Hauptprüfung 2009 Aufgabe 4

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Klemens Bader
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Haptpüfng 9 Afgabe 4 Gegeben ind die Geaden g: x nd h: x mit, 4. Beechnen Sie die Koodinaten de Schnittpnkte de Geaden g nd h. Beechnen Sie den Schnittwinkel δ de Geaden g nd h.

1 Haptpüfng 9 Afgabe 4 Gegeben ind die Geaden g: x nd h: x mit, 4. Beechnen Sie die Koodinaten de Schnittpnkte de Geaden g nd h. Beechnen Sie den Schnittwinkel δ de Geaden g nd h. Becheiben Sie die beondee Lage de Geaden h im Koodinatenytem. Zeichnen Sie die beiden Geaden g nd h in ein ämliche Koodinatenytem ein. ( x - nd x -Ache mit LE cm, x -Ache mit dem Schägwinkel 45 nd LE cm). ( Pnkte) 4. Beechnen Sie den Schnittpnkt S, de Geaden g mit de x x -Ebene. Die Geade g wid enkecht af die x x -Ebene pojiziet. Emitteln Sie die Gleichng de enkechten Pojektiongeaden g,. (4 Pnkte) 4. Geben Sie die Gleichng eine Geaden an, die paallel z g veläft. Geben Sie die Gleichng eine Geaden an, die g enkecht chneidet. Begünden Sie Ihe Entcheidng. (5 Pnkte) Gegeben ind die Pnkte A(/-/), B(//) nd C(-/5/) 4.4 Die Pnkte A, B, C ind dei Eckpnkte eine Paallelogamm. Zeigen Sie, da D(//) de viete Eckpnkt it. ( Pnkte) 4.5 De Pnkt S(6,5/,5/) ei die Spitze eine enkechten Pyamide mit Gndfläche ABCD. Betimmen Sie die Koodinaten de Diagonalenchnittpnkte M diee Gndfläche. Beechnen Sie da Volmen diee Pyamide. (9 Pnkte) Pnkte

2 Löng Haptpüfng 9 Afgabe 4 4. Schnittpnkt von g nd h: De Schnittpnkt de Geaden egibt ich dch Gleichetzen de Gleichngen: Daa egibt ich folgende lineae Gleichngytem: () () () () in (): (4) () nd (4) in (): it eine wahe Aage Somit it, die Löng de Gleichngytem. Einetzen von in g: x nd damit Schnittpnkt P(/-/). (Hinwei: Man hätte ach in die Geade h einetzen können) Schnittwinkel von g nd h: 4 5,, co h g h g δ δ Beondee Lage de Geaden h: Die x -Koodinate de Richtngvekto von h it, da heißt nte Beückichtigng de Otvekto(Stützvekto) gilt fü die Geade h x. Da bedetet, da jede Pnkt de Geaden h einen kontanten x -Wet beitzt. Anchalich folgt daa, da die Geade paallel z x x -Ebene ( Bodenebene ) im Abtand von Längeneinheiten liegt.

3 Zeichnng de Geaden g nd h: Fü die Zeichnng de Geaden g weden die Koodinaten de Otvekto (Stützvekto) al Pnkt Q(//) übenommen. Aßedem liegt de Schnittpnkt P(/-/) af g. Fü die Zeichnng de Geaden h weden die Koodinaten de Otvekto (Stützvekto) al Pnkt R(-//) übenommen. Aßedem liegt de Schnittpnkt P(/-/) af h. Die Koodinaten de Pnkte S, weden fü die Zeichnng de Geade h nicht benötigt nd weden et in Teilafgabe 4. beechnet. 4. Schnittpnkt von g mit de x x -Ebene: Fü die x x -Ebene gilt x. Z Beechnng de Schnittpnkte wid die x -Koodinate von g geetzt: x - in g eingeetzt: Senkechte Pojektion von g: x 4 nd damit S, ( / 4 / ) Eine enkechte Pojektion af die x x -Ebene bewikt, da die x -Koodinate den Wet annimmt: A g: x wid g, : x

4 4 4. Paallele k z g: Fü die gechte Paallele k kann de Richtngvekto de Geaden g übenommen weden. (Man könnte ach igendeinen vielfachen Vekto tattdeen nehmen). De Otvekto/Stützvekto von k (deen Koodinaten einem Pnkt de Geaden k entpechen) m o gewählt weden, da de Pnkt nicht af de Geaden g liegt. A de Zeichnng egibt ich, da z.b. de Pnkt T(//) nicht af g liegt. (Man könnte ach igendeinen andeen Pnkt, de nicht af g liegt, nehmen) Fü die gechte Paallele k gibt e omit nendlich viele Möglichkeiten. Mögliche Geadengleichng: k: x Senkechte n z g, die g chneidet: Da die gechte Geade n enkecht z g liegen oll, m de Richtngvekto n de Geade n o gewählt weden, da da Skalapodkt de beiden Richtngvektoen egibt: n Hie gibt e nendlich viele Möglichkeiten fü die Wahl de Richtngvekto. Eine Beipiellöng wäe n, da gilt. Da die Senkechte n die Geade g chneiden oll, wid al Otvekto/Stützvekto ein bekannte Pnkt von g vewendet, z.b. Q(//). Mögliche Geadengleichng n: x 4.4 Bei einem Paallelogamm ind die gegenübeliegenden Vektoen gleich.

5 Bei einem Paallelogamm gilt AB DC. De gechte Pnkt ei (d / d / d ) D. d Nn gilt: AB 4 DC 5 d d Nn gilt: d d 5 d d d d Daa folgt D(//) wa z zeigen wa Beechnng de Diagonalenchnittpnkte M: Fü den Otvekto de Diagonalenchnittpnkte gilt:,5 OM OA AC,5 nd damit gilt M(,5/,5/). Beechnng de Pyamidenvolmen: Fü da Pyamidenvolmen gilt: V A Paalle logamm h Pyamide Beechnng de Pyamidenhöhe: 6 h Pyamide MS

6 Beechnng de Paallelogammfläche: D C h* α A D* B Fü die Paallelogammfläche gilt: A AB h * AB AB 4 4 Paalle logamm Beechnng de Winkel α im Deieck AD*D: De Winkel α wid gebildet von den Vektoen AB 4 nd 4 4 coα α 5, AD : Beechnng von h* im Deieck AD*D: h * in α h* AD in 5,4 in 5,4,6 AD Daa folgt: A 4,6 6, 66 Paalle logamm Fü da Pyamidenvolmen gilt: V 6, , Volmeneinheiten. 6

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