Ladung. Elektrische Ladung ist eine Eigenschaft von vielen Elementarteilchen, die zusätzlich zu ihrer Eigenschaft der Masse beobachtet wird.

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1 Ladung Elektische Ladung ist eine Eigenschaft von vielen Elementateilchen, die zusätzlich zu ihe Eigenschaft de Masse beobachtet wid. Ladung ist imme mit Masse veknüpft es gibt keine masselosen Elementateilchen, die eine Ladung besitzen. So wie Masse Uspung de Gavitationswechselwikung ist, so ist die Ladung Uspung eine elektomagnetischen Wechselwikung. Masse hat gleichzeitig die Eigenschaft eine Tägheit, Ladung besitzt keine Tägheit. Die Elementateilchen sind täge aufgund ihe Masse. Es gibt zwei entgegengesetzte Soten von Ladungen: positive und negative Die Ladung ist gequantelt, d.h. sie titt nu in ganzzahligen Vielfachen von eine Elementaladung auf.

2 Die Einheit de Ladung ist das Coulomb (C). Die Elementaladung ist e = (4) x -9 C Die in Atomen und Molekülen elevanten Elementateilchen mit Ladung sind die Elektonen ( Ladung Q e = -e) und die Potonen (Q p = e). Es ist expeimentell nachgewiesen, dass sich de Betag de Ladung von Elekton und Poton um wenige als - e untescheidet. Ehaltungssatz: Die Gesamtladung in einem abgeschlossenen System bleibt ehalten. Paae von Ladungen (e / -e) können ezeugt und venichtet weden, ebenso wie Paae aus (Masse / Antimasse). Dies geschieht z.b. bei Elekton/Positon Paaezeugung bei de Enegie in Masse/Antimasse umgewandelt wid.

3 Käfte zwischen Ladungen: Ladungen mit unteschiedlichem Vozeichen zeihen sich an, Ladungen mit gleichem Vozeichen stoßen sich ab. Man beobachtet, dass fü die Kaft zwischen den beiden Ladungen Q und Q im Abstand gilt: F Q Q Die Kaft auf Ladung Q wikt in Richtung des Abstandsvektos, de von Ladung Q auf Q zeigt. F Q Q Q Q F 3

4 Die Popotionalitätskonstante wid aus paktischen Günden /4πε genannt. F Q Q = Coulombsches Gesetz 4 πε Die Natukonstante ε nennt man die Dielektizitätskonstante. ε = x - C /(Nm²) De Wet ist exakt, da die Definition de Einheit Ampee (A) und damit auch die Definition de Einheit Coulomb (C = As) letztlich auf die Definition diese Natukonstante zuückgefüht weden. Einnee: Entspechend wude bei de Definition de Einheit Mete vogegangen, das übe die Definition de Natukonstanten Lichtgeschwindigkeit an die Sekunde gekoppelt wid. 4

5 Die Popotionalitätskonstante /4πε ist im Vegleich zu Gavitationskonstanten γ seh goß: 4πε = Nm /C γ = Nm /kg Zwei Kugeln aus Blei mit de Masse von je kg im Abstand von m zeihen sich mit de Kaft von F = N an. Wäe die Ladung de Potonen in den Kugeln nicht duch Elektonen neutalisiet wäe die Kaft zwischen beiden Kugeln F =.3 5 N Die Coulombkaft (Elektostatische Kaft) zwischen Kugeln wid beobachtet, wenn die Zahl von Potonen und Elektonen in den Kugeln unteschiedlich ist und sich damit jeweils eine Nettoladung de Kugel egibt. Expeiment: Elektoskop, Coulombsche Dehwaage 5

6 Das elektische Feld. Die Wechselwikung (Kaft) zwischen zwei Ladungen kann man sich als Fenwikung übe eine goße Entfenung vostellen.. Eine andee Vostellung vewendet den Begiff des Feldes. Die eine Ladung ezeugt ein elektisches Feld und die andee Ladung efäht in dem Feld eine Kaft. Die Felde sind etwas Reales, da in ihnen Enegie gespeichet ist. Es gibt Felde, die sich von de ezeugenden Ladung gelöst haben und Enegie tanspotieen (elektomagnetische Wellen). Andee Ladungen können in diesen Felden Käfte efahen. Dies wäe nicht mit eine Fenwikung ekläba. 6

