0.6.4) Lineare Regression Wenn wir fliegen könnten und den Greifvögeln ähnlich

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1 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 0.6.4) Linee Regession Wenn wi fliegen könnten und den Geifvögeln ähnlich Msse m [kg] Spnnweite s [m] Bussd 1 1,3 Fischdle,0 1,6 S n ( y i 1 i b i ) S S 0 ; 0 b min. Schelldle 3 1,8 Steindle 6,7,3 Tumflke 0, 0,7 Weißkopfdle 5,4.0 s [m] m [kg] b y b n i 1 n i 1 i y i i 1 n n 1 ( n i 1 n i 1 i n i i 1 ) y i (0.6.7) (0.6.8) Annhme eines Zusmmenhnges s m b log(s)log()+blog(m) log(s) log(m) Mensch (75kg) bucht eine Spnnweite von 5 m zum Fliegen

2 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1 Mechnik de Punktmssen 1.1 Kinemtik: Lehe vom wie de Bewegung (nicht dem wum ) Einleitung: Bewegung ht eine Richtung 1.1. Mthemtische Ekus: Vektoen Addition von Vektoen Multipliktion mit einem Skl

3 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1.1. Mthemtische Ekus (Fotsetzung) Vektoen - ist entgegengesetzt gleiche Vekto Nullvekto 0: +0 0+(-), 0 0 (1.1-4) Einheitsvekto e (1/ ) (1.1-5)

4 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1.1. Mthemtische Ekus (Fotsetzung) Vektoen Sklpodukt von Vektoen d b b cos(φ) (1.1-6) d ist Skl! (Element von R 1 ) Rechenegeln φ b (+b) c c+b c (Distibutivität) (1.1-7bc) bb (Kommuttivität) λ( b)(λ) b (Assozitivität mit Skl) Bemekung: Mnchml wid Sklpodukt uch <,b> geschieben

5 1.1. Mthemtische Ekus (Fotsetzung) Vektoen Koodintendstellung von Vektoen (3D Beispiel) Seien e, e y, e z pweise othogonle (senkecht zueinnde) Einheitsvektoen. So lässt sich jede Vekto im R 3 duch diese Vektoen dstellen e + y e y + z e z (, y, z ) mit e, y e y, z e z (1.1-8) e z e y Betg + y + e VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) z (1.1-9)

6 Vektopodukt db (spich keuz b ) d ist Vekto! d steht senkecht uf und b b b b sin(φ) 1.1. Mthemtische Ekus (Fotsetzung) Vektoen b φ ) ( ) ( ) ( b b e b b e b b e b b b e e e y y z z z y y z z y z y z y z y b + + d (1.1-10) (1.1-11) VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug )

7 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1.1. Mthemtische Ekus (Fotsetzung) Vektoen Rechenegeln o b-b o (b+c) b+c (keine Kommuttivität) (Distibutivität) (1.1-1bc) o λ(b)(λ)b(λb ) (Assozitivität mit Skl) Bemekung: Im Allgemeinen (b)c (bc) Ist b ( pllel b ) dnn ist b0 (siehe )

8 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) Otsvekto und Geschwindigkeit Die Bhnkuve bescheibt Otsvekto zu einem Punkt ls Funktion de Zeit (t) Vekto v de Geschwindigkeit d v( t) lim & (1.1-13) t 0 t dt Bnhbewegung de Hutes in Luigi Russolo (191) Plstic Synthesis of Womn's Movements Beispielbewegung wede gedlinig (Bhnkuve gekümmt) noch gleichfömig ( v const.)

9 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) Gleichfömige Bewegung Gleichfömig: v(t 1 ) v(t ) v const. Gedlinig: v(t 1 )v(t ) fü lle t 1, t (t 1 ) (t ) In Bll (191) Bmbin che coe sul blcone ist die Bewegung gedlinig gleichfömig

10 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) Gleichfömige Bewegung (Fotsetzung) Beschleunigung : Zeitliche Ableitung de Geschwindigkeit v dv d ( t) v& t 0 t dt dt ( ) lim (1.1-14) Fü eine gedlinige gleichfömige Bewegung ist 0 Aus Beschleunigung lässt sich die momentn Geschwindigkeit bis uf Konstnte bestimmen &

11 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) Geichmäßig beschleunigte Bewegung Beschleunigung const. Geschwindigkeit v(t) v( t) Otsvekto t ( t) dt v0 0 + t t 1 s( t) v( t) dt s + v t + t (1.1-15) (1.1-16)

12 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) Beispiel fü gleichfömig beschleunigte Bewegung: Messung zum feien Fll von Glilei Messung des Weges, den ein Köpe in eine bestimmten Zeit duchfällt. Anfngsgeschwindigkeit v 0 0 Anfngsot s 0 0 Nch (1.1-16) folgt Fllgesetz: h ½ t (1dim. > keine Vektoscheibweise nötig)

