Analytische Geometrie

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Karl Lorentz
vor 7 Jahren
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1 Anlytiche eometie Intention: Eeitung eine Vefhen, mit deen Hilfe mn jede geometiche Aufge duch echnung löen knn. I Vektoen und Vektoäume Pfeile und Vektoen Vektoen ind geichtete ößen. Phyik: Kft, echwindigkeit, Weg, El. eldtäke... Dtellung duch Pfeile.. Jede geodnete P (P Q) zweie Punkte P und Q echeit einen Pfeil PQ. P it de Anfngpunkt, Q de Endpunkt de Pfeil.. Zwei Pfeile PQ und S heißen pllelgleich, wenn folgende gilt:. PQ S S. Sie hen die gleiche ichtung PQ c. PQ S. Die Menge lle zu PQ pllelgleichen Pfeile heißt Vekto PQ. Jede einzelne Pfeil u de Menge heißt epäentnt de Vekto. Bemekungen () Zeichnen knn mn imme nu einen epäentnten, nie einen Vekto. () Nicht imme untecheidet mn teng zwichen einem Vekto und einem epäentnten. Scheiweien () PQ () () deutche Schift egenvekto und Nullvekto BA it de egenvekto zu AB. Mn cheit: BA - AB BA AB De Vekto mit de Länge heißt Nullvekto. De Nullvekto ht keine ichtung. Betg eine Vekto : Länge de Pfeil. It, o nennt mn den Vekto Einheitvekto. Zu jedem Vekto git e eindeutig einen gleichinnig pllelen Einheitvekto.

2 Die Addition von Vektoen Phyik: Die Emittlung de eultieenden Kft u zwei Käften, die n einem Köpe ngeifen, gechieht duch Aneinndehängen de zugehöigen Kftpfeile. Die Vektoddition wid dgetellt duch die Addition zweie epäentnten. De Summenvekto eginnt m uß de eten Vekto und endet n de Spitze de zweiten Vekto (Spitze-uß- Kopplung). Sei AB, BC. Dnn heißt AC Summe de Vektoen und AB BC : AC de Diffeenz Al Diffeenz zweie Vektoen und ezeichnet mn die Summe von und -. - : ( - ). Summe von meh l zwei Vektoen in de Eene (unten: Zeichnen: (5, h); (, h); c (, 5h)) c E H c c D C Betimme in Ahängigkeit von,, c : v BE c H B c v BH c D c A B

3 echloene Vektokette v c d e ü die Addition von Vektoen gelten folgende eetze: () Die Summe zweie Vektoen it wiede ein Vekto. (ABESCHLOSSENHEIT) () ( c) ( ) c (ASSOZIATIVITÄT) () ü lle gilt: (EXISTENZ DES NEUTALEN ELEMENTS) (4) ü jeden Vekto exitiet ein INVESES ELEMENT - mit ( ) (5) (KOMMUTATIVITÄT) Eine Menge, uf de eine Veknüpfung mit dem eetzen () (4) definiet it, heißt uppe, gilt uch noch (5), o heißt die uppe elch (ode kommuttiv). (efetthem!) - Venchulichung de Axiome () und (5) H c E c c ( ) c ( c) D C A B - Beipiele fü uppen uf eknnten Zhlenmengen keine uppen: (N, ); (Z, ) (Invee!); uppen: (Z, ); (Q, ); (Q, ); (, ); (, ); - Deckdehungguppe de gleicheitigen Deieck

4 4 - (, ): Tupel u dei eellen Zhlen mit de duf definieten Addition: Wegen de ültigkeit de uppenxiome und in. echieene eetze wid ich (, ) l Model lfü den deidimenionlen um eignen! Üepüfung de uppenxiome:. Agechloenheit: Mit,,,,, gilt:. A-eetz: iehe Buch S.. Neutle Element:, d 4. Inve zu it 5. K-eetz: Aufgen: Buch S. 9/, 5; 7/, 6

5 5 Die S-Multipliktion; Vektoum Will mn eine Kft zw de ichtung nch eiehlten, ihen Betg e veänden, o wid mn ymolich die Länge de Kftpfeil veänden. k ht k-fche Länge von k > : gleichgeichtet k < : entgegengeetzte Oientieung,5 H It ein Vekto und k, o veteht mn unte k einen zu pllelen Vekto de k -fchen Länge von, de fü k > gleichinnig, fü k < gegeninnig zu oientiet it ( ). Mn nennt k die S-Multipliktion ( Multipliktion eine Vekto mit einem Skl) ü die S-Multipliktion gelten folgende eetze () emichte Aozitivgeetz m (n ) (m n) Bp: (-) ((-) ) ((-) (-)) 6 (). Ditiutivgeetz m n (m n) Bp: 4 7 ; - 4,5 -,5 (). Ditiutivgeetz m m m ( ) (4) Neutle Element de Multipliktion Eine Menge von Elementen, die eine dditive elche uppe ilden und fü die die eetze de S- Multipliktion gelten, heißt linee Vektoum. Beipiel ü den in Kpitel echieenen lät ich eine S-Multipliktion definieen duch (z. B. Aozitivgeetz: () )

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