7 Wi fühen das elektische Feld so ein, dass die Ladung Feld die Kaft F = Q E in dem efäht. nennt man die elektische Feldstäke. Aus dem Coulombgesetz egibt sich fü die Kaft auf die Ladung Q am Punkt duch das Feld was von Ladung Q ezeugt wid E Q also Q Q F = = 4 πε E Q E = 4πε Q und vektoiell geschieben: E = 4πε Q 7

8 Unte dem Feld als Ganzes vesteht man die vektowetige Funktion E( ) E die die Feldstäke an jedem Raumpunkt angibt. Eine Ladung Q am Ot ezeugt ein elektisches Feld de Fom E( ) = 4 πε Die Feldstäke am Ot zeigt vom Ot in Richtung auf den Ot, hat also die Richtung von. Die Richtung de Feldstäke ist umgekeht, wenn negativ ist. Q E Q Uspung des Koodinatensystems 8

9 Befinden sich mehee Ladungen im Raum, addieen sich die Beitäge jede Ladung zu elektischen Feldstäke vektoiell (Supepositionspinzip). Die dei Ladungen Q, Q und Q 3 an den Oten, und 3 ezeugen das Feld Fü n Ladungen kann man allgemein scheiben Sind die Ladungen quasi kontinuielich veteilt egibt sich ein Integal mit de Ladungsdichte ) ( Q Q Q E = πε πε πε = = n i i i i i Q E 4 ) ( πε E V = 3 d ) ( 4 ) ( ρ πε ρ( )

10 Beispiel: Feld von zwei negativen Ladungen

11 Feldlinien: Beispiel: zwei positive Ladungen Feldlinien velaufen in jedem Punkt in Richtung de elektischen Feldstäke. De Betag von de Feldstäke ist nicht diekt ekennba.

12 Beispiel: eine positive und eine negative Ladung (elektische Dipol)

13 Beispiel: eine positive (oben) und zwei negative Ladungen (unten) 3

14 Wenn gleich viele positive wie negative Ladungen vohanden sind beginnen die Feldlinien imme in eine positiven Ladung und enden in eine negativen Ladung. Wenn die Summe alle Ladungen ungleich Null ist, beginnen ode enden einige Feldlinien im Unendlichen. Zum Vegleich: bei de Gavitation beginnen alle Feldlinien im Unendlichen Goße Unteschied zu Gavitation: Alle Massen ziehen sich gegenseitig an. De Fall, dass sich alle Ladungen gegenseitig anziehen existiet nicht. (fü n>) Diese kleine Unteschied im Vozeichen de beiden Gesetze fü gavitative und elektostatische Anziehung ist entscheidend fü die gundlegende Stuktu des Univesums! 4

15 Gavitation: Weil alle Massen sich gegenseitig anziehen folgt: Je meh Massen man zu einem Klumpen zusammenfügt, umso meh Enegie wid feigesetzt. Bildung von Stenen, Galaxien und schwazen Löchen. Das sofotige Ineinandestüzen wid vehindet, daduch, dass die Himmelköpe umeinande keisen. Elektostatische Anziehung: Nu das Zusammenbingen eine positiven mit eine negativen Ladung setzt Enegie fei. Bildung von Atomen (Poton Elekton Wassestoff) Folge: fast alle Mateie liegt als neutale Atome vo. Das sofotige Ineinandestüzen von Elekton und Poton wid duch die Quantenmechanik vehindet. Stake Wechselwikung: Beim Zusammenfügen von Potonen und Neutonen zu einem Klumpen wid Enegie feigesetzt. De Klumpen daf nicht zu goß sein sonst kostet es Enegie. Atomkene, veschiedene Elemente (Kenfusion, Supenova Explosionen) 5