13 1.1.8 De schiefe Wuf z z 1 v z v 0 α 0 v 1 Aufteilung de Bewegung in Hoizontl und Vetiklbewegung Gleichfömig in -Richtung (t)(t)v 0 cos(α 0 )t Gleichmässig beschleunigt in z (siehe ) z (t)z(t)v 0 sin(α 0 )t-(/)t z( ) tn( α ) 0 Gl. Wufpbel v cos ( α ) (1.1-17) VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 0 0

14 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) Beispiel: Flohweitspung Floh Spungweite0.35 m ( 1 ) Spunghöhe0.0 m ( z 1 ) Fge: Ws w seine Anfngsgeschwindigkeit v 0? (Edbeschleunigung sei 9.81kg m/s ) Lösung: Ot 1 bei de z miml (z 1 ). Dot dz/d 0 v v 0 0 sin( α )cos( α ) z sin ( α ) V 0 eliminieen und nch Anfngswinkel uflösen z 1 1 z tn( α ) α ctn( ) z 1 v 0 dnn übe (1.1-18b) beechnen v 0 sin ( α ) Abspungwinkel: 66 0 > v 0,m/s 7,8km/h 0 ( b)

15 1.1.9 Gleichfömige Keisbewegung Bewegung uf eine Keisbhn mit Konstnte Geschwindigkeit v ( v 1 v ) s φ (1.1-19) v φ Bogenmß (dimensionslos, d ) φ s v 1 Winkelgeschwindigkeit ω φ/ t Gesmtdehwinkel φ ωt (1.1-0) (1.1-1) Bhngeschwindigkeit v s ϕ ω t t (1.1-) VAK , WS03/04 (us & 1.1-0) J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug )

16 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) Gleichfömige Keisbewegung (Fotsetzung) Vektoielle Betchtung cos( ωt) sin( ωt) 0 (1.1-3) v & sin( ωt) ω cos( ωt) 0 (1.1-4) Geschwindigkeit ls Vektopodukt v ω (1.1-5) Rdilbeschleunigung (1.1-6) v& cos( ωt) ω sin( ωt) 0 ω

17 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) Gleichfömige Keisbewegung (Fotsetzung) Ein Köpe bewegt sich nu dnn uf eine Keisbhn, wenn e eine dem Betge nch gleich bleibende, nch dem Mittelpunkt hin geichtete Beschleunigung efäht Ungleichfömige Keisbewegung Winkelgeschwindigkeit ωω(t) Winkelbeschleunigung Tngentilbeschleunigung t α α & ω & ϕ (1.1-7) (1.1-8)

18 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1. Dynmik de Punktmsse Bishe (Kinemtik) Fge nch dem wie de Bewegung Die Dynmik fgt nch dem wum, d.h. nch den Uschen von Beschleunigungen Lehe von den Käften

19 1..1 Die Newtonschen Aiome Le pim: Jede Köpe beht in seinem Zustnd de Ruhe ode gleichfömigen Bewegung, wenn e nicht duch einwikende Käfte gezwungen wid seinen Zustnd zu änden. (Tägheitsstz) Postuliet Behungsvemögen im ntülichen Zustnd Tägheit des Köpes Mnchml uch ls Glileis Tägheitsgesetz bezeichnet VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug )

20 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1..1 Die Newtonschen Aiome Die Göße de Bewegung wid duch die Geschwindigkeit und die Menge de Mteie (Msse) veeint gemessen Bewegungsgöße ist de Impuls p m v (1.-1) Le pim mthemtisch p const bei Abwesenheit von Käften

21 VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug ) 1..1 Die Newtonschen Aiome Le secund: Die Ändeung de Bewegung ist de Einwikung de bewegenden Kft popotionl und geschieht nch de Richtung dejenigen geden Linie, nch welche jene Kft wikt. (Aktionspinzip) Le secund mthemtisch dp p& dt F: fos (lt. Kft) d( m v) dt F (1.-) Fü m const. m dv dt mv& m F (1.-3)

22 1..1 Die Newtonschen Aiome Einheit de Kft: [F]1 N (Newton) 1 kg m/s Abeit (diffeentiell) F AF sf s s Abeit A Fds (1.-5) (1.-4) s F N F s h Einheit de Abeit [A]1 J (Joule) 1 kg m /s Auf llen Bhnkuven wid die gleiche Abeit WF h veichtet! VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug )

23 1..1 Die Newtonschen Aiome Le teti: Die Wikung ist stets de Gegenwikung gleich und von entgegen gesetzte Richtung. (Rektionspinzip) ctio ectio Bsp.: De fllende Stein zieht die Ede genuso n wie die Ede den Stein VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug )

24 1..1 Die Newtonschen Aiome Coollium ( Le qut ): Käfte ddieen sich wie Vektoen (Supepositionspinzip) Unbhängigkeit von Kftwikungen F 1 + F + F F n F ges Abeiten ddieen sich lgebisch F 1 s + F s + F 3 s + + F n s A 1 + A + A 3 + A n A ges VAK , WS03/04 J.L. Vehey, (CvO Univesität Oldenbug )