ,

3 a) Beechne die theoetischen Umlaufgeschwindigkeiten, die bei den entspechenden Massen und Radien nötig wäen, damit die Stene stabil auf Keisbahnen im Stensystem umlaufen. b) Die theoetische Rotationskuve ist in das unten gegebene Diagamm mit de en Rotationskuve einzuzeichnen und zu kommentieen. Man diskutiee die Diskepanz zwischen den Kuven. c) Zusatzaufgabe: Das Vehältnis de Gesamtmasse (sichtbae + Dunkle Mateie) zu alleinigen Masse de Dunklen Mateie ist zu bestimmen und mit dem in Abb. gezeigten Wet zu vegleichen. 50 Rotationskuve 00 v [kpc]

4 Abeitsblatt: Rotationsvehalten kosmische Objekte - Egebnisse. Ein einfache Vegleich a) v = H, v Fluchtgeschwindigkeit, Abstand 3 T π π b) = 3 ; v = T = ; T T v c) einsetzen, küzen Behauptung d) in Teilaufgabe a) ist v die Fluchtgeschwindigkeit, in Teilaufgabe b) die Rotationsgeschwindigkeit.. Rotation des Planetensystems Planet [AE] T [a] v Meku Venus Ede Mas Jupite Satun Uanus Neptun Pluto 0,39 0,7,5 5,0 9,54 9,9 30,07 39,48 0,4 0,65,88,86 9,44 84,0 64,79 47,9 47,9 35,0 9,8 4, 3, 9,7 6,8 5,5 4,7 mittlee Abstand zu Sonne, T sideische Umlaufzeit (360 -Umlauf), a=365,45 d - I Im Falle des Planetensystems egibt sich eine Rotationskuve, deen Aussehen duch die Gavitation bestimmt wid. Fü die Keisbahn gilt (veeinfacht im Mittelpunktssystem de Sonne): m M m v FGav = FZenti γ =. γ M 0, 5 v = v~. Dieses Rotationsvehalten, das auch im 3. kepleschen Gesetz seinen Niedeschlag findet, nennt man Kepleotation. Die Fomel zeigt, dass mit Kenntnis de Bahngeschwindigkeit eines Planeten die Masse M de Sonne beechnet weden kann. De Wetevelauf im v--diagamm einnet an eine Hypebel (v~/ m ).

5 3. Rotieende Milchstaße Geg.: Radius Sonnenbahn = 8,5 kpc Bahngeschwindigkeit de Sonne (beobachtet) v beob = 00 km s - Sichtbae Masse innehalb de Sonnenbahn M = M S Gavitationskonstante γ = 6, kg - m 3 s - pc = 3, m a = 3, s Sonnenmasse M S =, kg Ges.: Bahngeschwindigkeit de Sonne (theoetisch entspechend de sichtbaen Masse) v theo Lös.: Annahmen: Keisbahnumlauf de Sonne γ M 6,676 0 kg m s 50 0,989 0 kg vtheo = = 60 km/s ,5 0 3,086 0 m Wenn allein die sichtbae Masse vohanden wäe, so müsste die Sonne mit eine Bahngeschwindigkeit von ca.60 km/s umlaufen. Die höhe beobachtete Bahngeschwindigkeit von etwa 00 km/s lässt daauf schließen, dass auße de sichtbaen Mateie noch unsichtbae Dunkle Mateie vohanden sein muss. π vbeob = T 3 6 π π 8,5 0 3,086 0 m 5 6 T = = 8,4 0 s 60 0 a. v 5 - beob 0 m s Die Sonne benötigt fü einen Umlauf um das galaktische Zentum etwa 60 Mio Jahe. Im Falle de Rotation eines Stensystems wie z. B. des Milchstaßensystems ist die zu beücksichtigende Zentalmasse jedoch nicht imme gleich. Ihe Göße bestimmt sich aus de Gesamtmasse de Mateie innehalb de jeweils betachteten Umlaufbahn eines Stens. Fü die Umlaufgeschwindigkeit eines Stens in eine Galaxie gilt also v = γ M, M = M ( ) v ~ M ( ) Wähend die den Fomeln zugunde liegende Punktmassenannahme fü das Planetensystem seh gut angenähet ist, so scheint sie fü das Stensystem nicht zu gelten. Auf Gundlage eine esten Aussage, die dem Schüle zunächst ohne Beweis mitgeteilt wid, lässt sich zeigen, dass die Punktmassenannahme auch fü das Stensystem in gute Näheung möglich ist (Masse innehalb de Umlaufbahn als Punktmasse und umlaufende Sten als Punktmasse). Eine zweite Aussage ist dann noch nötig, um Klaheit übe die Göße diese Punktmasse und den Einfluss de übigen Masse zu elangen. Es gilt:. Die Kaftwikung eine kugelsymmetischen Masseveteilung ist dieselbe wie die eines Massenpunktes de Masse M, d. h. die innehalb de Umlaufbahn eines Stens befindliche Massekugel kann man sich im Zentum des Stensystems konzentiet denken.. Im Innen eine Hohlkugel wiken keine Käfte, d. h. die außehalb de Umlaufbahn eines Stens befindliche Masse im Stensystem bleibt ohne Einfluss. 0,5.

6 4. Rotieende Galaxie Geg.: Gavitationskonstante γ = 6, kg - m 3 s - pc = 3, m Sonnenmasse M S =, kg Ges.: theoetische Bahngeschwindigkeiten de Stene bei Lös.: M ( ) v( ) = γ. M() [kpc] [kg] 0,4 0,6 0, , , , , , ,9 0 39, , , , beechnet v Rotationskuve theoetisch [kpc] Es egibt sich theoetisch ein Geschwindigkeitsabfall, de jedoch nicht wid. Die e Rotationsgeschwindigkeit bleibt nahezu konstant, wegen M ( ) v( ) = γ. muss also das Vehältnis M()/ nahezu konstant bleiben. Daaus egibt sich die Notwendigkeit eine zusätzlich in de Galaxie vohandenen Masse M Dunkel, die (bishe) unsichtba bleibt (Dunkle Mateie). [ M sichtba ( ) + M dunkel ( ) ] v( ) = γ. Das Vehältnis de Gesamtmasse (sichtbae und Dunkle Mateie) zu Masse de Dunklen Mateie soll speziell fü = 30kpc bestimmt und mit dem in Abb. gezeigten Diagammwet veglichen weden. M sichtba ( ) + M 3 - ( 0 m s ) M sichtba M sichtba ( ) ( ) + M dunkel ( ) = v ,086 0 m ,676 0 kg m s dunkel 3 = γ 6 38,7 0 = ( ) 6, , 0 kg 0,. kg Aus Abb. lässt sich fü das Massenvehältnis ein Wet von 4/ 0,9 ablesen. 4 kg.