16 Enegiedichte des elektischen Feldes: In einem elektischen Feld ist Enegie gespeichet. Die Enegie wid benötigt, um das Feld aufzubauen, z.b. duch Ladungstennung. Die Enegiedichte (= Enegie po Volumen) des elektischen Feldes ist w = ε E Je stäke das Feld, umso göße die gespeichete Enegie. Die insgesamt im Feld gespeichete Enegie egibt sich duch Integation übe den gesamten feldefüllten Raum. W = ε E d V 3 Besondes gut wahnehmba ist die Enegiedichte de elektomagnetischen Stahlung (Licht) de Sonne. Auf die Fläche A wid die Leistung P eingestahlt: W wv wact P = = = = t t t wac c : Lichtgeschwindigkeit t : Zeit V : Volumen w : Enegiedichte 6

17 Beispiel: Feldenegie des Elektons: Das Elekton habe den Radius e und seine Ladung säße auf seine Obefläche, dann egibt sich fü die Gesamtenegie: W 3 e 3 e = ε E d = ε d = 3 π V πε π ε V e d e e = d 8πε = 8π ε e e Wäe das Elekton punktfömig, wäe seine Feldenegie unendlich goß. Wenn die gesamte Ruhemasse als Feldenegie voliegen wüde, wäe e 8πε e = m c e =,4-5 m (klassische Elektonenadius) Expeimente zeigen abe, dass de wikliche Radius kleine sein muss (< -6 m). Das Model eine geladenen Kugel tifft dahe fü das Elekton nicht zu. 7

18 Kaft und Feldenegie: Zu Beechnung de Kaft auf eine Ladung wid nu die Feldstäke eechnet, die von den andeen Ladungen ezeugt wid. Jede Ladung sieht also ein andees Feld. Tatsächlich gibt es abe nu EIN elektisches Feld, das von allen Ladungen ezeugt wid. Dieses eine Feld wid zu Beechnung de Enegiedichte vewendet. E(,,, 3,...) daaus ehält man die gesamte Feldenegie W (,, 3,...) = ε E(,,, 3,...) d V Feldstäke am Ot und Ladungen an den Oten,, 3,... Die Kaft auf eine Ladung kann beechnet weden duch Beechnung de Ändeung von W bei Veschiebung de Ladung. F = gad W (,, 3,...) Dies ist abe geade gleich Ladung mal Feld de andeen Ladungen F E(,, 3,...) = Q 3 (seh schwe zu beechnen) (viel einfache zu beechnen) 8

19 Potentielle Enegie eine Ladung: Veschiebt man eine Ladung vom Punkt zum Punkt im Feld de andeen Ladungen benötigt man (bzw. gewinnt man) Enegie. potentielle Enegie. Potentielle Enegie ist Feldenegie! Die veichtete Abeit ist die Diffeenz zwischen Feldenegie nachhe - vohe ΔW = W ( B,, 3,...) W ( A,, 3,...) Viel einfache beechnet man abe die Abeit, die bei de Bewegung duch das Feld de andeen Ladungen veichtet weden muss: A B (seh schwe zu beechnen) ΔW = B A F B ds = Q E(, 3,...) A ds Hie ist F elevant, da zum Veschieben eine Kaft gegen die wikende Kaft F aufgewendet weden muss, um eine Beschleunigung zu vehinden. Wenn die andeen Ladungen (, 3,...) uhen, ist die Abeit unabhängig vom Weg de zwischen A und B eingeschlagen wid. konsevatives Kaftfeld. 9

20 konsevatives Kaftfeld: Wenn die veichtete Abeit unabhängig vom Velauf des Weges zwischen zwei beliebigen Punkten A und B ist, nennt man das Kaftfeld konsevativ. Äquivalente Definition: Ein Kaftfeld ist konsevativ, wenn die veichtete Abeit entlang jede geschlossenen Kuve gleich Null ist. F d s = Äquivalente Definition: Ein Kaftfeld ist konsevativ, wenn in jedem Punkt die Wibelstäke gleich Null ist. ot F =

21 Beispiel Punktladung (positiv): Abeit auf geschlossenem Weg Abeit unabhängig vom Weg A B Enegiegewinn = veichtete Abeit veichtete Abeit auf beiden Wegen gleich gün: keine Abeit entlang dieses Weges, da Kaft senkecht zu Weg ot: Enegie gewonnen violett: Abeit veichtet

22 Potential: In einem konsevativen Kaftfeld kann man fü jeden Punkt die potentielle Enegie angeben, die eine Ladung hätte, wenn sie dot wäe. (weil unabhängig vom Weg wie sie dahin gekommen ist). Ein Bezugspunkt muss festgelegt weden (z.b. im Unendlichen) Die potentielle Enegie ist imme popotional zu Ladung Einnee: ΔW = B A F B ds = Q E ds A Man füht deshalb zusätzlich das Potential ϕ ein, so dass: Damit egibt sich: ΔW = Q Δϕ Δ ϕ = B A E d s

23 Potential eine Punktladung: Mit Bezugspunkt im Unendlichen egibt sich Fü des Egebnis ist nu de Weg entlang des Radiusvektos elevant, also Vozeichen: Beim Veschieben eine positive Ladung Q A im Feld eine positiven Ladung Q B von nach <, veichtet man die Abeit ΔW> : 3 s Q s E d 4 d ) ( ) ( = = πε ϕ Q Q Q 4 d 4 d 4 ) ( πε πε πε ϕ = = = Q 4 ) ( πε ϕ = Potential eine Punktladung ist popotional zu / ( ) 4 ) ( ) ( > = = Δ Q Q W B A πε ϕ ϕ

24 Supepositionspinzip fü Potential: Zu Beechnung des Potentials mehee Ladungen, addieen sich an jedem Punkt die Beitäge zum Potential von jede einzelnen Ladung. Q Q Q3 ϕ( ) =... 4πε 3 (besondes einfach zu beechnen) Das Potential ist eine skalae Funktion, es baucht also nicht vektoiell addiet zu weden. Jede Ladung sieht das Potential de andeen Ladungen. Jede Ladung sieht also ein andees Potential. Die potentielle Enegie ist nu die Enegie, die notwendig ist, um die eine zusätzliche Ladung in die vohandene Konstellation einzubingen. Um die Gesamtenegie de Anodnung zu beechnen, muss man eine Ladung nach de andeen einbingen und jeweils deen potentielle Enegie beechen. 4

25 Elektische Spannung: Eine Potentialdiffeenz nennt man Spannung. Die elektische Spannung U zwischen den Oten und ist: U = ϕ( ) ϕ( ) Einheit de Spannung und des Potentials ist das Volt [V]. V = J/C. Bingt man eine Ladung von Q = C vom Ot mit Potential ϕ zum Ot mit Potential ϕ, mit de Spannung U = ϕ - ϕ = V zwischen den Oten, dann muss die Abeit W = Q U = J veichtet weden. Als Enegieeinheit wid manchmal das Elektonenvolt [ev] vewendet: Bingt man eine Elementaladung vom Ot mit Potential ϕ zum Ot mit Potential ϕ, mit de Spannung U = ϕ - ϕ = V zwischen den Oten, dann muss die Abeit W = e U = ev veichtet weden. 4b

26 Feld als Gadient des Potentials: Ist das Potential bekannt, kann daaus das elektische Feld beechnet weden: E( ) = gad ϕ( ) Veblüffendeweise kann man aus de skalaen Funktion die E( ) Vektofunktion, d.h. auch die Richtung des Feldes beechnen. Gadient in katesischen Koodinaten: ϕ( ) ϕ ϕ gad ϕ ( x, y, z) =,, x y ϕ z De Gadient gibt Richtung und Betag de Steigung eines skalaen Feldes an. Vostellung: Potential = Beglandschaft Gadient zeigt begauf Kaft (bzw. Feld) zeigt begab = gad ϕ( ) 5

27 Potential fü eine negative Ladung ϕ y x 6

28 Potential fü zwei negative Ladungen ϕ y x 7

29 Leite (Metalle) im elektischen Feld: Elektonen sind in Metallen fei veschiebba. Sie veschieben sich solange, bis keine Kaft meh auf sie wikt. Im Gleichgewicht ist das elektische Potential an jedem Punkt eines zusammenhängenden Leites gleich, da sonst eine Potentialdiffeenz und damit eine Kaft F = -q gadϕ auf die Elektonen wiken wüde. ϕ = const. gadϕ = Die Obefläche eines Leites ist eine s.g. Äquipotentialfläche (Fläche gleichen Potentials) Die Feldlinien münden imme senkecht auf die Leiteobefläche (keine Feldkomponente entlang de Leiteobefläche) Das innee eines Leites ist feldfei weil ϕ = const. gadϕ = also E= Stichwot: Faady-Käfig 8

30 Influenz: Bingt man einen Leite in ein elektisches Feld veschieben sich die Ladungen im Leite. Influenz Die neue Ladungsveteilung kompensiet das Feld im Innen des Leites und vebiegt die Feldlinien so, dass sie senkecht auf die Obefläche münden elektisches Feld ohne Leite elektisches Feld mit leitende Kugel 9

31 Expeiment zu Influenz: Zwei ungeladenen Kugeln weden ins elektischen Feld gebacht und dot getennt. Beide Kugeln sind danach gegengesetzt geladen elektisches Feld mit zwei leitenden Kugeln Die Ladung de Kugeln wid mit dem Elektoskop nachgewiesen 3

32 Expeiment zu Influenz: Eine geladene Kugel wid ins Innee eines leitenden, neutalen Beches gebacht. Duch Influenz weden an de Obefläche des Beches Ladungen getennt leitende Beche Elektoskop egistiet die positive Ladung auf de äußeen Obefläche 3

33 Expeiment zu Influenz: Ladungen bewegen sich vom Innen eines leitenden Beches auf dessen Obefläche. Eine geladene Kugel wid vollständig entladen, wenn sie das Innee des Beche beüht. leitende Beche Elektoskop 3

34 Van-de-Gaaff-Geneato: Abbüsten de Ladungen vom Band. Die Ladungen veschieben sich sofot auf die Obefläche de Kugel. Metall Isolato Aufspühen von Ladungen auf ein isolieendes Band von eine schafen Spitze bei hohe Spannung. kv Das motogetiebene Band tanspotiet die Ladungen in das Innee de Kugel. 33

35 Ladungen als Quellen des elektischen Feldes (Poisson-Gleichung): Die Feldlinien entspingen an den positiven Ladungen. Stellt man sich die Ladung als Wassequelle vo, entspicht die Stömungsgeschwindigkeit des Wasses de elektischen Feldstäke. Die Quellstäke des Stömungsfeldes wid duch den Opeato Divegenz beechnet (vgl. Stömungsmechanik, Kontinuitätsgleichung). v div v = v x x v y y v z z Fü das elektische Feld gilt, dass positive Ladungen Quellen des Feldes sind, negative Ladungen sind Senken. ρ = ε div E Poisson-Gleichung Ladungsdichte ist Dielektizitätskonstante mal Divegenz des Feldes. 34

36 Mit de Beziehung ehält man E( ) = gad ϕ( ) ρ = ε div gad ϕ Die beiden Opeatoen div und gad nacheinande angewendet nennt man Laplaceopeato Δ ϕ = ϕ x ϕ y ϕ z Die Poisson-Gleichung mit dem Potential geschieben lautet also ρ = ε Δϕ Poisson-Gleichung Die Poisson-Gleichung ist eine patielle Diffeentialgleichung. 35

37 Anwendung de Poissongleichung: Kennt man die Ladungsveteilung, kann man mit dem Coulomb-Gesetz diekt das elektische Feld ausechnen. Sind abe Metalle (d.h. Leite) vohanden, so sind die Ladungen fei veschiebba und man kennt die Ladungsveteilung nicht. Das Potential auf de Metallobefläche ist abe bekannt und auf dem ganzen Leite gleich. Man löst dahe die Poission-Gleichung fü den Raum zwischen den Metallobeflächen mit den Potentialen de Metallobeflächen als Randbedingung. Befinden sich keine weiteen Ladungen im feien Raum gilt dot Δϕ = (Laplace-Gleichung) 36

38 Numeische Lösung de Laplacegleichung: Beechnung des Potentials fü eine Anodnung von zwei Metallplatten in eine Metallkiste. V Stat: Man teile den Raum in ein Raste ein und setze das Potential an den Randpunkten auf den vogegebenen Wet. Bei allen andeen Punkten state man mit dem Wet Null. V - V Iteationsschitt: Beechne fü jeden Punkt den Mittelwet aus den vie benachbaten Punkten. Dies wid de neue Wet. Die Randpunkte weden nicht veändet. Konvegenz: Nach seh vielen Iteationsschitten konvegiet das Vefahen gegen die Lösung de Laplace-Gleichung, d.h. gegen das Potential fü alle Punkte. 37

39 38 Feldstäke: Ist das Potential an jedem Punkt bekannt, kann numeisch aus benachbaten Punkten die Feldstäke beechnet weden: in Komponenten: Näheungsweise gilt fü benachbate Punkte ) ( gad ) ( E ϕ = = z y x E ϕ ϕ ϕ,, z E y E x E z y x = = = ϕ ϕ ϕ,, y E y E x E z y x Δ Δ = Δ Δ = Δ Δ = ϕ ϕ ϕ,,

40 Beispiele am Compute (-dimensional): De Rand des Bildes ist imme eine geedete Metallhülle ϕ = V Potential eines Quadates ϕ = V: konstantes Potential im Innen, feldfei im Innen, hohe Feldstäke an den Ecken Potential eines Keises ϕ = V: Keine Spitzeneffekte Potential eines Plattenkondensatos ϕ = - V, ϕ = V : Homogenes Feld im Innen, Randfelde, hohe Feldstäke an den Ecken Spitze vo eine Platte ϕ = - V, ϕ = V : hohe Feldstäke an de Spitze Elektische Dipol und Quadupol 39

41 Beispiele am Compute (-dimensional): Influenz: Metallblock (ϕ = V) im Plattenkondensato: Feldfei im Innen, Ladungen auf Obefläche, Ladungstennung duch Influenz Faadaysche Käfig ϕ = V im Plattenkondensato o.ä.: konstantes Potential im Innen, feldfei im Innen Gewitte und Blitzableite: Haus ϕ = V, Wolke ϕ = V Spitzeneffekt 4

42 Kondensatoen: Eine Anodnung von zwei Metallobeflächen auf unteschiedlichem Potential nennt man Kondensato. Die Anodnung de Metallobeflächen ist meistens so, dass das elektische Feld weitgehend im Innen eingeschlossen ist. Bei eine geschlossenen Anodnung entweichen keine Feldlinien ins Unendliche. Deshalb befindet sich auf de einen Obefläche genau soviel negative Ladung (-Q) wie positive Ladung auf de anden Obefläche (Q). Die Ladung Q ist popotional zu Spannung zwischen den Obeflächen Q = C U Die Konstante C nennt man die Kapazität des Kondensatos. Die Kapazität hängt von de Geometie des Kondensatos ab. Die Einheit de Kapazität ist das Faad [F]. F = C/V 4

43 Plattenkondensato (einfachste Geometie eines Kondensatos): Zwischen den Platten befindet sich keine Ladung also gilt dot die Laplace-Gleichung Δϕ = und aus Symmetiegünden egibt sich daaus d ϕ = x ϕ ϕ Integation liefet ϕ( x ) = a x b Das Potential ändet sich also linea im Zwischenaum zwischen den Platten. Aus den Randbedingung ϕ ϕ ( ) = ϕ ϕ ( d) = ϕ bestimmt man die Konstanten a und b ϕ U a = ϕ = b = ϕ d d d x 4

44 Aus dem Potential ϕ( x) ϕ = U d Beechnet man die Feldstäke mit x E = gad ϕ E dϕ dϕ dϕ U =,, =,, dx dy dz d De Feldstäkevekto zeigt also in positive x-richtung. De Betag de Feldstäke im Plattenkondensato ist E = U d Die Feldstäke ist übeall im Zwischenaum gleich. Man nennt dies ein homogenes Feld. 43

45 Beechnung de Ladung auf den Platten und de Kapazität: Die Poissiongleichung besagt: ρ = ε div E = ε E x x E y y E z z E = E = U/d Die Flächenladungsdichte auf de Platte ist b Ex σ = ε dx = ε x a b a de x a b ( E b) E ( a ) σ = ε = x ( x ) ε U d x Haben die Platten eine Fläche A, dann ist die Gesamtladung Q = σ A = ε U A d Die Kapazität C=Q/U des Plattenkondensatos ist also C = ε A d 44

46 Im Kondensato gespeichete Enegie: Die Enegie W ist als Feldenegie gespeichet. Die Gesamtenegie ist Enegiedichte (w) mal Volumen (V). w = ε E = U ε d V = Ad Es folgt: U A W = wv = ε A d = ε U = d d CU De Zusammenhang W = CU gilt fü jeden Kondensato Expeimente mit Plattenkondensatoen 45

47 Reihenschaltung und Paallelschaltung von Kondensatoen: Schaltet man Kondensatoen paallel duch leitende Vebindung de Platten, addieen sich die Ladungen, wähend die Spannung an allen Kondensatoen gleich ist: C ges U = Q ges C ges = C U C C C 3 = Q Q Q3 = CU CU C3U = ( C C C3) U C C3 Schaltet man Kondensatoen in Reihe addieen sich die Spannungen U U = U U C C Wähend die Ladung auf allen Platten gleich ist Q C ges = U = ( U U ) = Q C Q C = Q C C C ges = C C 46

48 Integale Fom de Poissongleichung: Die Poisson-Gleichung kann auch mit zwei Integalen fomuliet weden: Einnee: Die Ladungen sind die Quellen des Feldes. Als Folgeung kann man fomulieen: Alle Ladungen in einem Volumen zusammen sind die Quellen des Feldes, das duch die Obefläche des Volumens hinduchtitt. Volumen Skalapodukt beachten! Integation imme übe geschlossene Obefläche und eingeschlossenes Volumen. S ρ d V = ε Obefläche E d S ds E ist de Nomalenvekto auf de Obefläche. ρ 47

49 Gaußsche Satz: Mathematisch lässt sich beweisen, dass fü stetig diffeenziebae Vektofunktionen f gilt: Volumen div f dv mit de Poissongleichung div E ρ = ε gilt fü das elektische Feld: Volumen = Obefläche f ds ρ dv = ε dive dv = ε Volumen Gaußsche Satz Mit dem Gaussschen Satz wid die mathematische Äquivalenz de diffeenziellen und integalen Fomulieung de Poissongleichung bewiesen. Obefläche E ds 48

50 Nichtleite im elektischen Feld (Dielektika): In Metallen können Ladungen (Elektonen) fei veschoben weden. In Isolatoen (Dielektika) können die Elektonen de Atome nu ganz wenig gegenübe dem Atomken veschoben weden Polaisation. Äußee Felde fühen zu Polaisation eines Dielektikums E Das elektische Feld im Innen des Mateials ist seh kompliziet duch die vielen Ladungen (bzw. Diplole) 49

51 Dielektische Veschiebungsdichte: Man füht neue Gößen ein, um die Eigenschaften de Mateie pauschal in die kontinuieliche Theoie einzufügen. Definition: D = ε ε E Dielektische Veschiebungsdichte Mit de dimensionslosen Mateialkonstanten ε : elative Dielektizitätskonstante Im Vakuum gilt ε = also D = ε E Mit den neuen Gößen können die Gleichungen de Elektodynamik in Mateie ähnlich zu den Gleichungen füs Vakuum geschieben weden. 5

52 Die Poissongleichung in Mateie und Vakuum läst sich einheitlich scheiben: = div D ρ Poisson-Gleichung Die Enegiedichte in Mateie ist göße als im Vakuum, da Enegie zum Aufbau de Polaisation efodelich ist. w = E D Enegiedichte Die Kapazität eines Kondensatos mit Dielektikum ist göße, da bei gleiche Spannung meh Ladung auf die Platten fließt: A C = ε ε Kapazität Plattenkondensato d C = ε Diel C Vak 5

53 Expeiment: Dielektika weden in einen Kondensato hineingezogen. V ε = F ε > V Dielektikum Relative (statische) Dielektizitätskonstante Glas ε = 4 TiO ε = 8 CaTiO 3 ε = 6 (SBi)TiO 3 ε = Wasse ε = 8 Alkohol ε = 5 5